Ce înseamnă $$\Delta<0$$ pentru poziția dreptei față de cerc?

dreapta nu are niciun punct comun cu cercul

dreapta este tangentă cercului

dreapta taie cercul în două puncte

Cum studiezi poziția dreptei verticale $$x=x_0$$ față de un cerc, dacă ea nu are pantă?

înlocuiești $$x=x_0$$ direct în ecuația cercului și obții o ecuație de gradul al doilea în $$y$$

nu se poate studia, lipsind panta

rotești reperul până când dreapta capătă pantă

Cum aflu tangenta la cerc cu discriminantul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Dreapta față de cerc

Scrii dreptele căutate cu un parametru, le înlocuiești în ecuația cercului și ceri ca ecuația de gradul al doilea obținută să aibă $Δ = 0$ . Pentru cercul $x^{2} + y^{2} = 5$ și dreptele $y = 2 x + n$ : $5 x^{2} + 4 n x + n^{2} - 5 = 0$ , iar $Δ = 16 n^{2} - 20 (n^{2} - 5) = 100 - 4 n^{2}$ . Din $Δ = 0$ rezultă $n = \pm 5$ , deci tangentele sunt $y = 2 x + 5$ și $y = 2 x - 5$ . Pentru $n = 5$ , punctul de contact este $(- 2, 1)$ .

Punctele comune dintre o dreaptă și un cerc sunt soluțiile sistemului celor două ecuații. Scoți $y$ din ecuația dreptei, îl duci în ecuația cercului și rămâi cu o ecuație de gradul al doilea — iar dacă pe rând mai vezi două litere, substituția a fost făcută pe jumătate.

Verdictul îl dă semnul discriminantului, fără alt calcul: $Δ > 0$ înseamnă secantă, cu două puncte comune; $Δ = 0$ înseamnă tangentă, cu unul singur; $Δ < 0$ înseamnă că dreapta trece pe lângă cerc.

Coeficienții se citesc după ce ai adus totul într-un singur membru. Din $x^{2} + (x + 1)^{2} = 13$ nu iei $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 13$ : desfaci pătratul, reduci termenii și abia din $2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$ scrii coeficienții.

Verticalele $x = x_{0}$ nu au pantă, dar nu ies din regulă: duci numărul $x_{0}$ în ecuația cercului și ajungi iarăși la gradul al doilea, cu $y$ drept necunoscută.

Tangenta într-un punct iese din fasciculul de drepte duse prin acel punct, cu condiția $Δ = 0$ ; dintr-un punct exterior pleacă exact două tangente, iar verticala prin el se cercetează separat.

Răspunsul se scrie întreg: fiecare punct are două coordonate, iar ordonata vine din înlocuirea abscisei în ecuația dreptei.

De reținut

punctele comune dreaptă–cerc sunt soluțiile sistemului celor două ecuații
$Δ > 0$ : secantă; $Δ = 0$ : tangentă; $Δ < 0$ : fără puncte comune
tangenta de pantă dată se află impunând $Δ = 0$ în parametrul dreptei

Greșeala tipică

Se interpretează $Δ < 0$ ca tangență; $Δ < 0$ înseamnă că dreapta nu atinge cercul, iar tangenta corespunde lui $Δ = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce poziție are dreapta față de cerc dacă ecuația de gradul al doilea obținută prin substituție are $Δ = 0$ ?
- a) secantă
- b) tangentă
- c) exterioară cercului
- d) trece prin centrul cercului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) tangentă

$Δ = 0$ înseamnă o singură soluție (rădăcină dublă), deci un singur punct comun: tangentă. Nu confunda cu $Δ < 0$ , care înseamnă niciun punct comun.
Ce înseamnă $Δ < 0$ pentru poziția dreptei față de cerc?
- a) dreapta este tangentă cercului
- b) dreapta taie cercul în două puncte
- c) dreapta nu are niciun punct comun cu cercul
- d) dreapta trece prin centru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) dreapta nu are niciun punct comun cu cercul

Sistemul nu are soluții reale, deci dreapta este exterioară cercului. Confuzia „ $Δ < 0$ , deci tangentă” e una dintre cele mai frecvente la această temă.
Cum studiezi poziția dreptei verticale $x = x_{0}$ față de un cerc, dacă ea nu are pantă?
- a) nu se poate studia, lipsind panta
- b) înlocuiești $x = x_{0}$ direct în ecuația cercului și obții o ecuație de gradul al doilea în $y$
- c) rotești reperul până când dreapta capătă pantă
- d) iei panta egală cu $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) înlocuiești $x = x_{0}$ direct în ecuația cercului și obții o ecuație de gradul al doilea în $y$

Lipsa pantei nu împiedică nimic: substituția merge la fel de bine, doar că necunoscuta rămasă este $y$ . Varianta d) ar descrie o dreaptă orizontală, cu totul altceva.

Întrebări conexe

Pentru ce $m$ este dreapta orizontală $y = m$ tangentă cercului $x^{2} + y^{2} = 9$ ?

Înlocuind $y = m$ , obții $x^{2} = 9 - m^{2}$ , o ecuație cu necunoscuta $x$ . Ea are o singură soluție, $x = 0$ , exact când $9 - m^{2} = 0$ , adică $m = 3$ sau $m = - 3$ . Tangentele orizontale ating cercul în $(0, 3)$ și în $(0, - 3)$ .

Pentru ce $m$ dreapta $y = x + m$ nu are puncte comune cu cercul $x^{2} + y^{2} = 2$ ?

După substituție obții $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 2 = 0$ , cu $Δ = 4 m^{2} - 8 (m^{2} - 2) = 16 - 4 m^{2}$ . Dreapta ratează cercul când $Δ < 0$ , adică $m^{2} > 4$ , deci $m < - 2$ sau $m > 2$ . Pentru $m = \pm 2$ dreapta este tangentă, iar pentru $- 2 < m < 2$ este secantă, cu două puncte comune. Același discriminant răspunde deci la toate cele trei întrebări.

Intră un drum drept în zona de acoperire a unei antene?

Verifici semnul discriminantului. Antena acoperă $x^{2} + y^{2} \leq 25$ (km), iar drumul este $y = x + 8$ . Substituind, $2 x^{2} + 16 x + 39 = 0$ , cu $Δ = 256 - 312 = - 56 < 0$ , deci drumul trece pe lângă zonă. Drumul $y = x + 1$ dă însă $Δ > 0$ și intră în zonă.

De ce ordonata unui punct comun dreaptă–cerc se ia din ecuația dreptei?

În ecuația cercului, o abscisă dă de regulă două ordonate, iar una dintre ele nu se află pe dreaptă. Ecuația dreptei dă exact ordonata punctului comun. Pentru dreapta $y = 2 x$ și cercul $x^{2} + y^{2} = 20$ , la $x = 2$ cercul admite $y = 4$ și $y = - 4$ , dar pe dreaptă este doar $y = 4$ .

Ce legătură are tangenta la cerc cu o rădăcină dublă?

Când $Δ = 0$ , ecuația de gradul al doilea are o singură soluție, numărată de două ori. Cele două puncte de intersecție ale unei secante s-au unit într-unul singur, punctul de tangență. Rădăcina dublă este abscisa acestui punct.

Oamenii mai întreabă și: tangenta la cerc prin discriminant · tangentele de pantă dată la un cerc · condiția de tangență delta egal zero · tangenta la cerc de pantă dată