Ce reprezintă, pe arborele unui experiment, un nod intermediar (nici rădăcina, nici o frunză)?

evenimentul format din frunzele de sub el

Pentru care experiment frunzele arborelui sunt egal posibile?

se aleg pe rând, fără revenire, două dintre $$5$$ plante numerotate

se alege la întâmplare o cutie dintre două, una cu $$3$$ plăcuțe și alta cu $$5$$, apoi o plăcuță din cutia aleasă

se verifică pe rând siguranțele unui tablou, până se găsește cea arsă

se aleg pe rând două eprubete dintr-un stativ, iar arborele e desenat pe feluri de soluții

Cum număr cazurile pe un arbore pe categorii?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Arbori pentru experimente

Pe fiecare ramură scrii câte obiecte sunt disponibile în acel moment, înmulțești numerele de pe un drum și aduni produsele drumurilor care te interesează. Exemplu: o cutie are $4$ bile roșii și $3$ albastre și se scot două, fără revenire. Drumurile dau $R R$ : $4 \cdot 3 = 12$ , $R A$ : $4 \cdot 3 = 12$ , $A R$ : $3 \cdot 4 = 12$ , $AA$ : $3 \cdot 2 = 6$ , în total $42 = 7 \cdot 6$ . Probabilitatea a două bile de aceeași culoare este $\frac{18}{42} = \frac{3}{7}$ .

Un experiment care se desfășoară în etape se descrie printr-un arbore: fiecare nivel este o etapă, iar drumul de la rădăcină până la un capăt descrie tot ce s-a întâmplat. Capetele sunt rezultatele, deci numărul lor dă $card (Ω)$ ; un nod de la mijloc nu este un rezultat, ci evenimentul format din capetele de sub el.

Evenimente pe arbore. O condiție care privește doar prima etapă cuprinde subarbori întregi. O condiție care privește doar etapa a doua are capete în fiecare subarbore numai când etapele nu depind una de alta.

Etape legate între ele. Dacă ce se poate întâmpla la pasul al doilea ține de ce a ieșit la primul, ramurile se scriu separat sub fiecare nod: etichetele diferă, iar uneori și numărul ramurilor.

Șanse egale? Când arborele urmărește pași deciși pe rând, capetele au aceeași șansă dacă fiecare pas se decide prin tragere la sorți corectă, cu opțiuni la fel de probabile, și din nodurile aceluiași nivel pleacă tot atâtea ramuri; un astfel de arbore care se oprește mai devreme sau are subarbori inegali nu îndeplinește condiția. Dacă elementul se alege direct din mulțime, arborele doar îl numără, iar capetele au aceeași șansă oricum.

Pe categorii. Când obiectele se grupează pe feluri, pe ramuri se scrie câte obiecte sunt disponibile; produsul de pe un drum dă câte rezultate cuprinde capătul lui, iar suma tuturor produselor dă numărul cazurilor posibile.

De reținut

fiecare drum complet este un rezultat; numărul frunzelor este $card (Ω)$
pe un arbore pe categorii, produsul de pe drum dă numărul de cazuri al acelui drum
un eveniment despre prima etapă cuprinde subarbori întregi

Greșeala tipică

Se numără cele patru drumuri $R R$ , $R A$ , $A R$ , $AA$ ca patru cazuri egal posibile și se obține $\frac{2}{4}$ pentru aceeași culoare; drumurile cuprind numere diferite de cazuri, deci corect este $\frac{18}{42} = \frac{3}{7}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce reprezintă, pe arborele unui experiment, un nod intermediar (nici rădăcina, nici o frunză)?
- a) un rezultat al experimentului
- b) evenimentul format din frunzele de sub el
- c) probabilitatea unei etape
- d) numărul total de etape
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) evenimentul format din frunzele de sub el

În acel punct experimentul nu s-a terminat; nodul grupează toate rezultatele care trec prin el, adică frunzele subarborelui său.
Din rădăcina unui arbore uniform pleacă $4$ ramuri, iar din fiecare nod al primului nivel câte $3$ . Un eveniment depinde doar de prima etapă și e realizat de $2$ dintre cele $4$ variante ale ei. Câte frunze are?
- a) $2$
- b) $6$
- c) $8$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Evenimentul cuprinde doi subarbori întregi, fiecare cu $3$ frunze: $2 \cdot 3 = 6$ .
Pentru care experiment frunzele arborelui sunt egal posibile?
- a) se alege la întâmplare o cutie dintre două, una cu $3$ plăcuțe și alta cu $5$ , apoi o plăcuță din cutia aleasă
- b) se aleg pe rând, fără revenire, două dintre $5$ plante numerotate
- c) se verifică pe rând siguranțele unui tablou, până se găsește cea arsă
- d) se aleg pe rând două eprubete dintr-un stativ, iar arborele e desenat pe feluri de soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) se aleg pe rând, fără revenire, două dintre $5$ plante numerotate

La plantele numerotate, din fiecare nod al primului nivel pleacă tot $4$ ramuri, iar alegerile sunt la întâmplare: cele $20$ de frunze au aceeași șansă.

Întrebări conexe

Cum marchez pe arbore un eveniment care privește doar prima etapă?

Iei subarborii întregi care pleacă din variantele potrivite ale primei etape. Dacă prima etapă are $3$ variante, iar din fiecare pleacă $4$ ramuri, un eveniment realizat de $2$ variante ale primei etape cuprinde $2 \cdot 4 = 8$ frunze din cele $12$ .

Când ajunge un tabel în loc de o diagramă arborescentă?

Când experimentul are exact două etape, iar variantele celei de-a doua nu depind de prima: perechile încap într-un tabel cu linii și coloane. Când sunt trei sau mai multe etape, când variantele se schimbă sau când experimentul se poate opri mai devreme, arborele este mai potrivit.

Care este probabilitatea ca a doua bilă scoasă să fie roșie?

Aduni drumurile care se termină cu roșu. Cu $4$ bile roșii și $3$ albastre, fără revenire, $R R$ are $12$ cazuri și $A R$ tot $12$ , deci $\frac{24}{42} = \frac{4}{7}$ , cât pentru prima bilă. Neștiind prima extragere, a doua are aceleași șanse.

Câte frunze are arborele unei rotații de culturi pe trei ani?

Cu $3$ culturi și regula ca aceeași cultură să nu se repete doi ani la rând, primul an are $3$ variante, iar fiecare an următor $2$ , cele diferite de anul precedent. Arborele are $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ frunze, deși etichetele ramurilor se schimbă după cultura din anul precedent.

Ce probabilitate are un drum pe arborele unor extrageri la întâmplare?

Înmulțești probabilitățile de pe ramurile drumului. Pentru $4$ bile roșii și $3$ albastre, drumul „roșu, apoi roșu” are $\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$ , adică $\frac{12}{42}$ , cât dă și numărarea cazurilor.

Oamenii mai întreabă și: arbore pe categorii cu numărul de obiecte pe ramuri · numărarea cazurilor cu diagrama arborescentă · extrageri fără revenire pe arbore · produsele de pe ramurile arborelui