Cărămizile din care e făcut un polinom: pe scurt

Un polinom de grad cel puțin $1$ este ireductibil peste o mulțime $K$ dacă nu poate fi scris ca produs de două polinoame cu coeficienți în $K$, ambele de grad strict mai mic. Răspunsul depinde esențial de $K$: $X^2+1$ e ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar peste $\mathbb{C}$ se rupe în $(X-i)(X+i)$. Peste $\mathbb{C}$, teorema fundamentală a algebrei garantează că singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi: orice polinom se scrie $a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$.

Peste $\mathbb{R}$ situația e diferită, pentru că un polinom cu coeficienți reali verifică $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$, deci rădăcinile complexe nereale apar în perechi conjugate $a\pm bi$. O astfel de pereche se „strânge” într-un factor real de gradul al doilea, $X^2-2aX+(a^2+b^2)$, cu discriminant $\Delta =-4b^2<0$ — ireductibil peste $\mathbb{R}$. Concluzia: factorii ireductibili peste $\mathbb{R}$ au gradul $1$ sau gradul $2$ cu $\Delta <0$, niciodată mai mult. Două consecințe utile: orice polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, iar identități precum diferența de pătrate/cuburi sau trucul lui Sophie Germain ($X^4+4a^4$) descompun rapid polinoame chiar și fără să le cauți rădăcinile.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ a polinomului $X^4-81$?

   • a) $(X-3)(X+3)(X^2+9)$
   • b) $(X-3{)}^2(X+3{)}^2$
   • c) $(X-9)(X+9)(X^2+3)$
   • d) $(X^2-9{)}^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(X-3)(X+3)(X^2+9)$

   $X^4-81=(X^2-9)(X^2+9)=(X-3)(X+3)(X^2+9)$. Trinomul $X^2+9$ are $\Delta =-36<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$ și descompunerea se oprește aici.

2. Care este descompunerea lui $X^3+27$ peste $\mathbb{R}$?

   • a) $(X+3)(X^2+3X+9)$
   • b) $(X+3)(X^2-3X+9)$
   • c) $(X-3)(X^2+3X+9)$
   • d) $(X+3{)}^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(X+3)(X^2-3X+9)$

   Formula sumei de cuburi dă $X^3+27=(X+3)(X^2-3X+9)$. Trinomul are $\Delta =9-36=-27<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$.

3. Descompuneți $X^4+64$ peste $\mathbb{R}$, folosind identitatea lui Sophie Germain.

   • a) $(X^2-8X+8)(X^2+8X+8)$
   • b) $(X^2-4X+16)(X^2+4X+16)$
   • c) $(X^2-4X+8)(X^2+4X+8)$
   • d) $(X^2+8{)}^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(X^2-4X+8)(X^2+4X+8)$

   $X^4+64=X^4+4\cdot 2^4$, deci $a=2$ în identitatea $X^4+4a^4=(X^2-2aX+2a^2)(X^2+2aX+2a^2)$: $(X^2-4X+8)(X^2+4X+8)$. Ambii factori au $\Delta =16-32=-16<0$.