Dreapta și cercul: intersecții și tangente (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O potecă dreaptă traversează o rezervație rotundă: pe ce porțiune ești înăuntru? Un fascicul de lumină trece pe lângă conturul circular al unei lentile: o atinge sau nu? O conductă trebuie să ocolească o zonă circulară protejată, atingând-o cel mult într-un punct: cât de departe trebuie să treacă? Toate cele trei întrebări sunt aceeași întrebare de matematică: câte puncte au în comun o dreaptă și un cerc? În clasa a IX-a, la profilul științe ale naturii (M2), răspunsul se obține fără nicio formulă nouă — se rezolvă un sistem și se citește semnul discriminantului. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema nu apare, fiindcă programa acelui examen nu conține cercul în geometria analitică; la proba MAT_P2 din 2030 ea intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a.

Din lecția despre ecuația cercului știi deja să treci de la centru și rază la ecuație și înapoi. Din ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată știi să scrii o dreaptă în forma $y = k x + q$ . Iar de la pozițiile dreptei față de cerc, la clasa a 6-a știi, din desen, că variantele sunt doar trei. Rămâne să le deosebim prin calcul.

Ce vei învăța

Vei ști să transformi întrebarea „câte puncte comune?" într-un sistem de două ecuații și, de acolo, într-o singură ecuație de gradul al doilea.
Vei ști să citești poziția dreptei față de cerc din semnul discriminantului: secantă, tangentă sau exterioară.
Vei ști să determini punctele comune, complet, cu ambele coordonate, și lungimea segmentului dintre ele.
Vei ști să tratezi dreptele verticale, care nu au pantă, prin substituție directă.
Vei ști să scrii tangenta într-un punct al cercului folosind fasciculul de drepte prin acel punct și condiția $Δ = 0$ .
Vei ști să determini ambele tangente care pleacă dintr-un punct din afara cercului și să afli pentru ce valori ale unui parametru o dreaptă atinge cercul.

Hai să descoperim împreună

1. Câte poziții poate avea o dreaptă față de un cerc?

Dreapta secantă unui cerc este dreapta care are exact două puncte comune cu el; dreapta tangentă are exact un punct comun, iar dreapta exterioară nu are niciunul. Nu există alte situații, pentru că numărul punctelor comune este numărul soluțiilor reale ale unei ecuații de gradul al doilea, iar acela poate fi doar $2$ , $1$ sau $0$ .

Enunțul acesta, pe care în gimnaziu l-ai acceptat de pe desen, capătă acum o justificare de calcul. Iar justificarea aduce cu ea și metoda: dacă numărul punctelor comune este numărul soluțiilor unei ecuații, atunci nu trebuie să desenăm nimic — e destul să numărăm soluțiile.

2. De ce ajunge un sistem de două ecuații?

Un punct comun este un punct care se află și pe dreaptă, și pe cerc, deci coordonatele lui verifică amândouă ecuațiile în același timp. A căuta punctele comune înseamnă, cuvânt cu cuvânt, a rezolva sistemul format din cele două ecuații.

Sistemul se rezolvă prin substituție, pentru că una dintre ecuații — cea a dreptei — dă imediat pe $y$ în funcție de $x$ . Să luăm cercul $x^{2} + y^{2} = 13$ și dreapta $d : y = x + 1$ . Înlocuim $y$ cu $x + 1$ în ecuația cercului:

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 13 ⟺ 2 x^{2} + 2 x - 12 = 0 ⟺ x^{2} + x - 6 = 0.$

Am ajuns la o ecuație de gradul al doilea cu o singură necunoscută. Fiecare soluție a ei dă o abscisă de punct comun, iar ordonata se obține punând acel $x$ înapoi în ecuația dreptei. Aici $x^{2} + x - 6 = 0$ are soluțiile $x = 2$ și $x = - 3$ , deci punctele comune sunt $(2, 3)$ și $(- 3, - 2)$ . Control: $4 + 9 = 13$ și $9 + 4 = 13$ .

3. Ce ne spune discriminantul?

Adesea nici nu e nevoie să rezolvăm ecuația: ne interesează doar câte soluții are. La clasa a VIII-a ai rezolvat ecuații de tipul $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere în factori și principiul produsului nul. Numărul soluțiilor reale ale unei astfel de ecuații, cu $a \neq = 0$ , este dat de discriminantul

$Δ = b^{2} - 4 a c,$

după regula: $Δ > 0$ înseamnă două soluții reale distincte, $Δ = 0$ înseamnă o soluție reală dublă, $Δ < 0$ înseamnă nicio soluție reală. Atenție la litere: aici $a$ , $b$ și $c$ sunt coeficienții ecuației obținute după substituție, nu au nicio legătură cu centrul cercului.

Punând cele două idei cap la cap, obținem criteriul acestei lecții:

semnul lui $Δ$	soluții reale	poziția dreptei
$Δ > 0$	două, distincte	secantă
$Δ = 0$	una, dublă	tangentă
$Δ < 0$	niciuna	exterioară

Pe exemplul de mai sus, $x^{2} + x - 6 = 0$ are $Δ = 1 + 24 = 25 > 0$ : secantă, cum și găsisem. Iar pentru dreapta $y = x + 7$ substituția dă $x^{2} + (x + 7)^{2} = 13$ , adică $2 x^{2} + 14 x + 36 = 0$ , cu $Δ = 196 - 288 = - 92 < 0$ : dreapta trece pe lângă cerc, fără să-l atingă.

4. Cum arată rezolvarea, scrisă ordonat?

În patru pași, mereu aceiași. Întâi scrii dreapta sub forma $y = k x + q$ (sau, dacă e verticală, $x = x_{0}$ — vezi paragraful următor). Apoi înlocuiești în ecuația cercului și aduci totul într-un membru, ca să poți citi coeficienții. Apoi calculezi $Δ$ și dai verdictul. În fine, dacă se cer punctele, rezolvi ecuația și, pentru fiecare $x$ găsit, calculezi $y$ din ecuația dreptei.

Pasul al doilea este cel mai alunecos, din două motive: fie substituția se face doar pe jumătate (rămâne un $y$ rătăcit în ecuație), fie coeficienții se citesc înainte de reducere. Simplificarea prin factorul comun, când există, e binevenită: din $2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$ e mai comod să lucrezi cu $x^{2} + x - 6 = 0$ , iar semnul lui $Δ$ nu se schimbă la împărțirea ecuației printr-un număr pozitiv.

5. Ce faci cu o dreaptă verticală, care nu are pantă?

O dreaptă verticală are ecuația $x = x_{0}$ și nu se poate scrie în forma $y = k x + q$ — nu are pantă. Metoda funcționează totuși, și încă mai simplu: pui valoarea $x_{0}$ peste tot unde apare $x$ în ecuația cercului, iar ce rămâne este tot o ecuație de gradul al doilea, de data asta având pe $y$ drept necunoscută; discuția merge identic.

Luăm cercul $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ , cu centrul în $(- 2, 3)$ și raza $5$ , și trei verticale.

Pentru $x = 1$ : $9 + (y - 3)^{2} = 25$ , deci $(y - 3)^{2} = 16$ și $y \in {7, - 1}$ . Dreapta este secantă, iar punctele comune sunt $(1, 7)$ și $(1, - 1)$ .
Pentru $x = 3$ : $25 + (y - 3)^{2} = 25$ , deci $(y - 3)^{2} = 0$ , cu soluția dublă $y = 3$ . Avem un singur punct comun, $(3, 3)$ , deci dreapta este tangentă.
Pentru $x = 4$ : $36 + (y - 3)^{2} = 25$ , adică $(y - 3)^{2} = - 11$ , imposibil. Dreapta este exterioară.

Observă că, la forma canonică, ecuația în $y$ iese gata pregătită ca pătrat, deci semnul din membrul drept ține locul discriminantului: pozitiv înseamnă două soluții, nul înseamnă una, negativ înseamnă niciuna.

6. Cum scrii ecuația tangentei într-un punct al cercului?

Fie cercul $x^{2} + y^{2} = 13$ și punctul $A (2, 3)$ , despre care verificăm întâi că este pe cerc: $4 + 9 = 13$ . Toate dreptele neverticale care trec prin $A$ formează fasciculul $y - 3 = k (x - 2)$ , adică $y = k x - 2 k + 3$ , cu $k$ pantă oarecare. Căutăm acel $k$ pentru care dreapta atinge cercul într-un singur punct, adică pentru care $Δ = 0$ .

Substituim $y = k x - 2 k + 3$ în $x^{2} + y^{2} = 13$ și desfacem pătratul binomului, grupând apoi după puterile lui $x$ . Termenul în $x^{2}$ adună $1$ de la primul pătrat și $k^{2}$ de la al doilea; termenul în $x$ este dublul produsului celor doi termeni ai binomului, adică $2 k (3 - 2 k) x$ ; iar termenul liber este $(3 - 2 k)^{2} - 13$ . Rezultă

$(1 + k^{2}) x^{2} + (6 k - 4 k^{2}) x + (4 k^{2} - 12 k - 4) = 0.$

Calculăm discriminantul. Pătratul coeficientului lui $x$ este $(6 k - 4 k^{2})^{2} = 16 k^{4} - 48 k^{3} + 36 k^{2}$ , iar produsul dublu este $4 (1 + k^{2}) (4 k^{2} - 12 k - 4) = 16 k^{4} - 48 k^{3} - 48 k - 16$ . Scăzându-le, puterile a patra și cele de gradul al treilea se reduc între ele și rămâne

$Δ = 36 k^{2} + 48 k + 16 = 4 (3 k + 2)^{2} .$

Fiind un pătrat perfect înmulțit cu $4$ , $Δ$ nu este niciodată negativ: orice dreaptă prin $A$ taie cercul, ceea ce era de așteptat, de vreme ce $A$ îi aparține. Iar $Δ = 0$ se întâmplă pentru o singură valoare, $k = - \frac{2}{3}$ . Tangenta este deci

$y - 3 = - \frac{2}{3} (x - 2) ⟺ 2 x + 3 y - 13 = 0.$

Faptul că discriminantul a ieșit pătrat perfect nu e o coincidență fericită, ci chiar demonstrația că printr-un punct al cercului trece exact o tangentă: un pătrat perfect se anulează într-o singură valoare. Mai rămâne de verificat și verticala $x = 2$ , care nu face parte din fascicul: ea dă $4 + y^{2} = 13$ , adică $y = \pm 3$ , deci este secantă. Prin urmare tangenta găsită este singura.

7. Cum afli tangentele duse dintr-un punct exterior?

Aceeași rețetă, cu un singur rezultat diferit. Luăm cercul $x^{2} + y^{2} = 9$ și punctul $P (5, 0)$ , exterior, pentru că $25 + 0 > 9$ . Fasciculul este $y = k (x - 5)$ , iar substituția dă

$(1 + k^{2}) x^{2} - 10 k^{2} x + (25 k^{2} - 9) = 0, Δ = - 64 k^{2} + 36.$

Condiția $Δ = 0$ dă $k^{2} = \frac{9}{16}$ , deci $k = \frac{3}{4}$ sau $k = - \frac{3}{4}$ : două tangente,

$3 x - 4 y - 15 = 0 ș i 3 x + 4 y - 15 = 0.$

Pentru $k = \frac{3}{4}$ rădăcina dublă este $x = \frac{9}{5}$ , deci punctul de atingere este $(\frac{9}{5}, - \frac{12}{5})$ ; celălalt este simetricul lui față de axa $O x$ . Verticala $x = 5$ dă $25 + y^{2} = 9$ , imposibil, deci nu intră în discuție. Pe scurt: dintr-un punct exterior pleacă două tangente, dintr-un punct al cercului una singură, iar dintr-un punct interior niciuna — și de fiecare dată semnul lui $Δ$ spune de ce.

8. Cum decizi pentru ce valori ale unui parametru dreapta atinge cercul?

Este exact calculul de mai sus, dar cu parametrul în locul lui $k$ . Dacă dreapta este $y = x + c$ , cu $c$ necunoscut, și cercul este $x^{2} + y^{2} = 50$ , substituția dă $2 x^{2} + 2 c x + c^{2} - 50 = 0$ , cu

$Δ = 4 c^{2} - 8 (c^{2} - 50) = - 4 c^{2} + 400.$

Tangența cere $Δ = 0$ , adică $c^{2} = 100$ și $c \in {- 10, 10}$ : două drepte paralele, tangente cercului în puncte diametral opuse. Pentru $c$ între $- 10$ și $10$ discriminantul e pozitiv, deci dreapta taie cercul; în afara acestui interval, dreapta ratează cercul. Așa se citește, dintr-o singură inegalitate, toată familia de drepte paralele. Aceeași idee, cu două cercuri în loc de dreaptă și cerc, este subiectul lecției următoare, despre pozițiile relative a două cercuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Poziția și punctele comune

Stabiliți poziția dreptei $d : y = x - 5$ față de cercul $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 10$ și, dacă este cazul, determinați punctele comune și distanța dintre ele.

Rezolvare. Substituim $y = x - 5$ : $(x - 2)^{2} + (x - 4)^{2} = 10$ , adică $2 x^{2} - 12 x + 10 = 0$ , sau $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 36 - 20 = 16 > 0$ , deci dreapta este secantă. Soluțiile sunt $x = 1$ și $x = 5$ , cu ordonatele $y = - 4$ și $y = 0$ : punctele comune sunt $M (1, - 4)$ și $N (5, 0)$ . Control: $(1 - 2)^{2} + (- 4 + 1)^{2} = 1 + 9 = 10$ și $(5 - 2)^{2} + (0 + 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ . Distanța dintre ele: $M N = 16 + 16 = 42$ .

Exemplul 2 — Trei verticale pe același cerc

Stabiliți poziția dreptelor $x = - 6$ , $x = - 2$ și $x = - 1$ față de cercul $x^{2} + y^{2} + 12 x - 4 y + 24 = 0$ .

Rezolvare. Aducem cercul la forma canonică: $(x + 6)^{2} - 36 + (y - 2)^{2} - 4 + 24 = 0$ , deci $(x + 6)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ , cu centrul $(- 6, 2)$ și raza $4$ .

$x = - 6$ : $0 + (y - 2)^{2} = 16$ , deci $y \in {6, - 2}$ — secantă, prin punctele $(- 6, 6)$ și $(- 6, - 2)$ . Cum dreapta trece prin centru, segmentul dintre ele este un diametru, de lungime $8$ .
$x = - 2$ : $16 + (y - 2)^{2} = 16$ , deci $y = 2$ , dublu — tangentă, în $(- 2, 2)$ .
$x = - 1$ : $25 + (y - 2)^{2} = 16$ , imposibil — exterioară.

Exemplul 3 — Tangenta într-un punct, pe un cerc care nu are centrul în origine

Scrieți ecuația tangentei la cercul $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ în punctul $T (8, 2)$ .

Rezolvare. Verificăm apartenența: $(8 - 4)^{2} + (2 + 1)^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $T$ este pe cerc. Scriem fasciculul $y = k (x - 8) + 2$ , de unde $y + 1 = k (x - 8) + 3$ , și înlocuim în ecuația cercului:

$(x - 4)^{2} + (k (x - 8) + 3)^{2} = 25.$

Desfăcând și grupând, coeficienții sunt $1 + k^{2}$ la $x^{2}$ , apoi $6 k - 16 k^{2} - 8$ la $x$ , iar termenul liber $64 k^{2} - 48 k$ . Discriminantul lor iese, după reducerea puterilor mari ale lui $k$ , $Δ = 36 k^{2} + 96 k + 64 = 4 (3 k + 4)^{2}$ — din nou un pătrat perfect, ca în paragraful anterior. Condiția $Δ = 0$ dă deci o singură pantă, $k = - \frac{4}{3}$ , iar pentru ea ecuația devine $\frac{25}{9} x^{2} - \frac{400}{9} x + \frac{1600}{9} = 0$ , adică $x^{2} - 16 x + 64 = 0$ , cu rădăcina dublă $x = 8$ — exact abscisa lui $T$ . Tangenta este $y - 2 = - \frac{4}{3} (x - 8)$ , adică $4 x + 3 y - 38 = 0$ . Verticala $x = 8$ dă $16 + (y + 1)^{2} = 25$ , deci două puncte: nu e tangentă.

Exemplul 4 — Tangentele dintr-un punct exterior

Determinați ecuațiile tangentelor duse din punctul $P (5, 5)$ la cercul $x^{2} + y^{2} = 10$ și punctele lor de atingere.

Rezolvare. Punctul este exterior: $25 + 25 = 50 > 10$ . Fasciculul dreptelor neverticale prin $P$ este $y = k x - 5 k + 5$ ; substituind și aducând totul într-un membru, condiția $Δ = 0$ devine $3 k^{2} - 10 k + 3 = 0$ , cu soluțiile $k = 3$ și $k = \frac{1}{3}$ .

Pentru $k = 3$ dreapta este $y = 3 x - 10$ , iar substituția dă $10 x^{2} - 60 x + 90 = 0$ , adică $(x - 3)^{2} = 0$ : atinge cercul în $(3, - 1)$ , iar $9 + 1 = 10$ confirmă. Pentru $k = \frac{1}{3}$ dreapta este $x - 3 y + 10 = 0$ și atinge cercul în $(- 1, 3)$ . Verticala $x = 5$ ar da $25 + y^{2} = 10$ , imposibil, deci nu e tangentă. Răspuns: $3 x - y - 10 = 0$ și $x - 3 y + 10 = 0$ .

Exemplul 5 — Poteca prin rezervație

O rezervație naturală ocupă discul de centru $C (4, - 1)$ și rază $10$ km, iar o potecă urmează dreapta $y = x + 5$ (coordonatele sunt în kilometri). Stabiliți dacă poteca traversează rezervația, determinați punctele în care intră și iese și calculați lungimea porțiunii protejate.

Rezolvare. Cercul are ecuația $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 100$ . Substituim $y = x + 5$ :

$(x - 4)^{2} + (x + 6)^{2} = 100 ⟺ 2 x^{2} + 4 x - 48 = 0 ⟺ x^{2} + 2 x - 24 = 0.$

Discriminantul este $Δ = 4 + 96 = 100 > 0$ , deci poteca traversează rezervația. Soluțiile sunt $x = 4$ și $x = - 6$ , cu ordonatele $9$ și $- 1$ : punctele de intrare și de ieșire sunt $(- 6, - 1)$ și $(4, 9)$ . Verificare: $(- 6 - 4)^{2} + (- 1 + 1)^{2} = 100$ și $0 + 100 = 100$ . Lungimea porțiunii protejate este $1 0^{2} + 1 0^{2} = 102 \approx 14, 1$ km — atât are de mers un drumeț prin zona în care se aplică regulile rezervației.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} = 20$ și dreapta $d : y = 2 x - 10$ . Arătați că dreapta $d$ este tangentă cercului.

Rezolvare. Substituim: $x^{2} + (2 x - 10)^{2} = 20$ , adică $5 x^{2} - 40 x + 80 = 0$ , sau $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 64 - 64 = 0$ , deci sistemul are o singură soluție, $x = 4$ , cu $y = - 2$ : dreapta atinge cercul exact în punctul $(4, - 2)$ , așadar este tangentă. (Control: $16 + 4 = 20$ .)

Cerința urmează forma scurtă din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde geometria analitică plană apare ca întrebare de cinci puncte, justificată în trei rânduri. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă nici model, nici o structură publicată pe subiecte, deci exercițiul nu revendică un anumit subiect.

Să exersăm

Înainte de fiecare rezolvare, notează-ți pe hârtie cei patru pași: forma dreptei, substituția, aducerea într-un membru, semnul lui $Δ$ . Dacă ți se cer punctele, nu te opri la abscise — fiecare $x$ trebuie însoțit de ordonata lui. Și verifică la final punctele găsite în ecuația cercului.

1. Stabilește poziția dreptei $y = x + 4$ față de cercul $x^{2} + y^{2} = 8$ și, dacă este cazul, determină punctul de atingere.

2. Determină punctele comune ale dreptei $y = - x + 7$ cu cercul $x^{2} + y^{2} = 37$ .

3. Stabilește poziția dreptei $y = x + 5$ față de cercul $x^{2} + y^{2} = 8$ .

4. Determină punctele comune ale dreptei $y = 3 x - 5$ cu cercul $x^{2} + y^{2} = 5$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă discriminantul ecuației obținute prin substituție este un pătrat perfect nenul, atunci dreapta este tangentă cercului."

6. Stabilește poziția dreptei $x = 5$ față de cercul $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ .

7. Stabilește poziția dreptei $x = - 4$ față de cercul $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ .

8. Determină punctele comune ale dreptei $y = 4$ cu cercul $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 8 = 0$ .

9. Scrie ecuația tangentei la cercul $x^{2} + y^{2} = 41$ în punctul $A (4, 5)$ , folosind fasciculul de drepte prin $A$ și condiția $Δ = 0$ .

10. Scrie ecuația tangentei la cercul $x^{2} + y^{2} = 41$ în punctul $B (5, - 4)$ .

11. Determină numerele reale $c$ pentru care dreapta $y = x + c$ este tangentă cercului $x^{2} + y^{2} = 32$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} = 18$ și dreapta $d : y = x - 6$ . Arată că dreapta $d$ este tangentă cercului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} = 34$ și dreapta $d : y = x + 2$ . Determină coordonatele punctelor comune ale dreptei $d$ cu cercul.

14. (Problemă aplicată.) Undele unui cutremur cu epicentrul în punctul $O (0, 0)$ se resimt numai în interiorul discului de rază $15$ km. O magistrală feroviară urmează dreapta $y = 3 x + 15$ (coordonatele sunt în kilometri). Determină capetele porțiunii de cale ferată pe care se resimt undele și lungimea acestei porțiuni.

15. Determină numerele reale $c$ pentru care dreapta $y = 2 x + c$ nu are niciun punct comun cu cercul $x^{2} + y^{2} = 5$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} = 29$ și dreapta $d : 5 x + 2 y - 29 = 0$ . Arată că dreapta $d$ are un singur punct comun cu cercul.

17. Determină ecuațiile tangentelor duse din punctul $P (0, 5)$ la cercul $x^{2} + y^{2} = 16$ .

18. (Provocare.) Arată că dreapta $y = x + c$ este tangentă cercului $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , cu $r > 0$ , dacă și numai dacă $c^{2} = 2 r^{2}$ . Scrie apoi cele două tangente de acest fel pentru $r = 3$ .

Răspunsuri și explicații

1. $x^{2} + (x + 4)^{2} = 8$ dă $2 x^{2} + 8 x + 8 = 0$ , adică $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ , cu $Δ = 0$ : tangentă. Rădăcina dublă este $x = - 2$ , deci punctul de atingere este $(- 2, 2)$ . Control: $4 + 4 = 8$ .

2. $x^{2} + (7 - x)^{2} = 37$ dă $2 x^{2} - 14 x + 12 = 0$ , adică $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , cu $Δ = 25$ . Soluțiile $x = 1$ și $x = 6$ dau punctele $(1, 6)$ și $(6, 1)$ . Control: $1 + 36 = 37$ .

3. $x^{2} + (x + 5)^{2} = 8$ dă $2 x^{2} + 10 x + 17 = 0$ , cu $Δ = 100 - 136 = - 36 < 0$ : dreapta este exterioară cercului.

4. $x^{2} + (3 x - 5)^{2} = 5$ dă $10 x^{2} - 30 x + 20 = 0$ , adică $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$ . Punctele sunt $(1, - 2)$ și $(2, 1)$ ; amândouă verifică $x^{2} + y^{2} = 5$ .

5. Fals. Un pătrat perfect nenul este un număr strict pozitiv, deci $Δ > 0$ și dreapta este secantă, nu tangentă. Tangența înseamnă $Δ = 0$ . Exemplul 1 al lecției are $Δ = 16$ , pătrat perfect, și dreapta taie cercul în două puncte.

6. $(5 - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ dă $(y + 2)^{2} = 0$ , deci $y = - 2$ , rădăcină dublă: dreapta este tangentă, în punctul $(5, - 2)$ .

7. $(- 4 - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ dă $(y + 2)^{2} = - 9$ , imposibil: dreapta este exterioară.

8. Cercul se scrie $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ , cu centrul $(1, 4)$ și raza $3$ . Pentru $y = 4$ : $(x - 1)^{2} = 9$ , deci $x \in {4, - 2}$ , iar punctele comune sunt $(4, 4)$ și $(- 2, 4)$ . Dreapta trece prin centru, deci taie un diametru, de lungime $6$ .

9. $A$ este pe cerc: $16 + 25 = 41$ . Cu fasciculul $y = k (x - 4) + 5$ , condiția $Δ = 0$ dă $k = - \frac{4}{5}$ ; într-adevăr, pentru această valoare substituția conduce la $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ . Tangenta este $y - 5 = - \frac{4}{5} (x - 4)$ , adică $4 x + 5 y - 41 = 0$ .

10. $B$ este pe cerc: $25 + 16 = 41$ . Cu $y = k (x - 5) - 4$ , condiția $Δ = 0$ dă $k = \frac{5}{4}$ , iar substituția devine $41 x^{2} - 410 x + 1025 = 0$ , adică $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ . Tangenta este $5 x - 4 y - 41 = 0$ .

11. Substituția dă $2 x^{2} + 2 c x + c^{2} - 32 = 0$ , cu $Δ = 4 c^{2} - 8 (c^{2} - 32) = - 4 c^{2} + 256$ . Din $Δ = 0$ rezultă $c^{2} = 64$ , deci $c = 8$ sau $c = - 8$ . Cele două drepte, $y = x + 8$ și $y = x - 8$ , sunt paralele și ating cercul în puncte diametral opuse.

12. $x^{2} + (x - 6)^{2} = 18$ dă $2 x^{2} - 12 x + 18 = 0$ , adică $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , cu $Δ = 0$ : dreapta este tangentă, în punctul $(3, - 3)$ . Control: $9 + 9 = 18$ .

13. $x^{2} + (x + 2)^{2} = 34$ dă $2 x^{2} + 4 x - 30 = 0$ , adică $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ , cu soluțiile $x = 3$ și $x = - 5$ . Punctele comune sunt $(3, 5)$ și $(- 5, - 3)$ ; controlul: $9 + 25 = 34$ și $25 + 9 = 34$ .

14. Zona este discul $x^{2} + y^{2} \leq 225$ . Substituim: $x^{2} + (3 x + 15)^{2} = 225$ , adică $10 x^{2} + 90 x = 0$ , sau $x^{2} + 9 x = 0$ , cu soluțiile $x = 0$ și $x = - 9$ . Capetele porțiunii sunt $(0, 15)$ și $(- 9, - 12)$ . Lungimea ei este $9^{2} + 2 7^{2} = 810 = 910 \approx 28, 5$ km.

15. Substituția dă $5 x^{2} + 4 c x + c^{2} - 5 = 0$ , cu $Δ = 16 c^{2} - 20 (c^{2} - 5) = - 4 c^{2} + 100$ . Condiția „niciun punct comun" înseamnă $Δ < 0$ , adică $c^{2} > 25$ , deci $c < - 5$ sau $c > 5$ . Pentru $c = \pm 5$ dreapta ar fi tangentă.

16. Din ecuația dreptei, $y = \frac{29 - 5 x}{2}$ . Înlocuind și înmulțind cu $4$ : $4 x^{2} + (29 - 5 x)^{2} = 116$ , adică $29 x^{2} - 290 x + 725 = 0$ , sau $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ , cu $Δ = 0$ . Punctul comun este $(5, 2)$ , iar $25 + 4 = 29$ confirmă.

17. $P$ este exterior: $0 + 25 > 16$ . Cu fasciculul $y = k x + 5$ , substituția dă $(1 + k^{2}) x^{2} + 10 k x + 9 = 0$ și $Δ = 100 k^{2} - 36 (1 + k^{2}) = 64 k^{2} - 36$ . Din $Δ = 0$ rezultă $k^{2} = \frac{9}{16}$ , deci $k = \pm \frac{3}{4}$ , iar tangentele sunt $3 x - 4 y + 20 = 0$ și $3 x + 4 y - 20 = 0$ . Verticala $x = 0$ trece prin centru, deci este secantă.

18. Substituind $y = x + c$ obținem $2 x^{2} + 2 c x + c^{2} - r^{2} = 0$ , cu $Δ = 4 c^{2} - 8 (c^{2} - r^{2}) = 8 r^{2} - 4 c^{2}$ . Tangența înseamnă $Δ = 0$ , adică $4 c^{2} = 8 r^{2}$ , echivalent cu $c^{2} = 2 r^{2}$ ; echivalențele fiind în ambele sensuri, afirmația este demonstrată. Pentru $r = 3$ avem $c^{2} = 18$ , deci $c = \pm 32$ , iar tangentele sunt $y = x + 32$ și $y = x - 32$ .

De reținut

Punctele comune ale unei drepte cu un cerc sunt soluțiile sistemului format din cele două ecuații; substituind $y$ din ecuația dreptei, sistemul se reduce la o singură ecuație de gradul al doilea.
Semnul discriminantului acelei ecuații dă verdictul fără niciun calcul în plus: la $Δ > 0$ ai o secantă, la $Δ = 0$ o tangentă, iar la $Δ < 0$ o dreaptă care ratează cercul.
Lipsa pantei nu împiedică nimic: pentru $x = x_{0}$ pui valoarea direct în ecuația cercului și ajungi la o ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta $y$ .
Tangenta într-un punct al cercului se obține scriind fasciculul de drepte prin acel punct și impunând $Δ = 0$ ; discriminantul iese pătrat perfect, ceea ce arată că tangenta este unică.
Dintr-un punct exterior se pot duce exact două tangente, iar pantele lor sunt cele două soluții ale ecuației $Δ = 0$ ; verticala prin acel punct se verifică separat, pentru că nu face parte din fascicul.

Greșeli frecvente

Substituția lăsată pe jumătate. Se înlocuiește $y$ în primul termen al ecuației cercului și se uită în al doilea, așa că ecuația finală mai conține un $y$ . Corect: după substituție, în ecuație rămâne o singură literă. Citește-ți rândul înainte de a merge mai departe: dacă vezi și $x$ , și $y$ , nu ai încă o ecuație de gradul al doilea.
Coeficienții citiți înainte de aducerea într-un membru. Din $x^{2} + (x + 1)^{2} = 13$ se ia direct $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 13$ . Corect: desfaci pătratul, aduni termenii asemenea și treci totul în stânga; abia din $2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$ se citesc coeficienții. Altfel discriminantul e calculat pentru altă ecuație.
Semnul lui $Δ$ tradus greșit. Se scrie „ $Δ < 0$ , deci dreapta este tangentă". Corect: tangenta cere $Δ = 0$ , adică un singur punct comun; $Δ < 0$ înseamnă că sistemul nu are soluții reale, deci dreapta este exterioară cercului.
Rezolvarea oprită la $Δ = 0$ . Se răspunde „tangentă" și se trece mai departe, deși enunțul cerea și punctul de atingere. Corect: rădăcina dublă este $x = - \frac{b}{2 a}$ , iar ordonata se află punând acest $x$ în ecuația dreptei; punctul de tangență nu apare de la sine.
Punctele comune date doar prin abscise. Se scrie „punctele comune sunt $x = 2$ și $x = - 3$ ". Corect: un punct din plan are două coordonate; răspunsul este $(2, 3)$ și $(- 3, - 2)$ , obținute înlocuind fiecare abscisă în ecuația dreptei, nu în cea a cercului (unde ar apărea și soluții străine).

Aplică acasă

Familia de drepte paralele. Ia cercul $x^{2} + y^{2} = 18$ și dreptele $y = x + c$ pentru $c \in {0, 2, 4, 6, 7}$ . Pentru fiecare, fă substituția, calculează $Δ$ și trece rezultatele într-un tabel cu trei coloane: valoarea lui $c$ , valoarea lui $Δ$ , poziția dreptei. Marchează rândul în care $Δ$ se anulează și scrie, în două fraze, ce se întâmplă cu punctele comune imediat înainte și imediat după el.
Cele douăsprezece puncte întregi. Pe cercul $x^{2} + y^{2} = 50$ caută toate punctele cu ambele coordonate numere întregi, dând lui $x$ pe rând valorile de la $0$ la $7$ și verificând dacă $50 - x^{2}$ este pătrat perfect. Vei găsi douăsprezece. Alege apoi trei perechi dintre ele, scrie de fiecare dată dreapta care le unește și confirmă prin substituție și semnul lui $Δ$ că dreapta este, într-adevăr, secantă.
Trei verdicte pentru aceeași pereche. Alege un cerc și o dreaptă, apoi stabilește poziția în trei feluri: desenând pe caroiaj, calculând $Δ$ și calculând distanțele de la centru la zece puncte ale dreptei, ca să vezi dacă vreuna coboară sub rază. Scrie într-un paragraf care metodă ți s-a părut cea mai sigură și de ce — și ce s-ar întâmpla cu a treia dacă dreapta ar atinge cercul exact între două dintre punctele alese.

Pentru părinți și profesori

Lecția are o miză de metodă, nu de formulă. Elevul de la științe ale naturii învață aici că o întrebare geometrică — „se ating sau nu?" — se poate transforma într-o întrebare de algebră la care răspunde un singur număr, discriminantul. Este primul loc din traseu unde geometria și algebra se sprijină una pe alta atât de vizibil, iar avantajul practic e că metoda nu cere nicio formulă nouă: substituție, reducere, semnul lui $Δ$ . Din acest motiv, aici nu se folosește formula distanței punct–dreaptă, care la acest profil nu face parte din programa clasei a IX-a.

De urmărit în caiet: după substituție a rămas o singură literă în ecuație; termenii au fost aduși într-un membru înainte de citirea coeficienților; verdictul folosește cuvintele „secantă", „tangentă", „exterioară", nu doar numărul de soluții; punctele comune sunt scrise cu ambele coordonate și verificate în ecuația cercului; la dreptele verticale nu s-a încercat forma $y = k x + q$ . Întrebări de control: „De ce numărul punctelor comune nu poate fi trei?"; „Ce ai face dacă dreapta ar fi dată prin două puncte, nu prin ecuație?"; „De unde știi că printr-un punct al cercului trece o singură tangentă?". Semn că elevul a înțeles: la o dreaptă verticală nu ezită și nu caută panta, ci înlocuiește direct.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; competența vizată este analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și cercurilor, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema nu apare: programa acelui examen (OMEN 4430/2014) conține din geometria analitică plană doar reperul, vectorii, distanța dintre două puncte, ecuațiile dreptei și condițiile de paralelism și de perpendicularitate, iar poziția relativă studiată cu discriminantul este cea a unei drepte față de o parabolă. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Prin ce diferă metoda de la M2 față de cea de la mate-info (M1)? Prin uneltele disponibile. La științe ale naturii, în clasa a IX-a, poziția se decide prin substituție și semnul discriminantului, pentru că formula distanței punct–dreaptă nu este în programă. La matematică-informatică tema vine în clasa a XII-a, unde se compară direct distanța de la centru cu raza. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, la clasa a 12-a folosește și dedublarea, care nu apare aici.

La ce subiect apare poziția dreptei față de cerc la bacalaureatul M2? În sesiunile 2027–2029 nu apare: programa de examen din 2014 nu conține ecuația cercului. Din 2030, la proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de geometrie analitică al clasei a IX-a. Structura probei nu a fost publicată, deci nu se poate numi un subiect; cerințele exersate aici sunt scurte, de tipul „arătați că dreapta este tangentă cercului".

De ce nu folosesc formula distanței punct–dreaptă? Pentru că nu face parte din programa de clasa a IX-a de la științe ale naturii, iar o lecție nu are voie să se sprijine pe ceva ce nu s-a predat. Metoda cu discriminantul dă exact același răspuns, funcționează și pentru drepte verticale și are un avantaj în plus: când e cazul, îți dă direct și punctele comune, nu doar verdictul.

Ce fac cu o dreaptă verticală, care nu are pantă? Nu o scrii ca $y = k x + q$ , ci o folosești așa cum este: $x = x_{0}$ . Pui valoarea peste tot unde apare $x$ în ecuația cercului, iar ce rămâne are gradul al doilea în necunoscuta $y$ și se discută identic. La forma canonică se ajunge imediat la ceva de tipul $(y - b)^{2} = N$ : dacă $N > 0$ ai două puncte, dacă $N = 0$ ai unul, dacă $N < 0$ niciunul.

Ce este, de fapt, discriminantul din această lecție? Este discriminantul ecuației de gradul al doilea la care ajungi după substituție, deci un număr calculat cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ din coeficienții acelei ecuații. Nu are nicio legătură directă cu raza sau cu centrul, dar semnul lui codifică exact poziția geometrică, pentru că numără soluțiile reale, adică punctele comune.

De ce iese discriminantul un pătrat perfect la tangenta într-un punct al cercului? Pentru că punctul aparține cercului, deci orice dreaptă dusă prin el are măcar un punct comun cu cercul: discriminantul nu poate fi negativ pentru nicio pantă. O expresie de gradul al doilea în pantă care nu ia valori negative este un pătrat perfect înmulțit cu o constantă pozitivă, iar un pătrat se anulează o singură dată.

Cum verific repede că am găsit tangenta corectă? Refă substituția cu dreapta găsită și arată că ecuația obținută are discriminantul nul. Un al doilea control, la fel de rapid: rădăcina dublă trebuie să fie exact abscisa punctului de tangență din enunț. Dacă îți iese altă abscisă, ai greșit panta, nu calculul discriminantului.