O rădăcină găsită e un factor găsit: pe scurt

Teorema lui Bézout leagă două lumi: rădăcinile și factorii. Ea spune că $X-a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ — adică $a$ este rădăcină. Demonstrația pornește din relația universal valabilă $f=(X-a)q+f(a)$: dacă $f(a)=0$, ea devine $f=(X-a)q$, deci $X-a$ este factor; reciproc, dacă $X-a$ divide $f$, restul este $0$, iar restul este chiar $f(a)$.

Consecința practică cea mai folosită: o rădăcină găsită este un factor găsit. Cauți o rădăcină „evidentă" (de obicei printre $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$), verifici $f(a)=0$, apoi cobori gradul cu schema lui Horner și repeți pe cât. Pentru rădăcini distincte $a\ne b$, $(X-a)(X-b)$ divide $f$ exact când $f(a)=0$ și $f(b)=0$; iar restul împărțirii la un astfel de produs se obține direct din valorile $f(a)$ și $f(b)$, fără nicio împărțire efectivă.

O consecință teoretică importantă: un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte — dacă s-ar anula în mai multe puncte, ar fi divizibil cu un polinom de grad mai mare decât al lui, ceea ce este imposibil.

Exerciții din această mini-lecție

1. Arătați, fără a efectua împărțirea, că $X-1$ divide $f=X^3-2X^2-5X+6$ și scrieți descompunerea completă a lui $f$.

   • a) $(X-1)(X-3)(X+2)$
   • b) $(X-1)(X+3)(X-2)$
   • c) $(X-1)(X+2)(X+3)$
   • d) $(X-1)(X-6)(X+1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(X-1)(X-3)(X+2)$

   $f(1)=1-2-5+6=0$, deci $X-1\mid f$ (Bézout). Schema lui Horner cu $a=1$ pe $1,-2,-5,6$ dă câtul $X^2-X-6=(X-3)(X+2)$. Deci $f=(X-1)(X-3)(X+2)$. Verificare: termenul liber $(-1)(-3)(2)=6$ ✓.

2. Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât polinomul $f=X^3+m{X}^2-5X-6$ să se dividă cu $X+1$.

   • a) $-2$
   • b) $2$
   • c) $0$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Din Bézout, condiția este $f(-1)=0$: $-1+m+5-6=m-2=0$, deci $m=2$. Verificare: pentru $m=2$, $f(-1)=-1+2+5-6=0$ ✓.

3. Se știe că $f(2)=7$ și $f(-1)=1$. Care este restul împărțirii lui $f$ la $(X-2)(X+1)$?

   • a) $2X-3$
   • b) $3X+2$
   • c) $2X+3$
   • d) $-2X+3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $2X+3$

   Restul are forma $r=\alpha X+\beta$. Din $2\alpha +\beta =7$ și $-\alpha +\beta =1$, scăzând obținem $3\alpha =6$, deci $\alpha =2$ și $\beta =3$: restul este $2X+3$.