Divizibilitatea polinoamelor

Când împarți $12$ la $4$ obții $3$ și rest $0$ — spunem că $4$ divide $12$. Când împarți $13$ la $4$ obții tot $3$, dar rămâne un rest de $1$, iar $4$ nu mai divide $13$. Toată aritmetica numerelor întregi — numere prime, descompunere în factori, cel mai mare divizor comun — pornește din această distincție simplă: rest zero sau rest nenul.

Polinoamele se comportă uimitor de asemănător. Ai văzut deja că se pot împărți unul la altul, cu cât și rest, exact ca numerele. Acum facem pasul următor și punem întrebarea care contează cu adevărat: când este restul zero? Răspunsul deschide drumul către descompunerea în factori, către rezolvarea ecuațiilor de grad mare și către întreaga arhitectură a capitolului. Un polinom pe care îl poți „sparge" în factori este un polinom ale cărui rădăcini le poți afla; iar a-l sparge în factori înseamnă exact a-i găsi divizorii.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești divizibilitatea polinoamelor și să folosești corect notația $g\mid f$.
• Vei ști să decizi dacă un polinom se divide cu altul, folosind criteriul restului zero.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici proprietățile divizibilității: reflexivitatea, tranzitivitatea și comportamentul față de sume și produse.
• Vei ști ce sunt polinoamele asociate și de ce divizorul nu este niciodată unic.
• Vei ști să determini parametri dintr-o condiție de divizibilitate, punând restul identic egal cu zero.
• Vei ști să recunoști descompuneri remarcabile, precum $X^n-a^n$ divizibil cu $X-a$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția: divizibilitate înseamnă factorizare

Lucrăm tot timpul în mulțimea $\mathbb{C}[X]$ a polinoamelor cu coeficienți complecși, dar toate exemplele vor avea, de regulă, coeficienți întregi — nimic nu se schimbă.

Definiție. Fie $f,g\in \mathbb{C}[X]$, cu $g\ne 0$. Spunem că $g$ divide $f$ (sau că $f$ se divide cu $g$, sau că $f$ este multiplu al lui $g$) dacă există un polinom $q\in \mathbb{C}[X]$ astfel încât

$$f=g\cdot q.$$

Notăm acest lucru $g\mid f$. Dacă un astfel de $q$ nu există, scriem $g\nmid f$.

Observă cu atenție: definiția nu vorbește despre rest, ci despre existența unei factorizări. A spune „$g$ divide $f$" înseamnă a spune „$f$ se scrie ca produs, iar unul dintre factori este $g$". De aceea divizibilitatea și descompunerea în factori sunt, în fond, același subiect privit din două unghiuri.

Exemplu imediat. $X-3$ divide $X^3-27$, pentru că

$$X^3-27=(X-3)(X^2+3X+9).$$

Poți verifica desfăcând parantezele: $X^3+3X^2+9X-3X^2-9X-27=X^3-27$. Toți termenii de la mijloc se anulează doi câte doi.

2. Criteriul practic: restul trebuie să fie zero

Definiția e frumoasă, dar nu îți spune cum să verifici. Instrumentul de lucru vine din Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest: pentru orice $f$ și orice $g\ne 0$ există unic o pereche $(q,r)$ cu

$$f=g\cdot q+r,\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$$

(sau $r=0$).

Teoremă (criteriul de divizibilitate). $g\mid f$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul.

Demonstrație. Dacă $r=0$, atunci $f=g\cdot q$, deci $g\mid f$ chiar din definiție. Reciproc, dacă $g\mid f$, există $q_0$ cu $f=g{q}_0$; scriem asta ca $f=g{q}_0+0$, iar $0$ este un rest admisibil. Cum perechea $(q,r)$ este unică, rezultă $q=q_0$ și $r=0$. $■$

Aici se vede de ce unicitatea din teorema împărțirii cu rest era atât de importantă: fără ea, un polinom ar putea da „rest zero" într-un fel de a împărți și rest nenul în altul, iar întrebarea „se divide?" nu ar avea răspuns.

Așadar, rețeta este: faci împărțirea și te uiți la rest. Algoritmul îl ai în Algoritmul împărțirii pas cu pas.

Exemplu. Se divide $f=X^3+2X^2+2X+1$ cu $g=X^2+X+1$? Efectuăm împărțirea: primul termen al câtului este $X$, scădem $X^3+X^2+X$ și rămâne $X^2+X+1$; următorul termen al câtului este $1$, scădem $X^2+X+1$ și rămâne $0$. Deci

$$X^3+2X^2+2X+1=(X^2+X+1)(X+1),$$

restul e zero și $g\mid f$.

Contraexemplu. Se divide $f=X^3+X^2+X+1$ cu $g=X^2-1$? Împărțind, obținem câtul $X+1$ și restul $2X+2\ne 0$. Prin urmare $X^2-1\nmid X^3+X^2+X+1$. (Observă: $f=(X+1)(X^2+1)$, deci $X+1$ îl divide, dar $X-1$ nu — iar $g$ îi cerea pe amândoi.)

3. Proprietățile divizibilității

Toate proprietățile de mai jos se demonstrează în același fel: scrii ipoteza sub formă de factorizare și pui în evidență factorul comun. Sunt scurte, dar le vei folosi mereu.

P1 (reflexivitatea). $f\mid f$, pentru orice $f\ne 0$. Într-adevăr, $f=f\cdot 1$.

P2 (tranzitivitatea). Dacă $h\mid g$ și $g\mid f$, atunci $h\mid f$. Demonstrație. Din ipoteze, $g=h{q}_1$ și $f=g{q}_2$. Înlocuind: $f=h{q}_1{q}_2=h(q_1{q}_2)$, deci $h\mid f$. $■$

P3 (combinații). Dacă $g\mid f_1$ și $g\mid f_2$, atunci $g\mid (f_1+f_2)$, $g\mid (f_1-f_2)$ și, mai general, $g\mid (h_1{f}_1+h_2{f}_2)$ pentru orice polinoame $h_1,h_2$. Demonstrație. $f_1=g{q}_1$, $f_2=g{q}_2$, deci $h_1{f}_1+h_2{f}_2=g(h_1{q}_1+h_2{q}_2)$. $■$

P4 (înmulțirea). Dacă $g\mid f$, atunci $g\mid f\cdot h$ pentru orice polinom $h$. (Din $f=gq$ rezultă $fh=g(qh)$.)

P5 (gradul). Dacă $g\mid f$ și $f\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$. Demonstrație. Din $f=gq$ și $f\ne 0$ rezultă $q\ne 0$, iar gradul produsului este suma gradelor: $\mathrm{grad}f=\mathrm{grad}g+\mathrm{grad}q\ge \mathrm{grad}g$. $■$

Proprietatea P5 este un filtru rapid, gratuit: un polinom de gradul $3$ nu poate fi divizor pentru unul de gradul $2$. Nici nu are rost să începi împărțirea.

Proprietățile P3 și P4 sunt calul de bătaie al demonstrațiilor de divizibilitate. Exemplu: știm că $X^2+1\mid X^4-1$ (pentru că $X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$). Atunci, din P4, $X^2+1$ divide și $X^2(X^4-1)=X^6-X^2$, fără să mai facem vreo împărțire.

4. Polinoame asociate: divizorul nu e niciodată unic

La numere naturale, divizorii lui $12$ sunt bine determinați: $1,2,3,4,6,12$. La polinoame apare o nuanță. Dacă $g\mid f$, atunci și $2g$, și $-g$, și $\frac{1}{5}g$ divid $f$ — pentru că din $f=gq$ rezultă $f=(2g)\left(\frac{1}{2}q\right)$.

Definiție. Două polinoame nenule $f$ și $g$ se numesc asociate dacă $f=c\cdot g$, cu $c$ o constantă nenulă. Se arată ușor că $f$ și $g$ sunt asociate exact atunci când $f\mid g$ și $g\mid f$.

Consecință practică, pe care baremele o presupun tacit: când ți se cere „divizorul de gradul întâi", răspunsul se dă în forma monică (cu coeficientul dominant $1$), adică $X-2$, nu $3X-6$. Cele două sunt asociate și au exact aceeași putere.

Există și divizori pe care îi are absolut orice polinom: constantele nenule (căci $f=c\cdot \frac{1}{c}f$) și asociatele lui $f$ însuși. Aceștia se numesc divizori improprii sau banali. Când căutăm o descompunere interesantă, îi ignorăm — exact cum, la numere, nu spunem că $7$ „se descompune" în $1\cdot 7$. Ideea aceasta va deveni definiția polinomului ireductibil, în Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R.

5. Determinarea parametrilor: restul identic nul

Iată tipul de problemă care apare cel mai des la clasă și în examene: se dă un polinom cu unul sau doi coeficienți necunoscuți și se cere ca el să se dividă cu un polinom dat. Metoda este directă și nu cere nicio idee ingenioasă:

Efectuezi împărțirea cu parametri cu tot, apoi impui ca restul să fie polinomul nul — adică toți coeficienții restului să fie zero.

Fiindcă restul are gradul strict mai mic decât divizorul, un divizor de gradul $2$ lasă un rest de forma $\alpha X+\beta$, deci obții exact două ecuații. De aceea problemele cu divizor de gradul al doilea au, tipic, doi parametri.

Exemplu complet. Să determinăm $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât

$$f=X^4+X^3+a{X}^2+bX+6\text{sa˘ se divida˘ cu}g=X^2+X-6.$$

Pasul 1. Primul termen al câtului este $X^2$. Scădem $X^2\cdot g=X^4+X^3-6X^2$ și rămâne $(a+6)X^2+bX+6$.

Pasul 2. Următorul termen al câtului este $a+6$. Scădem $(a+6)\cdot g=(a+6)X^2+(a+6)X-6(a+6)$ și rămâne

$$r=(b-a-6)X+(6a+42).$$

Pasul 3. Impunem $r=0$, adică ambii coeficienți nuli:

$$\{\begin{array}{l}b-a-6=0\\ 6a+42=0\end{array}⟹a=-7,b=-1.$$

Verificare. Pentru $a=-7$ și $b=-1$ avem $f=X^4+X^3-7X^2-X+6$, iar câtul este $X^2-1$:

$$(X^2+X-6)(X^2-1)=X^4+X^3-7X^2-X+6.✓$$

Ba mai mult, $f=(X+3)(X-2)(X-1)(X+1)$ — condiția de divizibilitate ne-a dat, pe gratis, descompunerea completă.

Sfat de redactare. Verificarea finală (înmulțirea înapoi) nu costă mai mult de un rând și îți salvează lucrarea. Orice greșeală de semn în împărțire se vede instantaneu.

6. Descompuneri remarcabile

Câteva identități merită știute pe de rost, pentru că apar tot timpul:

$$X^n-a^n=(X-a)\left(X^{n-1}+a{X}^{n-2}+a^2{X}^{n-3}+\cdots +a^{n-1}\right).$$

Verifică pentru $n=3$: $(X-a)(X^2+aX+a^2)=X^3+a{X}^2+a^{2}X-a{X}^2-a^{2}X-a^3=X^3-a^3$. Termenii se anulează în lanț, „telescopic". În particular, pentru $a=1$:

$$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1).$$

Pentru $n$ impar, înlocuind $a$ cu $-a$ obținem și

$$X^n+a^n=(X+a)\left(X^{n-1}-a{X}^{n-2}+\cdots +a^{n-1}\right),n\text{ impar}.$$

Combinând cu tranzitivitatea, se obțin rezultate elegante fără niciun calcul: $X^2+X+1$ divide $X^3-1$, care divide $X^6-1$ (căci $X^6-1=(X^3-1)(X^3+1)$), deci $X^2+X+1\mid X^6-1$.

7. Cazul special $g=X-a$, pe care îl amânăm o lecție

Ai observat probabil că divizorii de gradul întâi apar peste tot. Ei au un statut aparte: pentru ei, întrebarea „se divide?" se rezolvă fără nicio împărțire, doar printr-o evaluare. Motivul îl bănuiești din Împărțirea la X − a. Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este chiar numărul $f(a)$, deci restul e zero exact când $f(a)=0$.

Acest caz merită o lecție întreagă, pentru că din el decurg descompunerea în factori, numărul maxim de rădăcini și tot ce urmează în capitol. Îl vom studia imediat, sub numele de Teorema lui Bézout. Până atunci, în această lecție lucrăm „cu mâna": împărțire efectivă și rest zero.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O divizibilitate verificată prin factorizare

Arătați că $X-3$ divide $f=X^3-27$ și scrieți câtul.

Rezolvare. Folosim identitatea $X^3-a^3=(X-a)(X^2+aX+a^2)$ cu $a=3$:

$$X^3-27=(X-3)(X^2+3X+9).$$

Deci $X-3\mid f$, iar câtul este $q=X^2+3X+9$. Verificare prin desfacere: $X^3+3X^2+9X-3X^2-9X-27=X^3-27$. ✓

Exemplul 2 — Un divizor de gradul al doilea

Arătați că $g=X^2-2X+1$ divide $f=X^3-3X+2$ și scrieți câtul.

Rezolvare. Împărțim: primul termen al câtului este $X$; scădem $X^3-2X^2+X$ și rămâne $2X^2-4X+2$. Următorul termen al câtului este $2$; scădem $2X^2-4X+2$ și rămâne $0$. Deci

$$X^3-3X+2=(X^2-2X+1)(X+2)=(X-1{)}^2(X+2),$$

restul e nul și $g\mid f$. Verificarea prin înmulțire: $(X^2-2X+1)(X+2)=X^3+2X^2-2X^2-4X+X+2=X^3-3X+2$. ✓

Exemplul 3 — Când NU se divide

Decideți dacă $g=X^2-1$ divide $f=X^3+X^2+X+1$.

Rezolvare. Împărțim: primul termen al câtului este $X$; scădem $X^3-X$ și rămâne $X^2+2X+1$. Următorul termen este $1$; scădem $X^2-1$ și rămâne $2X+2$.

Restul este $2X+2\ne 0$, deci $g\nmid f$. Explicația structurală: $f=(X+1)(X^2+1)$, deci $X+1$ divide $f$, dar $X-1$ nu (nu apare printre factori), iar $g=(X-1)(X+1)$ i-ar fi cerut pe amândoi.

Exemplul 4 — Determinarea a doi parametri

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $f=X^4+X^3+a{X}^2+bX+6$ să se dividă cu $g=X^2+X-6$.

Rezolvare. Efectuăm împărțirea păstrând parametrii. După primul pas (termen de cât $X^2$) rămâne $(a+6)X^2+bX+6$; după al doilea (termen de cât $a+6$) rămâne restul

$$r=(b-a-6)X+(6a+42).$$

Condiția $r=0$ dă sistemul $b-a-6=0$, $6a+42=0$, cu soluția $\boxed{a=-7,b=-1}$.

Verificare: $(X^2+X-6)(X^2-1)=X^4+X^3-7X^2-X+6$. ✓ În plus, $f=(X+3)(X-2)(X-1)(X+1)$.

Exemplul 5 — Proprietățile la lucru

Știind că $X^2+1$ divide $X^4-1$, arătați, fără a face nicio împărțire, că $X^2+1$ divide și $X^6-X^2$.

Rezolvare. Din $X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$ rezultă $X^2+1\mid X^4-1$. Observăm apoi că

$$X^6-X^2=X^2\left(X^4-1\right).$$

Aplicăm P4 (dacă $g\mid f$, atunci $g\mid f\cdot h$), cu $h=X^2$: rezultă $X^2+1\mid X^6-X^2$. $■$

Morala: o proprietate generală înlocuiește un calcul de zece rânduri. Înainte de a împărți, întreabă-te dacă nu cumva polinomul tău este un multiplu evident al unuia deja studiat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Determinați $a\in \mathbb{R}$ astfel încât polinomul $f=X^3+a{X}^2+aX+1$ să se dividă cu $g=X^2-1$.

Rezolvare. Câtul are gradul $1$ și, fiind $f$ monic, este de forma $X+c$. Punem condiția de divizibilitate sub formă de identitate:

$$X^3+a{X}^2+aX+1=(X^2-1)(X+c)=X^3+c{X}^2-X-c.$$

Două polinoame sunt egale când au toți coeficienții egali, deci

$$\{\begin{array}{l}a=c(\text{la }{X}^2)\\ a=-1(\text{la }X)\\ 1=-c(\text{termenul liber})\end{array}$$

Din a doua ecuație $a=-1$; din a treia $c=-1$; prima devine $-1=-1$, adevărată. Sistemul e compatibil, deci $\boxed{a=-1}$.

Verificare: $f=X^3-X^2-X+1=(X^2-1)(X-1)=(X-1{)}^2(X+1)$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet și verifică fiecare împărțire înmulțind înapoi — este singurul control care nu te minte niciodată.

1. Arată că $X-2$ divide $f=X^3-8$ și scrie câtul.

2. Decide dacă $g=X^2-1$ divide $f=X^4-1$; dacă da, scrie câtul.

3. Decide dacă $g=X^2+1$ divide $f=X^4+X^2-2$.

4. Arată că $g=X^2-3X+2$ divide $f=X^3-6X^2+11X-6$ și scrie câtul.

5. Efectuează împărțirea lui $f=X^4+X^3-3X^2-4X-4$ la $g=X^2-4$ și spune dacă $g\mid f$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $g\mid f$ și $f\mid g$, cu $f$ și $g$ nenule, atunci $f=g$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $g\mid f$ și $g\mid h$, atunci $g\mid (f+h)$ și $g\mid (f-h)$."

8. Arată că $X^2+X+1$ divide $X^3-1$ și deduce, prin tranzitivitate, că $X^2+X+1$ divide $X^6-1$.

9. Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $g=X^2+X-2$ să dividă $f=X^4+X^3+aX+b$.

10. Arată că $X-1$ divide $X^n-1$ pentru orice $n\ge 1$ și scrie câtul.

11. (Problemă aplicată.) Un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic are volumul, în decimetri cubi, dat de $V(x)=x^3+4x^2+x-6$, unde $x>1$ este un parametru de proiectare, în decimetri. Arată că $x-1$ divide $V$, scrie volumul ca produs de trei factori de gradul întâi și calculează volumul pentru $x=4$.

12. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $X^2+1$ să dividă $f=X^4+m{X}^2+1$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $g\mid f$ și $f\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$."

14. Scrie toți divizorii monici de gradul întâi ai polinomului $f=X^2-5X+6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât polinomul $f=X^4-2X^3+a{X}^2+bX+3$ să se dividă cu $g=X^2-4X+3$, apoi scrieți câtul.

16. Fie $g$ un polinom nenul cu $g\mid f$ și $g\mid h$. Demonstrează că $g\mid (3f-2h)$ și că $g\mid X^{5}f$.

17. Arată, grupând convenabil termenii, că $X^2-1$ divide $f=X^4+X^3-X-1$ și scrie descompunerea completă a lui $f$.

18. (Provocare.) Arată că $X^2+X+1$ divide $f=X^{100}+X^{50}+1$. (Indicație: scrie $f$ ca sumă de trei polinoame, dintre care două să conțină factori de forma $X^k-1$ cu $k$ multiplu de $3$.)

Răspunsuri și explicații

1. $X^3-8=(X-2)(X^2+2X+4)$, deci $X-2\mid f$, iar câtul este $q=X^2+2X+4$ (identitatea $X^3-a^3$ cu $a=2$).

2. Da: $X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$, deci câtul este $q=X^2+1$, iar restul $0$.

3. Nu. Împărțind, câtul este $X^2$ și restul $-2$: din $X^4+X^2-2-X^2(X^2+1)=-2$. Cum restul e nenul, $X^2+1\nmid f$. (De altfel $f=(X^2+2)(X^2-1)$.)

4. Câtul este $q=X-3$, restul $0$: $(X^2-3X+2)(X-3)=X^3-6X^2+11X-6$. ✓ Deci $g\mid f$, iar $f=(X-1)(X-2)(X-3)$.

5. Câtul este $q=X^2+X+1$, restul $0$, deci $g\mid f$. Verificare: $(X^2-4)(X^2+X+1)=X^4+X^3+X^2-4X^2-4X-4=X^4+X^3-3X^2-4X-4$. ✓

6. Fals. Din $g\mid f$ și $f\mid g$ rezultă doar că $f$ și $g$ sunt asociate, adică $f=cg$ cu $c$ constantă nenulă. Contraexemplu: $f=X-1$ și $g=2X-2$ se divid reciproc, dar sunt polinoame diferite.

7. Adevărat. Din $f=g{q}_1$ și $h=g{q}_2$ rezultă $f\pm h=g(q_1\pm q_2)$, deci $g$ divide ambele combinații (proprietatea P3).

8. $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, deci $X^2+X+1\mid X^3-1$. Apoi $X^6-1=(X^3-1)(X^3+1)$, deci $X^3-1\mid X^6-1$. Prin tranzitivitate (P2), $X^2+X+1\mid X^6-1$.

9. Împărțim $X^4+X^3+0\cdot X^2+aX+b$ la $X^2+X-2$: după primul pas (cât $X^2$) rămâne $2X^2+aX+b$; după al doilea (cât $2$) rămâne $(a-2)X+(b+4)$. Condiția rest nul dă $a=2$, $b=-4$. Câtul este $X^2+2$, iar verificarea: $(X^2+X-2)(X^2+2)=X^4+X^3+2X-4$. ✓

10. $X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1)$: la desfacere, toți termenii se anulează doi câte doi și rămâne $X^n-1$. Câtul are toți coeficienții egali cu $1$.

11. Împărțim $V$ la $x-1$ și obținem câtul $x^2+5x+6$, cu rest $0$; prin urmare $x-1\mid V$. Cum $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, avem $V(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$ — cei trei factori sunt chiar dimensiunile bazinului. Pentru $x=4$: $V(4)=3\cdot 6\cdot 7=126$ dm³ (adică $126$ litri).

12. Câtul trebuie să fie de forma $X^2+c$: $(X^2+1)(X^2+c)=X^4+(c+1)X^2+c$. Identificând, $c=1$ și $m=c+1=2$. Deci $m=2$, iar $f=(X^2+1{)}^2$.

13. Adevărat. Din $f=gq$ cu $f\ne 0$ rezultă $q\ne 0$, iar gradul produsului este suma gradelor: $\mathrm{grad}f=\mathrm{grad}g+\mathrm{grad}q\ge \mathrm{grad}g$.

14. $f=(X-2)(X-3)$, deci divizorii monici de gradul întâi sunt $X-2$ și $X-3$. (Orice asociat al lor, de pildă $5X-10$, divide de asemenea, dar nu e monic.)

15. Împărțim cu parametri: după pașii cu termenii de cât $X^2$, $2X$ și $a+5$, restul este $(4a+b+14)X+(-3a-12)$. Condiția rest nul: $-3a-12=0\Rightarrow a=-4$, apoi $4(-4)+b+14=0\Rightarrow b=2$. Câtul este $X^2+2X+1=(X+1{)}^2$. Verificare: $(X^2-4X+3)(X^2+2X+1)=X^4-2X^3-4X^2+2X+3$. ✓

16. Din $f=g{q}_1$ și $h=g{q}_2$: $3f-2h=g(3q_1-2q_2)$, deci $g\mid (3f-2h)$. Și $X^{5}f=g(X^5{q}_1)$, deci $g\mid X^{5}f$. (Sunt P3 și P4.)

17. Grupăm: $X^4+X^3-X-1=X^3(X+1)-(X+1)=(X+1)(X^3-1)=(X+1)(X-1)(X^2+X+1)$. Cum $(X+1)(X-1)=X^2-1$, rezultă $X^2-1\mid f$, cu câtul $X^2+X+1$.

18. Scriem $$X^{100}+X^{50}+1=\underset{A}{\underbrace{X\left(X^{99}-1\right)}}+\underset{B}{\underbrace{X^2\left(X^{48}-1\right)}}+\underset{C}{\underbrace{\left(X^2+X+1\right)}},$$ egalitate care se verifică desfăcând: $X^{100}-X+X^{50}-X^2+X^2+X+1=X^{100}+X^{50}+1$. ✓ Acum: $99$ și $48$ sunt multipli de $3$, deci $X^3-1$ divide atât $X^{99}-1$, cât și $X^{48}-1$ (identitatea $Y^k-1=(Y-1)(Y^{k-1}+\cdots +1)$ cu $Y=X^3$). Cum $X^2+X+1\mid X^3-1$, prin tranzitivitate $X^2+X+1$ divide $A$ și $B$; iar $C$ este chiar el. Din P3, $X^2+X+1$ divide suma, adică $f$. $■$

De reținut

• Definiție: $g\mid f$ înseamnă că există $q$ cu $f=g\cdot q$ — adică $f$ se descompune cu $g$ ca factor. Divizibilitatea și factorizarea sunt același lucru.
• Criteriul de lucru: $g\mid f$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Unicitatea câtului și a restului este cea care face criteriul corect.
• Proprietăți: tranzitivitatea ($h\mid g$, $g\mid f\Rightarrow h\mid f$), combinațiile ($g\mid f_1$, $g\mid f_2\Rightarrow g\mid h_1{f}_1+h_2{f}_2$) și regula gradelor ($g\mid f\ne 0\Rightarrow \mathrm{grad}g\le \mathrm{grad}f$).
• Divizorii nu sunt unici: orice asociat $c\cdot g$ divide la fel de bine. Răspunsul se dă, prin convenție, în forma monică.
• Parametri: pentru „$f$ se divide cu $g$", faci împărțirea cu parametri cu tot și pui toți coeficienții restului egali cu zero — un divizor de gradul $2$ dă exact două ecuații.

Greșeli frecvente

• Confuzia „rest zero" cu „cât zero". Divizibilitatea cere ca restul să fie nul; câtul e, dimpotrivă, factorul care ne interesează. Dacă ai obținut cât $0$ și rest $f$, înseamnă doar că $\mathrm{grad}f<\mathrm{grad}g$.
• Uitarea termenilor lipsă. La împărțirea lui $X^4-1$ trebuie scris $X^4+0X^3+0X^2+0X-1$. Coloanele nealiniate produc aproape sigur un rest fals.
• Punerea unei singure condiții la un divizor de gradul al doilea. Restul este $\alpha X+\beta$: trebuie $\alpha =0$ și $\beta =0$. Cu o singură ecuație obții o infinitate de „soluții" greșite.
• Credința că divizorul e unic. $X-2$ și $2X-4$ divid amândouă $X^2-5X+6$. Nu bifa un răspuns ca fiind greșit doar pentru că e scris cu alt factor constant — verifică dacă nu e un asociat.
• Împărțirea făcută degeaba. Dacă $\mathrm{grad}g>\mathrm{grad}f$ (și $f\ne 0$), divizibilitatea este imposibilă din start. Verifică gradele înainte de a scrie prima coloană.

Aplică acasă

1. Fabrica de probleme. Alege trei factori de gradul întâi cu numere mici, de exemplu $(X-1)$, $(X+2)$, $(X-5)$, și înmulțește-i. Ai obținut un polinom de gradul $3$ despre care știi tot. Șterge apoi doi coeficienți, înlocuiește-i cu $a$ și $b$ și dă problema unui coleg sub forma „determină $a$ și $b$ știind că polinomul se divide cu…". Așa înveți să vezi problema din partea celui care o compune.

2. Divizibilitate în calendar. Verifică pentru $n=1,2,3,4,5$ că $10^n-1$ este divizibil cu $9$ (adică $9,99,999,\dots$). Compară cu identitatea $X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +1)$ pentru $X=10$: numerele $1,11,111,\dots$ sunt exact câturile. Divizibilitatea polinoamelor „coboară" în divizibilitatea numerelor ori de câte ori dai lui $X$ o valoare întreagă.

3. Cutia din carton. Ia o cutie de pantofi și măsoară-i dimensiunile în centimetri, rotunjite la număr întreg. Scrie polinomul $(X-a)(X-b)(X-c)$ unde $a,b,c$ sunt cele trei dimensiuni, desfă parantezele și verifică pe polinomul obținut, prin împărțire, că se divide cu $X-a$. Vei folosi exact aceeași idee la lecția despre relațiile lui Viète.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la „știu să împart polinoame" la „știu ce înseamnă că împărțirea iese exact". Este pragul de la care capitolul devine util: divizibilitatea este limbajul în care se formulează descompunerea în factori și, mai departe, rezolvarea ecuațiilor algebrice. Analogia cu numerele întregi este intenționată și trebuie exploatată la maximum — elevul are deja toată intuiția necesară din gimnaziu.

Ce verifică lecția: (1) elevul folosește definiția prin factorizare, nu doar „rest zero" ca formulă memorată; (2) știe că unicitatea din teorema împărțirii cu rest este cea care legitimează criteriul; (3) pune toate condițiile când restul are mai mulți coeficienți; (4) verifică prin înmulțire înapoi. Întrebări bune de control: „De ce, dacă restul e zero, nu mai poate exista o altă împărțire cu rest nenul?", „Câte ecuații obții dacă divizorul are gradul $3$?" (răspuns: trei), „Dă-mi doi divizori de gradul întâi diferiți ai lui $X^2-1$" (răspuns: $X-1$ și $X+1$; sau asociate).

La Bacalaureat M1, subiectul de algebră conține aproape mereu o cerință de tipul „determinați $a$ astfel încât polinomul să se dividă cu…" sau „calculați restul împărțirii". Punctele se dau pe pași: scrierea împărțirii, obținerea restului, punerea condiției, rezolvarea sistemului. Semne că elevul a înțeles: verifică singur rezultatul, nu se sperie de un polinom cu termeni lipsă și explică de ce $2X-4$ „e tot atât de bun divizor" ca $X-2$.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un polinom se divide cu altul? Înseamnă că există un al treilea polinom care, înmulțit cu divizorul, dă exact polinomul de la început: $f=g\cdot q$. Echivalent și practic: restul împărțirii lui $f$ la $g$ este zero. Notăm $g\mid f$.

Cum verific rapid dacă un polinom se divide cu altul? Faci împărțirea (în coloană sau cu schema lui Horner, dacă divizorul e de forma $X-a$) și te uiți la rest. Rest zero înseamnă divizibilitate; orice rest nenul o exclude. Înainte de asta, compară gradele: dacă divizorul are gradul mai mare, răspunsul e „nu" fără niciun calcul.

De ce restul zero este echivalent cu divizibilitatea? Pentru că teorema împărțirii cu rest garantează că perechea (cât, rest) este unică. Dacă $f=gq$, atunci scrierea $f=gq+0$ este chiar acea pereche unică, deci restul nu poate fi altceva decât $0$.

Ce sunt polinoamele asociate? Două polinoame care diferă printr-un factor constant nenul, de exemplu $X-2$ și $3X-6$. Ele se divid reciproc și au exact aceleași rădăcini, deci ca divizori sunt interschimbabile. Din acest motiv răspunsurile se dau, prin convenție, în forma monică.

Cum determin un parametru dintr-o condiție de divizibilitate? Faci împărțirea păstrând parametrul în calcule, obții restul (care conține parametrul) și pui fiecare coeficient al restului egal cu zero. Rezolvi sistemul obținut și verifici la final prin înmulțire înapoi.

Câte condiții obțin dacă divizorul are gradul 2? Exact două, pentru că restul are gradul cel mult $1$, adică forma $\alpha X+\beta$, și trebuie ca $\alpha =0$ și $\beta =0$. În general, un divizor de gradul $n$ dă $n$ condiții.

De ce $X-a$ divide întotdeauna $X^n-a^n$? Pentru că are loc identitatea $X^n-a^n=(X-a)(X^{n-1}+a{X}^{n-2}+\cdots +a^{n-1})$: la desfacerea parantezelor termenii se anulează în lanț și rămân doar $X^n$ și $-a^n$. Pentru $n$ impar există și varianta cu semnul plus: $X^n+a^n$ se divide cu $X+a$.

Divizibilitatea polinoamelor apare la Bacalaureat M1? Da, la proba M1, în subiectul de algebră: determinarea unor parametri din condiții de divizibilitate, calculul unui rest sau descompunerea unui polinom folosind un divizor cunoscut. Este una dintre cerințele cu cel mai bun raport dintre efort și punctaj, pentru că metoda este mereu aceeași.