Mulțimea soluțiilor în $$\mathbb{C}$$ a ecuației $$16x^2 + 81 = 0$$ este:

$$\left\{-\dfrac{9}{4}i,\ \dfrac{9}{4}i\right\}$$

$$\left\{-\dfrac{81}{16}i,\ \dfrac{81}{16}i\right\}$$

$$\left\{-\dfrac{9}{4},\ \dfrac{9}{4}\right\}$$

Cum scriu soluțiile ecuației x²+20=0 în ℝ și în ℂ?

Ecuația dă x²=-20. În ℝ nicio valoare nu are pătratul negativ, deci S=∅. În ℂ, x=± i √20=± 2i √5. Mulțimea cerută de enunț schimbă răspunsul, iar într-un exercițiu de tip bacalaureat M2 ea trebuie citită atent.

Ce legătură au numerele complexe cu oscilațiile?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Numere cu pătratul negativ

O greutate agățată de un arc și frânată de mediu oscilează exact când ecuația ei caracteristică, de gradul al doilea, nu are rădăcini reale. Exemplu: $r^{2} + 2 r + 10 = 0$ se scrie $(r + 1)^{2} + 9 = 0$ . Pătratul unui număr real nu poate fi $- 9$ , deci rădăcinile nu sunt reale; în $C$ ele sunt $r = - 1 \pm 3 i$ . Partea cu $i$ descrie oscilația, iar $- 1$ arată că amplitudinea scade în timp.

Un număr real ridicat la pătrat dă întotdeauna zero sau un rezultat pozitiv. De aici se vede imediat când o ecuație nu are rădăcini pe axa numerelor: după ce izolezi pătratul, îl găsești egal cu o valoare negativă, sau trinomul se scrie ca un pătrat plus o constantă strict pozitivă, adică parabola are vârful deasupra axei $O x$ și ramurile în sus.

Matematica a construit totuși un număr nou, $i$ , care nu stă pe axă și are proprietatea $i^{2} = - 1$ . Cu el, rădăcina unui număr negativ se scrie $- k = i k$ pentru $k > 0$ , iar o ecuație de tipul $x^{2} = - k$ primește două rezultate opuse, $i k$ și $- i k$ . Le controlezi ridicându-le la pătrat: $(bi)^{2} = - b^{2}$ .

Răspunsul depinde de mulțimea cerută de enunț. În $R$ scrii mulțimea vidă, în $C$ scrii perechea de numere opuse. Într-o problemă din fizică, un pătrat de viteză care iese negativ înseamnă că situația descrisă nu se produce, iar valorile complexe obținute formal nu sunt viteze. Tot din fizică vine o legătură calitativă: o greutate agățată de un arc, într-un mediu care o încetinește, face oscilații numai dacă ecuația de gradul al doilea asociată mișcării nu are rădăcini reale. Istoric, numerele acestea au fost privite cu neîncredere, până când inginerii de la sfârșitul secolului al XIX-lea le-au folosit la curentul alternativ.

De reținut

$i^{2} = - 1$ și $- k = i k$ pentru $k > 0$
$(x - p)^{2} + q = 0$ cu $q > 0$ nu are soluții reale
răspunsul depinde de mulțimea în care se rezolvă: $R$ sau $C$

Greșeala tipică

Se scrie „ecuația nu are soluții” fără a preciza mulțimea; $x^{2} + 20 = 0$ nu are soluții în $R$ , dar are două în $C$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre ecuații nu are soluții reale?
- a) $x^{2} - 17 = 0$
- b) $(x - 17)^{2} = 0$
- c) $x^{2} + 17 = 0$
- d) $17 - x^{2} = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{2} + 17 = 0$

Din $x^{2} + 17 = 0$ rezultă $x^{2} = - 17 < 0$ , imposibil pentru un număr real. Celelalte au soluțiile $\pm 17$ , $17$ , respectiv $\pm 17$ .
Scris cu ajutorul lui $i$ și simplificat, $- 50$ este:
- a) $- 5 i$
- b) $5 i 2$
- c) $25 i 2$
- d) $50 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5 i 2$

$- 50 = i 50 = i 25 \cdot 2 = 5 i 2$ ; verificare: $(5 i 2)^{2} = 25 \cdot 2 \cdot i^{2} = - 50$ .
Mulțimea soluțiilor în $C$ a ecuației $16 x^{2} + 81 = 0$ este:
- a) ${- \frac{9}{4} i, \frac{9}{4} i}$
- b) ${- \frac{81}{16} i, \frac{81}{16} i}$
- c) $\emptyset$
- d) ${- \frac{9}{4}, \frac{9}{4}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${- \frac{9}{4} i, \frac{9}{4} i}$

$x^{2} = - \frac{81}{16}$ , deci $x = \pm \frac{9}{4} i$ . Mulțimea vidă ar fi răspunsul în $R$ , nu în $C$ .

Întrebări conexe

Cum scriu $- 72$ cu ajutorul lui $i$ ?

Pentru un număr pozitiv $k$ , $- k = i k$ . Aici $- 72 = i 72 = i 36 \cdot 2 = 6 i 2$ . Verificare prin ridicare la pătrat: $(6 i 2)^{2} = 36 \cdot 2 \cdot i^{2} = - 72$ . Factorul pătrat perfect, $36$ , se scoate de sub radical exact ca la radicalii obișnuiți.

Cum recunosc fără formule că un trinom nu are rădăcini reale?

Îl scrii ca pătrat plus o constantă. De exemplu, $x^{2} - 6 x + 13 = (x - 3)^{2} + 4$ . Pătratul este cel puțin $0$ , deci trinomul este cel puțin $4$ și nu se anulează pentru niciun $x$ real. Pe grafic, vârful parabolei este $(3, 4)$ , deasupra axei $O x$ .

Ce înseamnă un pătrat de viteză negativ într-o problemă de fizică?

Înseamnă că situația descrisă nu se produce. O minge aruncată vertical cu $4$ m/s ar avea la înălțimea de $1$ m viteza dată de $v^{2} = 16 - 2 \cdot 10 \cdot 1 = - 4$ . Rezultatul negativ arată că mingea nu ajunge la $1$ m; înălțimea ei maximă este $0, 8$ m.

Cât face $(3 i)^{2} - (2 i)^{2}$ ?

Ridici fiecare termen la pătrat folosind $i^{2} = - 1$ : $(3 i)^{2} = 9 i^{2} = - 9$ și $(2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ . Diferența este $- 9 - (- 4) = - 5$ . Rezultatul e un număr real, deși ambele numere de pornire sunt imaginare, pentru că $i$ la pătrat devine real.

Cum scriu soluțiile ecuației $x^{2} + 20 = 0$ în $R$ și în $C$ ?

Ecuația dă $x^{2} = - 20$ . În $R$ nicio valoare nu are pătratul negativ, deci $S = \emptyset$ . În $C$ , $x = \pm i 20 = \pm 2 i 5$ . Mulțimea cerută de enunț schimbă răspunsul, iar într-un exercițiu de tip bacalaureat M2 ea trebuie citită atent.

Oamenii mai întreabă și: numere complexe și oscilații amortizate · de ce oscilează un corp când ecuația nu are soluții reale · oscilații și ecuații fără rădăcini reale · unde apar numerele complexe în fizică