Compararea puterilor cu aceeași bază: pe scurt

Când numerele au sute de cifre, comparările de puteri nu se fac cu calculatorul, ci cu monotonia funcției exponențiale, demonstrată în lecția anterioară. Regulile sunt simple și trebuie aplicate mereu cu discuția scrisă explicit.

Bază supraunitară ($a>1$): $a^m<a^n⟺m<n$ — ordinea exponenților se copiază direct în ordinea valorilor. Bază subunitară ($0<a<1$): $a^m<a^n⟺m>n$ — sensul se răstoarnă; aici se pierd cele mai multe puncte la examen.

Compararea cu $1$ este cazul-vedetă: pentru $a>1$, $a^m>1⟺m>0$; pentru $0<a<1$, $a^m>1⟺m<0$. Punctul de basculare este mereu exponentul $0$.

Când bazele diferă, există două strategii: le aduci la o bază comună (dacă sunt puteri ale aceluiași număr, de exemplu $4,8,16$ sunt toate puteri ale lui $2$) sau aduci puterile la același exponent, grupând după un divizor comun. Compararea nu se termină obligatoriu cu o inegalitate — uneori numerele sunt egale ($9^{0,3}=27^{0,2}$), și doar aducerea la formă comună arată asta. Greșeli frecvente: uitarea răsturnării la bază subunitară, confuzia dintre regula exponenților (aceeași bază) și regula bazelor (același exponent), și renunțarea prea devreme la numere „uriașe” care se compară, de fapt, în două rânduri.

Exerciții din această mini-lecție

1. Comparați ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7$: care este mai mare?

   • a) sunt egale
   • b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7$
   • c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$
   • d) nu se poate determina fără calcul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$

   Bază subunitară: exponentul mai mic dă valoarea mai mare, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4>{\left(\frac{1}{3}\right)}^7$.