Punctele $$A(3,0,0)$$, $$B(0,4,0)$$, $$C(0,0,6)$$ și $$D(3,4,6)$$:

sunt coplanare numai două câte două

Pentru ce m sunt coplanare patru puncte?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Coplanaritatea a patru puncte

Scrii condiția de coplanaritate și o rezolvi ca ecuație în $m$ : determinantul de ordinul $4$ al punctelor, completat cu o coloană de $1$ , trebuie să fie zero. Exemplu: $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (0, 0, 1)$ și $D (2, m, 3)$ . Scăzând coordonatele lui $A$ din celelalte, determinantul diferențelor iese $m + 4$ , deci $m = - 4$ . Probă: $A$ , $B$ , $C$ se află în planul $x + y + z = 1$ , iar $D (2, - 4, 3)$ dă $2 - 4 + 3 = 1$ .

Orice trei puncte au un plan comun, așa că întrebarea capătă rost abia când apare al patrulea: el ori nimerește pe planul celorlalte, ori rămâne deasupra sau dedesubtul lui. Numim coplanare punctele cărora li se poate găsi un plan comun tuturor.

Hotărârea se ia dintr-un singur număr. Pui coordonatele fiecărui punct pe câte un rând, în ordinea $x$ , $y$ , $z$ , adaugi la dreapta o coloană plină cu $1$ și calculezi determinantul de ordinul $4$ ; coplanaritatea înseamnă exact anularea lui. Coloana aceea de $1$ ține locul termenului liber din ecuația unui plan — scoasă, îți rămâne un determinant de ordinul $3$ , care răspunde la altceva: dacă trei puncte stau într-un plan împreună cu originea.

Calculul se scurtează în două feluri: ori dezvolți după rândul sau coloana cea mai plină de zerouri, ori scazi primul rând din fiecare dintre celelalte, și atunci coloana de $1$ îți dăruiește trei zerouri, lăsând un singur determinant de ordinul $3$ , făcut din diferențe. Ordinea punctelor nu clintește verdictul, fiindcă interschimbarea a două rânduri atinge numai semnul.

Testul are o margine a lui. Zero mai iese și la două puncte identice, și la trei puncte așezate pe o dreaptă, cazuri în care răspunsul nu mai spune nimic despre al patrulea punct. Pentru o figură adevărată, ele se înlătură separat.

De reținut

coplanaritatea înseamnă determinantul de ordinul $4$ (cu coloana de $1$ ) egal cu $0$
scăzând un punct din celelalte rămâne un determinant de ordinul $3$ al diferențelor
trei puncte coliniare fac determinantul nul pentru orice al patrulea punct

Greșeala tipică

Se egalează cu zero determinantul de ordinul $3$ format direct cu coordonatele a trei puncte; acesta verifică dacă ele stau într-un plan cu originea, nu dacă cele patru puncte date sunt coplanare.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ , $C (0, 0, 6)$ și $D (3, 4, 6)$ :
- a) sunt coplanare
- b) nu sunt coplanare
- c) sunt coliniare
- d) sunt coplanare numai două câte două
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu sunt coplanare

Scădem linia lui $A$ din celelalte trei și rămâne determinantul diferențelor $- 3 - 3 0 404066 = - 3 (0 - 24) - 4 (- 18 - 0) + 0 = 72 + 72 = 144$ , nenul, deci determinantul de ordinul $4$ este $- 144 \neq = 0$ : punctele nu se află în același plan, ci sunt vârfurile unui tetraedru. Varianta a) ar cere determinant nul; c) e infirmată chiar de primele trei puncte, care stau pe axe diferite; d) nu spune nimic, fiindcă două puncte, ca de altfel și trei, se află oricum într-un plan comun.
Determină numărul real $m$ pentru care punctele $(1, 2, 0)$ , $(4, 0, 3)$ , $(0, 5, 1)$ și $(4, 7, m)$ sunt coplanare.
- a) $m = 9$
- b) $m = - 9$
- c) $m = 1$
- d) pentru nicio valoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = 9$

Scădem coordonatele primului punct din ale celorlalte trei: $(3, - 2, 3)$ , $(- 1, 3, 1)$ și $(3, 5, m)$ . Determinantul lor este $3 (3 m - 5) + 2 (- m - 3) + 3 (- 5 - 9) = 9 m - 15 - 2 m - 6 - 42 = 7 m - 63$ , iar determinantul de ordinul $4$ este opusul lui, $63 - 7 m$ . Condiția de coplanaritate $63 - 7 m = 0$ dă $m = 9$ . Varianta b) pierde semnul la rezolvarea ecuației; c) rezolvă greșit $7 m = 7$ ; d) ar fi adevărată numai dacă parametrul ar dispărea din determinant, ceea ce nu se întâmplă aici.
Care dintre punctele de mai jos este coplanar cu $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ și $C (0, 0, 4)$ ?
- a) $(1, 1, 1)$
- b) $(2, 0, 0)$
- c) $(0, 1, 1)$
- d) $(2, 1, - 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(2, 1, - 6)$

Scădem coordonatele lui $A$ : $B - A$ dă $(- 1, 2, 0)$ , $C - A$ dă $(- 1, 0, 4)$ , iar pentru un punct $(x, y, z)$ a treia linie este $(x - 1, y, z)$ . Determinantul diferențelor iese $8 x + 4 y + 2 z - 8$ , deci condiția de coplanaritate se scrie $8 x + 4 y + 2 z = 8$ . Varianta a) dă $14$ , b) dă $16$ , c) dă $6$ , iar d) dă $16 + 4 - 12 = 8$ : singurul punct coplanar este $(2, 1, - 6)$ . Se vede și că nu ajunge ca punctul să aibă coordonate „mici" — poziția, nu mărimea, hotărăște.

Întrebări conexe

Ce înseamnă când ecuația în $m$ nu are nicio soluție?

Că al patrulea punct nu ajunge în planul celorlalte trei pentru nicio valoare. Cu $A$ , $B$ , $C$ în planul $x + y + z = 1$ și $D (m, - m, 5)$ , suma coordonatelor lui $D$ este mereu $5$ , deci condiția devine $5 = 1$ , falsă: punctele nu sunt coplanare niciodată.

Ce se întâmplă dacă trei dintre puncte sunt coliniare?

Determinantul iese zero oricare ar fi al patrulea punct, fiindcă printr-o dreaptă și un punct trece mereu un plan. La $(0, 0, 0)$ , $(1, 1, 1)$ , $(2, 2, 2)$ orice punct al patrulea e coplanar cu ele, deci condiția nu mai spune nimic util.

Cum obțin ecuația planului prin trei puncte din același determinant?

Înlocuiești al patrulea punct cu $(x, y, z)$ și ceri ca determinantul să fie nul. Pentru $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (0, 0, 1)$ determinantul diferențelor devine $x + y + z - 1$ , deci planul are ecuația $x + y + z = 1$ .

Cum verific dacă patru atomi ai unei molecule sunt coplanari?

Iei coordonatele atomilor, de exemplu în angstromi, și calculezi determinantul de ordinul $4$ . Zero înseamnă atomi în același plan, cum se întâmplă cu cei șase atomi ai etenei. Un rezultat nenul arată o geometrie în spațiu, ca a celor patru atomi de hidrogen din metan, așezați în vârfurile unui tetraedru.

Ce arată un determinant nenul despre patru puncte?

Că punctele nu sunt coplanare, deci sunt vârfurile unui tetraedru. Mai mult, modulul determinantului împărțit la $6$ este chiar volumul acelui tetraedru, așa că același calcul răspunde la două întrebări.

Pot fi coplanare originea și trei puncte de pe axe?

Pentru $O$ , $(a, 0, 0)$ , $(0, b, 0)$ , $(0, 0, c)$ determinantul diferențelor este $ab c$ . El se anulează doar dacă unul dintre numere e zero, adică dacă un punct coincide cu originea; cu $a$ , $b$ , $c$ nenule, cele patru puncte nu sunt coplanare.

Oamenii mai întreabă și: coplanaritate cu parametru · aflați m astfel încât punctele să fie coplanare · parametrul pentru care patru puncte sunt coplanare · determinant de ordinul 4 egal cu zero cu parametru