Rest zero înseamnă factor găsit: pe scurt

$g$ divide $f$ (notat $g\mid f$) înseamnă că există un polinom $q$ astfel încât $f=g\cdot q$ — divizibilitatea este, în esență, o factorizare. Criteriul practic de lucru vine din unicitatea din teorema împărțirii cu rest: $g\mid f$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Faci împărțirea, te uiți la rest — rest zero înseamnă divizibilitate.

Proprietățile se demonstrează scoțând factorul comun în evidență: reflexivitatea ($f\mid f$), tranzitivitatea (dacă $h\mid g$ și $g\mid f$, atunci $h\mid f$) și proprietatea combinațiilor (dacă $g\mid f_1$ și $g\mid f_2$, atunci $g$ divide orice combinație $h_1{f}_1+h_2{f}_2$). O regulă rapidă și gratuită: dacă $g\mid f$ și $f\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$.

Spre deosebire de numerele întregi, un divizor nu este niciodată unic: orice asociat $c\cdot g$ (cu $c$ constantă nenulă) divide la fel de bine, de aceea răspunsul se dă, prin convenție, în formă monică. Cea mai frecventă cerință de examen este determinarea unor parametri: efectuezi împărțirea cu parametrii cu tot și impui ca toți coeficienții restului să fie zero — un divizor de gradul $n$ dă exact $n$ ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

1. Știind că $X-2$ divide $X^3-8$, care dintre următoarele afirmații rezultă IMEDIAT, fără niciun calcul suplimentar?

   • a) $X-2$ divide $X^5-8X^2$
   • b) $X-2$ divide $X^3-8X^2$
   • c) $X-2$ divide $X^2-8$
   • d) $X-2$ divide $X-8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $X-2$ divide $X^5-8X^2$

   Din proprietatea P4 (dacă $g\mid f$, atunci $g\mid f\cdot h$ pentru orice $h$), luând $h=X^2$: $X^2(X^3-8)=X^5-8X^2$, deci $X-2$ divide și acest polinom, fără nicio împărțire nouă.

2. Care este restul împărțirii lui $f=X^4+X^3-4X^2-4X$ la $g=X^2+X-2$?

   • a) $0$
   • b) $-2X-4$
   • c) $2X+4$
   • d) $-4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-2X-4$

   Împărțind: primul termen al câtului este $X^2$, apoi $-2$; se obține câtul $X^2-2$ și restul $-2X-4$. Cum restul e nenul, $g$ NU divide $f$. Verificare: $(X^2+X-2)(X^2-2)+(-2X-4)=X^4+X^3-4X^2-4X$ ✓.

3. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f=X^4+X^3+a{X}^2+bX-24$ să se dividă cu $g=X^2+2X-8$.

   • a) $a=-7,b=-14$
   • b) $a=7,b=-14$
   • c) $a=-7,b=14$
   • d) $a=14,b=-7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=-7,b=14$

   Efectuând împărțirea cu parametri și impunând rest nul se obține $a=-7$, $b=14$, cu câtul $X^2-X+3$. Verificare: $(X^2+2X-8)(X^2-X+3)=X^4+X^3-7X^2+14X-24$ ✓.