Diagrame arborescente pentru experimente: pe scurt

Într-un experiment cu mai multe etape, fiecare frunză a arborelui este un rezultat posibil, deci $\mathrm{card}(\Omega )$ este numărul frunzelor, iar cazurile favorabile sunt frunzele marcate. Prima întrebare la orice problemă cu urne este cu revenire, fără revenire sau simultan: la o urnă cu $N$ bile din care extragi $2$, cu revenire ai $N\cdot N$ cazuri, fără revenire $N\cdot (N-1)$, iar simultan (fără ordine) $\frac{N(N-1)}{2}=C_N^2$.

Cea mai frecventă greșeală a capitolului este arborele desenat pe categorii (culori, tipuri): frunzele „albă-albă”, „albă-neagră” etc. nu au aceeași „greutate” — o urnă cu $3$ albe și $2$ negre dă, la extragere fără revenire, $6$, $6$, $6$ și, respectiv, $2$ cazuri numerotate, nu $4$ cazuri egale. Remediul: numerotezi obiectele sau scrii numărul de variante pe fiecare ramură și înmulțești de-a lungul drumului. Când arborele are prea multe frunze (de exemplu $6^3=216$ la trei zaruri), desenezi doar primele două niveluri și continui cu produsul. Restricțiile din enunț se traduc prin ramuri tăiate, șterse chiar în timpul construcției. Controlul obligatoriu: suma cazurilor favorabile ale unor evenimente disjuncte care acoperă tot $\Omega$ trebuie să dea exact $\mathrm{card}(\Omega )$.

Exerciții din această mini-lecție

1. O urnă conține $6$ bile ($4$ albe, $2$ negre). Se extrag două bile, una după alta, fără revenire. Câte cazuri posibile există?

   • a) $30$
   • b) $36$
   • c) $15$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $30$

   Fără revenire, prima extragere are $6$ variante, iar a doua doar $5$ (o bilă a rămas afară): $6\cdot 5=30$.

2. Pentru aceeași urnă ($4$ albe, $2$ negre), dacă extragerea se face cu revenire, câte cazuri posibile există?

   • a) $30$
   • b) $36$
   • c) $15$
   • d) $25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $36$

   Cu revenire, la fiecare etapă sunt disponibile toate cele $6$ bile: $6\cdot 6=36$.

3. O urnă are $3$ bile albe și $2$ negre; se extrag două bile fără revenire. Un elev desenează arborele pe culori ($AA$, $AN$, $NA$, $NN$) și spune că sunt $4$ cazuri posibile egal probabile. Ce este greșit?

   • a) Nimic, arborele pe culori dă direct cazurile posibile corecte
   • b) Trebuia desenat arborele cu revenire, nu fără revenire
   • c) Cele patru frunze nu au aceeași greutate; cazurile posibile reale, cu bile numerotate, sunt $20$
   • d) Numărul corect de cazuri posibile este $2$, nu $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) Cele patru frunze nu au aceeași greutate; cazurile posibile reale, cu bile numerotate, sunt $20$

   Numerotând bilele, cazurile posibile sunt $5\cdot 4=20$, repartizate inegal pe cele patru frunze: $AA=6$, $AN=6$, $NA=6$, $NN=2$ (total $20$). Un arbore pe culori tratat ca „$4$ cazuri egale” duce la un răspuns greșit.