Ce afirmă teorema lui Bézout?

$$(X-a)\mid f$$ dacă și numai dacă $$f(a)=0$$

$$(X-a)\mid f$$ dacă și numai dacă $$f(0)=a$$

$$f\mid(X-a)$$ dacă și numai dacă $$f(a)=0$$

$$(X-a)\mid f$$ dacă și numai dacă $$a$$ divide termenul liber

Cum descompun X³-3X²+4 cu ajutorul teoremei lui Bézout?

Cauți valori care anulează polinomul: f(2)=8-12+4=0 și f(-1)=-1-3+4=0, deci se divide cu X-2 și cu X+1. Împărțind, obții X³-3X²+4=(X+1)(X-2)². Verificare: (X+1)(X²-4X+4)=X³-3X²+4, iar 2 este rădăcină dublă.

Când se divide un polinom cu (X − a)(X − b)?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Divizibilitate și Bézout

Pentru $a \neq = b$ , polinomul se divide cu $(X - a) (X - b)$ exact când $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ , după teorema lui Bézout aplicată de două ori. Exemplu: $X^{3} + a X^{2} + b X + 2$ se divide cu $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ . Din $f (1) = 0$ rezultă $a + b = - 3$ , iar din $f (- 1) = 0$ rezultă $a - b = - 1$ , deci $a = - 2$ și $b = - 1$ . Verificare: $X^{3} - 2 X^{2} - X + 2 = (X - 2) (X^{2} - 1)$ .

Definiția. Un polinom nenul $g$ divide polinomul $f$ atunci când se găsește un $h$ cu $f = g \cdot h$ ; notația este $g ∣ f$ . Sensul relației nu ține de convenția de scriere — cel care se desface în bucăți este $f$ .

Criteriul general spune că $g ∣ f$ tocmai când împărțirea lui $f$ la $g$ lasă restul nul; pentru un divizor de gradul al doilea sau mai mare, acesta rămâne singurul drum.

Teorema lui Bézout scurtează lucrurile la divizorii de gradul întâi: $(X - a) ∣ f$ are loc dacă și numai dacă $f (a) = 0$ . În locul unei împărțiri întregi rămâne o singură înlocuire de număr. Ai grijă la semn — divizorului $X + a$ îi corespunde evaluarea în $- a$ .

Un tipar de cerință cere parametrul real pentru care $f$ se divide cu $X - a$ ; îl afli din ecuația $f (a) = 0$ . Nu îl amesteca cu enunțul „restul împărțirii la $X - a$ este $c$ ”, care conduce la $f (a) = c$ : alte ecuații, alte valori ale parametrului.

Când $a \neq = b$ , divizibilitatea cu $(X - a) (X - b)$ pretinde două condiții deodată, $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ — cu doi parametri necunoscuți iese un sistem. Iar dacă divizorul nu se descompune cu numere întregi, Bézout tace și te întorci la împărțire.

De reținut

$(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$
la divizorul $X + a$ se calculează $f (- a)$
divizibilitatea cu $(X - a) (X - b)$ , $a \neq = b$ , cere $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$

Greșeala tipică

Pentru divizibilitatea cu $X^{2} - 1$ se pune doar condiția $f (1) = 0$ ; divizorul are două rădăcini, deci sunt necesare ambele condiții, $f (1) = 0$ și $f (- 1) = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce afirmă teorema lui Bézout?
- a) $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$
- b) $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (0) = a$
- c) $f ∣ (X - a)$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$
- d) $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $a$ divide termenul liber
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$

Restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ , iar divizibilitatea înseamnă rest nul — de aici echivalența. Varianta c) inversează rolurile: un polinom de gradul întâi nu poate avea divizori de grad mai mare.
Pentru ce valoare a lui $m$ polinomul $f = X^{3} + m X - 6$ se divide cu $X - 2$ ?
- a) $m = 1$
- b) $m = - 1$
- c) $m = 3$
- d) $m = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m = - 1$

Condiția este $f (2) = 0$ : $8 + 2 m - 6 = 0$ , deci $2 m = - 2$ și $m = - 1$ . Verificare: $f = X^{3} - X - 6$ dă $f (2) = 8 - 2 - 6 = 0$ ✓.
Cerința „restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este $3$ ” se scrie ca ecuație:
- a) $f (1) = 0$
- b) $f (1) = 3$
- c) $f (3) = 1$
- d) $f (0) = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (1) = 3$

Restul împărțirii la $X - 1$ este $f (1)$ , iar enunțul spune că el este $3$ . Varianta a) ar fi condiția de divizibilitate cu $X - 1$ — altă cerință, altă valoare a parametrului.

Întrebări conexe

Cum descompun $X^{3} - 3 X^{2} + 4$ cu ajutorul teoremei lui Bézout?

Cauți valori care anulează polinomul: $f (2) = 8 - 12 + 4 = 0$ și $f (- 1) = - 1 - 3 + 4 = 0$ , deci se divide cu $X - 2$ și cu $X + 1$ . Împărțind, obții $X^{3} - 3 X^{2} + 4 = (X + 1) (X - 2)^{2}$ . Verificare: $(X + 1) (X^{2} - 4 X + 4) = X^{3} - 3 X^{2} + 4$ , iar $2$ este rădăcină dublă.

Se divide $X^{10} - 1$ cu $X + 1$ ?

Da, pentru că $f (- 1) = (- 1)^{10} - 1 = 0$ . În schimb, $X^{11} - 1$ nu se divide cu $X + 1$ : $(- 1)^{11} - 1 = - 2$ , deci restul împărțirii este $- 2$ . Paritatea exponentului decide rezultatul, pentru că $- 1$ ridicat la o putere pară dă $1$ , iar la una impară dă $- 1$ .

De ce $X^{2} + 1$ nu are niciun divizor de forma $X - a$ cu $a$ real?

Pentru orice număr real $a$ , $a^{2} + 1 \geq 1$ , deci $f (a)$ nu este niciodată zero. După teorema lui Bézout, niciun $X - a$ cu $a$ real nu divide $X^{2} + 1$ . La M2 polinoamele rămân cu coeficienți și rădăcini reale.

Ce arată divizibilitatea cu $X - a$ pe graficul polinomului?

Dacă $X - a$ divide $f$ , atunci $f (a) = 0$ , deci punctul $(a, 0)$ se află pe grafic. Cu alte cuvinte, curba atinge axa $O x$ în abscisa $a$ . Pentru $X^{3} - 3 X^{2} + 4$ , divizorul $X - 2$ corespunde punctului $(2, 0)$ .

Poate un polinom de gradul $2$ să se dividă cu trei factori $X - a$ diferiți?

Nu, dacă polinomul este nenul. Produsul a trei factori de gradul întâi are gradul $3$ , iar un multiplu nenul al lui ar avea gradul cel puțin $3$ . Așadar un polinom nenul de gradul $2$ are cel mult două rădăcini reale distincte.

Oamenii mai întreabă și: polinom divizibil cu un produs de doi factori · divizibilitatea cu X pătrat minus 1 · doi parametri din condiții de divizibilitate · când se divide un polinom cu un polinom de gradul 2

Când se divide un polinom cu (X − a)(X − b)?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum descompun X3−3X2+4 cu ajutorul teoremei lui Bézout?

Se divide X10−1 cu X+1?

De ce X2+1 nu are niciun divizor de forma X−a cu a real?

Ce arată divizibilitatea cu X−a pe graficul polinomului?

Poate un polinom de gradul 2 să se dividă cu trei factori X−a diferiți?

Continuă cu

Cum descompun $X^{3} - 3 X^{2} + 4$ cu ajutorul teoremei lui Bézout?

Se divide $X^{10} - 1$ cu $X + 1$ ?

De ce $X^{2} + 1$ nu are niciun divizor de forma $X - a$ cu $a$ real?

Ce arată divizibilitatea cu $X - a$ pe graficul polinomului?

Poate un polinom de gradul $2$ să se dividă cu trei factori $X - a$ diferiți?