Condiția de coplanaritate a patru puncte (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

O masă cu patru picioare se clatină, iar una cu trei nu se clatină niciodată. Explicația nu ține de tâmplărie, ci de geometrie: prin trei puncte trece întotdeauna un plan, în timp ce al patrulea punct cade pe acel plan doar dacă are exact înălțimea potrivită. Întrebarea „sunt cele patru capete în același plan?" apare la fel în montajul unei platforme, în nivelmentul unui teren sau în verificarea unei structuri, iar la clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), ea primește un răspuns dintr-un singur număr. Tema se evaluează la Bacalaureatul M2 din 2030, la proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Trebuie spus cinstit cui folosește lecția acum. Geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, care ajunge la clasa a XII-a în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. În schimb, uneltele de care are nevoie lecția sunt deja ale tale: determinantul de ordinul $4$ și dezvoltarea lui după o linie, învățate la Determinantul de ordinul 4, pe o linie. Programa nouă a ridicat plafonul determinanților de la $3$ la $4$ tocmai pentru cerința din această lecție.

Ce vei învăța

Vei ști să explici ce înseamnă că patru puncte sunt coplanare și de ce întrebarea are sens abia de la al patrulea punct.
Vei ști să scrii determinantul cu coloana de $1$ care decide coplanaritatea și să-l calculezi alegând linia potrivită.
Vei ști să citești verdictul din valoarea determinantului, fără niciun desen.
Vei ști să recunoști cazurile degenerate, în care trei dintre puncte sunt coliniare sau două coincid.
Vei ști să determini un parametru dintr-o condiție de coplanaritate.
Vei ști să folosești criteriul într-un model practic, unde coplanaritatea înseamnă că o suprafață se sprijină corect.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că patru puncte sunt coplanare?

Începe de la ce se știe din geometria sintetică: prin trei puncte necoliniare trece exact un plan. Trei puncte, oricum ar fi alese, se află deci întotdeauna într-un plan comun — dacă sunt necoliniare, planul e unic, iar dacă sunt coliniare, prin dreapta lor trec o infinitate de plane. Întrebarea capătă conținut abia la al patrulea punct: el poate cădea pe planul celorlalte trei sau poate sta în afara lui.

Puncte coplanare sunt puncte pentru care există un plan care le conține pe toate; când un astfel de plan nu există, punctele se numesc necoplanare. Pentru patru puncte dintre care trei sunt necoliniare, condiția se citește simplu: al patrulea punct trebuie să aparțină planului determinat de celelalte trei.

Deosebirea față de plan e instructivă. Acolo întrebarea firească era coliniaritatea a trei puncte, iar criteriul era un determinant de ordinul $3$ — vezi Coliniaritate și dreapta, cu determinant. În spațiu, întrebarea urcă o treaptă: patru puncte, determinant de ordinul $4$ . Tiparul se păstrează: scrii coordonatele punctelor pe linii, adaugi o coloană de $1$ și ceri ca determinantul să fie nul.

2. De ce decide un determinant de ordinul 4?

Motivul stă în forma ecuației unui plan. Orice plan are o ecuație de gradul întâi, $a x + b y + cz + d = 0$ , cu $a$ , $b$ , $c$ nu toate nule — tema de la Ecuația generală a planului. A cere ca patru puncte $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{4}$ să fie coplanare înseamnă a cere să existe numere $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , nu toate nule, care să verifice deodată cele patru egalități obținute înlocuind, pe rând, coordonatele fiecărui punct.

Privește-le ca pe un sistem liniar omogen cu patru ecuații și cu necunoscutele $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Un astfel de sistem are întotdeauna soluția banală, în care toate necunoscutele sunt nule — dar aceea este tocmai soluția interzisă. Sistemul are soluții nebanale exact atunci când determinantul lui este nul, iar acel determinant, transpus, este chiar tabloul coordonatelor cu o coloană de $1$ alături.

$Δ = det x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} z_{1} z_{2} z_{3} z_{4} 1111$

Criteriul. Patru puncte $M_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i})$ , $i \in {1, 2, 3, 4}$ , sunt coplanare dacă și numai dacă $Δ = 0$ ; dacă $Δ \neq = 0$ , ele nu se află în niciun plan comun.

Coloana de $1$ nu e un ornament: ea poartă termenul liber $d$ . Fără ea ai avea un determinant de ordinul $3$ , care răspunde la cu totul altă întrebare — anume dacă cele trei puncte rămase sunt coplanare cu originea. Este greșeala pe care o vom vedea la lucru în exemplul 4.

3. Cum arată calculul pe patru puncte concrete?

Ia punctele $A (0, 0, 3)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (2, 0, 2)$ și $D (3, 1, 0)$ și scrie tabloul cu coordonatele lor pe linii, urmate de coloana de $1$ . Prima linie este $(0, 0, 3, 1)$ și are două zerouri, deci dezvoltarea după ea lasă numai doi termeni în loc de patru — exact economia despre care vorbea lecția de clasa a XI-a.

Minorii de care ai nevoie sunt $Δ_{13} = 4$ , obținut ștergând prima linie și coloana a treia, și $Δ_{14} = 12$ , obținut ștergând prima linie și ultima coloană. Semnele poziției se citesc din tabla care alternează: poziția $(1, 3)$ are $1 + 3 = 4$ , număr par, deci semnul $+$ ; poziția $(1, 4)$ are $1 + 4 = 5$ , număr impar, deci semnul $-$ . Rezultă

$Δ = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 12 = 12 - 12 = 0$

Verdictul se citește imediat: determinantul fiind nul, cele patru puncte sunt coplanare. Observă cât de puțin ai avut de calculat: două determinante de ordinul $3$ , nu patru, fiindcă două dintre elementele primei linii erau zerouri.

4. Ce se schimbă dacă al patrulea punct se mută?

Păstrează primele trei puncte și ridică-l pe ultimul cu o unitate: în locul lui $D$ ia $E (3, 1, 1)$ . Tabloul se schimbă într-un singur loc, dar rezultatul se schimbă cu totul. Dezvoltând tot după prima linie, $(0, 0, 3, 1)$ , minorii devin $Δ_{13} = 4$ și $Δ_{14} = 8$ , deci

$Δ = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 8 = 12 - 8 = 4$

Cum $Δ = 4 \neq = 0$ , punctele $A$ , $B$ , $C$ și $E$ nu sunt coplanare. Ai deci, pe același trio de bază, un caz de fiecare fel; singura deosebire dintre ele este cota ultimului punct. Reține imaginea: planul celor trei puncte este o „sită" prin care al patrulea punct trece sau nu trece, iar determinantul măsoară tocmai cât de mult ratează.

Alegerea liniei după care dezvolți nu schimbă niciodată rezultatul, ci doar munca. Dacă niciuna dintre linii nu are zerouri, privește coloanele: dezvoltarea funcționează identic după ele. Iar dacă nici acolo nu găsești zerouri, treci la subsecțiunea următoare.

5. Cum scurtezi calculul când nu ai niciun zero?

Aici intervine o proprietate a determinanților pe care o știi din clasa a XI-a: scăzând o linie din alta, valoarea determinantului nu se schimbă. Scade prima linie din fiecare dintre celelalte trei. Ultima coloană, formată numai din $1$ , devine atunci $(1, 0, 0, 0)$ — trei zerouri fabricate dintr-o singură operație.

Dezvoltarea după acea coloană lasă un singur termen: un determinant de ordinul $3$ , format din diferențele coordonatelor față de primul punct, luat cu semnul poziției lui. Procedeul nu e o regulă nouă de învățat, ci o aplicare a proprietăților deja cunoscute, iar avantajul lui e că transformă orice tablou de ordinul $4$ într-unul singur de ordinul $3$ . Îți rămâne de decis, de la caz la caz, ce e mai scurt: dezvoltarea directă, când ai zerouri în tablou, sau scăderea liniilor, când nu ai niciunul.

6. Ce se întâmplă când trei dintre puncte sunt coliniare?

Ia punctele $P (1, 0, 1)$ , $Q (3, 2, 3)$ și $R (5, 4, 5)$ . Mergând de la $P$ la $Q$ crești fiecare coordonată cu $2$ , iar de la $Q$ la $R$ tot cu $2$ : cele trei puncte sunt coliniare. Adaugă acum un al patrulea punct oarecare, de pildă $S (0, 0, 7)$ . Determinantul iese $Δ = 0$ , iar verdictul „coplanare" este adevărat — dar nu spune mare lucru.

Explicația e geometrică: prin dreapta lui $P$ , $Q$ , $R$ trec o infinitate de plane, iar printre ele există și unul care îl conține pe $S$ . Coplanaritatea e așadar automată și nu depinde deloc de poziția lui $S$ . La fel se întâmplă când două dintre cele patru puncte coincid: două linii identice anulează determinantul, indiferent de restul.

De aici o regulă de citire a enunțurilor: când un exercițiu cere ca patru puncte să fie vârfurile unui tetraedru, ale unei piramide sau ale unui patrulater propriu-zis, nu e de ajuns $Δ \neq = 0$ , respectiv $Δ = 0$ — trebuie verificat și că punctele sunt distincte și că nicio treime dintre ele nu e coliniară. Determinantul nul răspunde la întrebarea „există un plan care le conține?", nu la întrebarea „ce figură formează?".

7. Unde folosești coplanaritatea într-un model?

Întoarce-te la platforma din deschiderea lecției. Cele patru capete de picior sunt patru puncte din spațiu, iar platforma se sprijină ferm pe toate patru exact atunci când ele sunt coplanare. Dacă nu sunt, structura se reazemă pe trei dintre ele și basculează pe al patrulea, iar determinantul îți spune, printr-un singur număr, cât de departe e de poziția bună.

A doua folosință vine din topografie și din geologie. Patru repere de nivelment măsurate pe un teren descriu o suprafață plană doar dacă sunt coplanare; când nu sunt, terenul are o pantă care se schimbă, deci nu poate fi modelat printr-un singur plan. În ambele cazuri merită reținut un lucru pe care matematica nu-l poate spune singură: măsurătorile reale au erori, așa că un determinant „aproape nul" nu înseamnă coplanaritate, ci doar o abatere mică. Pragul de la care abaterea contează îl fixează inginerul, nu formula, și se exprimă în milimetri, nu în unități de determinant.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Patru puncte coplanare

Arată că punctele $A (0, 4, 0)$ , $B (2, 0, 1)$ , $C (4, 0, 0)$ și $D (0, 2, 1)$ sunt coplanare.

Rezolvare. Scriem tabloul cu coordonatele pe linii și cu coloana de $1$ și dezvoltăm după prima linie, $(0, 4, 0, 1)$ , care are două zerouri. Minorii necesari sunt $Δ_{12} = - 2$ și $Δ_{14} = 8$ , iar semnele poziției sunt $-$ pentru $(1, 2)$ și $-$ pentru $(1, 4)$ , deci complemenții algebrici sunt $2$ și $- 8$ . Obținem $Δ = 4 \cdot 2 + 1 \cdot (- 8) = 8 - 8 = 0$ , deci punctele sunt coplanare.

Exemplul 2 — Patru puncte necoplanare

Stabilește dacă punctele $E (1, 0, 1)$ , $F (3, 1, 0)$ , $G (0, 2, 2)$ și $H (2, 2, 3)$ se află în același plan.

Rezolvare. Dezvoltăm după prima linie, $(1, 0, 1, 1)$ , care are un zero. Minorii sunt $Δ_{11} = 1$ , $Δ_{13} = - 2$ și $Δ_{14} = 10$ , cu semnele poziției $+$ , $+$ și $-$ . Rezultă $Δ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 10 = 1 - 2 - 10 = - 11$ . Cum $Δ = - 11 \neq = 0$ , punctele nu sunt coplanare.

Exemplul 3 — Determinarea unui parametru

Determină numărul real $m$ pentru care punctele $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 2, 0)$ , $C (0, 1, 3)$ și $D (2, 3, m)$ sunt coplanare.

Rezolvare. Determinantul se dezvoltă lăsând pe $m$ la vedere; dezvoltarea dă $Δ = 4 - 4 m$ . Condiția $Δ = 0$ se scrie $4 - 4 m = 0$ , deci $m = 1$ . Verificare: pentru $m = 1$ punctele sunt $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 2, 0)$ , $C (0, 1, 3)$ și $(2, 3, 1)$ , iar recalculând determinantul obținem $Δ = 0$ . Merită observat că $Δ$ este o expresie de gradul întâi în $m$ : așa se întâmplă întotdeauna când parametrul apare într-o singură coordonată a unui singur punct.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev vrea să afle dacă punctele $A (1, 1, 0)$ , $B (0, 1, 1)$ , $C (1, 2, 1)$ și $D (2, 3, 0)$ sunt coplanare și scrie: „calculez determinantul format cu coordonatele primelor trei puncte, obțin zero, deci punctele sunt coplanare." Arată unde greșește și dă răspunsul corect.

Rezolvare. Determinantul de ordinul $3$ format numai cu coordonatele lui $A$ , $B$ , $C$ chiar este nul, dar el răspunde la altă întrebare: spune că $A$ , $B$ , $C$ și originea sunt coplanare, fiindcă acolo lipsește tocmai coloana de $1$ care poartă termenul liber. Al patrulea punct al enunțului nici măcar nu a intrat în calcul. Corect: se scrie tabloul de ordinul $4$ cu toate cele patru puncte, iar dezvoltarea lui dă $Δ = - 1$ . Cum $Δ = - 1 \neq = 0$ , punctele nu sunt coplanare. Semnul că metoda era greșită din start: un criteriu pentru patru puncte nu poate ignora unul dintre ele.

Exemplul 5 — Platforma cu patru picioare

O platformă dreptunghiulară are colțurile deasupra punctelor $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(5, 2)$ și $(0, 2)$ ale podelei, coordonatele fiind în decimetri. Picioarele se termină la înălțimile $0$ , $2$ , $5$ și, respectiv, $3$ decimetri. Stabilește dacă platforma se sprijină pe toate patru picioarele.

Rezolvare. Capetele picioarelor sunt punctele $(0, 0, 0)$ , $(5, 0, 2)$ , $(5, 2, 5)$ și $(0, 2, 3)$ . Calculând determinantul de ordinul $4$ obținem $Δ = 0$ , deci cele patru capete sunt coplanare și platforma se așază ferm pe toate. Observă și o verificare care se face din cap, fără determinant: pentru capetele unui dreptunghi, coplanaritatea înseamnă că suma înălțimilor a două colțuri opuse este egală cu suma celorlalte două, iar aici $0 + 5 = 2 + 3$ . Rezultatul are sens fizic: înălțimile sunt pozitive sau nule, iar platforma stă înclinată, nu orizontală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: proba MAT_P2 nu are încă subiecte publicate, ci numai programa de examen. Am păstrat formatul cu trei cerințe legate, folosit azi la științe ale naturii.)

Se consideră punctele $A (2, 0, 1)$ , $B (0, 2, 3)$ , $C (1, 3, 0)$ și $D (3, 1, 2)$ .

a) Arată că punctele $A$ , $B$ și $C$ nu sunt coliniare.

b) Arată că punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ nu sunt coplanare.

c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $(1, 1, m)$ este coplanar cu $A$ , $B$ și $C$ .

Rezolvare. a) Mergând de la $A$ la $B$ , coordonatele se schimbă cu $- 2$ , $2$ și $2$ ; mergând de la $A$ la $C$ , ele se schimbă cu $- 1$ , $3$ și $- 1$ . Cele două triplete de variații nu sunt proporționale, pentru că din prima pereche ar rezulta raportul $2$ , iar $3 \cdot 2 = 6 \neq = 2$ . Punctele nu sunt deci coliniare și determină un plan.

b) Dezvoltând determinantul de ordinul $4$ format cu cele patru puncte obținem $Δ = 16$ . Cum $Δ = 16 \neq = 0$ , punctele nu se află în același plan.

c) Înlocuim $D$ cu punctul $(1, 1, m)$ și dezvoltăm din nou; rezultă un determinant egal cu $4 m - 8$ . Condiția de coplanaritate $4 m - 8 = 0$ dă $m = 2$ .

Să exersăm

1. Stabilește dacă punctele $(2, 0, 0)$ , $(0, 4, 0)$ , $(0, 0, 1)$ și $(1, 2, 0)$ sunt coplanare.

2. Stabilește dacă punctele $(4, 0, 0)$ , $(0, 4, 0)$ , $(0, 0, 4)$ și $(1, 1, 3)$ sunt coplanare.

3. Stabilește dacă punctele $(1, 1, 0)$ , $(2, 0, 1)$ , $(1, 3, 2)$ și $(3, 1, 4)$ sunt coplanare.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Stabilește dacă punctele $(4, 0, 0)$ , $(0, 1, 4)$ , $(0, 2, 0)$ și $(2, 0, 2)$ sunt coplanare.

5. Stabilește dacă punctele $(2, 3, 0)$ , $(0, 1, 4)$ , $(3, 0, 2)$ și $(1, 2, 1)$ sunt coplanare.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă patru puncte au toate aceeași cotă, atunci ele sunt coplanare.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă determinantul de ordinul $4$ al unor puncte este nul, atunci ele sunt vârfurile unui patrulater.

8. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $(1, 2, 0)$ , $(0, 1, 3)$ , $(1, 3, 3)$ și $(2, 3, m)$ sunt coplanare.

9. Determină numărul real $m$ pentru care punctele $(1, 0, 0)$ , $(0, 2, 1)$ , $(2, 1, 0)$ și $(1, m, 2)$ sunt coplanare.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A (1, 0, 3)$ , $B (3, 2, 1)$ , $C (0, 2, 2)$ și $D (2, 0, 2)$ . a) Arată că $A$ , $B$ , $C$ nu sunt coliniare. b) Calculează determinantul de ordinul $4$ al celor patru puncte. c) Precizează dacă punctele sunt coplanare.

11. Stabilește dacă punctele $(0, 1, 2)$ , $(2, 3, 4)$ , $(4, 5, 6)$ și $(1, 0, 5)$ sunt coplanare și explică de ce răspunsul era previzibil.

12. (Problemă aplicată.) Pe un teren se măsoară patru repere de nivelment, ale căror poziții, în metri, sunt $(0, 0, 0)$ , $(6, 0, 3)$ , $(6, 4, 8)$ și $(0, 4, 5)$ , a treia coordonată fiind altitudinea. Stabilește dacă terenul din dreptunghiul lor poate fi modelat printr-un singur plan și spune ce ar trebui verificat înainte de a trage concluzia în practică.

13. Stabilește dacă punctele $(0, 0, 0)$ , $(1, 2, 1)$ , $(2, 1, 3)$ și $(3, 3, 4)$ sunt coplanare și observă o legătură între coordonatele lor.

14. Stabilește dacă punctele $(2, 1, 1)$ , $(0, 3, 2)$ , $(1, 0, 4)$ și $(4, 2, 0)$ sunt coplanare.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă schimbi între ele două dintre cele patru linii ale tabloului, verdictul de coplanaritate se schimbă.

16. Capetele picioarelor unei platforme se află în punctele $(0, 0, 0)$ , $(5, 0, 2)$ , $(5, 2, 5)$ și $(0, 2, 4)$ , coordonatele fiind în decimetri. Stabilește dacă platforma se sprijină pe toate patru picioarele.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A (0, 3, 0)$ , $B (2, 0, 1)$ și $C (1, 1, 2)$ . a) Arată că $A$ , $B$ , $C$ nu sunt coliniare. b) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $(m, 1, 2)$ este coplanar cu $A$ , $B$ și $C$ .

18. (Provocare.) Determină toate valorile reale ale lui $m$ pentru care punctele $(0, 0, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 3, 2)$ și $(m, m^{2}, 2)$ sunt coplanare.

Răspunsuri și explicații

1. Dezvoltând după prima linie, $(2, 0, 0, 1)$ , care are două zerouri, obținem $Δ = 0$ , deci punctele sunt coplanare.

2. Determinantul este $Δ = - 16$ . Cum $- 16 \neq = 0$ , punctele nu sunt coplanare; ele sunt de fapt vârfurile unui tetraedru.

3. Niciuna dintre linii nu are două zerouri, așa că scădem prima linie din celelalte trei; dezvoltând apoi după ultima coloană obținem $Δ = 0$ , deci punctele sunt coplanare.

4. Determinantul este $Δ = - 8$ , iar $- 8 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coplanare.

5. Determinantul este $Δ = 8$ , iar $8 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coplanare.

6. Adevărat. Fie $k$ cota comună. În tablou, coloana a treia are toate elementele egale cu $k$ , iar ultima le are pe toate egale cu $1$ ; scăzând din coloana a treia coloana de $1$ înmulțită cu $k$ — operație care nu schimbă valoarea determinantului — rămâne o coloană de zerouri, deci $Δ = 0$ . Geometric, cele patru puncte se află la aceeași înălțime față de planul $x O y$ , deci într-un plan paralel cu el; pentru $k = 0$ ele sunt chiar în planul $x O y$ .

7. Fals. Determinantul nul spune doar că punctele au un plan comun, nu și ce figură formează. El se anulează și când două puncte coincid, și când trei dintre ele sunt coliniare — situații în care nu există niciun patrulater. Pentru un patrulater propriu-zis trebuie cerut, în plus, ca punctele să fie distincte și ca nicio treime dintre ele să nu fie coliniară.

8. Dezvoltarea dă $Δ = m + 3$ , iar condiția $m + 3 = 0$ conduce la $m = - 3$ . Pentru această valoare al patrulea punct devine $(2, 3, - 3)$ .

9. Dezvoltarea dă $Δ = 6 - m$ , iar condiția $6 - m = 0$ conduce la $m = 6$ . Pentru această valoare al patrulea punct devine $(1, 6, 2)$ .

10. a) De la $A$ la $B$ variațiile sunt $2$ , $2$ și $- 2$ ; de la $A$ la $C$ ele sunt $- 1$ , $2$ și $- 1$ . Tripletele nu sunt proporționale, deoarece primul raport ar fi $- 2$ , iar $2 \cdot (- 2) = - 4 \neq = 2$ ; punctele nu sunt coliniare. b) Determinantul este $Δ = 4$ . c) Cum $4 \neq = 0$ , punctele nu sunt coplanare.

11. Determinantul este $Δ = 0$ , deci punctele sunt coplanare. Răspunsul era previzibil fiindcă primele trei sunt coliniare: de la fiecare la următorul, toate coordonatele cresc cu $2$ . Prin dreapta lor trec o infinitate de plane, iar unul dintre ele îl conține și pe al patrulea punct, oricare ar fi el.

12. Determinantul celor patru puncte este $Δ = 0$ , deci reperele sunt coplanare și terenul poate fi modelat, în limitele dreptunghiului măsurat, printr-un singur plan. Înainte de a trage concluzia în practică trebuie ținut seama de erorile de măsurare: valorile sunt rotunjite, deci un determinant nul pe hârtie înseamnă doar că abaterea este sub precizia aparatului. Mai trebuie verificat și că între repere nu există denivelări nemăsurate — patru puncte coplanare nu garantează un teren plan.

13. Determinantul este $Δ = 0$ , deci punctele sunt coplanare. Legătura se vede adunând coordonatele: $1 + 2 = 3$ , $2 + 1 = 3$ și $1 + 3 = 4$ , adică al patrulea punct are drept coordonate sumele coordonatelor celui de-al doilea și ale celui de-al treilea. Cele patru puncte sunt vârfurile unui paralelogram, în care $(3, 3, 4)$ este opus originii, iar $(1, 2, 1)$ și $(2, 1, 3)$ sunt cele două vârfuri vecine cu ea.

14. Determinantul este $Δ = - 15$ , iar $- 15 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coplanare.

15. Fals. Schimbarea a două linii între ele schimbă doar semnul determinantului, iar condiția de coplanaritate este $Δ = 0$ , care nu se vede afectată de semn. Verdictul nu depinde așadar de ordinea în care scrii punctele.

16. Determinantul este $Δ = - 10$ , iar $- 10 \neq = 0$ , deci capetele picioarelor nu sunt coplanare și platforma se clatină. Verificarea rapidă confirmă: suma înălțimilor colțurilor opuse ar trebui să fie egală, dar $0 + 5 = 5$ , în timp ce $2 + 4 = 6$ . Piciorul al patrulea este cu un decimetru prea lung.

17. a) De la $A$ la $B$ variațiile sunt $2$ , $- 3$ și $1$ ; de la $A$ la $C$ ele sunt $1$ , $- 2$ și $2$ . Tripletele nu sunt proporționale, deoarece primul raport ar fi $2$ , iar $- 2 \cdot 2 = - 4 \neq = - 3$ ; punctele nu sunt coliniare. b) Dezvoltarea dă $Δ = 4 m - 4$ , iar condiția $4 m - 4 = 0$ conduce la $m = 1$ .

18. Dezvoltând determinantul obținem $Δ = - m^{2} + m + 2$ . Condiția de coplanaritate se scrie $m^{2} - m - 2 = 0$ , ecuație de gradul al doilea cu soluțiile $m = 2$ și $m = - 1$ . Pentru $m = 2$ al patrulea punct este $(2, 4, 2)$ , iar pentru $m = - 1$ el este $(- 1, 1, 2)$ ; în ambele cazuri determinantul se anulează. Parametrul apare aici în două coordonate, de aceea condiția nu mai este de gradul întâi, ca la exercițiile anterioare.

De reținut

Prin trei puncte trece întotdeauna un plan, deci întrebarea despre coplanaritate capătă conținut abia de la al patrulea punct.
Criteriul: patru puncte sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul de ordinul $4$ format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ este nul.
Coloana de $1$ poartă termenul liber al ecuației planului; fără ea, determinantul de ordinul $3$ răspunde la altă întrebare — dacă punctele sunt coplanare cu originea.
Dezvoltă după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri; dacă nu există niciunul, scade prima linie din celelalte și coloana de $1$ îți fabrică trei zerouri.
Determinantul nul se obține și în cazuri degenerate, cu puncte care coincid sau cu trei puncte coliniare; pentru figuri propriu-zise, aceste cazuri se exclud separat.

Greșeli frecvente

Se uită coloana de $1$ . Se scrie un tablou de ordinul $3$ cu coordonatele a trei puncte și se trage o concluzie despre patru. Corect: tabloul are patru linii și patru coloane, iar ultima coloană este formată numai din $1$ ; fără ea nu se testează coplanaritatea, ci altceva.
Se pun coordonatele pe coloane și coloana de $1$ pe o linie. Rezultatul iese alt număr, iar verdictul devine aleatoriu. Corect: fiecare linie conține coordonatele unui punct, în ordinea $x$ , $y$ , $z$ , urmate de $1$ .
Se uită semnul poziției la dezvoltare. Se adună toate produsele dintre elemente și minorii lor. Corect: semnul alternează, fiind $+$ când suma indicilor este pară și $-$ când este impară; se notează lângă fiecare minor în momentul calculării lui.
Se confundă „coplanar" cu „coliniar". Se caută o dreaptă comună în loc de un plan comun. Corect: coliniaritatea privește trei puncte și o dreaptă, coplanaritatea privește patru puncte și un plan; a doua este o condiție mai slabă, satisfăcută automat de orice trei puncte.
Se trage o concluzie despre figură din $Δ = 0$ . Se spune „sunt vârfurile unui patrulater" sau, la $Δ \neq = 0$ , „sunt vârfurile unui tetraedru", fără alte verificări. Corect: la $Δ = 0$ mai trebuie verificat că punctele sunt distincte și că nicio treime nu e coliniară.

Aplică acasă

Masa care se clatină. Ia o masă cu patru picioare și măsoară, cu o riglă, cât de mult se ridică de la podea colțul care basculează. Notează pozițiile celor patru colțuri, luând podeaua drept planul $x O y$ și un colț drept origine, apoi calculează determinantul. Compară semnul și mărimea lui cu ce ai observat cu ochiul și încearcă să spui care picior trebuie scurtat.
Patru colțuri dintr-o cameră. Alege patru puncte de pe pereți despre care bănuiești că sunt la aceeași înălțime — colțuri de tablou, de raft, de pervaz. Estimează-le coordonatele și verifică prin determinant dacă sunt coplanare. Dacă determinantul nu iese zero, estimează cât din abatere vine din măsurătoare și cât dintr-o diferență reală.
Un plan din date. Ia un tabel cu trei mărimi legate între ele dintr-un manual de fizică sau de chimie și alege patru linii din el. Tratează fiecare linie ca pe un punct din spațiu și calculează determinantul. Un rezultat nul arată că cele trei mărimi sunt legate printr-o relație liniară; unul nenul arată că legătura, dacă există, nu este liniară.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: scrierea corectă a tabloului de ordinul $4$ , cu coordonatele pe linii și cu coloana de $1$ la sfârșit; calculul lui prin dezvoltare după linia sau coloana cea mai convenabilă; și citirea verdictului, împreună cu excluderea cazurilor degenerate. Este prima lecție a clasei a XII-a în care un rezultat de algebră, determinantul, răspunde direct la o întrebare de geometrie.

Dificultatea nu stă în calcul, ci în înțelegerea rolului coloanei de $1$ . Elevii care o omit obțin un număr care arată la fel de plauzibil, dar care răspunde la altă întrebare, iar greșeala nu se vede în rezultat. A doua sursă de pierdere de puncte este graba: un determinant de ordinul $4$ dezvoltat după o linie fără zerouri cere patru determinanți de ordinul $3$ , deci patru ocazii de a greși un semn. Obiceiul de a căuta zerouri înainte de a începe calculul valorează mai mult decât exercițiile în plus. Pasul următor al traseului este Volumul tetraedrului, unde același determinant capătă și o măsură, nu doar un verdict.

Întrebări de control: „De ce nu are sens să întrebi dacă trei puncte sunt coplanare?", „Ce rol are coloana de $1$ ?", „Ce se schimbă dacă rescrii punctele în altă ordine?", „De ce $Δ = 0$ nu înseamnă automat patrulater?". Semne că a înțeles: caută zerourile înainte de a alege linia de dezvoltare; verifică necoliniaritatea când enunțul cere o figură; și nu confundă niciodată criteriul de coliniaritate din plan cu cel de coplanaritate din spațiu.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), la unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, conținutul „Condiția de coplanaritate a $4$ puncte". Tot Anexa 28 ridică plafonul determinanților de la ordinul $3$ la ordinul $4$ , exact pentru această cerință. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie. Programa de examen în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) nu conține nici geometria analitică în spațiu, nici determinanți de ordin mai mare decât $3$ , deci toate cerințele de examen din această lecție poartă mențiunea MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că patru puncte sunt coplanare?

Înseamnă că există un plan care le conține pe toate patru. Trei puncte sunt întotdeauna coplanare, fiindcă prin ele trece cel puțin un plan; al patrulea poate cădea pe acel plan sau poate sta în afara lui. Întrebarea despre coplanaritate capătă deci conținut abia de la al patrulea punct încolo.

Cum verifici condiția de coplanaritate a patru puncte?

Scrii un tablou de ordinul $4$ în care fiecare linie conține coordonatele unui punct, în ordinea $x$ , $y$ , $z$ , urmate de $1$ , apoi calculezi determinantul. Punctele sunt coplanare exact atunci când acest determinant este nul. Dacă el este diferit de zero, punctele nu se află în niciun plan comun.

De ce apare coloana de 1 în determinant?

Pentru că ecuația unui plan are forma $a x + b y + cz + d = 0$ , iar termenul liber $d$ se înmulțește cu $1$ în fiecare dintre cele patru condiții de apartenență. Coloana de $1$ este chiar coloana coeficienților lui $d$ . Fără ea ai un determinant de ordinul $3$ , care verifică dacă trei puncte sunt coplanare cu originea, nu dacă patru puncte sunt coplanare între ele.

Ce fac dacă tabloul nu are niciun zero?

Scazi prima linie din fiecare dintre celelalte trei. Valoarea determinantului nu se schimbă, iar ultima coloană devine $(1, 0, 0, 0)$ , deci dezvoltarea după ea lasă un singur determinant de ordinul $3$ , format din diferențele coordonatelor față de primul punct. Este o aplicare a proprietăților determinanților, nu o regulă nouă.

Contează ordinea în care scriu punctele?

Nu. Schimbarea a două linii între ele schimbă numai semnul determinantului, iar condiția de coplanaritate cere ca el să fie nul — condiție care nu depinde de semn. Poți așadar începe cu punctul care are cele mai multe coordonate nule, ca să dezvolți după linia lui și să scurtezi calculul.

Se studiază coplanaritatea a patru puncte și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii; la matematică-informatică geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan, iar condiția de coplanaritate nu apare nicăieri. Pentru comparație, condiția de coliniaritate a trei puncte din plan la mate-info (M1): Coliniaritatea a trei puncte.

La ce subiect apare coplanaritatea la bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit de noi, nu preluat dintr-un model oficial. Pentru sesiunile 2027–2029 tema nu apare, iar determinanții se opresc la ordinul $3$ . Distanțele de care ai nevoie în probleme se calculează ca la Distanța dintre două puncte în spațiu.