Divizibilitatea polinoamelor. Teorema lui Bézout (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un subiect de examen îți cere: „arătați că polinomul $f$ este divizibil cu $X + 1$ ". Ai două drumuri. Primul: faci împărțirea, cu toți pașii ei, și te uiți dacă restul iese zero. Al doilea: înlocuiești $X$ cu $- 1$ , obții un număr și te uiți dacă acel număr este zero. Al doilea drum ține zece secunde și se sprijină pe rezultatul din lecția de față, teorema lui Bézout. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), pune la un loc definiția divizibilității polinoamelor și criteriul care o transformă într-o simplă înlocuire. La bacalaureatul M2 2027–2029 polinoamele apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; la proba MAT_P2 din 2030 ele intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a pe care îl parcurgi acum.

Ideea vine tot din aritmetica de gimnaziu. Acolo ai învățat, la relația de divizibilitate, divizori și multipli, că $3$ divide $12$ pentru că $12 = 3 \cdot 4$ — adică pentru că împărțirea se termină fără rest. Pentru polinoame definiția are exact aceeași formă; ce se schimbă este viteza cu care o poți verifica, atunci când divizorul e cât se poate de simplu.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă că un polinom divide alt polinom și cum se scrie această relație.
Vei ști să decizi divizibilitatea cu ajutorul restului, folosind împărțirea pe care o știi deja.
Vei ști să enunți și să justifici teorema lui Bézout, criteriul care înlocuiește o împărțire cu o singură evaluare.
Vei ști să determini un parametru real din condiția ca un polinom să se dividă cu $X - a$ — cerință de examen la acest capitol.
Vei ști ce condiții se pun atunci când divizorul se descompune în doi factori diferiți, fiecare de gradul întâi.
Vei ști când Bézout nu are ce să spună și trebuie să te întorci la împărțire.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un polinom divide alt polinom?

Divizibilitatea polinoamelor este relația care leagă două polinoame atunci când unul se cuprinde în celălalt de un număr exact de ori: spunem că polinomul nenul $g$ divide polinomul $f$ dacă există un polinom $h$ , cu coeficienți reali, pentru care $f = g \cdot h$ . Se scrie $g ∣ f$ și se citește „ $g$ divide $f$ "; despre $g$ se spune că este un divizor al lui $f$ , iar despre $f$ , că este un multiplu al lui $g$ .

Un exemplu de citit din prima: din egalitatea $X^{2} + X - 12 = (X - 3) (X + 4)$ rezultă deodată două lucruri, anume $(X - 3) ∣ (X^{2} + X - 12)$ și $(X + 4) ∣ (X^{2} + X - 12)$ , cu partenerii $h$ luați unul din celălalt.

Două observații care taie din start jumătate din greșeli. Prima: relația nu este simetrică — $X - 3$ divide $X^{2} + X - 12$ , dar nu invers, fiindcă un polinom de gradul întâi nu se poate scrie ca produs dintre unul de gradul al doilea și altceva. A doua, care decurge din ea: dacă $g ∣ f$ și $f$ este nenul, atunci gradul lui $g$ nu depășește gradul lui $f$ , pentru că gradul unui produs este suma gradelor. Înainte de orice calcul, compară gradele.

2. Cum verific divizibilitatea cu ce știu deja?

Cu restul. Din teorema împărțirii cu rest la polinoame știi că $f = g \cdot q + r$ , cu perechea $(q, r)$ unică. Dacă restul este nul, egalitatea devine $f = g \cdot q$ , deci $g$ divide $f$ , cu $h = q$ . Invers, dacă $g ∣ f$ , atunci $f = g \cdot h$ este o scriere cu rest nul, iar unicitatea din teoremă spune că nu mai există alta: restul împărțirii este zero.

Așadar: $g$ divide $f$ exact atunci când restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Criteriul acesta funcționează pentru orice divizor, oricât de complicat, și este singurul de care dispui când divizorul are gradul al doilea sau mai mare.

Merită observat cât de mult spune cuvântul „unic" din teorema împărțirii. Fără el, un rest nenul nu ar dovedi nimic: ai putea bănui că există o altă împărțire, mai norocoasă, în care restul iese zero. Unicitatea închide portița — dacă o singură împărțire dă rest nenul, divizibilitatea nu are loc, și nu mai e nimic de încercat.

Să-l vedem la lucru pe $f = X^{3} - 3 X^{2} - 6 X + 8$ și $g = X - 1$ . Împărțind, obținem câtul $X^{2} - 2 X - 8$ și restul $0$ , deci $X - 1$ divide $f$ și $f = (X - 1) (X^{2} - 2 X - 8)$ . Cum trinomul rămas se scrie $(X - 4) (X + 2)$ , polinomul întreg se desface în $f = (X - 1) (X - 4) (X + 2)$ .

3. Ce spune teorema lui Bézout?

Când divizorul are forma cea mai simplă cu putință, $X - a$ , verificarea se scurtează dramatic.

Teorema lui Bézout. Fie $f$ un polinom cu coeficienți reali și $a$ un număr real. Atunci $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ .

Justificare. Din lecția despre schema lui Horner știi că restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este chiar numărul $f (a)$ , deci putem scrie, oricare ar fi $f$ și $a$ ,

$f = (X - a) \cdot q + f (a) .$

Dacă $X - a$ divide $f$ , restul este nul, adică $f (a) = 0$ . Dacă, dimpotrivă, $f (a) = 0$ , egalitatea de mai sus devine $f = (X - a) \cdot q$ , ceea ce înseamnă exact că $X - a$ divide $f$ . Cele două implicații epuizează echivalența.

Un număr $a$ pentru care $f (a) = 0$ se numește rădăcină a polinomului; despre rădăcinile reale și despre cum se caută ele sistematic vei citi în lecția despre rădăcinile reale și ecuațiile polinomiale. Teorema lui Bézout este puntea dintre cele două lumi: fiecare rădăcină a lui $f$ dă un divizor de gradul întâi al lui $f$ , și fiecare astfel de divizor dă o rădăcină.

Atenție la citirea lui $a$ din divizor — aici se greșește cel mai ușor. La $X + 1$ se evaluează în $- 1$ , fiindcă $X + 1 = X - (- 1)$ ; la $X - 5$ , în $5$ .

4. Cum determin un parametru dintr-o condiție de divizibilitate?

Aceasta este cerința-tip de la examen, iar rețeta are trei rânduri: scrii condiția de divizibilitate ca $f (a) = 0$ , calculezi $f (a)$ în funcție de parametru, rezolvi ecuația obținută.

Fie $f = X^{3} + m X^{2} - 5 X + 6$ , cu $m$ număr real, și cerința ca $f$ să se dividă cu $X - 2$ . Condiția este $f (2) = 0$ , iar

$f (2) = 8 + 4 m - 10 + 6 = 4 m + 4.$

Din $4 m + 4 = 0$ obținem $m = - 1$ . Verificăm, cum se cuvine: pentru $m = - 1$ avem $f = X^{3} - X^{2} - 5 X + 6$ și $f (2) = 8 - 4 - 10 + 6 = 0$ . Câtul împărțirii la $X - 2$ este $X^{2} + X - 3$ , deci $f = (X - 2) (X^{2} + X - 3)$ .

Observă economia: nicio împărțire cu parametru, nicio identificare de coeficienți — doar o înlocuire și o ecuație de gradul întâi în $m$ . Redactarea numără și ea, fiindcă se scriu pașii, nu doar rezultatul: se scrie mai întâi condiția în cuvintele teoremei, apoi calculul valorii, apoi ecuația și valoarea parametrului, iar la sfârșit verificarea. Un răspuns care începe direct cu numărul găsit, fără condiția din care a ieșit, lasă rezolvarea incompletă chiar dacă numărul este corect.

5. Ce condiții pun când divizorul are doi factori de gradul întâi?

Dacă divizorul se descompune în factori de gradul întâi distincți, condițiile se adună, una pentru fiecare factor.

Fie $a \neq = b$ . Dacă $(X - a) (X - b) ∣ f$ , atunci $f = (X - a) (X - b) \cdot h$ , iar înlocuind pe rând $X = a$ și $X = b$ obținem $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ . Reciproc, din $f (a) = 0$ și Bézout avem $f = (X - a) \cdot q$ ; punând $X = b$ rezultă $0 = (b - a) \cdot q (b)$ , iar cum $b - a \neq = 0$ , rămâne $q (b) = 0$ , deci $q$ se divide la rândul lui cu $X - b$ . Punând la un loc, $f$ se divide cu produsul celor doi factori.

Pe scurt: pentru $a \neq = b$ , polinomul $f$ se divide cu $(X - a) (X - b)$ exact atunci când $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ . Cu doi parametri necunoscuți, cele două condiții dau un sistem de două ecuații. Ipoteza „factori diferiți" nu e un moft: pentru $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ ea e îndeplinită, dar pentru $(X - 1)^{2}$ nu, iar acolo o singură condiție nu mai ajunge.

6. Ce fac dacă divizorul nu se descompune ușor?

Te întorci la criteriul general, adică la împărțire. Bézout se aplică numai divizorilor de forma $X - a$ ; când divizorul este de gradul al doilea și nu îi vezi factorii cu numere întregi, împărțirea rămâne singurul drum sigur.

Ia $f = X^{3} + 2 X^{2} - 2 X - 4$ și $g = X^{2} - 2$ . Ai putea căuta „rădăcini" ale lui $g$ , dar ele nu sunt numere întregi, deci nu-ți folosesc la nimic în calcul. Împărțim: primul termen al câtului este $X$ , iar scăzând $X (X^{2} - 2)$ rămâne $2 X^{2} - 4$ ; al doilea termen este $2$ , iar scăzând $2 (X^{2} - 2)$ rămâne $0$ . Restul fiind nul, $X^{2} - 2$ divide $f$ și $f = (X^{2} - 2) (X + 2)$ .

Și un caz în care divizibilitatea nu are loc: împărțind $X^{3} + X^{2} + X + 2$ la $X^{2} + 1$ obținem câtul $X + 1$ și restul $1$ . Restul nefiind nul, $X^{2} + 1$ nu divide polinomul dat — oricât de aproape ar părea de el.

Reține deci împărțirea de roluri dintre cele două unelte. Criteriul restului merge întotdeauna, dar costă un calcul întreg. Teorema lui Bézout costă o singură înlocuire, însă vorbește numai despre divizori de gradul întâi. Alegi în funcție de ce ai în față și de ce ți se cere: pentru un simplu verdict la un divizor de forma $X - a$ pornești cu evaluarea, iar împărțirea o faci abia dacă ai nevoie și de cât.

7. Se schimbă ceva dacă înmulțesc divizorul cu un număr?

Nu. Dacă $g ∣ f$ și $c$ este un număr real nenul, atunci și $c \cdot g$ divide $f$ : din $f = g \cdot h$ scoatem $f = (c \cdot g) \cdot \frac{h}{c}$ , iar câtul rămâne un polinom. Așadar $X - 2$ și $2 X - 4$ au exact aceiași multipli, deși nu sunt același polinom.

De aici o consecință practică pentru examen: dacă un enunț cere divizibilitatea cu $2 X - 4$ , lucrezi cu $X - 2$ , adică pui condiția $f (2) = 0$ . În general, un divizor de gradul întâi se aduce mai întâi la forma $X - a$ , împărțind la coeficientul dominant, și abia apoi se aplică teorema lui Bézout.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Divizibilitate verificată prin evaluare

Arătați, fără a efectua împărțirea, că polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} - 11 X + 12$ se divide cu $X - 1$ și scrieți câtul.

Rezolvare. Din teorema lui Bézout, condiția este $f (1) = 0$ . Calculăm: $f (1) = 1 - 2 - 11 + 12 = 0$ , deci $(X - 1) ∣ f$ .

Pentru cât facem împărțirea la $X - 1$ și obținem $q = X^{2} - X - 12$ , deci $f = (X - 1) (X^{2} - X - 12)$ . Verificare, desfăcând produsul: $X^{3} - X^{2} - 12 X - X^{2} + X + 12 = X^{3} - 2 X^{2} - 11 X + 12$ .

Exemplul 2 — Când divizibilitatea nu are loc

Stabiliți dacă polinomul $f = X^{3} - X^{2} + 3 X + 4$ se divide cu $X + 2$ .

Rezolvare. Divizorul este $X - (- 2)$ , deci evaluăm în $- 2$ :

$f (- 2) = - 8 - 4 - 6 + 4 = - 14.$

Cum $f (- 2) \neq = 0$ , polinomul nu se divide cu $X + 2$ . În plus, numărul obținut nu e doar un verdict: el este chiar restul împărțirii lui $f$ la $X + 2$ , adică $- 14$ .

Exemplul 3 — Parametrul dintr-o condiție de divizibilitate

Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f = X^{3} + 4 X^{2} + m X + 2$ se divide cu $X + 2$ , apoi scrieți câtul.

Rezolvare. Condiția este $f (- 2) = 0$ , adică

$- 8 + 16 - 2 m + 2 = 10 - 2 m = 0,$

de unde $m = 5$ . Pentru această valoare, $f = X^{3} + 4 X^{2} + 5 X + 2$ , iar împărțirea la $X + 2$ dă câtul $X^{2} + 2 X + 1$ și restul $0$ . Așadar $f = (X + 2) (X^{2} + 2 X + 1)$ , iar cum $X^{2} + 2 X + 1 = (X + 1)^{2}$ , polinomul se scrie și $f = (X + 2) (X + 1)^{2}$ .

Exemplul 4 — Doi parametri, doi factori

Determinați numerele reale $m$ și $n$ pentru care polinomul $f = X^{4} + m X^{3} - 3 X^{2} + n X + 4$ se divide cu $(X - 1) (X + 2)$ .

Rezolvare. Cei doi factori sunt diferiți, deci condițiile sunt $f (1) = 0$ și $f (- 2) = 0$ :

$f (1) = 1 + m - 3 + n + 4 = m + n + 2, f (- 2) = 16 - 8 m - 12 - 2 n + 4 = - 8 m - 2 n + 8.$

Obținem sistemul $m + n = - 2$ și $4 m + n = 4$ . Scăzând prima ecuație din a doua, $3 m = 6$ , deci $m = 2$ și $n = - 4$ .

Verificare: $f = X^{4} + 2 X^{3} - 3 X^{2} - 4 X + 4$ , iar $f (1) = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0$ și $f (- 2) = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0$ . Împărțind la $X^{2} + X - 2$ obținem câtul $X^{2} + X - 2$ și restul $0$ .

Exemplul 5 — Un vas și cele trei laturi ale lui

Un vas paralelipipedic are volumul $V (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ centimetri cubi, unde $x$ este o lungime exprimată în centimetri, $x > 1$ . Arătați că $V$ se divide cu $x - 1$ și găsiți cele trei dimensiuni ale vasului.

Rezolvare. Evaluăm în $1$ : $V (1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0$ , deci, prin teorema lui Bézout, $x - 1$ este un divizor al lui $V$ . Împărțind, obținem câtul $x^{2} + 7 x + 10$ , care se descompune în $(x + 2) (x + 5)$ . Prin urmare

$V (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 5) .$

Cele trei dimensiuni sunt $x - 1$ , $x + 2$ și $x + 5$ centimetri; condiția $x > 1$ le face pe toate pozitive, cum se cuvine unor lungimi. Control numeric, pentru $x = 3$ : dimensiunile sunt $2$ , $5$ și $8$ cm, cu produsul $80$ cm³, iar $V (3) = 27 + 54 + 9 - 10 = 80$ cm³.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X - 6$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $f (0) = - 6$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați $m$ știind că polinomul $f$ este divizibil cu $X + 1$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), determinați restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 5$ .

Rezolvare. a) Înlocuind $X$ cu $0$ , toți termenii care conțin $X$ se anulează, inclusiv $m X^{2}$ , și rămâne termenul liber: $f (0) = - 6$ , oricare ar fi $m$ .

b) Divizibilitatea cu $X + 1$ înseamnă, prin teorema lui Bézout, $f (- 1) = 0$ . Calculăm $f (- 1) = - 1 + m + 4 - 6 = m - 3$ , deci condiția $m - 3 = 0$ dă $m = 3$ .

c) Pentru $m = 3$ avem $f = X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 6$ . Împărțim la $X^{2} - 5$ : primul termen al câtului este $X$ , iar scăzând $X (X^{2} - 5)$ rămâne $3 X^{2} + X - 6$ ; al doilea termen este $3$ , iar scăzând $3 (X^{2} - 5)$ rămâne $X + 9$ . Restul cerut este $r = X + 9$ .

Control: $(X^{2} - 5) (X + 3) + X + 9 = X^{3} + 3 X^{2} - 5 X - 15 + X + 9 = X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 6$ . Observă că, la punctul c), Bézout nu mai ajută: divizorul are gradul al doilea, deci drumul este împărțirea.

Să exersăm

Regula de pornire: dacă divizorul are gradul întâi, evaluează; dacă are gradul al doilea sau mai mare, împarte. Iar când enunțul cere și câtul, evaluarea îți dă doar verdictul — câtul vine tot din împărțire.

1. Arată că polinomul $X^{3} - 2 X^{2} - 4 X + 3$ se divide cu $X - 3$ și scrie câtul.

2. Stabilește dacă polinomul $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 5$ se divide cu $X^{2} + 2$ .

3. Determină $m \in R$ astfel încât polinomul $X^{3} + m X^{2} + 2 X + 3$ să se dividă cu $X - 3$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f (2) = 0$ , atunci polinomul $f$ se divide cu $X + 2$ ."

5. Determină $m \in R$ astfel încât polinomul $X^{3} + 3 X^{2} + m X + 6$ să se dividă cu $X + 1$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + 2 X - 8$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $f$ este divizibil cu $X - 2$ . b) Pentru valoarea găsită, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ .

7. Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care polinomul $X^{4} + m X^{3} + n X^{2} - X - 2$ se divide cu $(X - 1) (X + 1)$ .

8. Arată că polinomul $X^{3} + 4 X^{2} - 7 X - 28$ se divide cu $X^{2} - 7$ și scrie câtul.

9. Poate un polinom nenul de gradul al doilea să se dividă cu un polinom de gradul al treilea? Justifică în două fraze.

10. (Problemă aplicată.) O placă dreptunghiulară de metal are aria $A (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 17 x - 60$ centimetri pătrați, iar una dintre laturile ei măsoară $x + 3$ centimetri, unde $x > 4$ . Arată că lungimea celeilalte laturi se exprimă printr-un polinom și determin-o; verifică apoi rezultatul pentru $x = 5$ .

11. Arată că polinomul $X^{3} + 2 X^{2} - 13 X + 10$ se divide cu $X - 1$ și descompune-l în trei factori de gradul întâi.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} + m X + 6$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $f$ este divizibil cu $X + 3$ . b) Pentru valoarea găsită, determină restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 2$ .

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $X - 2$ divide $f$ și $X - 5$ divide $f$ , atunci $(X - 2) (X - 5)$ divide $f$ ."

14. Determină $m \in R$ astfel încât polinomul $X^{3} + m X^{2} - 9 X - 45$ să se dividă cu $X - 3$ , apoi verifică dacă se divide și cu $X + 3$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{4} + m X^{3} + n X^{2} + 3 X - 12$ , unde $m$ și $n$ sunt numere reale. a) Determină $m$ și $n$ știind că $f$ este divizibil cu $X^{2} - 3 X - 4$ . b) Pentru valorile găsite, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 3 X - 4$ .

16. Arată că polinomul $X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 12$ nu se divide cu $X - 1$ și precizează restul împărțirii lui la $X - 1$ .

17. Un enunț cere divizibilitatea unui polinom $f$ cu $3 X - 6$ . Explică de ce condiția se scrie $f (2) = 0$ și nu $f (6) = 0$ .

18. (Provocare.) Arată că polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - m X - 1$ se divide cu $X - 1$ oricare ar fi numărul real $m$ , apoi determină câtul, în funcție de $m$ .

Răspunsuri și explicații

1. $f (3) = 27 - 18 - 12 + 3 = 0$ , deci $(X - 3) ∣ f$ , prin teorema lui Bézout. Împărțind la $X - 3$ obținem câtul $X^{2} + X - 1$ și restul $0$ , deci $f = (X - 3) (X^{2} + X - 1)$ .

2. Divizorul are gradul al doilea, deci folosim criteriul restului. Împărțind, primul termen al câtului este $X$ și rămâne $2 X^{2} + X + 5$ , iar al doilea este $2$ și rămâne $X + 1$ . Restul $X + 1$ nu este polinomul nul, deci $X^{2} + 2$ nu divide polinomul dat.

3. Condiția $f (3) = 0$ se scrie $27 + 9 m + 6 + 3 = 9 m + 36 = 0$ , deci $m = - 4$ . Verificare: pentru $m = - 4$ , $f (3) = 27 - 36 + 6 + 3 = 0$ .

4. Fals. Din $f (2) = 0$ rezultă, prin teorema lui Bézout, că $f$ se divide cu $X - 2$ , nu cu $X + 2$ . Pentru $X + 2$ ar trebui ca $f (- 2)$ să fie zero, ceea ce este cu totul altceva. Contraexemplu: $f = X - 2$ are $f (2) = 0$ , dar nu se divide cu $X + 2$ .

5. Condiția $f (- 1) = 0$ dă $- 1 + 3 - m + 6 = 8 - m = 0$ , deci $m = 8$ . Pentru $m = 8$ , câtul împărțirii lui $X^{3} + 3 X^{2} + 8 X + 6$ la $X + 1$ este $X^{2} + 2 X + 6$ , iar trinomul rămas are discriminantul $4 - 24 < 0$ , deci alt divizor de gradul întâi nu mai există.

6. a) Condiția $f (2) = 0$ se scrie $8 + 4 m + 4 - 8 = 4 m + 4 = 0$ , deci $m = - 1$ . b) Pentru $f = X^{3} - X^{2} + 2 X - 8$ , împărțirea la $X - 2$ dă câtul $X^{2} + X + 4$ și restul $0$ .

7. Factorii $X - 1$ și $X + 1$ sunt diferiți, deci condițiile sunt $f (1) = 0$ și $f (- 1) = 0$ : $1 + m + n - 1 - 2 = m + n - 2$ și $1 - m + n + 1 - 2 = - m + n$ . Din $m + n = 2$ și $n = m$ obținem $m = 1$ și $n = 1$ .

8. Împărțim la $X^{2} - 7$ : primul termen al câtului este $X$ , iar scăzând $X (X^{2} - 7)$ rămâne $4 X^{2} - 28$ ; al doilea este $4$ , iar scăzând $4 (X^{2} - 7)$ rămâne $0$ . Deci $X^{3} + 4 X^{2} - 7 X - 28 = (X^{2} - 7) (X + 4)$ .

9. Nu. Dacă un polinom nenul $f$ s-ar divide cu un polinom $g$ , am avea $f = g \cdot h$ cu $h$ nenul, deci gradul lui $f$ ar fi suma gradelor lui $g$ și $h$ , adică cel puțin gradul lui $g$ . Un polinom de gradul al doilea nu poate avea deci un divizor de gradul al treilea.

10. Cealaltă latură se exprimă printr-un polinom exact când împărțirea ariei la $X + 3$ este fără rest, adică, prin teorema lui Bézout, când $A (- 3) = 0$ : într-adevăr, $- 27 + 36 + 51 - 60 = 0$ . Câtul împărțirii lui $A$ la $X + 3$ este $X^{2} + X - 20$ , deci a doua latură măsoară $x^{2} + x - 20$ centimetri (pozitivă pentru $x > 4$ ). Verificare pentru $x = 5$ : aria este $125 + 100 - 85 - 60 = 80$ cm², prima latură are $8$ cm, iar a doua $25 + 5 - 20 = 10$ cm, cu produsul $8 \cdot 10 = 80$ cm².

11. $f (1) = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$ , deci $(X - 1) ∣ f$ . Câtul împărțirii la $X - 1$ este $X^{2} + 3 X - 10 = (X + 5) (X - 2)$ , deci $f = (X - 1) (X + 5) (X - 2)$ .

12. a) Condiția $f (- 3) = 0$ se scrie $- 27 + 18 - 3 m + 6 = - 3 m - 3 = 0$ , deci $m = - 1$ . b) Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} - X + 6$ , împărțirea la $X^{2} - 2$ dă câtul $X + 2$ și restul $X + 10$ .

13. Adevărat. Numerele $2$ și $5$ sunt diferite, iar din ipoteză $f (2) = 0$ și $f (5) = 0$ . Este exact situația din secțiunea 5: din $f (2) = 0$ avem $f = (X - 2) q$ , iar din $f (5) = 0$ rezultă $q (5) = 0$ , deci $q$ se divide cu $X - 5$ .

14. Condiția $f (3) = 0$ se scrie $27 + 9 m - 27 - 45 = 9 m - 45 = 0$ , deci $m = 5$ . Pentru $f = X^{3} + 5 X^{2} - 9 X - 45$ avem și $f (- 3) = - 27 + 45 + 27 - 45 = 0$ , deci polinomul se divide și cu $X + 3$ — și, prin urmare, cu produsul $X^{2} - 9$ .

15. a) Cum $X^{2} - 3 X - 4 = (X - 4) (X + 1)$ , cu factori diferiți, condițiile sunt $f (4) = 0$ și $f (- 1) = 0$ : $256 + 64 m + 16 n + 12 - 12 = 64 m + 16 n + 256$ , adică $4 m + n = - 16$ ; și $1 - m + n - 3 - 12 = - m + n - 14$ , adică $n - m = 14$ . Scăzând a doua relație din prima, $5 m = - 30$ , deci $m = - 6$ și $n = 8$ . b) Pentru $f = X^{4} - 6 X^{3} + 8 X^{2} + 3 X - 12$ , câtul împărțirii la $X^{2} - 3 X - 4$ este $X^{2} - 3 X + 3$ . Control: $(X^{2} - 3 X - 4) (X^{2} - 3 X + 3) = X^{4} - 6 X^{3} + 8 X^{2} + 3 X - 12$ .

16. $f (1) = 1 + 2 - 5 + 12 = 10 \neq = 0$ , deci $X - 1$ nu divide polinomul, iar restul împărțirii la $X - 1$ este chiar $10$ .

17. Pentru că $3 X - 6 = 3 (X - 2)$ , iar înmulțirea cu numărul nenul $3$ nu schimbă multiplii: $f$ se divide cu $3 X - 6$ exact atunci când se divide cu $X - 2$ , adică atunci când $f (2) = 0$ . Numărul care intră în evaluare se citește din forma $X - a$ a divizorului, nu din termenul liber al acestuia.

18. $f (1) = 1 + m - m - 1 = 0$ , oricare ar fi $m$ , deci $(X - 1) ∣ f$ mereu. Împărțind la $X - 1$ : primul termen al câtului este $X^{2}$ și rămâne $(m + 1) X^{2} - m X - 1$ ; al doilea este $(m + 1) X$ și rămâne $X - 1$ ; al treilea este $1$ și rămâne $0$ . Câtul este $q = X^{2} + (m + 1) X + 1$ . Verificare pentru $m = 2$ : $f = X^{3} + 2 X^{2} - 2 X - 1$ , iar $(X - 1) (X^{2} + 3 X + 1) = X^{3} + 3 X^{2} + X - X^{2} - 3 X - 1 = X^{3} + 2 X^{2} - 2 X - 1$ .

De reținut

Definiția: polinomul nenul $g$ divide polinomul $f$ dacă există un polinom $h$ cu $f = g \cdot h$ ; se scrie $g ∣ f$ , iar $f$ se numește multiplu al lui $g$ .
Criteriul general: $g ∣ f$ exact atunci când restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul — singurul drum când divizorul are gradul al doilea sau mai mare.
Teorema lui Bézout: $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ ; o împărțire întreagă se înlocuiește astfel cu o singură înlocuire de număr.
Cerința de examen „determinați parametrul pentru care $f$ se divide cu $X - a$ " se rezolvă scriind ecuația $f (a) = 0$ în parametru; la $X + a$ se evaluează în $- a$ .
Pentru $a \neq = b$ , divizibilitatea cu $(X - a) (X - b)$ cere două condiții simultane, $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ , iar cu doi parametri necunoscuți ele dau un sistem.

Greșeli frecvente

Relația citită în sens invers. „ $X - 3$ divide $f$ " înseamnă că $f$ este cel care se rupe în bucăți, nu invers. Ordinea nu e o convenție de scriere: un polinom de gradul întâi nu poate avea divizori de grad mai mare, iar dacă ai ajuns să scrii așa ceva, ai încurcat rolurile.
Bézout aplicat unui divizor de gradul al doilea. Din $X^{2} - 5 X + 6$ nu se evaluează „în $5$ " sau „în $6$ ". Teorema vorbește numai despre divizori de forma $X - a$ ; aici se descompune întâi divizorul, $(X - 2) (X - 3)$ , și se pun două condiții — sau, dacă nu se descompune cu numere întregi, se face împărțirea.
„Restul este $3$ " confundat cu „se divide". Cerința „restul împărțirii la $X - 1$ este $3$ " dă ecuația $f (1) = 3$ , iar cerința „se divide cu $X - 1$ " dă $f (1) = 0$ . Sunt două ecuații diferite, care duc la valori diferite ale parametrului; citește enunțul până la capăt înainte de a scrie condiția.
Gradele necontrolate. Înainte de orice calcul, verifică dacă divizorul are gradul cel mult egal cu al deîmpărțitului nenul. Dacă nu îl are, răspunsul e „nu divide", iar orice pagină de calcule scrisă după aceea este pierdere de timp.
Factorul citit ca valoare extremă într-un model. Dacă un model din laborator se divide cu $t - 4$ , asta înseamnă că mărimea măsurată se anulează la $t = 4$ , nu că atinge acolo valoarea cea mai mare sau cea mai mică. Un divizor semnalează un zero, nu un vârf.

Aplică acasă

Cutia cu trei laturi. Alege trei numere naturale diferite, formează produsul $(x - a) (x + b) (x + c)$ cu ele și desfă parantezele. Dă-i unui coleg doar forma desfășurată și cere-i să arate că polinomul se divide cu unul dintre factorii pe care i-ai folosit. Apoi schimbați rolurile. Vei vedea cât de ușor se verifică divizibilitatea și cât de greu se ghicește un factor fără ea.
Zeroul unui model din laborator. Caută în manualul de fizică, de chimie sau de biologie o mărime descrisă printr-o formulă polinomială de gradul al treilea și încearcă valorile mici, $1$ , $2$ , $- 1$ , $- 2$ , până găsești una în care mărimea se anulează. Scrie apoi modelul ca produs, cu factorul găsit în față, și spune ce înseamnă acel moment în contextul experimentului.
Divizorul care nu se ghicește. Ia polinomul $X^{2} - 2$ și verifică, pe rând, că niciun număr întreg nu îl anulează. Alege apoi un polinom de gradul al treilea, împarte-l la $X^{2} - 2$ și decide divizibilitatea după rest. Notează, în două rânduri, de ce aici teorema lui Bézout nu are ce să spună.

Pentru părinți și profesori

Lecția este cea care leagă calculul de structură: până acum polinoamele se adunau, se înmulțeau și se împărțeau, iar de aici încolo se și descompun. Pentru un elev de la științe ale naturii, partea cea mai valoroasă nu e enunțul teoremei, ci economia pe care o aduce: o întrebare care părea să ceară o pagină de calcule se rezolvă cu o înlocuire. Este și prima ocazie serioasă de a exersa redactarea unei condiții — „ $f$ se divide cu $X + 1$ " devine „ $f (- 1) = 0$ " — pas care se scrie explicit.

De urmărit în caiet: numărul în care se evaluează a fost citit corect din divizor (la $X + 1$ se ia $- 1$ ); condiția a fost scrisă înainte de calcul, nu dedusă la sfârșit; după aflarea parametrului există o verificare; la divizori de gradul al doilea s-a făcut împărțire, nu evaluare. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $X - 2$ divide polinomul?"; „De ce la $X + 3$ se calculează valoarea în $- 3$ ?"; „Când nu poți folosi teorema lui Bézout?"; „Ce condiții pui pentru divizibilitatea cu $X^{2} - 1$ ?". Semn că elevul a înțeles: nu mai începe nicio împărțire înainte de a se uita la gradul divizorului.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali", care cere definiția divizibilității și teorema lui Bézout. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde divizibilitatea polinoamelor apare la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; în modelul oficial de subiect, cerința pornește chiar de la ipoteza că polinomul dat este divizibil cu $X + 1$ . Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se învață teorema lui Bézout și la M1, și la M2? Ce diferă? Da, la amândouă profilurile, dar în ani diferiți și cu material diferit. La științe ale naturii ea vine în clasa a IX-a, cu coeficienți reali și cu $a$ număr real, iar programa cere definiția divizibilității și teorema. La matematică-informatică vine în clasa a X-a, unde se adaugă coeficienții complecși, rădăcinile multiple și descompunerea completă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema lui Bézout la clasa a 10-a.

La ce subiect apare divizibilitatea polinoamelor la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este de structuri algebrice și polinoame. În sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a XII-a, iar în modelul oficial de subiect divizibilitatea cu $X + 1$ este ipoteza de la care pornește una dintre cerințe. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Ce înseamnă că un polinom divide alt polinom? Înseamnă că al doilea se scrie ca produs dintre primul și un alt polinom: $g$ divide $f$ dacă există $h$ cu $f = g \cdot h$ . Este exact sensul de la numere, unde $3$ divide $12$ pentru că $12 = 3 \cdot 4$ , iar împărțirea se termină fără rest.

De ce se evaluează în $- 3$ când divizorul este $X + 3$ ? Pentru că teorema lui Bézout vorbește despre divizori scriși în forma $X - a$ , iar $X + 3$ se scrie $X - (- 3)$ , deci $a = - 3$ . Regula practică: schimbi semnul termenului liber al divizorului și obții numărul în care înlocuiești. La $X - 5$ evaluezi în $5$ , la $X + 5$ în $- 5$ .

Cum determin parametrul dintr-o condiție de divizibilitate? Scrii condiția sub forma $f (a) = 0$ , unde $a$ vine din divizorul $X - a$ , calculezi valoarea în funcție de parametru și rezolvi ecuația obținută. Atenție la semn: la un divizor de forma $X + a$ rădăcina este $- a$ , deci condiția devine $f (- a) = 0$ . La final, înlocuiești parametrul găsit în polinom și verifici că valoarea chiar iese zero — pasul care încheie rezolvarea.

Cum aleg între evaluare și împărțire? După gradul divizorului, nu după cum arată deîmpărțitul. La un divizor de gradul întâi pornești întotdeauna cu evaluarea, fiindcă ține câteva secunde, și faci împărțirea doar dacă ai nevoie și de cât. La orice divizor de grad cel puțin doi, singurul drum sigur este împărțirea, urmată de citirea restului.

Se schimbă divizibilitatea dacă înmulțesc divizorul cu un număr? Nu, mulțimea multiplilor rămâne aceeași. Polinoamele $X - 2$ și $2 X - 4$ divid exact aceleași polinoame, pentru că $2 X - 4 = 2 (X - 2)$ , iar constanta $2$ se mută în cât fără să strice nimic. De aceea, la un enunț care cere divizibilitatea cu $3 X - 6$ , condiția pe care o scrii rămâne $f (2) = 0$ , exact ca la $X - 2$ .