Conjugatul unui număr complex (M2, științe ale naturii)

Telefonul tău primește date prin unde radio, iar fiecare fragment de informație, numit simbol, are două componente, notate de ingineri cu $I$ și $Q$ și scrise împreună ca un singur număr complex $s=I+Qi$. Puterea simbolului, mărimea pe care receptorul o compară cu zgomotul, este proporțională cu produsul dintre $s$ și conjugatul lui, $\bar{s}$: un număr real, fără nicio urmă de $i$. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), conjugatul este operația care „scoate” un număr complex înapoi în lumea numerelor reale, și de aceea apare în aproape toate lecțiile care urmează în capitol. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă numește explicit conjugatul unui număr complex; varianta-model pentru 2026 nu îl folosește în cerința ei despre numere complexe.

Ai nevoie de adunare, de scădere și de înmulțire, din lecția M2 despre înmulțirea numerelor complexe și din cea despre adunare. Numele de „conjugat” amintește de raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată, studiată în clasa a IX-a.

Ce vei învăța

• Vei putea scrie conjugatul oricărui număr complex și să citești din el partea reală și partea imaginară.
• Vei ști că $z+\bar{z}$ și $z\cdot \bar{z}$ sunt numere reale și să le calculezi fără să mai înmulțești paranteze.
• Vei ști să conjugi o expresie întreagă „pe bucăți” și să folosești asta ca scurtătură de calcul.
• Vei ști să arăți că o expresie cu $z$ și $\bar{z}$ este reală sau pur imaginară, fără să-l scrii pe $z$ cu $a$ și $b$.
• Vei ști să afli un număr complex dintr-o relație care îi conține și conjugatul, inclusiv prin produsul lor.
• Vei ști să calculezi puterea unui semnal scris în componente și termenul încrucișat al sumei a două semnale, cu ajutorul conjugatului.

Hai să descoperim împreună

1. Aceeași parte reală, partea imaginară cu semn schimbat

Pentru $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale, conjugatul este numărul complex $$\bar{z}=a-bi.$$

Se citește „$z$ barat”. Partea reală rămâne neschimbată, iar partea imaginară își schimbă semnul. Pe un obiect care nu mai apare în lecție: $\overline{-7-8i}=-7+8i$.

Când numărul nu e scris în ordinea obișnuită, adu-l întâi la forma $a+bi$: conjugatul lui $\frac{i}{2}-3$ este $-3-\frac{i}{2}$, nu $\frac{i}{2}+3$. Semnul care se schimbă este întotdeauna cel al termenului care conține $i$, oriunde s-ar afla el.

Din definiție rezultă trei observații. Conjugarea lasă neschimbat orice număr real, fiindcă partea lui imaginară este zero. Un număr pur imaginar $bi$ are drept conjugat opusul său, $-bi$. Iar conjugatul conjugatului este numărul inițial: $\overline{\bar{z}}=z$, fiindcă semnul părții imaginare se schimbă de două ori.

Conjugarea are și o interpretare geometrică, pe care o vei întâlni în lecția M2 despre planul complex; aici lucrezi numai cu cele două părți ale numărului, partea reală și partea imaginară.

2. De ce produsul $z\cdot \bar{z}$ nu mai conține $i$?

Înmulțind un număr cu conjugatul lui, folosești formula diferenței de pătrate: $$z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2.$$

Rezultatul este un număr real și nenegativ, iar el este zero numai pentru $a=b=0$, adică numai pentru $z=0$. Pe un obiect propriu: $(-6+7i)(-6-7i)=36+49=85$.

Faptul că produsul e nenegativ nu e un detaliu. El îți permite, de exemplu, să recunoști imediat o greșeală: dacă la un calcul de forma $z\cdot \bar{z}$ ți-a ieșit un număr negativ sau unul care conține $i$, ai greșit un semn. Și tot el face ca mărimile fizice construite astfel să aibă sens.

Aceasta este și mărimea pe care o calculează un receptor radio. În telecomunicațiile digitale (radio, Wi-Fi, telefonie mobilă), fiecare simbol transmis are două componente, $I$ („în fază”) și $Q$ („în cuadratură”), pe care inginerii le scriu ca număr complex $s=I+Qi$. Ca să știe cât de puternic este simbolul, receptorul calculează puterea lui, proporțională cu $$s\cdot \bar{s}=I^2+Q^2,$$ un număr real și nenegativ, cum trebuie să fie orice putere.

Produsul acesta va fi „motorul” lecției următoare: amplificând o fracție cu conjugatul numitorului, numitorul devine real. Împărțirea propriu-zisă se face în lecția M2 despre împărțirea numerelor complexe. Tot acest produs primește un nume propriu în lecția M2 despre modulul unui număr complex.

3. Ce rămâne când aduni sau scazi conjugatul?

Adunând un număr cu conjugatul lui, părțile imaginare se reduc: $$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a.$$

Scăzându-le, se reduc părțile reale: $$z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi.$$

Așadar $z+\bar{z}$ este întotdeauna un număr real, dublul părții reale, iar $z-\bar{z}$ este pur imaginar sau zero. Pe un obiect propriu, $z=9+5i$: $z+\bar{z}=18$ și $z-\bar{z}=10i$.

Prima relație îți dă partea reală fără să „desfaci” numărul: $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$. Pentru $z=9+5i$, $\frac{18}{2}=9$. A doua relație o vei folosi mai ales în forma $z-\bar{z}=2i\cdot \mathrm{Im}z$: diferența dintre un număr și conjugatul lui are ca informație doar partea imaginară. Împreună, suma și diferența îl determină complet pe $z$: dacă le cunoști pe amândouă, afli ambele părți ale numărului, fără nicio altă informație.

4. Conjugi rezultatul sau fiecare număr din el?

Pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$ au loc: $$\overline{z_1+z_2}={\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2,\overline{z_1-z_2}={\bar{z}}_1-{\bar{z}}_2,\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2.$$

Primele două se văd imediat: la sumă sau diferență, partea imaginară a rezultatului este suma sau diferența părților imaginare, deci schimbarea semnului se poate face înainte sau după. A treia cere un calcul. Cu $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, produsul are partea imaginară $ad+bc$. Produsul conjugatelor este $(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i$: aceeași parte reală și partea imaginară cu semn schimbat, adică exact conjugatul produsului.

Control numeric, pe $z_1=-3+9i$ și $z_2=9+6i$: $z_1{z}_2=-81+63i$, iar ${\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2=(-3-9i)(9-6i)=-81-63i$, conjugatul produsului.

Aplicând regula produsului de mai multe ori, obții și regula puterilor: $\overline{z^2}=\bar{z}\cdot \bar{z}={\left(\bar{z}\right)}^2$, $\overline{z^3}={\left(\bar{z}\right)}^3$ și, în general, $\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$. Coeficienții reali nu se schimbă la conjugare, iar $\bar{i}=-i$. Concluzia practică: conjugatul unei expresii se obține conjugând fiecare număr din ea, fără să calculezi expresia. Un multiplu real se conjugă simplu, $\overline{kz}=k\bar{z}$ pentru $k$ real, iar un factor $i$ își schimbă semnul. Regula pentru un cât, care cere împărțirea, o vei vedea în lecția despre împărțire; ea arată la fel.

5. Ce se întâmplă cu puterea când două semnale se suprapun?

Când două semnale de aceeași frecvență ajung simultan la antenă, de exemplu de la două emițătoare apropiate, componentele lor se adună: $s=s_1+s_2$. Folosind proprietățile conjugării din secțiunea 4, $$s\bar{s}=(s_1+s_2)\left({\bar{s}}_1+{\bar{s}}_2\right)=s_1{\bar{s}}_1+s_2{\bar{s}}_2+\left(s_1{\bar{s}}_2+{\bar{s}}_1{s}_2\right).$$

Ultima paranteză se numește termenul încrucișat. El este real, pentru că ${\bar{s}}_1{s}_2$ este chiar conjugatul lui $s_1{\bar{s}}_2$, iar un număr adunat cu conjugatul lui dă dublul părții reale. Termenul poate fi pozitiv, și atunci semnalul recepționat e mai puternic decât suma puterilor, sau negativ, și atunci semnalele se slăbesc reciproc; când el este zero, semnalele se numesc ortogonale, iar puterile lor se adună exact. Tot produsul cu conjugatul îl folosește receptorul ca să recunoască un simbol: pentru simboluri de aceeași putere, calculează partea reală a lui $r\cdot \bar{s}$, unde $r$ este semnalul primit, și alege simbolul $s$ pentru care rezultatul e cel mai mare. Puterile nu se adună pur și simplu: se adună componentele, iar conjugatul arată ce se întâmplă cu puterea.

6. Cum recunoști un număr real fără să-i calculezi părțile?

Din definiție rezultă două criterii, pe care le folosești foarte des:

• $z$ este real exact atunci când $\bar{z}=z$;
• $z$ este pur imaginar sau zero exact atunci când $\bar{z}=-z$.

Pentru primul: $a+bi=a-bi$ înseamnă $b=-b$, adică $b=0$. Pentru al doilea: $a-bi=-a-bi$ înseamnă $a=-a$, adică $a=0$.

Atenție la numărul $0$: el este egal și cu conjugatul său, și cu opusul conjugatului, deci trece ambele criterii. De aceea al doilea criteriu spune „pur imaginar sau zero”; dacă o problemă cere un număr pur imaginar, verifică separat că nu ai obținut $0$.

Forța criteriilor este că nu cer să-l scrii pe $z$ cu $a$ și $b$. Ca să arăți că $w=z^2+{\bar{z}}^2$ este real pentru orice $z$, conjugi pe bucăți: $\bar{w}={\bar{z}}^2+z^2=w$. Numărul este egal cu propriul conjugat, deci este real. Drumul cu $a$ și $b$ ar fi dat același rezultat, dar cu mai multe calcule.

7. Cum afli $z$ dintr-o relație care îl conține și pe $\bar{z}$?

Când într-o ecuație apar și $z$, și $\bar{z}$, nu mai poți „izola” necunoscuta ca la o ecuație obișnuită. Metoda sigură, cerută explicit de programă, este să scrii $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ reale, și $\bar{z}=a-bi$, apoi să identifici părțile.

Pe un obiect propriu: $z-3\bar{z}=4-32i$. Membrul stâng devine $(a+bi)-3(a-bi)=-2a+4bi$. Din $-2a=4$ și $4b=-32$ rezultă $a=-2$ și $b=-8$, deci $z=-2-8i$. Verificarea: $(-2-8i)-3(-2+8i)=4-32i$.

Uneori ecuația conține și produsul $z\cdot \bar{z}$. Atunci el devine $a^2+b^2$, un număr real, și intră în ecuația părților reale; partea imaginară rămâne de obicei simplă și o rezolvi prima. Ecuațiile de gradul al doilea fără soluții reale au, mai târziu în unitate, lecția lor M2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Conjugarea pe bucăți ca scurtătură

Se consideră $z_1=-7-5i$ și $z_2=8-i$. a) Calculați $z_1{z}_2$. b) Scrieți, fără alte înmulțiri, ${\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$ și conjugatul numărului $z_1{z}_2-z_2$.

Rezolvare. a) $z_1{z}_2=(-7-5i)(8-i)=-56+7i-40i+5i^2=-61-33i$.

b) Conjugatul produsului este produsul conjugatelor, deci ${\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2=\overline{z_1{z}_2}=-61+33i$. Apoi $z_1{z}_2-z_2=(-61-33i)-(8-i)=-69-32i$, iar conjugatul lui este $-69+32i$.

Controlul pe drumul lung confirmă: $(-7+5i)(8+i)=-61+33i$. Scurtătura a economisit o înmulțire întreagă; la o expresie mai lungă, economisește și mai mult.

Ideea de fond: odată calculat un rezultat, conjugatul lui e „gratis”. În problemele cu mai multe cerințe, unde a doua cerință folosește conjugatele numerelor de la prima, merită să cauți întâi o astfel de legătură înainte de a relua calculul.

Exemplul 2 — Arătați că numărul este real, fără $a$ și $b$

Arătați că, pentru orice număr complex $z$, numărul $w=z\bar{z}+3i(z-\bar{z})$ este real.

Rezolvare. Conjugăm pe bucăți; $z\bar{z}$ este real, deci rămâne neschimbat, iar $\overline{3i}=-3i$: $$\bar{w}=z\bar{z}-3i\left(\bar{z}-z\right)=z\bar{z}+3i(z-\bar{z})=w.$$

Numărul este egal cu conjugatul său, deci este real. Control pe $z=6+4i$: $z\bar{z}=52$, $z-\bar{z}=8i$, iar $3i\cdot 8i=-24$, deci $w=28$, într-adevăr real.

Pasul delicat este conjugarea factorului $3i$: el devine $-3i$, iar minusul se combină cu $\bar{z}-z=-(z-\bar{z})$. Dacă uiți unul dintre cele două minusuri, ajungi la concluzia greșită „$\bar{w}=-w$”. Controlul pe un număr concret, făcut la final, prinde imediat o astfel de greșeală: un număr real nu poate fi egal cu opusul său decât dacă este zero.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $z+2\bar{z}=21-8i$ astfel: „Fie $z=a+bi$. Atunci $a+bi+2a+2bi=3a+3bi$, deci $a=7$ și $b=-\frac{8}{3}$.” Verificați și corectați.

Rezolvare. Elevul a scris $2\bar{z}$ ca $2a+2bi$, adică a uitat să conjuge. Corect, $2\bar{z}=2a-2bi$, deci membrul stâng este $3a-bi$. Din $3a=21$ și $-b=-8$ rezultă $a=7$ și $b=8$, deci $z=7+8i$.

Verificare: $(7+8i)+2(7-8i)=21-8i$. Soluția elevului, $7-\frac{8}{3}i$, dă în membrul stâng $21+\frac{8}{3}i$, nu $21-8i$.

Exemplul 4 — O ecuație cu $z\bar{z}$ și $z-\bar{z}$

Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $z\bar{z}+(z-\bar{z})=89+16i$.

Rezolvare. Cu $z=a+bi$: $z\bar{z}=a^2+b^2$, iar $z-\bar{z}=2bi$. Ecuația devine $(a^2+b^2)+2bi=89+16i$.

Partea imaginară: $2b=16$, deci $b=8$. Partea reală: $a^2+64=89$, deci $a^2=25$ și $a=5$ sau $a=-5$. Ecuația are două soluții, $z=5+8i$ și $z=-5+8i$.

Verificare pentru $z=-5+8i$: $z\bar{z}=89$ și $z-\bar{z}=16i$, deci suma este $89+16i$. Ordinea în care am rezolvat contează: partea imaginară conține o singură necunoscută, deci o rezolvi prima, iar valoarea găsită simplifică ecuația părților reale. Observă că soluțiile nu sunt conjugate între ele, ci au aceeași parte imaginară: ecuația „fixează” partea imaginară, iar produsul lasă semnul părții reale liber.

Exemplul 5 — Două emițătoare pe aceeași frecvență

La antena unui receptor ajung simultan semnalele a două emițătoare de aceeași frecvență, cu componentele scrise ca numerele complexe $s_1=9-i$ și $s_2=-4+i$ (în unități arbitrare). a) Calculați puterea fiecărui semnal, luat separat, ca $s\bar{s}$. b) Calculați termenul încrucișat și puterea semnalului recepționat.

Rezolvare. a) $s_1{\bar{s}}_1=(9-i)(9+i)=81+1=82$ și $s_2{\bar{s}}_2=(-4+i)(-4-i)=16+1=17$.

b) $s_1{\bar{s}}_2=(9-i)(-4-i)=-36-9i+4i+i^2=-37-5i$, iar ${\bar{s}}_1{s}_2$ este conjugatul lui, $-37+5i$. Termenul încrucișat este suma lor, $-74$. Puterea recepționată este $82+17-74=25$.

Control direct: $s=s_1+s_2=5$, iar $s\bar{s}=25$. Termenul negativ arată că semnalele se slăbesc reciproc: receptorul primește mult mai puțin decât ar sugera suma puterilor, $99$. Componentele $Q$ ale celor două semnale sunt opuse, iar componentele $I$ au semne contrare, așa că semnalele se anulează în bună măsură; dacă ar fi fost exact opuse, receptorul n-ar fi primit nimic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul complex $z=7-9i$. a) Arătați că $z\cdot \bar{z}=130$. b) Arătați că numărul $z+\bar{z}+i(z-\bar{z})$ este natural.

Rezolvare. a) $\bar{z}=7+9i$, deci $z\cdot \bar{z}=(7-9i)(7+9i)=7^2+9^2=49+81=130$.

b) $z+\bar{z}=14$ și $z-\bar{z}=-18i$, deci $i(z-\bar{z})=-18i^2=18$. Numărul cerut este $14+18=32$, număr natural.

La redactare, scrie întâi $\bar{z}$, apoi fiecare paranteză separat, și abia la final suma. Cerința „arătați că este natural” cere și concluzia scrisă explicit: rezultatul $32$ este un număr natural.

Să exersăm

Când ceva trebuie arătat „pentru orice $z$”, încearcă întâi criteriul cu conjugatul; când trebuie aflat un $z$, scrie $z=a+bi$.

1. Scrie conjugatul fiecărui număr: a) $-9-7i$; b) $\frac{2}{3}+5i$; c) $-4i$; d) $11$.

2. Calculează $z\cdot \bar{z}$ pentru: a) $z=-9-8i$; b) $z=4+8i$; c) $z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$.

3. Un număr complex $z$ are $z+\bar{z}=-14$ și $z-\bar{z}=-12i$. Află-l pe $z$.

4. Știind că $(-8-9i{)}^2=-17+144i$, scrie fără niciun calcul valoarea lui $(-8+9i{)}^2$ și justifică.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $z\cdot \bar{z}=25$, atunci $z=5$ sau $z=-5$.

6. Arată că, pentru orice număr complex $z$, numărul $(z+3i)(\bar{z}-3i)$ este real.

7. Arată că, pentru orice număr complex $z$, numărul ${\bar{z}}^2\cdot z-z^2\cdot \bar{z}$ este pur imaginar sau zero.

8. Rezolvă în mulțimea numerelor complexe ecuația $2z+3\bar{z}=-35+7i$.

9. Rezolvă în mulțimea numerelor complexe: a) $\bar{z}=3z$; b) $z+\bar{z}=-8+6i$.

10. (Problemă aplicată.) Două semnale de aceeași frecvență ajung la aceeași antenă, cu componentele scrise ca $s_1=-1-5i$ și $s_2=x+i$, unde $x$ este un număr real (unități arbitrare). a) Scrie termenul încrucișat $s_1{\bar{s}}_2+{\bar{s}}_1{s}_2$ în funcție de $x$. b) Pentru ce valoare a lui $x$ semnalele sunt ortogonale, adică termenul este zero? Ce putere are atunci semnalul recepționat? c) Pentru ce valori ale lui $x$ termenul încrucișat este pozitiv?

11. Arată că, pentru orice număr complex $z$, numărul $z\bar{z}-{\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)}^2$ este pătratul părții imaginare a lui $z$, apoi verifică pe $z=-7+7i$.

12. Un elev calculează conjugatul produsului $z_1{z}_2$, pentru $z_1=-5-4i$ și $z_2=1-8i$, astfel: „$\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1\cdot z_2=(-5+4i)(1-8i)=27+44i$.” Găsește greșeala și scrie rezultatul corect.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul complex $z=-12-4i$. Arătați că $z\cdot \bar{z}=160$ și că $(z-\bar{z}{)}^2=-64$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul complex $z$ pentru care $3z-\bar{z}=-18-24i$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul complex $z=8-7i$. Arătați că $z^2\cdot {\bar{z}}^2=113^2$.

16. Arată că $\overline{(2+i)z}=(2-i)\bar{z}$ pentru orice număr complex $z$ și verifică pe $z=-3-9i$.

17. Rezolvă în mulțimea numerelor complexe ecuația $z\bar{z}-2iz=24-6i$.

18. (Provocare.) a) Găsește toate numerele complexe $z$ pentru care $iz+\bar{z}=8+8i$. b) Arată că ecuația $iz+\bar{z}=8-8i$ nu are soluții.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\overline{-9-7i}=-9+7i$. b) $\overline{\frac{2}{3}+5i}=\frac{2}{3}-5i$. c) $\overline{-4i}=4i$. d) $\overline{11}=11$: partea imaginară a lui $11$ este zero, deci nu are ce să-și schimbe semnul.

2. a) $(-9-8i)(-9+8i)=81+64=145$. b) $(4+8i)(4-8i)=16+64=80$. c) $\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. În fiecare caz, $z\cdot \bar{z}$ este suma pătratelor părților.

3. $z+\bar{z}=2a=-14$, deci $a=-7$; $z-\bar{z}=2bi=-12i$, deci $b=-6$. Așadar $z=-7-6i$.

4. $-8+9i$ este conjugatul lui $-8-9i$, iar conjugatul unui pătrat este pătratul conjugatului. Deci $(-8+9i{)}^2=\overline{-17+144i}=-17-144i$. Verificare: $64-144i-81=-17-144i$.

5. Fals. Pentru $z=5i$ avem $z\cdot \bar{z}=(5i)(-5i)=-25i^2=25$, deși $z$ nu este nici $5$, nici $-5$. Relația $z\cdot \bar{z}=25$ spune doar că $a^2+b^2=25$, ceea ce au multe numere.

6. Conjugatul lui $z+3i$ este $\bar{z}-3i$, deci numărul dat este produsul dintre $w=z+3i$ și $\bar{w}$, adică un număr real, chiar nenegativ. Direct, cu $z=a+bi$: $z+3i=a+(b+3)i$, iar produsul este $a^2+(b+3{)}^2$.

7. Fie $v={\bar{z}}^2\cdot z-z^2\cdot \bar{z}$. Conjugând pe bucăți, $\bar{v}=z^2\cdot \bar{z}-{\bar{z}}^2\cdot z=-v$, deci $v$ este pur imaginar sau zero. Direct: $v=z\bar{z}(\bar{z}-z)=(a^2+b^2)\cdot (-2bi)$, un număr real înmulțit cu $i$.

8. Cu $z=a+bi$: $2(a+bi)+3(a-bi)=5a-bi$. Din $5a=-35$ și $-b=7$ rezultă $a=-7$, $b=-7$, deci $z=-7-7i$. Verificare: $2(-7-7i)+3(-7+7i)=-35+7i$.

9. a) Cu $z=a+bi$: $a-bi=3a+3bi$, deci $2a=0$ și $4b=0$. Singura soluție este $z=0$. b) Membrul stâng, $z+\bar{z}=2a$, este întotdeauna real, iar membrul drept, $-8+6i$, nu este real. Ecuația nu are soluții.

10. a) ${\bar{s}}_2=x-i$, deci $s_1{\bar{s}}_2=(-1-5i)(x-i)=-x+i-5xi+5i^2=(-x-5)+(1-5x)i$. Termenul încrucișat este dublul părții reale: $-2x-10$. b) Termenul este zero pentru $x=-5$, adică $s_2=-5+i$. Atunci puterea recepționată este suma puterilor, $26+26=52$; control: $s_1+s_2=-6-4i$, iar $36+16=52$. c) Termenul este pozitiv când $-2x-10>0$, adică $x<-5$.

11. Cu $z=a+bi$: $z\bar{z}=a^2+b^2$, iar $\frac{z+\bar{z}}{2}=a$. Diferența este $a^2+b^2-a^2=b^2={\left(\mathrm{Im}z\right)}^2$. Pentru $z=-7+7i$: $z\bar{z}=98$, $\frac{z+\bar{z}}{2}=-7$, iar $98-49=49=7^2$.

12. Greșeala: a conjugat doar primul factor. Corect, $\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$. Calculăm $z_1{z}_2=(-5-4i)(1-8i)=-5+40i-4i+32i^2=-37+36i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=-37-36i$.

13. $\bar{z}=-12+4i$, deci $z\cdot \bar{z}=(-12-4i)(-12+4i)=144+16=160$. Apoi $z-\bar{z}=-8i$, iar $(-8i{)}^2=64i^2=-64$.

14. Cu $z=a+bi$: $3(a+bi)-(a-bi)=2a+4bi$. Din $2a=-18$ și $4b=-24$ rezultă $a=-9$, $b=-6$, deci $z=-9-6i$. Verificare: $3(-9-6i)-(-9+6i)=-18-24i$.

15. Înmulțirea este comutativă și asociativă, deci $z^2\cdot {\bar{z}}^2=(z\cdot \bar{z}{)}^2$. Cum $z\cdot \bar{z}=8^2+7^2=64+49=113$, rezultă $z^2\cdot {\bar{z}}^2=113^2$, adică $12769$. Drumul prin $z^2=15-112i$ și ${\bar{z}}^2=15+112i$ dă același rezultat, $225+12544$, dar cu mai multe calcule.

16. Conjugatul produsului este produsul conjugatelor, iar $\overline{2+i}=2-i$, deci $\overline{(2+i)z}=(2-i)\bar{z}$. Pentru $z=-3-9i$: $(2+i)(-3-9i)=-6-18i-3i-9i^2=3-21i$, cu conjugatul $3+21i$; iar $(2-i)(-3+9i)=-6+18i+3i-9i^2=3+21i$.

17. Cu $z=a+bi$: $z\bar{z}=a^2+b^2$, iar $-2iz=-2ai-2b{i}^2=2b-2ai$. Ecuația devine $(a^2+b^2+2b)-2ai=24-6i$. Partea imaginară dă $-2a=-6$, deci $a=3$. Partea reală dă $9+b^2+2b=24$, adică $b^2+2b-15=0$, sau $(b+5)(b-3)=0$, deci $b=3$ sau $b=-5$. Soluțiile sunt $z=3+3i$ și $z=3-5i$. Verificare pentru $z=3-5i$: $z\bar{z}=34$ și $-2iz=-6i+10i^2=-10-6i$, cu suma $24-6i$. Aici partea imaginară a ecuației fixează partea reală a lui $z$.

18. a) Cu $z=a+bi$: $iz+\bar{z}=ai-b+a-bi=(a-b)+(a-b)i$. Egalitatea cu $8+8i$ cere doar $a-b=8$. Soluțiile sunt toate numerele $z=a+(a-8)i$, cu $a$ real, de exemplu $8$, $9+i$ sau $-8i$. b) Partea reală și partea imaginară ale lui $iz+\bar{z}$ sunt mereu egale, iar la $8-8i$ ele diferă, deci ecuația nu are soluții.

De reținut

• Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$, cu aceeași parte reală și cu partea imaginară opusă; $\overline{\bar{z}}=z$.
• $z+\bar{z}=2a$ este real, $z-\bar{z}=2bi$ este pur imaginar sau zero, iar $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$ este real și nenegativ, zero doar pentru $z=0$.
• Conjugatul unei sume, diferențe, produs sau puteri se obține conjugând fiecare număr din expresie; coeficienții reali rămân, iar $\bar{i}=-i$.
• Un număr este real exact când este egal cu conjugatul său și pur imaginar sau zero exact când conjugatul lui este opusul său.
• Ecuațiile în care apar $z$ și $\bar{z}$ se rezolvă scriind $z=a+bi$, identificând părțile și verificând fiecare soluție în relația inițială.

Greșeli frecvente

• Părțile încurcate în $z\pm \bar{z}$. Suma unui număr cu conjugatul lui păstrează partea reală, dublată: $z+\bar{z}=2a$, nu $2b$ și nici $2bi$. Diferența păstrează partea imaginară: $z-\bar{z}=2bi$. Dacă nu ești sigur, scrie cele două numere unul sub altul și adună pe coloane.
• Conjugatul unui număr cu partea imaginară negativă. Pentru $z=-1-9i$, conjugatul este $-1+9i$. Unii elevi citesc mecanic formula $a-bi$, păstrează semnul minus și scriu tot $-1-9i$, uitând că aici $b=-9$. Regula sigură: semnul termenului cu $i$ se schimbă, oricare ar fi el.
• Factorul $2$ uitat la citirea părților. Din $z+\bar{z}=-11$ unii elevi scriu $\mathrm{Re}z=-11$, dar suma dublează partea reală, deci $\mathrm{Re}z=-\frac{11}{2}$. La fel, din $z-\bar{z}=6i$ rezultă $\mathrm{Im}z=3$, nu $6$ și nici $3i$: diferența este $2i$ înmulțit cu partea imaginară.
• Termenul încrucișat luat o singură dată. Suma $s_1{\bar{s}}_2+{\bar{s}}_1{s}_2$ este dublul părții reale a lui $s_1{\bar{s}}_2$, nu partea reală însăși. Cine calculează doar $s_1{\bar{s}}_2$ și îi ia partea reală obține jumătate din termen, iar puterea totală iese greșită.
• Puterile a două semnale adunate direct. Când două semnale de aceeași frecvență se suprapun, puterea rezultantă nu este suma puterilor, ci conține și termenul $s_1{\bar{s}}_2+{\bar{s}}_1{s}_2$, care poate fi pozitiv sau negativ. Se adună componentele, apoi se calculează produsul cu conjugatul.

Aplică acasă

1. Perechi trase la sorți. Scrie pe opt cartonașe câte un număr complex cu părți întregi mici. Un coleg trage două cartonașe; tu calculezi conjugatul produsului lor, el calculează produsul conjugatelor. Comparați rezultatele și, dacă diferă, căutați împreună pasul greșit. Schimbați apoi rolurile și repetați cu suma și cu pătratul unui singur număr.
2. Constelația unui modem. Modulația 16-QAM, folosită în rețelele Wi-Fi, trimite unul dintre cele 16 simboluri $a+bi$, cu $a$ și $b$ din mulțimea $\{-3,-1,1,3\}$. Fă un tabel cu toate simbolurile și calculează pentru fiecare $s\cdot \bar{s}$. Câte valori diferite ale puterii apar și câte simboluri are fiecare? Explică de ce un simbol și conjugatul lui au întotdeauna aceeași putere.
3. Sortarea expresiilor. Scrie pe cartonașe expresiile $z+\bar{z}+7$, $z\bar{z}-1$, $(z-\bar{z}{)}^3$, $z^3+{\bar{z}}^3$ și $i(z+\bar{z})$. Sortează-le, folosind criteriile cu conjugatul, în „mereu reale” și „mereu pur imaginare sau zero”. Verifică apoi sortarea pe un număr ales de tine.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce operația pe care se sprijină restul capitolului: împărțirea, modulul și ecuațiile de gradul al doilea fără soluții reale. Obiectivul de fond nu e calculul lui $\bar{z}$, care e imediat, ci două idei: că $z+\bar{z}$ și $z\cdot \bar{z}$ sunt mereu reale și că proprietățile unui număr se pot demonstra fără să-l calculezi, conjugând o expresie pe bucăți. Un elev care, la Exemplul 2, preferă criteriul drumului cu $a$ și $b$ a înțeles miezul lecției.

Ordinea descoperirii este aleasă pentru elevul de științe: produsul cu conjugatul vine primul, pentru că el dă puterea unui semnal, iar suprapunerea a două semnale apare după ce elevul știe să conjuge o sumă. Contextul semnalelor radio, ales pentru elevii de științe, arată de ce inginerii au nevoie de conjugat: puterea unui semnal scris în componente este produsul dintre numărul complex și conjugatul lui. Nu e nevoie de alte noțiuni: produsul $s\bar{s}$ se calculează direct din componente.

Pentru elevii care confundă criteriile, e util un tabel pe tablă cu trei coloane, $z$, $\bar{z}$ și $-\bar{z}$, completat pentru un număr real, unul pur imaginar și unul oarecare: elevii văd direct în ce coloane apar numere egale.

Întrebări bune de control: „Cât este $z+\bar{z}$ pentru un număr pur imaginar?”; „De ce nu poate fi $z\cdot \bar{z}$ negativ?”; „Cum arăți că ${\bar{z}}^2+z^2$ este real fără să calculezi?”. Ecuațiile de gradul al doilea cu discriminant negativ nu apar aici; ele au lecția lor mai târziu în unitate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește „conjugatul unui număr complex”, iar competența X.CS.2.4 dă ca exemplu „înlocuirea cu $z=a+bi$ și/sau a conjugatului acestuia”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește la clasa a X-a „conjugatul unui număr complex”, alături de forma algebrică și de operații; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Varianta-model din 2026 nu folosește conjugatul: cerința ei despre numere complexe se rezolvă doar cu adunări și înmulțiri. Exercițiile marcate aici sunt create pentru exercițiu.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: conjugatul unui număr complex, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este împărțirea numerelor complexe la M2, iar exercițiile de recapitulare ale unității sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre conjugat?

Varianta M2 nu folosește inducția pentru puteri și nu pleacă de la ecuațiile de gradul al doilea, pe care le lasă lecției lor. În schimb, lucrează mai mult criteriile cu conjugatul, ecuațiile care conțin și produsul $z\bar{z}$, conjugarea pe bucăți ca scurtătură de calcul și un model din telecomunicații, puterea semnalelor și termenul încrucișat.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea conjugatul?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 numește conjugatul unui număr complex la clasa a X-a, deci el poate apărea într-o cerință scurtă despre numere complexe. Varianta-model pentru 2026 nu îl folosește: cerința ei se rezolvă cu adunări și înmulțiri. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

Cum mă ajută conjugatul să verific un calcul?

Pe două căi. Produsul $z\cdot \bar{z}$ trebuie să iasă real și nenegativ: un rezultat negativ sau unul care mai conține $i$ arată un semn greșit. Apoi, conjugatul unei expresii deja calculate îl poți obține și conjugând fiecare număr din ea; dacă cele două drumuri dau rezultate diferite, unul dintre calcule are o greșeală. Controlul costă un rând și prinde cele mai multe greșeli de semn.

De ce folosesc inginerii de telecomunicații conjugatul?

Un simbol radio se scrie ca număr complex, cu două componente, iar puterea lui este produsul dintre număr și conjugatul său, un număr real și nenegativ. Receptorul folosește tot conjugatul ca să compare semnalul primit cu simbolurile posibile și ca să afle cât de mult se influențează două semnale care se suprapun.

De ce conjugarea nu schimbă numerele reale dintr-o expresie?

Pentru că un număr real are partea imaginară zero, iar schimbarea semnului lui zero nu schimbă nimic. Formal, $\bar{k}=k$ pentru orice $k$ real. De aceea, la conjugarea unei expresii, coeficienții reali rămân pe loc și se conjugă doar numerele care conțin $i$, inclusiv $i$ însuși, care devine $-i$.

Cum scriu corect bara conjugatului?

Bara acoperă tot ce se conjugă. ${\bar{z}}_1+z_2$ înseamnă conjugatul lui $z_1$ adunat cu $z_2$, pe când $\overline{z_1+z_2}$ este conjugatul întregii sume. În scris de mână, trage bara exact peste expresia vizată; o bară prea scurtă schimbă sensul și, de cele mai multe ori, rezultatul.