De ce avem nevoie de numere complexe (M2, științe ale naturii)

Un vagonet pornește de la baza unei pante cu viteza de $4$ metri pe secundă și urcă fără frecare. Ajunge oare la un prag aflat cu $1$ metru mai sus? Conservarea energiei, cu $g=10$ m/s², spune că pătratul vitezei de pe prag ar fi $v^2=16-20=-4$. Niciun număr real nu are pătratul negativ, deci vagonetul se oprește mai jos și coboară înapoi: răspunsul „nu există o asemenea viteză reală” are un sens fizic limpede. Matematica merge însă mai departe decât fizica și construiește numere al căror pătrat este negativ. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), capitolul de numere complexe începe exact aici: cu ecuațiile care nu au soluții reale și cu numărul nou $i$, ales astfel încât $i^2=-1$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține numerele complexe sub formă algebrică printre temele clasei a X-a; în varianta-model publicată pentru 2026, prima cerință a lucrării este un calcul cu două numere complexe.

În clasa a IX-a ai văzut pe grafic că unele parabole nu ating axa $Ox$, în lecția despre intersecțiile parabolei cu axele la M2. Acum afli ce se întâmplă cu ecuația corespunzătoare atunci când o rezolvăm într-o mulțime mai mare decât $\mathbb{R}$. Lecția aceasta pregătește terenul; scrierea numerelor noi ca $a+bi$ vine în lecția următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să arăți că o ecuație nu are soluții reale folosind faptul că pătratul unui număr real nu este negativ, inclusiv pentru trinoame scrise ca $(x-p{)}^2+q$.
• Vei ști ce este unitatea imaginară $i$ și de ce este definită prin egalitatea $i^2=-1$.
• Vei ști să scrii radicalul unui număr negativ cu ajutorul lui $i$ și să rezolvi în $\mathbb{C}$ ecuațiile de forma $x^2=-k$ și $a{x}^2+c=0$.
• Vei ști să verifici o soluție de forma $bi$ calculând pătratul ei.
• Vei ști să precizezi mulțimea în care rezolvi și să scrii răspunsul corect în fiecare caz.
• Vei ști să interpretezi într-o problemă din fizică faptul că o ecuație nu are soluții reale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce număr are pătratul egal cu −1?

Pentru orice număr real $x$, produsul $x\cdot x$ este pozitiv sau zero: doi factori cu același semn dau un produs pozitiv, iar $0\cdot 0=0$. Prin urmare egalitatea $x^2=-1$ nu poate fi adevărată pentru niciun $x$ din $\mathbb{R}$. Matematicienii nu au încercat să găsească un număr real care să o verifice, ci au adăugat un număr nou.

Unitatea imaginară este numărul notat $i$, definit prin egalitatea $i^2=-1$. Numărul $i$ nu este real: nu are loc pe axa numerelor și nu este nici pozitiv, nici negativ în sensul de pe axă. Cu el se calculează după regulile obișnuite ale algebrei, iar singura regulă nouă este înlocuirea lui $i^2$ cu $-1$ ori de câte ori apare. Mulțimea numerelor construite pornind de la $i$ se notează $\mathbb{C}$ și se numește mulțimea numerelor complexe; ea conține toate numerele reale. Cum arată un număr complex oarecare vei vedea în lecția despre forma algebrică a unui număr complex la M2.

2. Cum recunoști o ecuație fără soluții reale?

Nu trebuie să rezolvi o ecuație ca să afli că nu are soluții reale. Adesea este suficient să o aduci la o formă în care se vede un pătrat. Dacă o ecuație devine $x^2=c$ cu $c<0$, ea nu are soluții reale, pentru că un pătrat nu poate fi negativ. La fel, dacă membrul stâng se scrie $(x-p{)}^2+q$, cu $q>0$, atunci el este cel puțin $q$ pentru orice $x$ real și nu se anulează niciodată.

A doua formă o cunoști din clasa a IX-a: este forma canonică, iar punctul $(p,q)$ este vârful parabolei. Cum ai văzut la semnul funcției de gradul al doilea pe grafic la M2, o parabolă cu ramurile în sus și vârful deasupra axei $Ox$ nu atinge axa; aici folosim doar concluzia, scrisă ca inegalitate.

Atenție la o confuzie des întâlnită: semnul minus scris în ecuație nu decide nimic. Ecuația $x^2-5=0$ are soluții reale, $\pm \sqrt{5}$, deși conține un minus, iar ecuația $-x^2-1=0$ nu are, deși membrul stâng începe tot cu minus. Decide semnul cantității cu care trebuie să fie egal pătratul, după ce l-ai izolat.

3. Cum scrii radicalul unui număr negativ?

Pentru un număr real $k>0$, convenim să scriem

$$\sqrt{-k}=i\sqrt{k}.$$

Convenția este aleasă astfel încât pătratul să fie cel așteptat: ${\left(i\sqrt{k}\right)}^2=i^2\cdot k=-k$. Când $k$ are un factor pătrat perfect, îl scoți de sub radical la fel ca la numerele reale.

Să urmărim drumul pe ecuația $x^2=-18$. Scriem $-18=-(9\cdot 2)$, deci $\sqrt{-18}=i\sqrt{18}=3i\sqrt{2}$. Verificăm: ${\left(3i\sqrt{2}\right)}^2=9\cdot i^2\cdot 2=9\cdot (-1)\cdot 2=-18$. Soluțiile ecuației în $\mathbb{C}$ sunt $x=\pm 3i\sqrt{2}$.

Regula de lucru este deci: izolezi $x^2$, citești numărul negativ $-k$, scrii $\pm i\sqrt{k}$ și simplifici radicalul. Ordinea în care scrii factorii nu contează: $3i\sqrt{2}$, $3\sqrt{2}i$ și $i\cdot 3\sqrt{2}$ sunt același număr. În lecțiile următoare vei vedea că se preferă scrierea cu $i$ la sfârșit, după partea numerică.

4. De ce apar mereu două soluții?

Pentru orice număr real $b$, numerele $bi$ și $-bi$ au același pătrat:

$$(bi{)}^2=b^2{i}^2=-b^2,(-bi{)}^2=b^2{i}^2=-b^2.$$

De aceea, o ecuație $x^2=-k$ cu $k>0$ are în $\mathbb{C}$ două soluții opuse, $i\sqrt{k}$ și $-i\sqrt{k}$, la fel cum $x^2=k$ are în $\mathbb{R}$ soluțiile $\sqrt{k}$ și $-\sqrt{k}$. Pentru $k=0$ rămâne o singură soluție, $x=0$.

Tot de aici vine și metoda de verificare: ca să afli dacă un număr de forma $bi$ este soluție a ecuației $x^2+k=0$, calculezi $(bi{)}^2=-b^2$ și îl compari cu $-k$. Calculul are un singur pas nou, înlocuirea lui $i^2$ cu $-1$. Dacă numărul verificat nu este scris simplificat, de pildă are un factor pătrat perfect sub radical, calculul pătratului îl tratează corect oricum, fără să-l mai simplifici înainte.

5. În ce mulțime rezolvăm ecuația?

Răspunsul la o ecuație depinde de mulțimea în care se caută soluțiile, iar enunțul o precizează. „Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2+7=0$” are răspunsul $S=\varnothing$: nicio soluție reală. „Rezolvați în $\mathbb{C}$ aceeași ecuație” are răspunsul $S=\{-i\sqrt{7},i\sqrt{7}\}$. Ambele răspunsuri sunt corecte, fiecare pentru întrebarea lui.

De aceea scrii mulțimea la începutul rezolvării și o repeți în concluzie. Un răspuns de felul „ecuația nu are soluții” fără precizarea mulțimii este incomplet de îndată ce lucrezi cu numere complexe, iar o soluție imaginară scrisă la o cerință care cere numere reale este o greșeală, nu un plus.

6. De unde vin numerele complexe?

Rădăcinile pătrate din numere negative au apărut în Italia secolului al XVI-lea, la algebriștii care căutau formule pentru ecuațiile de gradul al treilea: calculul trecea prin asemenea rădăcini chiar când soluția finală era un număr real obișnuit. Mult timp au fost privite cu neîncredere. René Descartes le-a numit „imaginare” în 1637, iar numele a rămas. Leonhard Euler a introdus notația $i$ în secolul al XVIII-lea, iar Carl Friedrich Gauss a impus, în 1831, denumirea de „numere complexe”.

Pentru un elev de științe, momentul important vine mai târziu. În 1893, la congresul internațional de electricitate de la Chicago, inginerul Charles Proteus Steinmetz a arătat că rețelele de curent alternativ se calculează mult mai simplu cu numere complexe. De atunci ele fac parte din uneltele obișnuite ale electrotehnicii, ale prelucrării semnalelor și ale fizicii oscilațiilor. Un exemplu de astfel de calcul, pentru un circuit de curent alternativ, vei întâlni în lecția despre împărțirea numerelor complexe la M2.

7. Ce legătură au oscilațiile cu o ecuație fără soluții reale?

Un corp prins de un resort și frânat de aer sau de un lichid se poate mișca în două feluri: fie oscilează în jurul poziției de echilibru, cu amplitudini tot mai mici, fie revine încet la echilibru fără să treacă de el. Fizicienii asociază mișcării o ecuație de gradul al doilea, construită din masa corpului, din constanta resortului și din cât de puternic este frânat. Ecuația o vei întâlni în clasa a XII-a, la ecuațiile diferențiale de ordinul al doilea la M2; aici ne interesează doar concluzia: corpul oscilează exact atunci când ecuația atașată nu are soluții reale.

Pentru un corp de $1$ kilogram, cu resortul de $17$ newtoni pe metru și frânarea de $2$ kilograme pe secundă, ecuația este $r^2+2r+17=0$. Ea se scrie $(r+1{)}^2+16=0$, iar membrul stâng este cel puțin $16$: nu există soluții reale, deci corpul oscilează. Cu o frânare de $9$ kilograme pe secundă și un resort de $8$ newtoni pe metru se obține $r^2+9r+8=0$, adică $(r+1)(r+8)=0$, cu soluțiile reale $-1$ și $-8$: corpul revine fără să oscileze. Figura B compară cele două mișcări, pornite din aceeași poziție și cu aceeași viteză. Soluțiile complexe ale primei ecuații le vei calcula mai târziu în unitate, în lecția M2 despre ecuațiile de gradul al doilea fără soluții reale.

8. Cum se vede pe grafic ecuația x² = −k?

O ecuație de forma $x^2=c$ se poate citi ca întâlnirea a două grafice: parabola $y=x^2$ și dreapta orizontală $y=c$. Metoda o știi din clasa a IX-a, de la ecuațiile rezolvate grafic la M2. Pentru $c>0$, dreapta taie parabola în două puncte simetrice față de axa $Oy$, iar abscisele lor sunt soluțiile reale. Pentru $c=0$, dreapta este chiar axa $Ox$ și atinge parabola doar în origine. Pentru $c<0$, dreapta trece pe sub axa $Ox$, deci pe sub întreaga parabolă, și nu o întâlnește nicăieri. Figura A arată cele două situații pentru dreptele $y=21$ și $y=-21$.

Desenul arată așadar că ecuația nu are soluții reale, dar nu arată soluțiile complexe: numerele $\pm i\sqrt{k}$ nu sunt abscise de puncte din planul $xOy$. Ele există numai în mulțimea mai largă $\mathbb{C}$, iar reprezentarea lor ca puncte se face într-un plan construit altfel, pe care îl vei întâlni mai târziu în unitate. De aceea, pentru soluțiile complexe te bazezi pe calcul, iar graficul îl folosești doar ca să vezi că soluții reale nu există.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două drepte orizontale, două răspunsuri

În figura A sunt desenate parabola $y=x^2$ și dreptele $y=21$ și $y=-21$. a) Citiți pe figură câte soluții reale au ecuațiile $x^2=21$ și $x^2=-21$. b) Scrieți exact soluțiile reale ale primei ecuații și soluțiile în $\mathbb{C}$ ale celei de-a doua.

Rezolvare. a) Dreapta $y=21$ taie parabola în două puncte, simetrice față de axa $Oy$, deci ecuația $x^2=21$ are două soluții reale. Dreapta $y=-21$ trece pe sub axa $Ox$ și nu întâlnește parabola, deci ecuația $x^2=-21$ nu are soluții reale.

b) Din $x^2=21$ rezultă $x=\pm \sqrt{21}$; pe figură, abscisele punctelor marcate sunt aproximativ $-4,6$ și $4,6$. Pentru a doua ecuație, $x^2=-21$, avem $\sqrt{-21}=i\sqrt{21}$, deci în $\mathbb{C}$ soluțiile sunt $x=\pm i\sqrt{21}$. Verificare: ${\left(i\sqrt{21}\right)}^2=21\cdot i^2=-21$. Aceste două numere nu apar pe figură: ele nu sunt abscise de puncte din planul $xOy$, iar existența lor o arată calculul, nu desenul.

Exemplul 2 — Aceeași ecuație, în ℝ și în ℂ

Rezolvați ecuația $25x^2+36=0$ întâi în mulțimea $\mathbb{R}$, apoi în mulțimea $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Izolăm pătratul: $25x^2=-36$, deci $x^2=-\frac{36}{25}$. În $\mathbb{R}$, un pătrat nu poate fi negativ, așa că $S=\varnothing$. În $\mathbb{C}$ folosim convenția pentru radicalul unui număr negativ: $\sqrt{-\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}i$. Soluțiile sunt $x=\pm \frac{6}{5}i$. Verificare: $25\cdot {\left(\frac{6}{5}i\right)}^2+36=25\cdot \frac{36}{25}\cdot i^2+36=-36+36=0$. În $\mathbb{C}$, $S=\left\{-\frac{6}{5}i,\frac{6}{5}i\right\}$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: mulțimea din enunț

Un elev primește cerința „Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2+169=0$” și scrie: „$x^2=-169$, deci $x=\pm 13i$, $S=\{-13i,13i\}$”. Unde a greșit?

Rezolvare. Calculul este corect ca rezolvare în $\mathbb{C}$: $(13i{)}^2=169\cdot i^2=-169$. Greșeala este de lectură a enunțului. Cerința cere soluțiile reale, iar $13i$ și $-13i$ nu sunt numere reale. Răspunsul corect este: pentru orice $x$ real, $x^2+169\ge 169>0$, deci $S=\varnothing$. Dacă enunțul ar fi cerut rezolvarea în $\mathbb{C}$, răspunsul elevului ar fi fost cel bun.

Exemplul 4 — Vagonetul care nu ajunge pe prag

Un vagonet pleacă de la baza unei pante fără frecare cu viteza $v_0=6$ m/s. Se consideră $g=10$ m/s². Viteza la înălțimea $h$ verifică relația $v^2=v_0^2-2gh$. a) Arătați că vagonetul nu ajunge la înălțimea de $2,5$ m. b) Aflați înălțimea maximă la care urcă. c) Ce reprezintă numerele complexe care verifică relația pentru $h=2,5$ m?

Rezolvare. a) Pentru $h=2,5$ m obținem $v^2=36-2\cdot 10\cdot 2,5=36-50=-14$ (m/s)². Niciun număr real nu are pătratul negativ, deci nu există o viteză reală la acea înălțime: vagonetul se oprește înainte.

b) Vagonetul se oprește acolo unde $v=0$, adică $36-20h=0$, deci $h=1,8$ m. Mai sus nu ajunge.

c) Formal, $v^2=-14$ are în $\mathbb{C}$ soluțiile $v=\pm i\sqrt{14}$. Ele nu sunt viteze: o viteză se măsoară cu un număr real. Concluzia fizică rămâne cea de la punctul a), iar calculul în $\mathbb{C}$ nu o schimbă.

Exemplul 5 — Ecuație cu pătratul în ambii membri

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $5x^2+7=2x^2-5$.

Rezolvare. Aducem termenii cu $x^2$ în stânga și numerele în dreapta: $5x^2-2x^2=-5-7$, adică $3x^2=-12$, deci $x^2=-4$. În $\mathbb{R}$ ecuația nu ar avea soluții. În $\mathbb{C}$, $\sqrt{-4}=2i$, deci $x=\pm 2i$. Verificare pentru $x=2i$: membrul stâng este $5\cdot (2i{)}^2+7=5\cdot (-4)+7=-13$, iar membrul drept este $2\cdot (2i{)}^2-5=-8-5=-13$. Pentru $x=-2i$ pătratul este același, deci verificarea este identică. Mulțimea soluțiilor în $\mathbb{C}$ este $S=\{-2i,2i\}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie ecuația $x^2+45=0$. a) Justificați faptul că ecuația nu admite soluții în $\mathbb{R}$. b) Verificați că numărul $3i\sqrt{5}$ este soluție a ecuației în $\mathbb{C}$. c) Determinați mulțimea soluțiilor ecuației în $\mathbb{C}$.

Rezolvare. a) Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+45\ge 45>0$ și membrul stâng nu se anulează.

b) ${\left(3i\sqrt{5}\right)}^2+45=9\cdot i^2\cdot 5+45=-45+45=0$.

c) Numărul opus, $-3i\sqrt{5}$, are același pătrat, deci este și el soluție. Ecuația $x^2=-45$ nu poate avea alte soluții în afara celor două numere opuse care au pătratul $-45$, așa că $S=\{-3i\sqrt{5},3i\sqrt{5}\}$. Cerința este creată pentru antrenament, pe tiparul cerințelor scurte de la începutul lucrării de examen.

Să exersăm

Precizează de fiecare dată mulțimea în care lucrezi. Folosește o singură regulă nouă, $i^2=-1$, și verifică soluțiile prin calculul pătratului.

1. Fără să rezolvi, stabilește care dintre ecuații nu au soluții reale și justifică: a) $x^2+23=0$; b) $(x+4{)}^2-1=0$; c) $-2x^2-7=0$; d) $5-2x^2=0$.

2. Scrie cu ajutorul lui $i$ și simplifică: $\sqrt{-81}$, $\sqrt{-\frac{1}{49}}$, $\sqrt{-20}$, $\sqrt{-1,44}$.

3. Calculează: $(12i{)}^2$, ${\left(-\frac{1}{3}i\right)}^2$, ${\left(i\sqrt{6}\right)}^2$, ${\left(-2i\sqrt{2}\right)}^2$.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$, simplificând radicalul: a) $x^2=-28$; b) $x^2=-75$; c) $x^2=-0,49$.

5. Arată că, oricare ar fi numărul real $p$, ecuația $x^2+p^2+1=0$ nu are soluții reale. Scrie apoi soluțiile ei în $\mathbb{C}$ pentru $p=5$ și pentru $p=6$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $-\frac{5}{3}i$ este soluție a ecuației $9x^2-25=0$.

7. Fie ecuația $x^2+2m-8=0$, cu parametrul real $m$. a) Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația nu are soluții reale? b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$ pentru $m=6$.

8. Verifică dacă numărul $\frac{2}{3}i\sqrt{3}$ este soluție a ecuației $9x^2+12=0$ și scrie și cealaltă soluție a ecuației.

9. Explică de ce ecuația $x^2+|x|+1=0$ nu are soluții reale.

10. (Problemă aplicată.) Două corpuri de câte $1$ kilogram sunt prinse de resorturi și frânate de un lichid. Pentru primul, ecuația atașată mișcării este $r^2+6r+34=0$, iar pentru al doilea $r^2+12r+20=0$. Folosind regula din lecție (corpul oscilează exact când ecuația nu are soluții reale), stabilește care corp oscilează.

11. Numărul $1,5i$ este o soluție a unei ecuații de forma $x^2+c=0$, cu $c$ real. Care este cealaltă soluție și cât este $c$?

12. Află soluțiile în $\mathbb{C}$ ale ecuației $x(x+3)=3x-10$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(3i{)}^2+(4i{)}^2+25=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Aflați valoarea pozitivă a lui $a$, număr real, pentru care numărul $ai$ este soluție a ecuației $x^2+196=0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(i\sqrt{2}\right)}^2\cdot {\left(i\sqrt{8}\right)}^2=16$.

16. Pentru ce numere naturale $k$, cu $0<k<30$, ecuația $x^2+k=0$ are în $\mathbb{C}$ soluții de forma $bi$ cu $b$ număr întreg?

17. Arată că ecuația $(x-1{)}^2+(x+1{)}^2=0$ nu are soluții reale, apoi rezolv-o în $\mathbb{C}$.

18. (Provocare.) Arată, folosind semnul lui $b^2$, că ecuația $x^2=5$ nu are soluții de forma $bi$, cu $b$ real. Ce fel de numere sunt, atunci, soluțiile ei?

Răspunsuri și explicații

1. a) Nu are soluții reale: $x^2=-23<0$. b) Are: $(x+4{)}^2=1$, deci $x=-3$ sau $x=-5$. c) Nu are: $-2x^2=7$ dă $x^2=-\frac{7}{2}<0$. d) Are: $2x^2=5$, deci $x^2=\frac{5}{2}$, un număr pozitiv, iar $x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$. La b) și c) semnul minus din scriere înșală; decide semnul cantității egale cu pătratul.

2. $\sqrt{-81}=9i$; $\sqrt{-\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}i$; $\sqrt{-20}=i\sqrt{20}=2i\sqrt{5}$; $\sqrt{-1,44}=1,2i$.

3. $(12i{)}^2=144i^2=-144$; ${\left(-\frac{1}{3}i\right)}^2=\frac{1}{9}{i}^2=-\frac{1}{9}$; ${\left(i\sqrt{6}\right)}^2=6i^2=-6$; ${\left(-2i\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2\cdot i^2=-8$.

4. a) $\sqrt{-28}=i\sqrt{28}=2i\sqrt{7}$, deci $x=\pm 2i\sqrt{7}$. b) $\sqrt{-75}=5i\sqrt{3}$, deci $x=\pm 5i\sqrt{3}$. c) $\sqrt{-0,49}=0,7i$, deci $x=\pm 0,7i$.

5. Ecuația se scrie $x^2=-(p^2+1)$. Pentru orice $p$ real, $p^2+1\ge 1>0$, deci pătratul lui $x$ ar trebui să fie negativ: nu există soluții reale. Pentru $p=5$: $x^2=-26$, deci $x=\pm i\sqrt{26}$. Pentru $p=6$: $x^2=-37$, deci $x=\pm i\sqrt{37}$.

6. Fals. ${\left(-\frac{5}{3}i\right)}^2=\frac{25}{9}{i}^2=-\frac{25}{9}$, deci $9x^2-25=-25-25=-50\ne 0$. Ecuația $9x^2-25=0$ are soluțiile reale $\pm \frac{5}{3}$, iar numărul $-\frac{5}{3}i$ verifică, în schimb, ecuația $9x^2+25=0$.

7. a) Ecuația se scrie $x^2=8-2m$. Nu are soluții reale exact când $8-2m<0$, adică $m>4$. b) Pentru $m=6$: $x^2=-4$, deci $x=\pm 2i$.

8. ${\left(\frac{2}{3}i\sqrt{3}\right)}^2=\frac{4}{9}\cdot 3\cdot i^2=-\frac{4}{3}$, deci $9\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)+12=-12+12=0$: numărul este soluție. Cealaltă soluție este opusul lui, $-\frac{2}{3}i\sqrt{3}$, care are același pătrat. Coeficientul $9$ din fața lui $x^2$ nu schimbă metoda: calculezi pătratul, îl înmulțești cu $9$ și adaugi $12$.

9. Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$ și $|x|\ge 0$, deci $x^2+|x|+1\ge 1>0$. Membrul stâng nu se anulează.

10. $r^2+6r+34=(r+3{)}^2+25\ge 25>0$: ecuația nu are soluții reale, deci primul corp oscilează. $r^2+12r+20=(r+2)(r+10)$ are soluțiile reale $-2$ și $-10$: al doilea corp revine la echilibru fără să oscileze.

11. Cealaltă soluție este opusa, $-1,5i$. Din $(1,5i{)}^2+c=0$ rezultă $-2,25+c=0$, deci $c=2,25$, iar ecuația este $x^2+2,25=0$.

12. Desfacem paranteza: $x^2+3x=3x-10$, deci $x^2=-10$ și $x=\pm i\sqrt{10}$. Verificare: pentru $x=i\sqrt{10}$, $x^2+3x=-10+3i\sqrt{10}$, egal cu $3x-10$.

13. $(3i{)}^2+(4i{)}^2+25=9i^2+16i^2+25=-9-16+25=0$.

14. $(ai{)}^2+196=-a^2+196=0$, deci $a^2=196$. Cu $a>0$, $a=14$.

15. ${\left(i\sqrt{2}\right)}^2=-2$ și ${\left(i\sqrt{8}\right)}^2=-8$, iar produsul lor este $(-2)\cdot (-8)=16$.

16. Soluțiile sunt $\pm i\sqrt{k}$, deci trebuie ca $\sqrt{k}$ să fie întreg, adică $k$ să fie pătrat perfect. Între $1$ și $29$: $k\in \{1,4,9,16,25\}$, cu soluțiile $\pm i$, $\pm 2i$, $\pm 3i$, $\pm 4i$, $\pm 5i$.

17. O sumă de două pătrate de numere reale este zero numai dacă ambele pătrate sunt zero, adică $x-1$ și $x+1$ să fie zero în același timp, imposibil; deci nu există soluții reale. Desfăcând, $x^2-2x+1+x^2+2x+1=2x^2+2$, iar $2x^2+2=0$ dă $x^2=-1$, deci în $\mathbb{C}$, $S=\{-i,i\}$.

18. Dacă $x=bi$, cu $b$ real, ar fi soluție, atunci $-b^2=5$, adică $b^2=-5$, imposibil, pentru că $b^2\ge 0$. Așadar nicio soluție nu are forma $bi$. Soluțiile ecuației $x^2=5$ sunt numerele reale $\pm \sqrt{5}$.

De reținut

• Pătratul unui număr real nu este negativ, deci o ecuație adusă la $x^2=c$ cu $c<0$ sau la $(x-p{)}^2+q=0$ cu $q>0$ nu are soluții reale.
• Unitatea imaginară $i$ este numărul cu proprietatea $i^2=-1$; ea nu este un număr real.
• Pentru $k>0$: $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$, iar ecuația $x^2=-k$ are în $\mathbb{C}$ două soluții opuse, $\pm i\sqrt{k}$.
• Mulțimea în care rezolvi face parte din răspuns: aceeași ecuație poate avea $S=\varnothing$ în $\mathbb{R}$ și două soluții în $\mathbb{C}$.
• Într-o problemă din științe, lipsa soluțiilor reale este un rezultat fizic, iar soluțiile complexe nu sunt valori ale mărimii măsurate.

Greșeli frecvente

• Păstrezi o singură soluție. Din $x^2=-36$ scrii doar $x=6i$. Numărul $-6i$ are același pătrat, deci ecuația are două soluții opuse.
• Scoți radicalul fără $i$. Scrierea „$\sqrt{-16}=-4$” este greșită: $(-4{)}^2=16$, nu $-16$. Corect: $\sqrt{-16}=4i$.
• Răspunzi „nu are soluții” când cerința este în $\mathbb{C}$. Dacă enunțul spune „rezolvați în $\mathbb{C}$”, răspunsul trebuie să conțină soluțiile complexe, nu mulțimea vidă.
• Decizi după semnul scris în ecuație. Un minus în fața unui termen nu înseamnă „fără soluții reale”; izolează pătratul și uită-te la semnul numărului cu care este egal.
• Iei soluția complexă drept rezultat fizic. O viteză, o lungime sau o masă sunt numere reale; dacă modelul cere pătratul unei mărimi să fie negativ, situația descrisă nu se produce.

Aplică acasă

1. Caută în manualul de fizică trei formule în care apare pătratul unei mărimi, de exemplu $v^2$ în energia cinetică, $I^2$ în puterea disipată de un rezistor sau pătratul alungirii în energia unui resort. Pentru fiecare, scrie ce ar însemna dacă un calcul ți-ar da pentru acel pătrat o valoare negativă și dacă situația descrisă s-ar mai putea produce. Compară apoi cu ce ai văzut la vagonet.
2. Agață un obiect mic de un elastic și trage-l ușor în jos: în aer, el oscilează de câteva ori. Repetă cu obiectul scufundat într-un pahar cu apă, apoi, dacă ai, într-un borcan cu miere. Descrie în scris cum se schimbă mișcarea și leagă observațiile de ideea din secțiunea 7: frânarea puternică poate face ca mișcarea să nu mai fie o oscilație.
3. Scrie pe opt cartonașe câte o ecuație de forma $a{x}^2+c=0$, cu $a$ și $c$ numere întregi nenule alese de tine. Împreună cu un coleg, sortați cartonașele în două grămezi, „are soluții reale” și „are soluții doar în $\mathbb{C}$”, apoi rezolvați-le pe cele din a doua grămadă și verificați fiecare soluție prin calculul pătratului.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de numere complexe a profilului științe ale naturii. Ea nu cere încă operații cu numere complexe: fixează ideea că unele ecuații nu au soluții reale, introduce unitatea imaginară prin egalitatea $i^2=-1$ și exersează un singur tip de calcul, rezolvarea ecuațiilor de forma $x^2=-k$. Merită urmărite trei deprinderi: argumentul „pătratul unui număr real nu este negativ”, folosit corect după izolarea pătratului; scrierea ambelor soluții opuse; precizarea mulțimii în care se rezolvă.

Partea de fizică are rol de motivație. Exemplul cu vagonetul arată că lipsa soluțiilor reale poate avea un înțeles concret, iar secțiunea despre oscilații este doar calitativă: ecuația atașată mișcării apare în programă abia la clasa a XII-a. Întrebări bune de control: „De ce $x^2+45=0$ nu are soluții reale?”; „Cât este $\sqrt{-20}$ scris cu $i$?”; „Ce răspunzi dacă aceeași ecuație se cere în $\mathbb{R}$ și apoi în $\mathbb{C}$?”; „Ce înseamnă pentru vagonet că $v^2$ iese negativ?”.

Dificultatea cea mai frecventă la acest început de capitol nu este calculul, ci neîncrederea: elevii se întreabă dacă un număr care „nu există” pe axă poate fi folosit fără să strice regulile învățate. Merită spus deschis că regulile obișnuite ale algebrei rămân valabile, iar singura noutate este înlocuirea lui $i^2$ cu $-1$. Un exercițiu bun de clasă este verificarea soluțiilor la tablă, cu fiecare pas scris, până când calculul $(bi{)}^2=-b^2$ devine automat. Pentru elevii care au nevoie de sprijin vizual, desenul parabolei $y=x^2$ tăiate de o dreaptă orizontală face legătura cu lectura grafică din clasa a IX-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028. Capitolul X.4 conține „Numere complexe sub forma algebrică, conjugatul unui număr complex, modulul unui număr complex, operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică” și „Rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; ecuații bipătrate”, iar sugestiile metodologice recomandă ca introducerea capitolului să pornească de la ecuația de gradul al doilea fără soluții reale și menționează aplicații la oscilații și la circuite electrice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește la clasa a X-a „Numere complexe sub formă algebrică” și rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model pentru 2026, prima cerință a lucrării cere un calcul cu două numere complexe scrise sub formă algebrică; partea istorică și exemplele din fizică nu sunt materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: nevoia de numere noi, varianta mate-info (M1). Lecțiile următoare ale traseului sunt forma algebrică a unui număr complex la M2 și egalitatea a două numere complexe la M2, iar operațiile încep cu adunarea și scăderea numerelor complexe la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre numere complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre nevoia de numere noi?

Varianta de mate-info urmărește drumul istoric prin ecuația de gradul al treilea, cu formule și demonstrații care nu intră în programa de științe. Varianta M2 pornește de la ecuația de gradul al doilea fără soluții reale, cum recomandă programa, rezolvă în $\mathbb{C}$ doar ecuații de forma $x^2=-k$ și arată ce înseamnă lipsa soluțiilor reale într-o problemă de fizică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea numerele complexe?

Programa pentru 2027–2029 conține numerele complexe sub formă algebrică la clasa a X-a, iar în varianta-model pentru 2026 prima cerință a lucrării este un calcul cu două numere complexe. Nu se poate spune dinainte ce cerință va apărea într-o sesiune. Pentru MAT_P2 din 2030, tema intră în domeniul „Algebră”, printre temele clasei a X-a.

Are sens fizic o soluție complexă?

Nu ca valoare a unei mărimi măsurate: o viteză sau o lungime sunt numere reale. Dacă un model cere ca pătratul unei mărimi să fie negativ, situația nu se produce, cum ai văzut la vagonet. Numerele complexe sunt totuși foarte folosite în fizică și inginerie, ca unealtă de calcul care duce la rezultate reale, de exemplu la oscilații și la curentul alternativ.

De ce nu văd soluțiile complexe pe graficul parabolei?

Pentru că pe axa orizontală a reperului $xOy$ stau numai numere reale, iar un punct de intersecție are ca abscisă un număr real. Soluțiile de forma $\pm i\sqrt{k}$ nu sunt abscise, deci nu apar pe desen. Numerele complexe se pot reprezenta și ele ca puncte, dar într-un plan construit altfel, pe care îl vei studia în lecția despre planul complex la M2.

Pot scrie i ca radical din minus unu?

Scrierea $i=\sqrt{-1}$ apare în multe cărți și este compatibilă cu convenția $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ pentru $k>0$. În calcul te sprijini însă pe proprietatea $i^2=-1$, care definește numărul. Pentru radicalii din numere negative aplici convenția, apoi calculezi cu $i$ ca în exemplele din lecție.

Ce ecuații vei rezolva în mulțimea numerelor complexe la acest profil?

Programa de științe cere să rezolvi în $\mathbb{C}$ ecuațiile de gradul al doilea ai căror coeficienți sunt reali, precum și ecuațiile bipătrate. Aici ai rezolvat cazurile în care lipsește termenul de gradul întâi; cazul general, cu formula soluțiilor, și ecuațiile bipătrate au lecții proprii mai târziu în unitate.