De ce avem nevoie de numere complexe: pe scurt

Ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții reale: pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$. Multă vreme, acest răspuns a fost perfect onorabil — presiunea reală pentru numere noi a venit de la formula ecuației de gradul al treilea (Cardano, del Ferro, Tartaglia): în cazul în care ecuația redusă $x^3=px+q$ are trei soluții reale, formula trece obligatoriu printr-o rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, chiar dacă datele și rezultatul final sunt reale. Bombelli a avut ideea decisivă: calculează mai departe, ca și cum $\sqrt{-1}$ ar fi un număr — cantitățile «imaginare» se anulează reciproc și lasă exact soluția reală căutată.

Unitatea imaginară $i$ e definită prin $i^2=-1$; un număr complex are forma $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, iar mulțimea lor este $\mathbb{C}\supset \mathbb{R}$. Pentru $k>0$, $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ — dar regula $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ nu se aplică la numere negative: $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=2i\cdot 3i=6i^2=-6$, nu $\sqrt{36}=6$. Prima recompensă: $x^2=-k$ are acum soluțiile $x=\pm i\sqrt{k}$. Pierdere: pe $\mathbb{C}$ nu există o relație de ordine compatibilă cu operațiile — nu are sens să scrii $i>0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2+9=0$.

   • a) $x=\pm 3i$
   • b) $x=\pm 3$
   • c) $x=9i$
   • d) $x=\pm \sqrt{3}i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=\pm 3i$

   $x^2=-9$, deci $x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3i$, pentru că $(3i{)}^2=9i^2=-9$ și, la fel, $(-3i{)}^2=-9$.

2. Calculați $\sqrt{-16}\cdot \sqrt{-4}$.

   • a) $8$
   • b) $-8$
   • c) $8i$
   • d) $-8i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-8$

   Se scrie întâi fiecare radical sub forma $bi$: $\sqrt{-16}=4i$, $\sqrt{-4}=2i$, deci produsul este $4i\cdot 2i=8i^2=-8$. Regula $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ nu se aplică aici — ar da greșit $\sqrt{64}=8$.

3. Care dintre următoarele afirmații despre $\mathbb{C}$ este adevărată?

   • a) $i$ este un număr real cu proprietăți speciale.
   • b) Pe $\mathbb{C}$ există o relație de ordine compatibilă cu operațiile, la fel ca pe $\mathbb{R}$.
   • c) Orice ecuație polinomială de grad $n\ge 1$ cu coeficienți compleci are exact $n$ soluții în $\mathbb{C}$.
   • d) Numerele complexe au fost inventate pentru a rezolva $x^2+1=0$.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) Orice ecuație polinomială de grad $n\ge 1$ cu coeficienți compleci are exact $n$ soluții în $\mathbb{C}$.

   Aceasta este teorema fundamentală a algebrei. Celelalte trei sunt false: $\mathbb{C}$ nu are ordine compatibilă cu operațiile, $i$ nu este real, iar motivul istoric real a fost ecuația de gradul al treilea, nu $x^2+1=0$.