Distanțe și unghiuri în planul complex

Un controlor de trafic aerian are pe ecran trei aeronave. Prima întrebare pe care și-o pune este cât de departe sunt una de alta — o distanță. A doua, mult mai importantă pentru siguranță, este sub ce unghi se apropie: două avioane la aceeași distanță se pot îndepărta liniștit sau se pot ciocni în treizeci de secunde, în funcție de unghiul dintre direcțiile lor. Distanța singură nu spune povestea; abia distanța împreună cu unghiul o spun.

În lecția Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului am rezolvat prima jumătate a problemei: modulul diferenței, $|z_B-z_A|$, este distanța dintre imaginile geometrice. Lecția de față o rezolvă pe a doua, și o face cu o eleganță care surprinde de fiecare dată: unghiul dintre două direcții este argumentul unui raport. Cele două rezultate împreună formează un instrument complet — cu el vei putea decide, doar din trei afixe și câteva calcule, dacă un triunghi este echilateral, dreptunghic sau obtuzunghic, fără să desenezi și fără să măsori nimic.

Ce vei învăța

• Vei ști că argumentul lui $z_B-z_A$ dă direcția pe care o „privești" mergând de la $A$ către $B$.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești faptul că măsura unghiului $\angle BAC$ se citește din argumentul raportului $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
• Vei ști să citești ambele informații din același raport: modulul lui dă raportul laturilor $\frac{AC}{AB}$, iar argumentul dă unghiul dintre ele.
• Vei ști să stabilești natura unui triunghi (isoscel, echilateral, dreptunghic, obtuzunghic) lucrând cu pătratele distanțelor.
• Vei ști criteriul complex al triunghiului echilateral și cum se folosește el în ambele sensuri.
• Vei ști să scrii rotația unui punct în jurul altui punct și să calculezi aria unui triunghi din afixe.

Hai să descoperim împreună

1. Direcția: ce spune argumentul unei diferențe

Fie $A$ și $B$ două puncte distincte, de afixe $z_A$ și $z_B$. Diferența $z_B-z_A$ este, așa cum am văzut, „săgeata de la $A$ la $B$", mutată cu originea în $O$. Ea poartă două informații, iar noi le-am folosit până acum doar pe prima:

$$|z_B-z_A|=AB\text{(caˆt de departe)},\arg (z_B-z_A)=\text{direcția de la }A\text{ la }B\text{(ıˆncotro)}.$$

Exemplu. Fie $A(1+i)$ și $B(5+i)$. Atunci $z_B-z_A=4$, număr real pozitiv, deci $AB=4$ și direcția are argumentul $0$: mergi de la $A$ la $B$ paralel cu axa reală, către dreapta. Dacă în schimb luăm $C(1+5i)$, avem $z_C-z_A=4i$, deci $AC=4$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$: aceeași distanță, altă direcție.

Reține că argumentul depinde de ordinea punctelor: $\arg (z_A-z_B)$ diferă de $\arg (z_B-z_A)$ cu exact $\pi$, pentru că $z_A-z_B=-(z_B-z_A)$. Distanța, în schimb, nu depinde de ordine.

2. Teorema unghiului

Acum vine rezultatul central al lecției. Ideea este simplă: dacă vrem unghiul dintre două direcții, trebuie să scădem argumentele lor — iar scăderea argumentelor este exact ceea ce face împărțirea numerelor complexe.

Teoremă. Fie $A$, $B$, $C$ trei puncte, cu $B\ne A$ și $C\ne A$. Atunci

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{AC}{AB}(\cos t+i\sin t),$$

unde $t$ este unghiul cu care trebuie rotită semidreapta $AB$, în sens trigonometric, ca să ajungă peste semidreapta $AC$.

Demonstrație. Scriem cele două diferențe în formă trigonometrică:

$$z_B-z_A=r_1(\cos \alpha +i\sin \alpha ),z_C-z_A=r_2(\cos \beta +i\sin \beta ),$$

unde $r_1=AB$, $r_2=AC$, iar $\alpha$, $\beta$ sunt direcțiile de la $A$ către $B$, respectiv către $C$. Din regula de împărțire în formă trigonometrică, demonstrată în lecția Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică — modulele se împart, argumentele se scad — obținem

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{r_2}{r_1}(\cos (\beta -\alpha )+i\sin (\beta -\alpha )).$$

Diferența $\beta -\alpha$ este chiar rotația care duce direcția $AB$ peste direcția $AC$. $■$

Cum obții măsura unghiului geometric. Notăm cu $\phi \in [0,2\pi )$ argumentul redus al raportului. Măsura unghiului $\angle BAC$, adică unghiul propriu-zis al figurii, este

$$m(\angle BAC)=\{\begin{array}{ll}\phi ,& \text{daca˘ }\phi \le \pi ,\\ 2\pi -\phi ,& \text{daca˘ }\phi >\pi .\end{array}$$

Motivul: un unghi de figură are măsura cel mult $180^{\circ }$; dacă rotația în sens trigonometric a ieșit mai mare, unghiul „văzut" este cel măsurat în celălalt sens.

3. Un singur raport, două citiri

Aceasta este observația care face metoda cu adevărat puternică — și, totodată, cea la care se greșește cel mai des. Raportul

$$w=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$$

conține două informații independente:

Exemplu, ca să fie limpede. Fie $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(4+4i)$. Atunci $z_B-z_A=4$ și $z_C-z_A=3+3i$, deci

$$w=\frac{3+3i}{4}=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}i.$$

Argumentul lui $w$ este $\frac{\pi }{4}$, pentru că partea reală și partea imaginară sunt egale și pozitive: unghiul $\angle BAC$ are $45^{\circ }$. Modulul lui $w$ este însă $\frac{3\sqrt{2}}{4}$, nu $1$ — și trebuie să fie așa, pentru că $AC=|3+3i|=3\sqrt{2}$, iar $AB=4$, deci $\frac{AC}{AB}=\frac{3\sqrt{2}}{4}✓$

Greșeala de evitat: a crede că unghiul iese „bine" doar dacă modulul raportului este $1$. Modulul $1$ înseamnă doar că cele două laturi sunt egale, nimic despre unghi. Cele două citiri sunt independente.

4. Cazul cel mai util: unghiul drept

Dacă $\phi =\frac{\pi }{2}$ sau $\phi =\frac{3\pi }{2}$, numărul $w$ are partea reală nulă: este pur imaginar. Reciproc, dacă $w$ este pur imaginar și nenul, argumentul lui este unul dintre cele două unghiuri drepte. Am obținut deci un criteriu foarte comod:

$$\angle BAC=90^{\circ }⟺\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\text{ este pur imaginar.}$$

Exemplu. $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(1+5i)$: raportul este $\frac{4i}{4}=i$, pur imaginar, deci unghiul din $A$ este drept. În plus $|i|=1$, deci $AC=AB$: triunghiul este dreptunghic isoscel în $A$.

Al doilea exemplu. $A(2+i)$, $B(6+i)$, $C(2+4i)$: raportul este $\frac{3i}{4}$, tot pur imaginar, deci unghiul din $A$ este drept; dar modulul este $\frac{3}{4}$, deci laturile sunt diferite, $AC=3$ și $AB=4$. Triunghiul are laturile $3$, $4$ și $BC=|-4+3i|=5$ — vechiul triunghi dreptunghic din gimnaziu, regăsit din afixe.

Acest criteriu va fi reluat și extins în lecția Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe, unde se aplică la două drepte oarecare, nu doar la două laturi cu vârf comun.

5. Natura unui triunghi, din pătratele distanțelor

Pentru clasificarea unui triunghi nu ai nevoie de unghiuri: e suficient să compari pătratele laturilor. Metoda are un avantaj practic uriaș — pătratele distanțelor sunt numere fără radicali, deci comparațiile sunt exacte.

Fie $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, cu $a$ latura cea mai mare. Atunci:

• $b^2+c^2=a^2\Rightarrow$ triunghi dreptunghic (unghiul drept este opus laturii $a$);
• $b^2+c^2>a^2\Rightarrow$ toate unghiurile sunt ascuțite;
• $b^2+c^2<a^2\Rightarrow$ triunghi obtuzunghic, cu unghiul obtuz opus laturii $a$.

Justificarea vine din teorema cosinusului, pe care ai învățat-o la Teorema cosinusului: din $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ rezultă că semnul diferenței $b^2+c^2-a^2$ este chiar semnul lui $\cos A$, iar semnul cosinusului decide dacă unghiul e ascuțit, drept sau obtuz.

Exemplu. $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(2+2i)$. Calculăm pătratele:

$$A{B}^2=|4{|}^2=16,A{C}^2=|1+i{|}^2=2,B{C}^2=|-3+i{|}^2=10.$$

Cea mai mare este $A{B}^2=16$, iar $A{C}^2+B{C}^2=2+10=12<16$: triunghiul este obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $C$ (vârful opus laturii $AB$).

Al doilea exemplu, cu verificare completă. $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(4+4i)$: $A{B}^2=16$, $A{C}^2=18$, $B{C}^2=|-1+3i{|}^2=10$. Cea mai mare este $A{C}^2=18$, iar $A{B}^2+B{C}^2=26>18$: triunghi ascuțitunghic. Se potrivește cu ce am aflat la secțiunea 3, unde unghiul din $A$ a ieșit de $45^{\circ }$.

Putem chiar verifica teorema cosinusului pe acest triunghi, ca un control al calculelor: cu $AB=4$, $AC=3\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$,

$$B{C}^2=16+18-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=34-24=10✓$$

6. Criteriul triunghiului echilateral

Triunghiul echilateral are o descriere complexă deosebit de curată, pentru că el înseamnă exact „o latură este cealaltă, rotită cu $60^{\circ }$".

Propoziție. Triunghiul $ABC$ este echilateral dacă și numai dacă

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\cos 60^{\circ }\pm i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

Demonstrație. Notăm cu $w$ raportul. Din teorema unghiului, $|w|=\frac{AC}{AB}$ și $\arg w$ este unghiul dintre laturi. Triunghiul e echilateral exact când $AC=AB$ (adică $|w|=1$) și unghiul din $A$ are $60^{\circ }$ (adică $\arg w=60^{\circ }$ sau $\arg w=300^{\circ }$, după orientarea vârfurilor). Cele două condiții împreună dau tocmai numerele din enunț. $■$

Cele două semne corespund celor două orientări posibile: vârfurile pot fi numerotate în sens trigonometric sau în sensul acelor de ceasornic.

Exemplu. Fie $A(1+i)$, $B(5+i)$ și $C(3+(1+2\sqrt{3})i)$. Atunci $z_B-z_A=4$ și $z_C-z_A=2+2\sqrt{3}i$, deci

$$w=\frac{2+2\sqrt{3}i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$

exact valoarea din criteriu: triunghiul este echilateral. Controlăm și prin distanțe:

$$A{B}^2=16,A{C}^2=2^2+(2\sqrt{3}{)}^2=4+12=16,B{C}^2=(-2{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2=16✓$$

Criteriul se folosește și invers: dacă știi două vârfuri, al treilea se obține imediat, $z_C=z_A+(z_B-z_A)\left(\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ — două soluții, câte una de fiecare parte a dreptei $AB$.

7. Rotația în jurul unui punct

Ai văzut deja că înmulțirea cu $\cos t+i\sin t$ rotește un număr în jurul originii. Ca să rotești în jurul unui alt punct, muți întâi originea acolo, rotești, apoi muți înapoi.

Formula rotației. Imaginea punctului $M(z)$ prin rotația de unghi $t$ în jurul punctului $M_0(z_0)$ este punctul de afix

$$z^{\prime }=z_0+(z-z_0)(\cos t+i\sin t).$$

Cazurile pe care le vei folosi cel mai des:

• $t=90^{\circ }$: $z^{\prime }=z_0+i(z-z_0)$;
• $t=180^{\circ }$: $z^{\prime }=z_0-(z-z_0)=2z_0-z$ — adică simetria față de punctul $M_0$;
• $t=60^{\circ }$: construiește triunghiuri echilaterale, ca în secțiunea precedentă.

Exemplu. Rotim punctul $M(6+3i)$ cu $90^{\circ }$ în jurul lui $M_0(2+i)$:

$$z^{\prime }=(2+i)+i((6+3i)-(2+i))=(2+i)+i(4+2i)=(2+i)+(4i-2)=5i.$$

Verificare: rotația păstrează distanța la centru. Avem $|z-z_0|=|4+2i|=\sqrt{20}$ și $|z^{\prime }-z_0|=|-2+4i|=\sqrt{20}✓$

8. Două aplicații: aria unui triunghi și pătratul

a) Aria unui triunghi. Odată ce ai o latură și unghiul dintre laturi, aria vine de la sine, cu formula învățată la Aria triunghiului. Formule:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (m(\angle A)).$$

Exemplu. Pentru triunghiul $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(4+4i)$, cu $AB=4$, $AC=3\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6.$$

Observă cât de bine se potrivesc radicalii: $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. Aria este un număr întreg, deși două dintre laturi sunt iraționale — un semn bun că numerele au fost alese cu grijă.

b) Un pătrat, verificat complet. Metoda funcționează la fel de bine pe patru puncte. Fie $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$.

Laturile. $z_B-z_A=4+i$, $z_C-z_B=-1+4i$, $z_D-z_C=-4-i$, $z_A-z_D=1-4i$. Toate au modulul $\sqrt{17}$, deci patrulaterul are toate laturile egale.

Unghiurile. Observăm că $-1+4i=i(4+i)$: latura $BC$ este latura $AB$ rotită cu $90^{\circ }$. Deci unghiul din $B$ este drept, și la fel se verifică pentru celelalte. Un patrulater cu toate laturile egale și cu unghiurile drepte este un pătrat.

Diagonalele. $z_C-z_A=3+5i$ și $z_D-z_B=-5+3i$. Modulele: $|3+5i|=\sqrt{34}$ și $|-5+3i|=\sqrt{34}$ — diagonale egale. Raportul lor:

$$\frac{z_C-z_A}{z_D-z_B}=\frac{3+5i}{-5+3i}=\frac{(3+5i)(-5-3i)}{34}=\frac{-15-9i-25i+15}{34}=\frac{-34i}{34}=-i,$$

număr pur imaginar: diagonalele sunt perpendiculare. Toate proprietățile pătratului, verificate din afixe, fără niciun desen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul dintre două laturi

Se consideră punctele $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(4+4i)$. Calculați $m(\angle BAC)$ și raportul $\frac{AC}{AB}$.

Rezolvare. $z_B-z_A=4$ și $z_C-z_A=3+3i$, deci

$$w=\frac{3+3i}{4}=\frac{3}{4}(1+i).$$

Argumentul lui $1+i$ este $\frac{\pi }{4}$ (partea reală și cea imaginară sunt egale și pozitive), iar înmulțirea cu numărul real pozitiv $\frac{3}{4}$ nu schimbă argumentul. Deci $m(\angle BAC)=45^{\circ }$.

Raportul laturilor este $|w|=\frac{3}{4}\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$. Control: $AC=|3+3i|=3\sqrt{2}$ și $AB=4✓$

Exemplul 2 — Natura unui triunghi

Determinați natura triunghiului cu vârfurile $A(2+i)$, $B(6+i)$, $C(2+4i)$.

Rezolvare. Calculăm pătratele laturilor:

$$A{B}^2=|4{|}^2=16,A{C}^2=|3i{|}^2=9,B{C}^2=|-4+3i{|}^2=16+9=25.$$

Cea mai mare este $B{C}^2=25$, iar $A{B}^2+A{C}^2=16+9=25=B{C}^2$: triunghiul este dreptunghic în $A$, cu catetele $3$ și $4$ și ipotenuza $5$.

Confirmare prin raport: $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3i}{4}$, pur imaginar, deci unghiul din $A$ este într-adevăr drept. Cum modulul este $\frac{3}{4}\ne 1$, triunghiul nu este isoscel.

Exemplul 3 — Triunghi dreptunghic isoscel

Arătați că triunghiul cu vârfurile $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(1+5i)$ este dreptunghic isoscel și calculați aria lui.

Rezolvare. $z_B-z_A=4$, $z_C-z_A=4i$, deci

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{4i}{4}=i.$$

Numărul $i$ este pur imaginar, deci unghiul din $A$ este drept; are modulul $1$, deci $AC=AB$. Triunghiul este dreptunghic isoscel în $A$, cu catetele egale cu $4$.

Control prin distanțe: $A{B}^2=16$, $A{C}^2=16$, $B{C}^2=|-4+4i{|}^2=32=16+16✓$

Aria: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 90^{\circ }=8$.

Exemplul 4 — Al treilea vârf al unui triunghi echilateral

Determinați afixul punctului $C$ astfel încât triunghiul $ABC$ să fie echilateral, unde $A(1+i)$ și $B(5+i)$, iar $C$ se află deasupra dreptei $AB$.

Rezolvare. Folosim criteriul: $z_C=z_A+(z_B-z_A)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$, cu semnul plus pentru vârful de deasupra. Cum $z_B-z_A=4$:

$$z_C=(1+i)+4\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=(1+i)+(2+2\sqrt{3}i)=3+(1+2\sqrt{3})i.$$

Verificare: $A{C}^2=2^2+(2\sqrt{3}{)}^2=4+12=16$ și $B{C}^2=(-2{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2=16$, iar $A{B}^2=16$. Toate laturile au lungimea $4✓$

Cu semnul minus s-ar fi obținut $z_C^{\prime }=3+(1-2\sqrt{3})i$, vârful simetric, situat sub dreapta $AB$.

Exemplul 5 — Unghi de $120^{\circ }$

Se consideră $A(2+2i)$, $B(4+2i)$ și $C(1+(2+\sqrt{3})i)$. Calculați $m(\angle BAC)$ și lungimea lui $BC$.

Rezolvare. $z_B-z_A=2$ și $z_C-z_A=-1+\sqrt{3}i$, deci

$$w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

Recunoaștem $\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }$, deci $m(\angle BAC)=120^{\circ }$. Cum $|w|=1$, avem $AC=AB=2$: triunghiul este isoscel, cu unghiul de la vârf de $120^{\circ }$.

Pentru $BC$ folosim teorema cosinusului:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=4+4-2\cdot 2\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=8+4=12,$$

deci $BC=2\sqrt{3}$. Control direct: $z_C-z_B=-3+\sqrt{3}i$, cu $|z_C-z_B{|}^2=9+3=12✓$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=1+i$, $z_B=5+i$, $z_C=1+5i$.

a) Calculați lungimile laturilor triunghiului $ABC$.

b) Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel.

c) Determinați afixul punctului $D$ obținut rotind $B$ cu $90^{\circ }$ în sens trigonometric în jurul lui $A$ și precizați natura patrulaterului format.

Rezolvare. a) $z_B-z_A=4$, deci $AB=4$; $z_C-z_A=4i$, deci $AC=4$; $z_C-z_B=-4+4i$, deci $BC=|-4+4i|=4\sqrt{2}$.

b) Din $AB=AC=4$ triunghiul este isoscel. Pentru unghiul din $A$:

$$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{4i}{4}=i,$$

număr pur imaginar, deci $m(\angle BAC)=90^{\circ }$. Triunghiul este dreptunghic isoscel în $A$. Control: $A{B}^2+A{C}^2=16+16=32=B{C}^2✓$

c) Rotația de $90^{\circ }$ în jurul lui $A$ dă

$$z_D=z_A+i(z_B-z_A)=(1+i)+i\cdot 4=1+5i.$$

Obținem $z_D=z_C$: rotația lui $B$ în jurul lui $A$ cu $90^{\circ }$ îl duce exact în $C$. Acesta este chiar motivul pentru care triunghiul este dreptunghic isoscel în $A$ — rotația păstrează distanța la centru, deci $AC=AB$, și creează un unghi de $90^{\circ }$ între cele două raze.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă cu triunghiuri, calculează pătratele distanțelor (fără radicali) și abia la final extrage rădăcina, dacă e nevoie. Verifică unghiurile prin raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.

1. Pentru $A(1+i)$ și $B(5+i)$, calculează $AB$ și precizează argumentul lui $z_B-z_A$.

2. Pentru $A(1+i)$ și $C(1+5i)$, calculează $AC$ și argumentul lui $z_C-z_A$. Compară cu exercițiul precedent.

3. Calculează $m(\angle BAC)$ pentru $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(4+4i)$.

4. Pentru aceleași puncte, calculează raportul $\frac{AC}{AB}$ folosind modulul raportului afixelor.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=1$, atunci unghiul $\angle BAC$ este drept."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este pur imaginar, atunci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$."

7. Determină natura triunghiului cu vârfurile $A(2+i)$, $B(6+i)$, $C(2+4i)$ și calculează aria lui.

8. Determină natura triunghiului cu vârfurile $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(2+2i)$, folosind pătratele laturilor.

9. Arată că triunghiul $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(1+5i)$ este dreptunghic isoscel și calculează-i aria.

10. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(1+i)$, $B(5+i)$, $C(3+(1+2\sqrt{3})i)$ este echilateral, prin două metode: cu pătratele laturilor și cu criteriul raportului.

11. Determină afixul celui de-al treilea vârf al triunghiului echilateral cu $A(1+i)$ și $B(5+i)$, situat sub dreapta $AB$.

12. Calculează $m(\angle BAC)$ pentru $A(2+2i)$, $B(4+2i)$, $C(1+(2+\sqrt{3})i)$, apoi determină $BC$.

13. Determină afixul imaginii punctului $M(6+3i)$ prin rotația de $90^{\circ }$ în sens trigonometric în jurul punctului $M_0(2+i)$ și verifică faptul că distanța la centru se păstrează.

14. Determină afixul simetricului punctului $M(6+3i)$ față de punctul $M_0(2+i)$, folosind rotația de $180^{\circ }$.

15. (Problemă aplicată.) Trei stâlpi de înaltă tensiune se află în punctele de afixe $1+i$, $5+i$ și $4+4i$ (coordonatele în kilometri). a) Calculează distanțele dintre stâlpi. b) Calculează unghiul sub care se vede, din primul stâlp, segmentul dintre ceilalți doi. c) Calculează aria terenului triunghiular determinat de ei.

16. Se consideră $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$. Arată că $ABCD$ este pătrat, verificând laturile și unghiurile.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $1+i$, $5+i$, $1+5i$. a) Calculați lungimile laturilor triunghiului $ABC$. b) Arătați că triunghiul este dreptunghic isoscel. c) Determinați afixul punctului obținut rotind $B$ cu $90^{\circ }$ în jurul lui $A$, în sens trigonometric.

18. (Provocare.) Pentru pătratul $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, $D(5i)$, arată că diagonalele sunt egale și perpendiculare, calculând raportul $\frac{z_C-z_A}{z_D-z_B}$.

Răspunsuri și explicații

1. $z_B-z_A=4$, deci $AB=4$, iar argumentul este $0$ (număr real pozitiv): direcția de la $A$ la $B$ este paralelă cu axa reală, spre dreapta.

2. $z_C-z_A=4i$, deci $AC=4$, iar argumentul este $\frac{\pi }{2}$. Aceeași distanță ca la exercițiul 1, dar altă direcție — modulul și argumentul sunt informații independente.

3. $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{3+3i}{4}=\frac{3}{4}(1+i)$, cu argumentul $\frac{\pi }{4}$, deci $m(\angle BAC)=45^{\circ }$.

4. $\left|\frac{3}{4}(1+i)\right|=\frac{3\sqrt{2}}{4}$. Verificare directă: $AC=|3+3i|=3\sqrt{2}$ și $AB=4$, deci raportul este $\frac{3\sqrt{2}}{4}✓$

5. Fals. Modulul $1$ înseamnă doar $AC=AB$, adică triunghi isoscel; despre unghi nu spune nimic. Contraexemplu: la triunghiul echilateral din exercițiul 10 modulul raportului este $1$, iar unghiul are $60^{\circ }$, nu $90^{\circ }$.

6. Adevărat. Un număr pur imaginar nenul are argumentul $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$; în ambele cazuri unghiul geometric dintre laturile $AB$ și $AC$ are $90^{\circ }$.

7. $A{B}^2=16$, $A{C}^2=9$, $B{C}^2=25$. Cum $16+9=25$, triunghiul este dreptunghic în $A$, cu catetele $4$ și $3$. Aria: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6$.

8. $A{B}^2=16$, $A{C}^2=2$, $B{C}^2=10$. Latura cea mai mare este $AB$, iar $A{C}^2+B{C}^2=12<16$, deci triunghiul este obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $C$.

9. $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i$: pur imaginar (unghi drept în $A$) și de modul $1$ (laturi egale). Deci dreptunghic isoscel, cu catetele $4$. Aria: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$.

10. Prin distanțe: $A{B}^2=16$; $z_C-z_A=2+2\sqrt{3}i$, deci $A{C}^2=4+12=16$; $z_C-z_B=-2+2\sqrt{3}i$, deci $B{C}^2=4+12=16$. Toate laturile sunt egale cu $4$. Prin criteriu: $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }✓$

11. $z_C=(1+i)+4\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=3+(1-2\sqrt{3})i$. Verificare: $A{C}^2=4+12=16=A{B}^2✓$

12. $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }$, deci unghiul are $120^{\circ }$. Cum modulul este $1$, avem $AC=AB=2$, iar din teorema cosinusului $B{C}^2=4+4+4=12$, deci $BC=2\sqrt{3}$. Control direct: $z_C-z_B=-3+\sqrt{3}i$, cu pătratul modulului $9+3=12✓$

13. $z^{\prime }=(2+i)+i(4+2i)=(2+i)+(-2+4i)=5i$. Verificare: $|z-z_0{|}^2=|4+2i{|}^2=20$ și $|z^{\prime }-z_0{|}^2=|-2+4i{|}^2=4+16=20✓$

14. $z^{\prime }=2z_0-z=2(2+i)-(6+3i)=(4+2i)-(6+3i)=-2-i$. Verificare: mijlocul dintre $6+3i$ și $-2-i$ este $\frac{(6+3i)+(-2-i)}{2}=2+i=z_0✓$

15. a) $AB=4$ km, $AC=|3+3i|=3\sqrt{2}$ km, $BC=|-1+3i|=\sqrt{10}$ km. b) Unghiul din primul stâlp este $45^{\circ }$ (exercițiul 3). c) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$ km pătrați.

16. Laturile: $z_B-z_A=4+i$, $z_C-z_B=-1+4i$, $z_D-z_C=-4-i$, $z_A-z_D=1-4i$ — toate de modul $\sqrt{17}$. Unghiurile: $-1+4i=i(4+i)$, deci fiecare latură este precedenta rotită cu $90^{\circ }$; toate unghiurile sunt drepte. Laturi egale plus unghiuri drepte înseamnă pătrat.

17. a) $AB=4$, $AC=4$, $BC=4\sqrt{2}$. b) $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i$: pur imaginar (unghi drept în $A$) și de modul $1$ ($AB=AC$), deci triunghiul e dreptunghic isoscel. Control: $16+16=32=B{C}^2✓$ c) $z_D=z_A+i(z_B-z_A)=(1+i)+4i=1+5i$, adică exact punctul $C$.

18. Diagonalele au numerele directoare $z_C-z_A=3+5i$ și $z_D-z_B=-5+3i$, ambele de modul $\sqrt{34}$: sunt egale. Raportul lor: $$\frac{3+5i}{-5+3i}=\frac{(3+5i)(-5-3i)}{(-5{)}^2+3^2}=\frac{-15-9i-25i-15i^2}{34}=\frac{-34i}{34}=-i,$$ număr pur imaginar, deci diagonalele sunt perpendiculare. (Diagonale egale și perpendiculare, împreună cu faptul că se înjumătățesc, caracterizează pătratul.)

De reținut

• Diferența $z_B-z_A$ poartă două informații: modulul ei este distanța $AB$, iar argumentul ei este direcția de la $A$ către $B$.
• Teorema unghiului: $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{AC}{AB}(\cos t+i\sin t)$, unde $t$ este rotația care duce semidreapta $AB$ peste semidreapta $AC$. Din modul citești raportul laturilor, din argument citești unghiul — două informații independente.
• Unghi drept $⟺$ raport pur imaginar; laturi egale $⟺$ raport de modul $1$. Triunghiul e dreptunghic isoscel exact când raportul este $i$ sau $-i$.
• Natura triunghiului din pătratele laturilor: cu $a$ latura cea mai mare, $b^2+c^2-a^2$ pozitiv înseamnă ascuțitunghic, nul înseamnă dreptunghic, negativ înseamnă obtuzunghic.
• Rotația de unghi $t$ în jurul lui $z_0$: $z^{\prime }=z_0+(z-z_0)(\cos t+i\sin t)$; pentru $t=180^{\circ }$ se obține simetria față de punct, $z^{\prime }=2z_0-z$.

Greșeli frecvente

• Confunzi cele două citiri ale raportului. Modulul dă raportul laturilor, argumentul dă unghiul. Un raport de modul $1$ înseamnă triunghi isoscel, nu unghi drept; un raport pur imaginar înseamnă unghi drept, nu laturi egale.
• Inversezi ordinea la scădere. În raport, la numărător stă latura către care rotești, iar la numitor cea de la care pleci. Dacă le inversezi, obții unghiul opus ca sens, deci un argument de $360^{\circ }$ minus cel corect.
• Uiți să reduci argumentul la un unghi de figură. Dacă argumentul redus al raportului iese, de exemplu, $300^{\circ }$, măsura unghiului geometric nu este $300^{\circ }$, ci $360^{\circ }-300^{\circ }=60^{\circ }$.
• Lucrezi cu radicali în loc de pătrate. Pentru natura unui triunghi compară $A{B}^2$, $A{C}^2$, $B{C}^2$ — numere fără radicali, deci comparabile exact. Extragerea rădăcinii se face doar la final, când chiar ai nevoie de lungime.
• Aplici formula rotației fără să muți originea. $z^{\prime }=z\cdot (\cos t+i\sin t)$ rotește în jurul originii. Pentru rotația în jurul lui $z_0$ trebuie scăzut și adunat centrul: $z^{\prime }=z_0+(z-z_0)(\cos t+i\sin t)$.

Aplică acasă

1. Triunghiul din curte. Alege trei repere fixe și, cu un metru, măsoară distanțele dintre ele. Calculează pătratele acestor distanțe și stabilește natura triunghiului comparând suma pătratelor celor două laturi mici cu pătratul laturii mari. Verifică apoi unghiul cel mai mare cu un raportor.

2. Rotația pe hârtie milimetrică. Desenează punctul $M_0(2,1)$ și un punct $M$ la alegere. Calculează afixul imaginii lui $M$ prin rotația de $90^{\circ }$ în jurul lui $M_0$, apoi verifică desenul cu echerul: segmentele $M_{0}M$ și $M_0{M}^{\prime }$ trebuie să fie egale și perpendiculare.

3. Pătratul construit din două vârfuri. Pornește de la $A(1+i)$ și $B(5+2i)$ și construiește celelalte două vârfuri ale pătratului, rotind de fiecare dată cu $90^{\circ }$ ultimul segment obținut. Verifică la final că ai ajuns înapoi în $A$ — dacă nu, ai greșit un semn.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează perechea de instrumente cu care numerele complexe rezolvă probleme de geometrie: modulul pentru distanțe (studiat anterior) și argumentul pentru unghiuri (studiat aici). Ideea centrală — unghiul dintre două direcții este argumentul unui raport — este o consecință directă a regulii de împărțire în formă trigonometrică, deci nu cere nimic nou, doar recitirea unei reguli cunoscute într-un context geometric.

Ce verifică lecția: calculul corect al diferențelor de afixe (cu atenție la ordinea punctelor), formarea raportului potrivit pentru unghiul cerut, citirea separată a modulului și a argumentului, clasificarea unui triunghi prin pătratele laturilor și aplicarea formulei rotației în jurul unui punct oarecare. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că raportul are modulul $1$?"; „Dar că este pur imaginar?"; „De ce comparăm pătratele laturilor și nu laturile?". Un semn clar că a înțeles: la o problemă cu triunghiuri calculează întâi cele trei pătrate ale laturilor, fără să scoată niciun radical.

La Bacalaureat M1, subiectele de acest tip cer de obicei, în trei pași, lungimile laturilor, natura triunghiului și un element suplimentar (aria, un unghi, o rotație sau al patrulea vârf al unui patrulater). Baremul punctează separat fiecare pas și cere justificarea naturii triunghiului, nu doar afirmarea ei — un răspuns de tipul „triunghiul este dreptunghic" fără calculul care o arată nu primește punctajul întreg.

Întrebări frecvente

Cum calculez unghiul dintre două laturi folosind afixele? Formezi raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$, unde $A$ este vârful unghiului, și îi calculezi argumentul. Dacă argumentul redus depășește $180^{\circ }$, măsura unghiului geometric este $360^{\circ }$ minus acel argument.

Ce înseamnă modulul acelui raport? Raportul lungimilor laturilor, $\frac{AC}{AB}$. Este o informație complet independentă de unghi: modulul $1$ înseamnă doar că cele două laturi sunt egale.

Cum recunosc rapid un unghi drept? Raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ este pur imaginar, adică are partea reală nulă. Echivalent, una dintre laturi se obține din cealaltă înmulțind cu $i$ sau cu $-i$, eventual după o schimbare de scară cu un număr real.

Cum stabilesc natura unui triunghi din afixele vârfurilor? Calculezi pătratele celor trei laturi, identifici latura cea mai mare și compari pătratul ei cu suma pătratelor celorlalte două: mai mic înseamnă ascuțitunghic, egal înseamnă dreptunghic, mai mare înseamnă obtuzunghic. Dacă apar și laturi egale, triunghiul e în plus isoscel sau echilateral.

Care este condiția ca un triunghi să fie echilateral, scrisă cu numere complexe? Raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ trebuie să fie $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ sau $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, adică $\cos 60^{\circ }\pm i\sin 60^{\circ }$. Cele două variante corespund celor două poziții posibile ale vârfului $C$ față de dreapta $AB$.

Cum rotesc un punct în jurul altui punct decât originea? Cu formula $z^{\prime }=z_0+(z-z_0)(\cos t+i\sin t)$. Scăderea lui $z_0$ mută temporar originea în centrul de rotație, înmulțirea rotește, iar adunarea lui $z_0$ readuce figura la locul ei.

Cum calculez aria unui triunghi dacă știu afixele vârfurilor? Afli două laturi din module și unghiul dintre ele din argumentul raportului, apoi aplici $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. Când unghiul este drept, formula se simplifică la semiprodusul catetelor.

De ce se lucrează cu pătratele distanțelor și nu direct cu distanțele? Pentru că pătratele sunt numere fără radicali, calculate imediat ca $|z{|}^2=x^2+y^2$, iar comparațiile dintre ele sunt exacte. Lucrul cu radicali aproximați introduce erori și face imposibilă recunoașterea unei egalități perfecte.