Cum rezolv o ecuație cu z și z barat?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Conjugatul și produsul z·z̄

Conjugatul lui $a+bi$ păstrează bucata fără $i$ și întoarce semnul coeficientului lui $i$: se scrie $\bar{z}=a-bi$. Pentru numerele reale conjugarea nu schimbă nimic, iar pentru cele de forma $bi$ dă opusul.

Trei combinații ies mereu fără dificultăți. Suma $z+\bar{z}$ este dublul lui $a$, deci un număr real. Diferența $z-\bar{z}$ este $2bi$, fără parte reală. Produsul $z\cdot \bar{z}$ este $a^2+b^2$, un număr real care nu poate fi negativ și care se anulează doar pentru $z=0$.

Conjugarea respectă operațiile: pentru o expresie construită din sume, diferențe, produse și puteri, se conjugă separat fiecare număr care intră în ea, iar coeficienții reali rămân pe loc. De aici vin două teste: un număr care coincide cu conjugatul său este real, iar unul al cărui conjugat îi este opus are partea reală zero.

Când într-o ecuație apar împreună $z$ și $\bar{z}$, se scrie $z=a+bi$ și se compară bucățile. În telecomunicații, puterea unui semnal scris ca $I+Qi$ este produsul lui cu conjugatul, iar la suprapunerea a două semnale apare și un termen încrucișat real.

De reținut

• $\bar{z}=a-bi$ pentru $z=a+bi$
• $z+\bar{z}=2a$, $z-\bar{z}=2bi$, $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$
• în ecuații cu $z$ și $\bar{z}$ se scrie $z=a+bi$ și se identifică părțile

Greșeala tipică

Se tratează $z$ și $\bar{z}$ ca pe două necunoscute independente sau se simplifică între ele; ele au aceleași $a$ și $b$, deci ecuația se rezolvă doar după scrierea $z=a+bi$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Conjugatul numărului $-6-8i$ este:

   • a) $6+8i$
   • b) $-6+8i$
   • c) $-8+6i$
   • d) $6-8i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-6+8i$

   Partea reală rămâne $-6$, iar partea imaginară își schimbă semnul: $-6+8i$.

2. Cât este $z\cdot \bar{z}$ pentru $z=-8-2i$?

   • a) $60$
   • b) $68$
   • c) $64+4i$
   • d) $-60$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $68$

   $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2=64+4=68$.

3. Un număr complex $z$ verifică $z+\bar{z}=-2$ și $z-\bar{z}=18i$. Numărul $z$ este:

   • a) $-2+18i$
   • b) $-1-9i$
   • c) $-1+9i$
   • d) $9-i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-1+9i$

   $2a=-2$, deci $a=-1$, și $2bi=18i$, deci $b=9$: $z=-1+9i$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: ecuație cu z și conjugatul lui z · ecuație cu z și z barat · cum aflu z dintr-o relație cu conjugatul · ecuații cu numărul complex și conjugatul său