Distanța dintre două puncte în spațiu (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Într-o hală trebuie întins un cablu de la o priză aflată lângă podea până la un dispozitiv fixat sus, pe peretele opus. Lungimea de cablu nu se citește de pe niciun perete: ea trece pe diagonala încăperii și depinde deodată de lungime, de lățime și de înălțime. La clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2) răspunde la asemenea întrebări cu o singură formulă, obținută aplicând de două ori teorema lui Pitagora și scrisă exclusiv cu coordonatele celor două capete. Tema se evaluează la Bacalaureatul M2 din 2030, la proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Trebuie spus cinstit cui folosește lecția acum. Geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, care ajunge la clasa a XII-a în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Lecția presupune cunoscut doar modul de a așeza un punct în reper, de la Reperul Oxyz: coordonatele unui punct, și adaugă peste el un singur lucru: o formulă care transformă șase numere într-o lungime.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte din spațiu, pornind de la coordonatele lor.
Vei ști să lucrezi cu pătratul distanței până la ultimul pas, ca să nu pierzi exactitatea.
Vei ști să afli distanța de la un punct la fiecare plan de coordonate și la fiecare axă.
Vei ști să determini mijlocul unui segment și centrul de greutate al unui triunghi din spațiu.
Vei ști să recunoști natura unui triunghi din lungimile laturilor lui, fără niciun desen.
Vei ști să calculezi muchii, diagonale și apoteme pentru un cub, un paralelipiped sau o piramidă așezate în reper.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se măsoară distanța dintre două puncte din spațiu?

Ia punctele $A (1, - 2, 3)$ și $B (3, 1, 9)$ și construiește cutia cu fețele paralele cu planele de coordonate care le are drept vârfuri opuse. Muchiile ei măsoară diferențele coordonatelor: $3 - 1 = 2$ pe direcția lui $O x$ , $1 - (- 2) = 3$ pe direcția lui $O y$ și $9 - 3 = 6$ pe direcția lui $O z$ . Segmentul $[A B]$ este chiar diagonala acestei cutii.

Drumul până la lungimea lui trece prin două triunghiuri dreptunghice. Întâi, pe fața de jos a cutiei, diagonala $d$ a dreptunghiului cu laturile $2$ și $3$ verifică $d^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 13$ . Apoi, triunghiul format de această diagonală, de muchia verticală de lungime $6$ și de segmentul $[A B]$ este și el dreptunghic, deci $A B^{2} = d^{2} + 6^{2} = 13 + 36 = 49$ , de unde $A B = 7$ . Cele două aplicări ale teoremei lui Pitagora sunt toată demonstrația, iar rezultatul general se scrie dintr-o dată.

Distanța dintre două puncte în spațiu este numărul $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ , unde $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ sunt cele două puncte; formula are sens pentru orice pereche de puncte, iar distanța este nulă doar când punctele coincid.

Ordinea scăderii nu contează, fiindcă fiecare diferență apare la pătrat: $(x_{B} - x_{A})^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2}$ . De aceea nu trebuie să te întrebi niciodată „din care scad".

2. De ce se lucrează cu pătratul distanței?

Pentru că radicalul strică numerele. Dacă scoți radicalul din primul pas, continui cu aproximări și pierzi și exactitatea, și posibilitatea de a compara. Regula de lucru e simplă: calculează $A B^{2}$ , compară pătratele, extrage radicalul o singură dată, la final.

Motivele sunt trei. Întâi, pătratul distanței este mereu un număr întreg când coordonatele sunt întregi, în timp ce distanța, de cele mai multe ori, nu este. Apoi, două segmente sunt egale exact atunci când pătratele lor sunt egale, iar comparația $A B^{2} = B C^{2}$ nu cere nicio extragere de radical. În sfârșit, reciproca teoremei lui Pitagora se scrie direct pe pătrate: dacă $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ , unghiul din $B$ este drept.

Reține și forma exactă a rezultatului. Când $A B^{2}$ nu este pătrat perfect, răspunsul se scrie cu radicalul simplificat, de pildă $68 = 217$ , nu cu zecimale rotunjite: forma exactă e cea cu care poți merge mai departe într-un calcul, fără să pierzi exactitatea pe drum.

3. Cât de departe e un punct de planele de coordonate și de axe?

Aici nu ai nevoie de nicio formulă nouă: distanța de la un punct la un plan de coordonate este chiar distanța până la proiecția lui pe acel plan, iar proiecția se obține anulând o coordonată. Rămâne în calcul un singur termen, deci radicalul dispare.

Distanța de la $M (x, y, z)$ la	Cât este	De ce
planul $y O z$	$∣ x ∣$	proiecția este $(0, y, z)$
planul $x O z$	$∣ y ∣$	proiecția este $(x, 0, z)$
planul $x O y$	$∣ z ∣$	proiecția este $(x, y, 0)$
axa $O z$	$x^{2} + y^{2}$	proiecția este $(0, 0, z)$

Ultimul rând se scrie la fel pentru celelalte două axe: până la $O x$ ai $y^{2} + z^{2}$ , până la $O y$ ai $x^{2} + z^{2}$ . De fiecare dată dispare din sumă chiar coordonata măsurată pe axa aceea, fiindcă ea rămâne neschimbată la proiectare. Nu trebuie ținut minte nimic: se anulează coordonatele potrivite și se aplică formula obișnuită.

Verifică pe punctul $P (6, - 3, 2)$ : distanțele lui la planele $y O z$ , $x O z$ și $x O y$ sunt $6$ , $3$ și $2$ , iar distanța până la axa $O z$ are pătratul $36 + 9 = 45$ , deci este $35$ . Observă că distanța la o axă nu poate fi mai mică decât niciuna dintre cele două distanțe la planele care o conțin — lucru firesc, fiindcă o axă e „mai subțire" decât un plan; egalitate ai doar când punctul se află chiar într-unul dintre acele plane.

4. Cum afli mijlocul unui segment din spațiu?

Regula din plan se mută neschimbată, cu o coordonată în plus: mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Motivul e că, mergând pe segment de la un capăt la celălalt, fiecare coordonată variază uniform, deci la jumătatea drumului fiecare este la jumătatea variației ei.

Pentru capetele $C (- 5, 2, 7)$ și $D (3, - 4, 1)$ , mijlocul are coordonatele $\frac{- 5 + 3}{2} = - 1$ , $\frac{2 - 4}{2} = - 1$ și $\frac{7 + 1}{2} = 4$ , adică punctul $(- 1, - 1, 4)$ . Verificarea se face pe pătrate: distanța de la mijloc la fiecare capăt are pătratul $16 + 9 + 9 = 34$ , iar $C D^{2} = 64 + 36 + 36 = 136 = 4 \cdot 34$ — exact de patru ori mai mare, cum trebuie să fie când o lungime se înjumătățește.

5. Unde se află centrul de greutate al unui triunghi din spațiu?

Trei puncte necoliniare din spațiu determină un triunghi, chiar dacă el nu se așază în niciun plan de coordonate. Centrul lui de greutate se calculează tot printr-o medie, doar că pe trei numere, nu pe două: centrul de greutate al triunghiului $A B C$ are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor celor trei vârfuri.

Pentru triunghiul cu vârfurile $E (2, - 1, 5)$ , $F (- 4, 6, 2)$ și $H (5, 4, - 4)$ obținem $\frac{2 - 4 + 5}{3} = 1$ , $\frac{- 1 + 6 + 4}{3} = 3$ și $\frac{5 + 2 - 4}{3} = 1$ , deci centrul de greutate este $G (1, 3, 1)$ . Formula aceasta se scrie numai cu coordonate: la profilul științe ale naturii programa nouă nu conține calcul vectorial, așa că nu folosim vectori de poziție nici aici, nici mai departe în capitol.

O consecință practică merită reținută: din formulă se poate afla și un vârf necunoscut, dacă se cunosc celelalte două și centrul de greutate. Înmulțești fiecare coordonată a lui $G$ cu $3$ și scazi coordonatele vârfurilor cunoscute.

6. Cum recunoști natura unui triunghi din lungimile laturilor?

Toate informațiile despre forma unui triunghi stau în cele trei pătrate de laturi, iar procedeul are trei pași. Întâi verifici că punctele nu sunt coliniare — altfel nu ai triunghi, ci trei puncte pe o dreaptă. Apoi calculezi $A B^{2}$ , $B C^{2}$ și $A C^{2}$ și le compari între ele: două egale înseamnă triunghi isoscel, trei egale înseamnă echilateral. În sfârșit, verifici dacă suma a două dintre ele este egală cu a treia; dacă da, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în vârful comun celor două laturi mai scurte.

Ordinea în care compari contează mai puțin decât crezi, fiindcă cele trei pătrate se calculează oricum. Merită totuși reținută o regulă de citire: latura cea mai lungă se opune unghiului celui mai mare, deci, dacă vrei să știi unde ar putea fi unghiul drept, îl cauți în vârful opus celei mai mari laturi. Dacă suma celor două pătrate mai mici este mai mare decât al treilea, unghiul acela este ascuțit; dacă este mai mică, unghiul este obtuz. Trei pătrate egale înseamnă triunghi echilateral, caz în care niciun unghi nu poate fi drept.

Rămâne de spus cum verifici necoliniaritatea în spațiu, fiindcă acolo nu mai merge comparația de pante din plan. Cel mai comod control, când ai la îndemână lungimile, este inegalitatea triunghiului: pentru trei puncte distincte, cea mai mare dintre lungimi este strict mai mică decât suma celorlalte două exact atunci când punctele nu sunt coliniare; egalitatea înseamnă că punctul din mijloc se află chiar pe segmentul determinat de celelalte două. Metoda cu determinant, care decide dintr-un singur număr și pentru patru puncte deodată, o vei găsi la Condiția de coplanaritate a patru puncte.

7. La ce folosește distanța în spațiu într-un model?

Întoarce-te la cablul din hală. Alege originea într-un colț de la podea, cu două axe pe muchiile podelei și cu a treia pe verticală; atunci priza și dispozitivul primesc fiecare câte un triplet de numere, iar lungimea minimă de cablu este chiar distanța dintre ele. Dacă rezultatul iese, de pildă, $74$ metri, îl rotunjești în sus la valoarea comercială următoare, pentru că un cablu mai scurt decât diagonala nu ajunge niciodată.

Aici apare și o deosebire pe care modelele o cer explicit: distanța calculată cu formula este cea în linie dreaptă, iar în realitate cablul urmează pereții. Drumul real e mai lung decât diagonala și, de aceea, distanța analitică joacă rolul unei limite inferioare — un reper cu care compari orice traseu adevărat. Aceeași observație se aplică unui robot care se deplasează prin culoarele unui depozit, unui traseu de conductă sau unei legături dintre două puncte de măsurare: formula dă minimul absolut, nu drumul efectiv.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pătratul distanței, apoi radicalul

Calculează distanța dintre punctele $K (2, - 1, 4)$ și $L (6, 3, - 2)$ .

Rezolvare. Lucrăm pe pătrate: $K L^{2} = (6 - 2)^{2} + (3 + 1)^{2} + (- 2 - 4)^{2} = 16 + 16 + 36 = 68$ . Cum $68 = 4 \cdot 17$ , obținem $K L = 217$ . Răspunsul se lasă în această formă exactă; o valoare zecimală ar fi doar o aproximare a lui.

Exemplul 2 — Cubul așezat în reper

Un cub are muchia de lungime $4$ , un vârf în origine și muchiile de acolo pe semiaxele pozitive. Calculează diagonala cubului, diagonala unei fețe și distanța de la origine la centrul cubului.

Rezolvare. Vârful opus originii $O (0, 0, 0)$ este $(4, 4, 4)$ , deci diagonala cubului are pătratul $16 + 16 + 16 = 48$ și lungimea $43$ . Un vârf de pe aceeași față cu originea, opus ei, este $(4, 4, 0)$ , deci diagonala feței are pătratul $16 + 16 = 32$ și lungimea $42$ . Centrul cubului este mijlocul diagonalei, adică $(2, 2, 2)$ , iar distanța de la origine la el are pătratul $4 + 4 + 4 = 12$ și valoarea $23$ — exact jumătate din diagonală, cum era de așteptat.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev calculează distanța dintre $R (1, 3, - 2)$ și $S (5, 0, 4)$ astfel: „adun coordonatele corespunzătoare și obțin $6^{2} + 3^{2} + 2^{2} = 49 = 7$ ." Arată unde greșește și dă răspunsul corect.

Rezolvare. În formula distanței apar diferențele coordonatelor, nu sumele lor; elevul a folosit regula mijlocului, unde într-adevăr se adună. Corect: $R S^{2} = (5 - 1)^{2} + (0 - 3)^{2} + (4 + 2)^{2} = 16 + 9 + 36 = 61$ , deci $R S = 61$ , număr care nu se simplifică. Un control care prinde greșeala pe loc: mută amândouă punctele cu o unitate pe direcția lui $O x$ , adică ia $R^{'} (2, 3, - 2)$ și $S^{'} (6, 0, 4)$ . Segmentul s-a mutat, dar nu și-a schimbat lungimea; cu sume, însă, primul termen devine $(2 + 6)^{2} = 64$ în loc de $36$ , iar rezultatul se schimbă. O formulă care dă alt număr pentru același segment mutat nu poate măsura o lungime — pe când diferențele rămân, toate trei, neschimbate.

Exemplul 4 — Ce fel de triunghi, citit din pătratele laturilor

Arată că punctele $A (2, 1, 3)$ , $B (2, 5, 6)$ și $C (7, 1, 3)$ sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic isoscel.

Rezolvare. Calculăm pătratele laturilor: $A B^{2} = 0 + 16 + 9 = 25$ , $A C^{2} = 25 + 0 + 0 = 25$ și $B C^{2} = 25 + 16 + 9 = 50$ . Din $A B^{2} = A C^{2}$ rezultă $A B = A C = 5$ , deci triunghiul este isoscel; cum $5 + 5 > 52$ , punctele nu sunt coliniare și triunghiul există cu adevărat. Din $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 25 = 50 = B C^{2}$ rezultă, prin reciproca teoremei lui Pitagora, că unghiul din $A$ este drept. Triunghiul este așadar dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $[B C]$ de lungime $52$ .

Exemplul 5 — Mijlocul unei muchii și centrul unei fețe

Reluăm cubul din Exemplul 2 și îi numim vârfurile $O (0, 0, 0)$ , $A (4, 0, 0)$ , $B (4, 4, 0)$ , $C (0, 4, 0)$ pe fața de jos și $O^{'} (0, 0, 4)$ , $A^{'} (4, 0, 4)$ , $B^{'} (4, 4, 4)$ , $C^{'} (0, 4, 4)$ deasupra lor. Fie $M$ mijlocul muchiei $[A A^{'}]$ și $N$ centrul feței $B C C^{'} B^{'}$ . Determină coordonatele lui $M$ și ale lui $N$ , apoi lungimea segmentului $[M N]$ .

Rezolvare. Mijlocul muchiei $[A A^{'}]$ are drept coordonate mediile capetelor: $\frac{4 + 4}{2} = 4$ , $\frac{0 + 0}{2} = 0$ și $\frac{0 + 4}{2} = 2$ , deci $M (4, 0, 2)$ . Centrul unei fețe este mijlocul oricăreia dintre cele două diagonale ale ei; pe $[B C^{'}]$ obținem $\frac{4 + 0}{2} = 2$ , $\frac{4 + 4}{2} = 4$ și $\frac{0 + 4}{2} = 2$ , adică $N (2, 4, 2)$ , iar pe $[C B^{'}]$ ies aceleași trei numere — un control care nu costă nimic. Rămâne lungimea: $M N^{2} = (4 - 2)^{2} + (0 - 4)^{2} + (2 - 2)^{2} = 4 + 16 + 0 = 20$ , deci $M N = 25$ . Dacă ai nevoie și de centrul de greutate al triunghiului $O M N$ , formula mediilor pe trei puncte îl dă dintr-un rând: $(\frac{0 + 4 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3}, \frac{0 + 2 + 2}{3}) = (2, \frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: proba MAT_P2 nu are încă subiecte publicate, ci numai programa de examen. Am păstrat formatul cu trei cerințe legate, folosit azi la științe ale naturii.)

Se consideră punctele $A (- 1, 4, 2)$ , $B (3, 0, 4)$ și $C (1, 2, 6)$ .

a) Calculează lungimea segmentului $[A B]$ .

b) Arată că triunghiul $A B C$ este dreptunghic și precizează în ce vârf se află unghiul drept.

c) Determină centrul de greutate al triunghiului $A B C$ .

Rezolvare. a) Avem $A B^{2} = (3 + 1)^{2} + (0 - 4)^{2} + (4 - 2)^{2} = 16 + 16 + 4 = 36$ , deci $A B = 6$ .

b) Calculăm și celelalte două pătrate: $A C^{2} = (1 + 1)^{2} + (2 - 4)^{2} + (6 - 2)^{2} = 4 + 4 + 16 = 24$ și $B C^{2} = (1 - 3)^{2} + (2 - 0)^{2} + (6 - 4)^{2} = 4 + 4 + 4 = 12$ . Cum $A C^{2} + B C^{2} = 24 + 12 = 36 = A B^{2}$ , unghiul drept se află în vârful $C$ , cel comun laturilor $[A C]$ și $[B C]$ . Punctele nu sunt coliniare, pentru că $26 + 23 > 6$ .

c) Centrul de greutate are coordonatele $\frac{- 1 + 3 + 1}{3} = 1$ , $\frac{4 + 0 + 2}{3} = 2$ și $\frac{2 + 4 + 6}{3} = 4$ , deci este punctul $(1, 2, 4)$ .

Să exersăm

1. Calculează distanța dintre $A (1, 2, 2)$ și $B (3, 5, 8)$ .

2. Calculează distanța dintre $C (- 2, 1, 4)$ și $D (2, 5, 11)$ .

3. Calculează distanța de la origine la punctul $E (6, 6, 7)$ .

4. Calculează distanța dintre $F (3, - 1, 5)$ și $G (- 1, 3, 7)$ .

5. Determină distanțele de la punctul $H (4, - 7, 2)$ la cele trei plane de coordonate.

6. Determină distanța de la punctul $K (3, 4, - 12)$ la axa $O z$ .

7. Determină mijlocul segmentului cu capetele $L (- 6, 3, 8)$ și $M (2, - 5, 4)$ .

8. Determină mijlocul segmentului cu capetele $(5, - 2, 1)$ și $(1, 4, - 3)$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Două puncte diferite pot avea aceleași trei distanțe la cele trei plane de coordonate.

10. Determină centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $(3, 0, - 2)$ , $(- 1, 6, 5)$ și $(4, 3, 0)$ .

11. Două vârfuri ale unui triunghi sunt $(1, - 2, 4)$ și $(5, 3, - 1)$ , iar centrul lui de greutate este $(2, 1, 2)$ . Determină al treilea vârf.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un paralelipiped dreptunghic are un vârf în origine, muchiile pe semiaxele pozitive și dimensiunile $3$ , $4$ și $12$ . a) Scrie coordonatele vârfului opus originii. b) Calculează lungimea diagonalei. c) Calculează distanța de la origine la centrul paralelipipedului.

13. Arată că punctele $A (0, 1, 2)$ , $B (4, 1, 5)$ și $C (0, 5, 5)$ sunt vârfurile unui triunghi isoscel și precizează care este baza.

14. (Problemă aplicată.) Într-un depozit se alege drept origine un colț de la podea, cu axele pe muchii și cu unitatea de un metru. Un robot pornește de la raftul aflat în punctul $(2, 6, 1)$ către brațul de descărcare aflat în $(8, 14, 5)$ . Calculează distanța în linie dreaptă dintre cele două poziții și explică de ce drumul parcurs efectiv de robot este mai lung.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[A B]$ , atunci distanța de la $M$ la planul $x O y$ este media aritmetică a distanțelor de la $A$ și de la $B$ la acel plan.

16. O piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ are vârfurile bazei $A (5, 0, 0)$ , $B (0, 5, 0)$ , $C (- 5, 0, 0)$ , $D (0, - 5, 0)$ și vârful $V (0, 0, 12)$ . Calculează muchia laterală $V A$ și latura bazei $A B$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră punctele $A (- 1, 2, 1)$ și $B (3, 8, 13)$ . a) Calculează $A B$ . b) Determină mijlocul segmentului $[A B]$ . c) Determină numărul real $t$ pentru care punctul $T (1, 5, t)$ este egal depărtat de $A$ și de $B$ .

18. (Provocare.) Se consideră punctul $A (4, - 4, 1)$ . Determină toate punctele axei $O z$ aflate la distanța $9$ de el.

Răspunsuri și explicații

1. $A B^{2} = (3 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2} + (8 - 2)^{2} = 4 + 9 + 36 = 49$ , deci $A B = 7$ .

2. $C D^{2} = (2 + 2)^{2} + (5 - 1)^{2} + (11 - 4)^{2} = 16 + 16 + 49 = 81$ , deci $C D = 9$ .

3. $O E^{2} = 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} = 36 + 36 + 49 = 121$ , deci $O E = 11$ .

4. $F G^{2} = (- 1 - 3)^{2} + (3 + 1)^{2} + (7 - 5)^{2} = 16 + 16 + 4 = 36$ , deci $F G = 6$ .

5. Distanța la planul $y O z$ este $∣ 4 ∣ = 4$ , la planul $x O z$ este $∣ - 7 ∣ = 7$ , iar la planul $x O y$ este $∣ 2 ∣ = 2$ . Fiecare este modulul coordonatei care lipsește din numele planului.

6. Proiecția lui $K$ pe axa $O z$ este $(0, 0, - 12)$ , iar pătratul distanței este $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ , deci distanța este $5$ .

7. Mijlocul are coordonatele $\frac{- 6 + 2}{2} = - 2$ , $\frac{3 - 5}{2} = - 1$ și $\frac{8 + 4}{2} = 6$ , deci este punctul $(- 2, - 1, 6)$ .

8. Mijlocul are coordonatele $\frac{5 + 1}{2} = 3$ , $\frac{- 2 + 4}{2} = 1$ și $\frac{1 - 3}{2} = - 1$ , deci este punctul $(3, 1, - 1)$ .

9. Adevărat. Cele trei distanțe sunt modulele coordonatelor, iar modulul pierde semnul: punctele $(3, 5, 2)$ și $(- 3, 5, 2)$ sunt diferite, dar amândouă se află la distanțele $3$ , $5$ și $2$ de planele $y O z$ , $x O z$ , respectiv $x O y$ . Schimbând independent semnele celor trei coordonate se obțin, în cazul general, opt puncte cu exact același triplet de distanțe.

10. Coordonatele sunt $\frac{3 - 1 + 4}{3} = 2$ , $\frac{0 + 6 + 3}{3} = 3$ și $\frac{- 2 + 5 + 0}{3} = 1$ , deci centrul de greutate este $(2, 3, 1)$ .

11. Suma coordonatelor celor trei vârfuri este de trei ori coordonata corespunzătoare a centrului de greutate. Pe abscise: $3 \cdot 2 - 1 - 5 = 0$ ; pe ordonate: $3 \cdot 1 + 2 - 3 = 2$ ; pe cote: $3 \cdot 2 - 4 + 1 = 3$ . Al treilea vârf este $(0, 2, 3)$ .

12. a) Vârful opus originii este $(3, 4, 12)$ . b) Diagonala are pătratul $9 + 16 + 144 = 169$ , deci lungimea $13$ . c) Centrul este mijlocul diagonalei, adică $(\frac{3}{2}, 2, 6)$ , iar distanța de la origine la el este jumătate din diagonală, adică $\frac{13}{2}$ .

13. $A B^{2} = 16 + 0 + 9 = 25$ , $A C^{2} = 0 + 16 + 9 = 25$ , $B C^{2} = 16 + 16 + 0 = 32$ . Cum $A B = A C = 5$ și $5 + 5 > 42$ , avem un triunghi isoscel cu baza $[B C]$ , de lungime $42$ .

14. Pătratul distanței este $(8 - 2)^{2} + (14 - 6)^{2} + (5 - 1)^{2} = 36 + 64 + 16 = 116$ , deci distanța în linie dreaptă este $229$ metri, ceva mai mult de $10$ metri. Drumul efectiv este mai lung pentru că robotul nu poate traversa rafturile: el merge pe culoare, deci pe segmente paralele cu axele, iar o linie frântă între două puncte este întotdeauna mai lungă decât segmentul care le unește.

15. Fals. Cota mijlocului este media cotelor, dar distanțele sunt modulele lor, iar modulul unei medii nu este media modulelor când cele două cote au semne diferite. Contraexemplu: pentru $A (2, 5, 4)$ și $B (2, 5, - 2)$ mijlocul este $M (2, 5, 1)$ , aflat la distanța $1$ de planul $x O y$ , în timp ce media distanțelor $4$ și $2$ este $3$ . Afirmația este adevărată numai când $A$ și $B$ se află de aceeași parte a planului sau pe el.

16. $V A^{2} = (5 - 0)^{2} + 0 + (0 - 12)^{2} = 25 + 144 = 169$ , deci $V A = 13$ . $A B^{2} = (0 - 5)^{2} + (5 - 0)^{2} + 0 = 25 + 25 = 50$ , deci $A B = 52$ . Toate cele patru muchii laterale au aceeași lungime, pentru că vârfurile bazei sunt la aceeași distanță de axa $O z$ .

17. a) $A B^{2} = (3 + 1)^{2} + (8 - 2)^{2} + (13 - 1)^{2} = 16 + 36 + 144 = 196$ , deci $A B = 14$ . b) Mijlocul are coordonatele $\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , $\frac{2 + 8}{2} = 5$ și $\frac{1 + 13}{2} = 7$ , deci este punctul $(1, 5, 7)$ . c) Din $T A^{2} = T B^{2}$ obținem $4 + 9 + (t - 1)^{2} = 4 + 9 + (t - 13)^{2}$ , deci $(t - 1)^{2} = (t - 13)^{2}$ , adică $- 2 t + 1 = - 26 t + 169$ și $t = 7$ . Punctul găsit este chiar mijlocul de la b), ceea ce era de așteptat.

18. Un punct al axei $O z$ are forma $(0, 0, z)$ , iar condiția se scrie pe pătrate: $16 + 16 + (z - 1)^{2} = 81$ , deci $(z - 1)^{2} = 49$ și $z - 1 = \pm 7$ . Obținem două puncte: $(0, 0, 8)$ și $(0, 0, - 6)$ . Există două soluții pentru că distanța de la $A$ la axa $O z$ are pătratul $32$ , mai mic decât $81$ .

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ , formulă obținută aplicând de două ori teorema lui Pitagora în cutia cu vârfurile opuse $A$ și $B$ .
Lucrează cu $A B^{2}$ până la ultimul pas și lasă rezultatul în formă exactă, cu radicalul simplificat.
Distanța de la un punct la un plan de coordonate este modulul coordonatei care lipsește din numele planului; distanța la o axă cere doar două dintre cele trei pătrate.
Mijlocul unui segment are drept coordonate mediile a două numere, centrul de greutate al unui triunghi mediile a trei.
Natura unui triunghi se citește din cele trei pătrate de laturi: egalități înseamnă isoscel sau echilateral, iar $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ înseamnă unghi drept în $B$ .

Greșeli frecvente

Se calculează distanța până la o axă ca și cum ar fi până la un plan. Pentru distanța de la $M (x, y, z)$ la axa $O z$ se scrie $∣ x ∣$ , adică se anulează o singură coordonată. Corect: până la o axă se anulează două coordonate, deci sub radical rămân două pătrate — până la $O z$ , $x^{2} + y^{2}$ —, în timp ce $∣ x ∣$ singur este distanța până la un plan.
Se uită al treilea termen. Se calculează ca în plan, cu două pătrate, mai ales când una dintre cote este zero. Corect: formula are trei termeni întotdeauna; dacă un termen iese nul, se scrie oricum, ca să se vadă că a fost calculat.
Se confundă cutia de referință cu corpul din enunț. Cutia cu fețele paralele cu planele de coordonate se desenează doar ca să se vadă cele trei diferențe; muchiile ei se trec apoi, din obișnuință, drept laturi ale figurii cerute. Corect: cutia este o unealtă de citit diferențele, iar laturile figurii sunt segmentele numite în enunț.
Se aplică formula pe coordonate exprimate în unități diferite. Într-un model din științe, primele două numere sunt date în metri, iar al treilea în centimetri, și se ridică la pătrat așa cum sunt. Corect: cele trei coordonate se aduc întâi la aceeași unitate, iar rezultatul poartă acea unitate.
Se împarte la trei la mijloc sau la doi la centrul de greutate. Cele două formule se amestecă, mai ales la exercițiile cu vârf necunoscut. Corect: mijlocul lucrează cu două puncte, centrul de greutate cu trei; numără punctele din enunț înainte de a alege numitorul.

Aplică acasă

Diagonala camerei. Măsoară cu ruleta lungimea, lățimea și înălțimea camerei tale, apoi calculează, cu formula distanței, lungimea diagonalei dintre două colțuri opuse. Întinde după aceea un fir între aceleași colțuri și măsoară-l. Compară cele două numere și estimează din ce vine diferența.
Trei puncte pe o scară. Alege trei obiecte aflate la înălțimi diferite într-o cameră, notează-le coordonatele față de un colț și calculează cele trei pătrate de distanțe. Stabilește dacă triunghiul lor este isoscel, dreptunghic sau oarecare, apoi află centrul lui de greutate și spune, aproximativ, în ce loc din cameră ar cădea.
Traseul cel mai scurt. Notează pozițiile a două obiecte din două camere diferite, folosind același colț ca origine. Calculează distanța în linie dreaptă și măsoară apoi drumul real, pe coridor. Raportul dintre cele două numere îți arată cât de „ocolit" e drumul, iar formula îți dă limita pe care niciun traseu n-o poate coborî.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: aplicarea corectă a formulei distanței, cu diferențe și cu toate cele trei pătrate; păstrarea rezultatului în formă exactă, cu radicalul simplificat; și folosirea pătratelor de laturi pentru a decide natura unui triunghi. Se adaugă două formule scurte, mijlocul și centrul de greutate, care revin în aproape toate problemele capitolului.

Dificultatea nu stă în calcul, ci în disciplina lui. Elevii care se împiedică la acest capitol greșesc în trei locuri care se repetă: extrag radicalul prea devreme, uită al treilea termen al sumei sau confundă formula distanței cu cea a mijlocului. Un exercițiu făcut cu voce tare, în care spune ce scade și ce adună, repară mai mult decât cinci exerciții rezolvate în tăcere. Pasul următor al traseului este Condiția de coplanaritate a patru puncte, iar aplicațiile pe corpuri se strâng la Geometrie în spațiu, rezolvată analitic.

Întrebări de control: „De ce nu contează ordinea în care scazi?", „De ce lucrăm cu $A B^{2}$ și nu cu $A B$ ?", „Cum verifici că trei puncte formează un triunghi?", „Care e deosebirea dintre distanța la un plan de coordonate și distanța la o axă?". Semne că a înțeles: nu mai rotunjește pe parcurs, verifică necoliniaritatea înainte de a numi un triunghi și recunoaște dintr-o privire că o sumă de trei pătrate nulă înseamnă puncte care coincid.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), la unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, conținutul „distanța dintre două puncte în spațiu". La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie. Programa de examen în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) conține doar „distanța dintre două puncte în plan", deci varianta spațială nu se cere acolo — motiv pentru care toate exercițiile marcate ca fiind de examen din această lecție poartă mențiunea MAT_P2 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care este formula distanței dintre două puncte în spațiu?

Este $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ . Se obține aplicând de două ori teorema lui Pitagora, întâi pe fața de jos a cutiei cu vârfurile opuse $A$ și $B$ , apoi în triunghiul dreptunghic format cu muchia verticală. Ordinea scăderii nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

De ce se lucrează cu pătratul distanței și nu direct cu distanța?

Pentru că pătratul rămâne număr întreg atunci când coordonatele sunt întregi, iar radicalul se extrage o singură dată, la final. În plus, comparațiile dintre laturi și reciproca teoremei lui Pitagora se scriu direct pe pătrate, fără nicio aproximare. Rotunjirea pe parcurs este cea mai frecventă sursă de răspunsuri false.

Cum afli distanța de la un punct la un plan de coordonate?

Este modulul coordonatei care lipsește din numele planului: până la $x O y$ ai $∣ z ∣$ , până la $x O z$ ai $∣ y ∣$ , până la $y O z$ ai $∣ x ∣$ . Explicația e că proiecția pe acel plan se obține anulând chiar acea coordonată, deci în formula distanței rămâne un singur termen nenul.

Cum se calculează centrul de greutate al unui triunghi din spațiu?

Se face media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri, coordonată cu coordonată. Programa de la științe ale naturii nu conține calcul vectorial, așa că formula se scrie și se folosește numai cu coordonate. Din aceeași formulă se poate afla un vârf necunoscut: înmulțești coordonatele centrului cu trei și scazi vârfurile cunoscute.

Cum arăți că trei puncte din spațiu formează un triunghi?

Calculezi cele trei pătrate de laturi și verifici inegalitatea triunghiului pe lungimi: cea mai mare trebuie să fie strict mai mică decât suma celorlalte două. Dacă apare egalitate, punctele sunt coliniare și nu există triunghi. Abia după această verificare are rost să discuți dacă triunghiul e isoscel sau dreptunghic.

Se dă distanța în spațiu și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii; la matematică-informatică se studiază numai geometria analitică din plan, iar în clasa a XII-a conicele. Pentru comparație, distanța și mijlocul în plan la mate-info (M1): Reperul cartezian, distanța și mijlocul. Varianta din plan o găsești folosită și la Ecuația cercului.

La ce subiect apare distanța în spațiu la bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie". Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit de noi, nu preluat dintr-un model oficial. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii apare doar distanța dintre două puncte din plan, la Subiectul I.