Conjugatul unui număr complex: pe scurt

Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$: partea reală rămâne, partea imaginară își schimbă semnul. Un număr real își este propriul conjugat; un număr pur imaginar are drept conjugat opusul său; iar $\overline{\overline{z}}=z$.

Două relații de aur, ambele numere reale:

$$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z,z\cdot \bar{z}=a^2+b^2\ge 0.$$

De aici, $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$ și $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$.

Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$, $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ — poți conjuga „pe bucăți”, ceea ce face posibil criteriul: $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$, iar $z$ este pur imaginar (sau nul) $⟺\bar{z}=-z$. Cu acest criteriu poți demonstra că o expresie este reală fără să o calculezi efectiv, doar conjugând-o și comparând.

La ecuațiile în care apar simultan $z$ și $\bar{z}$, metoda standard este: notezi $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, înlocuiești și identifici părțile reală și imaginară cu membrul drept.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este conjugatul numărului $z=-9+2i$?

   • a) $-9-2i$
   • b) $9-2i$
   • c) $9+2i$
   • d) $-2+9i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-9-2i$

   Conjugarea schimbă doar semnul părții imaginare: $\overline{-9+2i}=-9-2i$. Variantele b) și c) schimbă greșit și semnul părții reale.

2. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $z=(m^2-16)+(m-3)i$ este real.

   • a) $-3$
   • b) $3$
   • c) $4$
   • d) $-4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3$

   $z$ este real când partea imaginară e nulă: $m-3=0$, deci $m=3$ (atunci $z=9-16=-7$).

3. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $z=(2m+4)+(m^2-25)i$ este pur imaginar.

   • a) $-5$
   • b) $5$
   • c) $-2$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-2$

   Cerem partea reală nulă și partea imaginară nenulă: $2m+4=0\Rightarrow m=-2$, iar atunci $m^2-25=4-25=-21\ne 0$ ✓. Deci $m=-2$.