Ec. gr. 2, coeficienți complecși: pe scurt

În $\mathbb{C}$ nu există relație de ordine, deci nu mai are sens să discutăm după „semnul” lui $\Delta$. Întrebarea corectă devine: există $\delta$ cu ${\delta }^2=\Delta$? Răspunsul e mereu da — orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, opuse, notate $\delta$ (nu  ​, pentru că nu putem alege canonic una).

Pentru $Z=x+yi$, se caută $\delta =u+vi$ prin sistemul $u^2-v^2=x$, $2uv=y$, la care se adaugă „trucul modulului”, $u^2+v^2=|Z|$: de aici $u^2=\frac{|Z|+x}{2}$, $v^2=\frac{|Z|-x}{2}$, iar semnul lui $y$ decide dacă $u,v$ au același semn sau semne opuse.

Formula rădăcinilor devine $z_{1,2}=\frac{-b\pm \delta }{2a}$, cu ${\delta }^2=\Delta =b^2-4ac$, valabilă pentru orice coeficienți complecși — nu contează care rădăcină pătrată a lui $\Delta$ e aleasă drept $\delta$.

Diferența majoră față de coeficienții reali: rădăcinile nu mai sunt conjugate în general, pentru că demonstrația conjugării folosea $\bar{a}=a,\bar{b}=b,\bar{c}=c$; cu un singur coeficient nereal, raționamentul se rupe și rădăcinile pot avea module diferite. Relațiile lui Viète rămân însă valabile pentru orice coeficienți complecși, fără nicio modificare, ceea ce le face un instrument util de verificare rapidă a oricărei perechi de rădăcini găsite prin algoritmul de extragere.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este una dintre rădăcinile pătrate ale numărului $Z=-5+12i$?

   • a) $2+3i$
   • b) $2-3i$
   • c) $3+2i$
   • d) $5+12i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2+3i$

   $|Z|=13$, deci $u^2=\frac{13-5}{2}=4$, $v^2=\frac{13+5}{2}=9$; cum $y=12>0$, $u,v$ au același semn: $\delta =2+3i$. Verificare: $(2+3i{)}^2=4+12i-9=-5+12i$ ✓.

2. Câte rădăcini pătrate distincte are un număr complex nenul $Z$?

   • a) $1$
   • b) $2$
   • c) $0$
   • d) o infinitate
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Dacă ${\delta }^2=Z$, atunci $(-\delta {)}^2=Z$ și nu mai există altă rădăcină, pentru că $w^2-{\delta }^2=(w-\delta )(w+\delta )=0$ forțează $w=\pm \delta$.

3. Care afirmație este adevărată despre o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți complecși (nu toți reali)?

   • a) ecuația nu are soluții în $\mathbb{C}$
   • b) rădăcinile ei sunt întotdeauna conjugate
   • c) rădăcinile ei nu sunt neapărat conjugate
   • d) $\Delta$ trebuie să fie real
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) rădăcinile ei nu sunt neapărat conjugate

   Proprietatea „rădăcinile sunt conjugate” cere ca toți coeficienții să fie reali. Cu un coeficient nereal, ea poate cădea, ca în exemplele lecției.