Cum aflu distanța de la un punct la o axă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Distanța în spațiu

Distanța de la $P (x, y, z)$ la o axă este distanța până la proiecția lui pe acea axă, deci sub radical rămân doar pătratele celorlalte două coordonate: la $O x$ este $y^{2} + z^{2}$ , la $O y$ este $x^{2} + z^{2}$ , la $O z$ este $x^{2} + y^{2}$ . Exemplu: pentru $P (3, - 4, 12)$ , distanța la $O z$ este $9 + 16 = 5$ , iar la $O x$ este $16 + 144 = 410$ . Distanța la origine ar fi $13$ .

Ca să măsori depărtarea dintre două puncte, le închizi ca vârfuri opuse într-o cutie cu fețele paralele cu planele reperului și folosești de două ori teorema lui Pitagora: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ . Din care punct scazi nu are însemnătate, de vreme ce diferențele intră ridicate la pătrat.

Obiceiul bun e să ții pătratul lungimii până la ultimul rând și să scoți radicalul o singură dată: cu numere întregi în coordonate, pătratul rămâne întreg, comparațiile se fac fără rotunjiri, iar răspunsul se lasă exact, cu radicalul adus la forma cea mai simplă.

Până la un plan al reperului ai chiar modulul coordonatei absente din numele lui, de vreme ce proiecția o face zero. Până la o axă rămân însă două pătrate sub radical, iar aici apare cea mai deasă greșeală a temei.

Mijlocul unui segment se obține mediind câte două numere, iar centrul de greutate al unui triunghi mediind câte trei; din a doua regulă iese și un vârf necunoscut, dacă înmulțești cu $3$ coordonatele centrului și scazi vârfurile știute. Felul triunghiului se vede din pătratele laturilor lui: două la fel înseamnă isoscel, iar dacă două însumate dau exact al treilea, unghiul drept stă în vârful unde se întâlnesc laturile scurte. Necoliniaritatea se controlează înainte de toate acestea.

De reținut

distanța la axa $O x$ : $y^{2} + z^{2}$ ; la planul $x O y$ : $∣ z ∣$
diagonala paralelipipedului cu dimensiunile $a$ , $b$ , $c$ : $a^{2} + b^{2} + c^{2}$
mijlocul: media coordonatelor; capătul lipsă: $B = 2 M - A$

Greșeala tipică

Pentru distanța la axa $O z$ se ia modulul cotei, $∣ z ∣$ ; acela este distanța la planul $x O y$ , iar distanța la axă este $x^{2} + y^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Distanța dintre punctele $A (1, - 4, 2)$ și $B (3, 6, 13)$ este:
- a) $23$
- b) $15$
- c) $15$
- d) $104$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15$

Lucrăm pe pătrate: $A B^{2} = (3 - 1)^{2} + (6 + 4)^{2} + (13 - 2)^{2} = 4 + 100 + 121 = 225$ , deci $A B = 15$ . Varianta a) adună diferențele, $2 + 10 + 11$ , în loc să adune pătratele lor; c) extrage radicalul din răspunsul deja corect; d) uită al treilea termen al sumei, $121$ .
Distanța de la punctul $M (- 5, 12, 7)$ la axa $O z$ este:
- a) $13$
- b) $7$
- c) $5$
- d) $218$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $13$

Proiecția lui $M$ pe axa $O z$ este $(0, 0, 7)$ , deci în formula distanței rămân două pătrate: $(- 5)^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ , iar distanța este $13$ . Varianta b) ia modulul cotei, adică distanța până la planul $x O y$ , nu până la axă; c) ia modulul abscisei, adică distanța până la planul $y O z$ ; d) păstrează toate trei pătratele, ca și cum s-ar măsura până la origine.
Mijlocul segmentului cu capetele $(- 7, 2, 9)$ și $(3, - 8, - 1)$ este:
- a) $(- 4, - 6, 8)$
- b) $(- 5, 5, 5)$
- c) $(- 2, - 3, 4)$
- d) $(2, 3, - 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- 2, - 3, 4)$

Mijlocul are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $\frac{- 7 + 3}{2} = - 2$ , $\frac{2 - 8}{2} = - 3$ și $\frac{9 - 1}{2} = 4$ , deci punctul $(- 2, - 3, 4)$ . Varianta a) adună fără să împartă la $2$ ; b) folosește semidiferențele în loc de semisume; d) schimbă semnele tuturor coordonatelor. Control: distanța de la mijloc la fiecare capăt are pătratul $25 + 25 + 25 = 75$ , iar pătratul segmentului întreg este $300 = 4 \cdot 75$ .

Întrebări conexe

Cum iese diagonala unui paralelipiped din formula distanței?

Așezi paralelipipedul cu un vârf în origine și muchiile pe semiaxe; vârful opus are coordonatele $(a, b, c)$ . Distanța dintre ele este $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Pentru dimensiunile $2$ , $3$ , $6$ diagonala este $4 + 9 + 36 = 7$ .

Cum aflu mijlocul unui segment în spațiu?

Faci media fiecărei coordonate. Pentru $A (2, - 6, 7)$ și $B (8, 4, - 1)$ , mijlocul este $(\frac{2 + 8}{2}, \frac{- 6 + 4}{2}, \frac{7 - 1}{2}) = (5, - 1, 3)$ . Control: distanțele de la mijloc la cele două capete ies egale, fiecare fiind jumătate din lungimea segmentului.

Cum aflu un capăt al segmentului dacă știu mijlocul?

Din formula mijlocului rezultă $B = 2 M - A$ , coordonată cu coordonată. Pentru $M (1, 2, 3)$ și $A (4, 0, - 1)$ se obține $B (- 2, 4, 7)$ ; verificare: media lui $4$ cu $- 2$ este $1$ , a lui $0$ cu $4$ este $2$ , a lui $- 1$ cu $7$ este $3$ .

Ce lungime are un cablu întins între două colțuri ale unei săli?

Pui originea într-un colț de pe podea și citești coordonatele celuilalt capăt. Un cablu de la $(0, 0, 0)$ la un punct din tavan aflat la $(4, 4, 7)$ , în metri, are lungimea $16 + 16 + 49 = 81 = 9$ m, dacă e întins drept.

Cum arăt că un triunghi din spațiu este isoscel?

Calculezi pătratele laturilor și cauți două egale. Pentru $A (0, 0, 0)$ , $B (3, 4, 0)$ , $C (0, 5, 0)$ : $A B^{2} = 25$ , $A C^{2} = 25$ , $B C^{2} = 9 + 1 = 10$ . Două laturi au lungimea $5$ , deci triunghiul este isoscel, cu baza $B C = 10$ .

Care puncte de pe axa $O x$ sunt la distanța $5$ de $P (1, 3, 4)$ ?

Un punct de pe $O x$ are forma $(t, 0, 0)$ . Condiția $(t - 1)^{2} + 9 + 16 = 25$ dă $(t - 1)^{2} = 0$ , deci $t = 1$ : există un singur punct, $(1, 0, 0)$ . Explicația: distanța lui $P$ la axa $O x$ este chiar $9 + 16 = 5$ .

Oamenii mai întreabă și: distanța de la un punct la axa Ox · distanța unui punct față de o axă de coordonate · distanța punct axă în spațiu · cât de departe e un punct de axa Oz