Distanțe și unghiuri cu afixe: pe scurt

Diferența $z_B-z_A$ poartă două informații: modulul ei este distanța $AB$, iar argumentul ei este direcția de la $A$ către $B$. Teorema unghiului: pentru trei puncte $A,B,C$,

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{AC}{AB}(\cos t+i\sin t),$$

unde $t$ este rotația care duce semidreapta $AB$ peste $AC$. Din modulul raportului citești raportul laturilor, din argumentul lui citești măsura unghiului $\angle BAC$ — două informații complet independente: un raport de modul $1$ arată doar laturi egale, nu spune nimic despre unghi.

Criteriul practic cel mai folosit: $\angle BAC=90°⟺$ raportul e pur imaginar. Pentru natura unui triunghi, se compară pătratele laturilor (fără radicali): cu $a$ latura cea mai mare, $b^2+c^2>a^2$ dă ascuțitunghic, $=$ dă dreptunghic, $<$ dă obtuzunghic. Triunghiul echilateral are un criteriu curat: raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Rotația unui punct $M(z)$ cu unghiul $t$ în jurul unui centru $M_0(z_0)$: $z^{\prime }=z_0+(z-z_0)(\cos t+i\sin t)$; pentru $t=180°$ se obține simetria față de punct, $z^{\prime }=2z_0-z$.

Această rotație generalizată transformă „mută originea, rotește, mută înapoi” într-o formulă de o linie și stă la baza construcției celui de-al treilea vârf al unui triunghi echilateral sau al unui pătrat, pornind doar de la două vârfuri cunoscute și de la unghiul potrivit.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $A(2+i)$ și $B(2+7i)$, care este argumentul lui $z_B-z_A$?

   • a) $\frac{\pi }{2}$
   • b) $0$
   • c) $\pi$
   • d) $\frac{3\pi }{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{2}$

   $z_B-z_A=6i$, un număr pur imaginar pozitiv, deci direcția de la $A$ la $B$ este verticală în sus, cu argumentul $\frac{\pi }{2}$.

2. Pentru $A(0)$, $B(3)$, $C(3+3i)$, calculați $m(\angle BAC)$.

   • a) $90°$
   • b) $45°$
   • c) $60°$
   • d) $30°$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $45°$

   $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3+3i}{3}=1+i$, cu argumentul $45°$ (partea reală și cea imaginară egale și pozitive).

3. Raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ al unui triunghi este pur imaginar și are modulul $1$. Ce se poate spune despre triunghi?

   • a) este doar isoscel, fără unghi drept
   • b) este echilateral
   • c) este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$
   • d) nu se poate spune nimic
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$

   Pur imaginar înseamnă unghi drept în $A$; modulul $1$ înseamnă $AC=AB$. Combinate, dau triunghi dreptunghic isoscel cu unghiul drept în $A$.