Acasă · Lecții · clasa a X-a · Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși

Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși

În lecția precedentă am rezolvat ecuații de gradul al doilea cu coeficienți reali și discriminant negativ. Întrebarea firească este: ce facem când chiar coeficienții sunt numere complexe? Cum rezolvăm, de exemplu, $z^{2} - (3 + i) z + (2 + 2 i) = 0$ ? Formula pe care o știm cere $Δ$ , iar aici $Δ$ va ieși $- 2 i$ — un număr care nu e nici pozitiv, nici negativ, pentru că în $C$ nu există relație de ordine.

Nu mai putem, deci, separa cazurile după semnul lui $Δ$ . În schimb, putem face ceva mai bun: vom arăta că orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, le vom calcula printr-o metodă algebrică simplă, iar apoi formula rădăcinilor va funcționa fără excepție. Rezultatul e puternic: în $C$ , orice ecuație de gradul al doilea, cu orice coeficienți, are exact două rădăcini (numărate cu multiplicitate). Este cazul $n = 2$ al teoremei fundamentale a algebrei.

Ce vei învăța

Vei ști de ce în $C$ nu se mai vorbește despre semnul lui $Δ$ și ce înlocuiește această discuție.
Vei ști să extragi rădăcina pătrată dintr-un număr complex prin metoda algebrică, rezolvând sistemul care apare din $(u + v i)^{2} = z$ .
Vei ști să folosești trucul modulului care transformă sistemul într-unul ușor de rezolvat.
Vei ști să aplici formula $z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ , unde $δ$ este o rădăcină pătrată a lui $Δ$ .
Vei ști să verifici fiecare rădăcină prin înlocuire în ecuația inițială, pe părți reale și imaginare.
Vei ști de ce, la coeficienți complecși, rădăcinile nu mai sunt conjugate.

Hai să descoperim împreună

1. De ce dispare discuția după semnul lui $Δ$

În $R$ , orice număr este pozitiv, negativ sau nul, iar de aici veneau cele trei cazuri clasice. În $C$ această trisecțiune nu există: mulțimea numerelor complexe nu poate fi ordonată compatibil cu operațiile. Vezi imediat de ce ar fi absurd: dacă am avea $i > 0$ , înmulțind cu $i$ am obține $i^{2} > 0$ , adică $- 1 > 0$ ; iar dacă am avea $i < 0$ , atunci $- i > 0$ și $(- i)^{2} = - 1 > 0$ , aceeași contradicție.

Deci enunțuri de tipul „ $Δ < 0$ " nu au sens când $Δ$ este un număr complex nereal. Rămâne doar întrebarea utilă: există un număr $δ$ cu $δ^{2} = Δ$ ? Răspunsul este întotdeauna da — și există exact două astfel de numere, opuse.

Definiție. Numim rădăcină pătrată a numărului complex $Z$ orice număr complex $δ$ cu proprietatea $δ^{2} = Z$ .

Atenție la formulare: spunem „o rădăcină pătrată", nu „rădăcina pătrată". Peste $R$ , simbolul desemna rădăcina nenegativă, deci una singură; în $C$ nu avem noțiunea de „nenegativ", deci nu putem alege canonic. De aceea nu folosim simbolul pentru numere complexe nereale și scriem în schimb $δ$ .

Propoziție. Dacă $δ$ este o rădăcină pătrată a lui $Z$ , atunci $- δ$ este cealaltă, și nu mai există altele.

Demonstrație. Întâi, $(- δ)^{2} = δ^{2} = Z$ , deci $- δ$ este și el rădăcină pătrată. Apoi, dacă $w^{2} = Z$ și $δ^{2} = Z$ , scădem: $w^{2} - δ^{2} = 0$ , adică $(w - δ) (w + δ) = 0$ . Într-un produs nul din $C$ un factor este nul, deci $w = δ$ sau $w = - δ$ . $■$

2. Metoda algebrică de extragere: sistemul

Fie $Z = x + y i$ , cu $x, y \in R$ . Căutăm $δ = u + v i$ , cu $u, v \in R$ , astfel încât $δ^{2} = Z$ . Dezvoltăm:

$(u + v i)^{2} = u^{2} + 2 uv i + v^{2} i^{2} = (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i .$

Două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară. Obținem deci sistemul

${u^{2} - v^{2} = x 2 uv = y$

cu necunoscutele reale $u$ și $v$ . Se poate rezolva prin substituție, dar există o cale mult mai scurtă.

3. Trucul modulului — a treia ecuație, care rezolvă totul

Adăugăm sistemului o consecință a lui: egalăm modulele. Din $δ^{2} = Z$ rezultă $∣ δ ∣^{2} = ∣ Z ∣$ , iar $∣ δ ∣^{2} = u^{2} + v^{2}$ . Cum $∣ Z ∣ = x^{2} + y^{2}$ , obținem

$u^{2} + v^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Acum avem un sistem foarte comod: prima ecuație dă diferența pătratelor, a treia dă suma lor. Notăm $m = x^{2} + y^{2}$ (modulul lui $Z$ ) și adunăm, respectiv scădem:

$u^{2} = \frac{m + x}{2}, v^{2} = \frac{m - x}{2} .$

Ambele fracții sunt nenegative, pentru că $m \geq ∣ x ∣$ . De aici $∣ u ∣ = \frac{m + x}{2}$ și $∣ v ∣ = \frac{m - x}{2}$ — patru combinații de semne, dar doar două sunt bune: ecuația $2 uv = y$ fixează semnul produsului $uv$ . Dacă $y > 0$ , $u$ și $v$ au același semn; dacă $y < 0$ , semne contrare. Rămân exact două soluții, opuse — exact ce prevedea propoziția din secțiunea 1.

✏️Ilustrație: schemă cu trei casete legate prin săgeți: „u² − v² = x" și „u² + v² = |Z|" duc la „u², v² aflate prin adunare/scădere", iar caseta „2uv = y" duce la „alegerea semnelor"

Algoritmul, pe scurt. Pentru a găsi rădăcinile pătrate ale lui $Z = x + y i$ :

calculezi $m = ∣ Z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ;
calculezi $u^{2} = \frac{m + x}{2}$ și $v^{2} = \frac{m - x}{2}$ , apoi extragi radicalii (numere reale nenegative);
alegi semnele astfel încât $2 uv$ să aibă semnul lui $y$ ;
scrii cele două rădăcini: $\pm (u + v i)$ ;
verifici prin ridicare la pătrat.

4. Primul exemplu complet, pas cu pas

Să găsim rădăcinile pătrate ale lui $Z = 3 + 4 i$ .

Pasul 1. $m = 9 + 16 = 5$ .

Pasul 2. $u^{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ și $v^{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ , deci $∣ u ∣ = 2$ , $∣ v ∣ = 1$ .

Pasul 3. Cum $y = 4 > 0$ , numerele $u$ și $v$ au același semn.

Pasul 4. Rădăcinile pătrate sunt $δ = 2 + i$ și $- δ = - 2 - i$ .

Pasul 5 (verificarea). $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i + i^{2} = 3 + 4 i$ ✓, iar $(- 2 - i)^{2} = (2 + i)^{2}$ ✓.

Un al doilea exemplu, cu $y$ negativ. Pentru $Z = 8 - 6 i$ : $m = 10$ , $u^{2} = 9$ , $v^{2} = 1$ . Cum $y = - 6 < 0$ , semnele sunt contrare: $δ = 3 - i$ , iar $(3 - i)^{2} = 8 - 6 i$ ✓.

Caz particular util: pentru $Z = 2 i$ avem $x = 0$ , $m = 2$ , deci $u^{2} = v^{2} = 1$ ; cum $y > 0$ , obținem $δ = 1 + i$ , și într-adevăr $(1 + i)^{2} = 2 i$ . Analog, rădăcinile pătrate ale lui $- 2 i$ sunt $\pm (1 - i)$ .

5. Formula rădăcinilor, în forma ei generală

Teoremă. Fie $a, b, c \in C$ , $a \neq = 0$ , și fie $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Dacă $δ$ este o rădăcină pătrată a lui $Δ$ (adică $δ^{2} = Δ$ ), atunci ecuația $a z^{2} + b z + c = 0$ are în $C$ exact rădăcinile

$z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a} .$

Demonstrație. Refacem forma canonică, ca în lecția precedentă — toate transformările folosesc doar adunarea, înmulțirea și împărțirea la $a \neq = 0$ :

$a z^{2} + b z + c = a (z + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a} .$

Ecuația devine $(z + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} = (\frac{δ}{2 a})^{2}$ , adică $(z + \frac{b - δ}{2 a}) (z + \frac{b + δ}{2 a}) = 0$ . Un produs este nul doar dacă un factor este nul, de unde $z = \frac{- b + δ}{2 a}$ sau $z = \frac{- b - δ}{2 a}$ . $■$

Două observații. Întâi: nu contează care dintre cele două rădăcini pătrate ale lui $Δ$ o numești $δ$ — înlocuind $δ$ cu $- δ$ , cele două valori doar își schimbă locul. Apoi: dacă $Δ = 0$ , atunci $δ = 0$ și obținem o singură valoare, $z = - \frac{b}{2 a}$ , numită rădăcină dublă.

6. Un exemplu de la cap la coadă

Rezolvăm $z^{2} - (3 + i) z + (2 + 2 i) = 0$ .

Discriminantul. $(3 + i)^{2} = 9 + 6 i + i^{2} = 8 + 6 i$ , deci $Δ = 8 + 6 i - 4 (2 + 2 i) = - 2 i$ .

Rădăcina pătrată a lui $Δ$ . Din secțiunea 4: $δ = 1 - i$ , pentru că $(1 - i)^{2} = - 2 i$ .

Rădăcinile.

$z_{1, 2} = \frac{( 3 + i ) \pm ( 1 - i )}{2} ⟹ z_{1} = \frac{4}{2} = 2, z_{2} = \frac{2 + 2 i}{2} = 1 + i .$

Verificarea, în ecuația inițială. Pentru $z_{1} = 2$ : $4 - 2 (3 + i) + 2 + 2 i = 4 - 6 - 2 i + 2 + 2 i = 0$ ✓. Pentru $z_{2} = 1 + i$ : $(1 + i)^{2} = 2 i$ și $(3 + i) (1 + i) = 2 + 4 i$ , deci $2 i - 2 - 4 i + 2 + 2 i = 0$ ✓.

7. Rădăcinile nu mai sunt conjugate

Privește rezultatul de mai sus: $z_{1} = 2$ și $z_{2} = 1 + i$ . Nu sunt conjugate, nu au nici măcar același modul, iar una este reală și cealaltă nu — situație imposibilă la o ecuație cu coeficienți reali.

Motivul e cel anunțat în lecția precedentă: demonstrația conjugării folosea $\overset{a}{ˉ} = a$ , $\overset{ˉ}{b} = b$ , $\overset{c}{ˉ} = c$ . Aici $b = - (3 + i)$ nu este real, deci raționamentul nu se aplică.

Regulă de aur. Proprietatea „rădăcinile sunt conjugate" se invocă numai după ce ai verificat că toți coeficienții sunt reali. Este una dintre cele mai frecvente surse de puncte pierdute.

În schimb, relațiile lui Viète rămân valabile pentru orice coeficienți complecși: $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ și $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ . Le verificăm pe exemplul de mai sus: $2 + (1 + i) = 3 + i$ ✓ și $2 (1 + i) = 2 + 2 i$ ✓. Vor face obiectul lecției Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe.

✏️Ilustrație: planul complex cu punctele de afixe 2 și 1 + i marcate, plus punctul 1 − i marcat cu o cruce roșie și eticheta „NU este rădăcină — coeficienții nu sunt reali"

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Extragerea rădăcinii pătrate

Determinați rădăcinile pătrate ale numărului $Z = - 15 - 8 i$ .

Rezolvare. $m = ∣ Z ∣ = 225 + 64 = 289 = 17$ , deci $u^{2} = \frac{17 - 15}{2} = 1$ și $v^{2} = \frac{17 + 15}{2} = 16$ , adică $∣ u ∣ = 1$ și $∣ v ∣ = 4$ . Partea imaginară a lui $Z$ este $- 8 < 0$ , deci $u$ și $v$ au semne contrare: $δ = 1 - 4 i$ .

Verificare: $(1 - 4 i)^{2} = 1 - 8 i + 16 i^{2} = - 15 - 8 i$ ✓. Rădăcinile pătrate sunt $1 - 4 i$ și $- 1 + 4 i$ .

Exemplul 2 — Încă o extragere, cu control

Determinați rădăcinile pătrate ale numărului $Z = 5 - 12 i$ .

Rezolvare. $m = 25 + 144 = 13$ ; $u^{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$ și $v^{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$ , deci $∣ u ∣ = 3$ , $∣ v ∣ = 2$ . Cum $y = - 12 < 0$ , semnele sunt contrare: $δ = \pm (3 - 2 i)$ .

Verificare: $(3 - 2 i)^{2} = 9 - 12 i + 4 i^{2} = 5 - 12 i$ ✓. Control prin module: $∣ δ ∣^{2} = 9 + 4 = 13 = ∣ Z ∣$ ✓ — un test rapid care prinde majoritatea greșelilor de calcul.

Exemplul 3 — Ecuație completă cu coeficienți complecși

Rezolvați în $C$ : $z^{2} - (4 + i) z + (5 + 5 i) = 0$ .

Rezolvare. $(4 + i)^{2} = 15 + 8 i$ , deci $Δ = 15 + 8 i - 20 - 20 i = - 5 - 12 i$ .

Extragem rădăcina pătrată: $m = 13$ ; $u^{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$ , $v^{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$ ; cum $y = - 12 < 0$ , semnele sunt contrare: $δ = 2 - 3 i$ . Control: $(2 - 3 i)^{2} = - 5 - 12 i$ ✓.

$z_{1, 2} = \frac{( 4 + i ) \pm ( 2 - 3 i )}{2} ⟹ z_{1} = \frac{6 - 2 i}{2} = 3 - i, z_{2} = \frac{2 + 4 i}{2} = 1 + 2 i .$

Verificare pentru $z_{2} = 1 + 2 i$ : $(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i$ și $(4 + i) (1 + 2 i) = 2 + 9 i$ , deci $- 3 + 4 i - 2 - 9 i + 5 + 5 i = 0$ ✓.

Exemplul 4 — Când discriminantul e un număr real pozitiv

Rezolvați în $C$ : $z^{2} - 2 i z - 2 = 0$ .

Rezolvare. $Δ = (- 2 i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = - 4 + 8 = 4$ . Aici $Δ$ este real și pozitiv, deci $δ = 2$ (sau $- 2$ , tot aia).

$z_{1, 2} = \frac{2 i \pm 2}{2} = i \pm 1 ⟹ z_{1} = 1 + i, z_{2} = - 1 + i .$

Verificare pentru $z_{1} = 1 + i$ : $(1 + i)^{2} = 2 i$ și $- 2 i (1 + i) = - 2 i - 2 i^{2} = 2 - 2 i$ , deci $2 i + 2 - 2 i - 2 = 0$ ✓.

Observă: deși $Δ > 0$ , rădăcinile nu sunt reale — pentru că nici coeficienții nu erau toți reali. Semnul lui $Δ$ nu mai spune nimic despre natura rădăcinilor atunci când coeficienții sunt complecși.

Exemplul 5 — Coeficient dominant nereal

Rezolvați în $C$ : $i z^{2} + (1 - i) z - 1 = 0$ .

Rezolvare. Aici $a = i$ , $b = 1 - i$ , $c = - 1$ . Cum $(1 - i)^{2} = - 2 i$ , avem $Δ = - 2 i + 4 i = 2 i$ , iar din secțiunea 4, $δ = 1 + i$ . Atunci

$z_{1, 2} = \frac{- ( 1 - i ) \pm ( 1 + i )}{2 i} = \frac{( - 1 + i ) \pm ( 1 + i )}{2 i} .$

Cu semnul plus: $\frac{2 i}{2 i} = 1$ . Cu semnul minus: $\frac{- 2}{2 i} = \frac{- 1}{i} = \frac{- i}{i \cdot i} = i$ .

Verificare: pentru $z = 1$ : $i + 1 - i - 1 = 0$ ✓. Pentru $z = i$ : $i \cdot i^{2} + (1 - i) i - 1 = - i + i + 1 - 1 = 0$ ✓.

Reține tehnica de la împărțirea la $2 i$ : amplifici cu $i$ sau folosești direct $\frac{1}{i} = - i$ , ca la împărțirea numerelor complexe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $z^{2} - (1 + i) z + (- 4 + 8 i) = 0$ , cu $z \in C$ . a) Calculați discriminantul ecuației. b) Determinați rădăcinile pătrate ale discriminantului. c) Rezolvați ecuația și verificați relațiile lui Viète.

Rezolvare. a) $(1 + i)^{2} = 2 i$ , deci

$Δ = 2 i - 4 (- 4 + 8 i) = 2 i + 16 - 32 i = 16 - 30 i .$

b) $m = 1 6^{2} + 3 0^{2} = 256 + 900 = 1156 = 34$ . Atunci $u^{2} = \frac{34 + 16}{2} = 25$ și $v^{2} = \frac{34 - 16}{2} = 9$ , deci $∣ u ∣ = 5$ , $∣ v ∣ = 3$ ; cum $y = - 30 < 0$ , semnele sunt contrare și $δ = \pm (5 - 3 i)$ . Control: $(5 - 3 i)^{2} = 25 - 30 i - 9 = 16 - 30 i$ ✓.

c) $z_{1, 2} = \frac{( 1 + i ) \pm ( 5 - 3 i )}{2}$ , deci

$z_{1} = \frac{6 - 2 i}{2} = 3 - i, z_{2} = \frac{- 4 + 4 i}{2} = - 2 + 2 i .$

Viète: $z_{1} + z_{2} = 1 + i = - \frac{b}{a}$ ✓; $z_{1} z_{2} = (3 - i) (- 2 + 2 i) = - 6 + 6 i + 2 i + 2 = - 4 + 8 i = \frac{c}{a}$ ✓.

Verificare directă pentru $z_{1} = 3 - i$ : $(3 - i)^{2} = 8 - 6 i$ și $(1 + i) (3 - i) = 4 + 2 i$ , deci $8 - 6 i - 4 - 2 i - 4 + 8 i = 0$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare extragere de rădăcină pătrată scrie explicit cei cinci pași ai algoritmului, iar la fiecare ecuație verifică cel puțin o rădăcină prin înlocuire în ecuația inițială.

1. Verifică prin calcul direct că $(2 + i)^{2} = 3 + 4 i$ și că $(- 2 - i)^{2} = 3 + 4 i$ .

2. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $- 3 - 4 i$ .

3. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $7 - 24 i$ .

4. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $- 7 + 24 i$ .

5. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $2 i$ , apoi ale numărului $- 2 i$ .

6. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $- 9$ folosind algoritmul din lecție și compară cu rezultatul obținut direct.

7. Determină rădăcinile pătrate ale numărului $- 16 + 30 i$ .

8. Rezolvă în $C$ : $z^{2} - (5 + i) z + (12 + 5 i) = 0$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, opuse una alteia."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o ecuație de gradul al doilea are cel puțin un coeficient nereal, atunci rădăcinile ei sunt conjugate."

11. Rezolvă în $C$ : $z^{2} + (1 - i) z - i = 0$ .

12. Rezolvă în $C$ : $z^{2} - (2 + 2 i) z + 2 i = 0$ . Ce observi despre rădăcini?

13. Rezolvă în $C$ : $z^{2} - (1 + 4 i) z + (- 5 + 5 i) = 0$ .

14. Rezolvă în $C$ : $z^{2} - (3 + 2 i) z + (5 + i) = 0$ .

15. (Problemă aplicată.) Un program de grafică trebuie să găsească numărul complex $w$ care, ridicat la pătrat, dă $21 - 20 i$ . Află cele două valori posibile ale lui $w$ și calculează $∣ w ∣$ . Explică de ce cele două puncte corespunzătoare sunt simetrice față de origine în planul complex.

16. Rezolvă în $C$ : $z^{2} - (4 + 2 i) z + (6 + 8 i) = 0$ , apoi verifică relațiile lui Viète.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^{2} - (1 + i) z + (2 - i) = 0$ . a) Calculați $Δ$ . b) Determinați o rădăcină pătrată a lui $Δ$ . c) Rezolvați ecuația și verificați ambele rădăcini prin înlocuire.

18. (Provocare.) Fie $Δ \in C$ și $δ$ o rădăcină pătrată a sa. Demonstrează că mulțimea ${\frac{- b + δ}{2 a}, \frac{- b - δ}{2 a}}$ nu se schimbă dacă înlocuim $δ$ cu $- δ$ . Deduce de ce, în formula rădăcinilor, nu contează pe care dintre cele două rădăcini pătrate ale lui $Δ$ o alegem.

Răspunsuri și explicații

1. $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i + i^{2} = 3 + 4 i$ ✓. Cum $(- w)^{2} = w^{2}$ , rezultă imediat și $(- 2 - i)^{2} = 3 + 4 i$ ✓. Deci $3 + 4 i$ are exact două rădăcini pătrate, opuse.

2. $m = 5$ ; $u^{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ , $v^{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ ; $y = - 4 < 0$ , semne contrare, deci $δ = \pm (1 - 2 i)$ . Verificare: $(1 - 2 i)^{2} = 1 - 4 i - 4 = - 3 - 4 i$ ✓.

3. $m = 25$ ; $u^{2} = 16$ , $v^{2} = 9$ ; $y < 0$ , deci $δ = \pm (4 - 3 i)$ . Verificare: $(4 - 3 i)^{2} = 16 - 24 i - 9 = 7 - 24 i$ ✓.

4. $m = 25$ ; $u^{2} = 9$ , $v^{2} = 16$ ; $y = 24 > 0$ , același semn, deci $δ = \pm (3 + 4 i)$ . Verificare: $(3 + 4 i)^{2} = - 7 + 24 i$ ✓.

5. Pentru $2 i$ : $m = 2$ , $u^{2} = v^{2} = 1$ , $y > 0$ , deci $δ = \pm (1 + i)$ . Pentru $- 2 i$ : aceleași pătrate, dar $y < 0$ , deci $δ = \pm (1 - i)$ . Verificări: $(1 + i)^{2} = 2 i$ ✓, $(1 - i)^{2} = - 2 i$ ✓.

6. Cu algoritmul: $x = - 9$ , $y = 0$ , $m = 9$ ; $u^{2} = 0$ , $v^{2} = 9$ , deci $u = 0$ , $∣ v ∣ = 3$ și $δ = \pm 3 i$ . Direct: $z^{2} = - 9 \Rightarrow z = \pm 3 i$ ✓. Algoritmul acoperă și numerele reale negative, ca un caz particular.

7. $m = 34$ ; $u^{2} = 9$ , $v^{2} = 25$ ; $y = 30 > 0$ , deci $δ = \pm (3 + 5 i)$ . Verificare: $(3 + 5 i)^{2} = 9 + 30 i - 25 = - 16 + 30 i$ ✓.

8. $(5 + i)^{2} = 24 + 10 i$ , deci $Δ = 24 + 10 i - 48 - 20 i = - 24 - 10 i$ . Extragere: $m = 26$ , $u^{2} = 1$ , $v^{2} = 25$ , $y < 0$ , deci $δ = 1 - 5 i$ (control: $(1 - 5 i)^{2} = - 24 - 10 i$ ✓). Atunci $z_{1} = \frac{( 5 + i ) + ( 1 - 5 i )}{2} = 3 - 2 i$ și $z_{2} = 2 + 3 i$ . Viète: suma $5 + i$ ✓, produsul $(3 - 2 i) (2 + 3 i) = 12 + 5 i$ ✓.

9. Adevărat. Algoritmul din secțiunea 3 produce mereu soluții reale $u, v$ (fracțiile de sub radicali sunt nenegative), iar propoziția din secțiunea 1 arată că sunt exact două, opuse. Condiția „nenul" este necesară: numărul $0$ are o singură rădăcină pătrată, tot $0$ .

10. Fals. Conjugarea rădăcinilor cere ca toți coeficienții să fie reali. Contraexemplu: $z^{2} - (3 + i) z + (2 + 2 i) = 0$ are rădăcinile $2$ și $1 + i$ , care nu sunt conjugate.

11. $Δ = (1 - i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- i) = - 2 i + 4 i = 2 i$ , deci $δ = 1 + i$ . Atunci $z_{1, 2} = \frac{- ( 1 - i ) \pm ( 1 + i )}{2}$ : cu plus, $\frac{2 i}{2} = i$ ; cu minus, $\frac{- 2}{2} = - 1$ . Verificare pentru $z = i$ : $i^{2} + (1 - i) i - i = - 1 + i + 1 - i = 0$ ✓. Pentru $z = - 1$ : $1 - (1 - i) - i = 0$ ✓.

12. $Δ = (2 + 2 i)^{2} - 8 i = 8 i - 8 i = 0$ . Discriminant nul, deci $δ = 0$ și ecuația are rădăcină dublă: $z = \frac{2 + 2 i}{2} = 1 + i$ . Verificare: $(1 + i)^{2} - (2 + 2 i) (1 + i) + 2 i = 2 i - (2 + 4 i - 2) + 2 i = 2 i - 4 i + 2 i = 0$ ✓. Observația cerută: și în $C$ discriminantul nul înseamnă rădăcină dublă.

13. $(1 + 4 i)^{2} = - 15 + 8 i$ , deci $Δ = - 15 + 8 i + 20 - 20 i = 5 - 12 i$ . Extragere: $m = 13$ , $u^{2} = 9$ , $v^{2} = 4$ , $y < 0$ , deci $δ = 3 - 2 i$ . Atunci $z_{1} = \frac{( 1 + 4 i ) + ( 3 - 2 i )}{2} = 2 + i$ și $z_{2} = \frac{- 2 + 6 i}{2} = - 1 + 3 i$ . Viète: suma $1 + 4 i$ ✓, produsul $(2 + i) (- 1 + 3 i) = - 2 + 6 i - i - 3 = - 5 + 5 i$ ✓.

14. $(3 + 2 i)^{2} = 5 + 12 i$ , deci $Δ = 5 + 12 i - 20 - 4 i = - 15 + 8 i$ . Extragere: $m = 17$ , $u^{2} = 1$ , $v^{2} = 16$ , $y > 0$ , deci $δ = 1 + 4 i$ . Atunci $z_{1} = \frac{( 3 + 2 i ) + ( 1 + 4 i )}{2} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = \frac{2 - 2 i}{2} = 1 - i$ . Viète: suma $3 + 2 i$ ✓, produsul $(2 + 3 i) (1 - i) = 5 + i$ ✓.

15. $m = 441 + 400 = 29$ ; $u^{2} = \frac{29 + 21}{2} = 25$ , $v^{2} = \frac{29 - 21}{2} = 4$ ; $y = - 20 < 0$ , deci $w = \pm (5 - 2 i)$ . Verificare: $(5 - 2 i)^{2} = 21 - 20 i$ ✓. Modulul: $∣ w ∣ = 29$ . Cele două valori sunt opuse, iar punctul de afix $- w$ se obține din cel de afix $w$ schimbând semnul ambelor coordonate, adică prin simetrie față de origine.

16. $(4 + 2 i)^{2} = 12 + 16 i$ , deci $Δ = 12 + 16 i - 24 - 32 i = - 12 - 16 i$ . Extragere: $m = 20$ , $u^{2} = 4$ , $v^{2} = 16$ , $y < 0$ , deci $δ = 2 - 4 i$ . Atunci $z_{1} = \frac{( 4 + 2 i ) + ( 2 - 4 i )}{2} = 3 - i$ și $z_{2} = \frac{2 + 6 i}{2} = 1 + 3 i$ . Viète: suma $4 + 2 i$ ✓; produsul $(3 - i) (1 + 3 i) = 6 + 8 i$ ✓.

17. a) $(1 + i)^{2} = 2 i$ , deci $Δ = 2 i - 8 + 4 i = - 8 + 6 i$ . b) $m = 10$ ; $u^{2} = 1$ , $v^{2} = 9$ ; $y = 6 > 0$ , deci $δ = 1 + 3 i$ (control: $(1 + 3 i)^{2} = - 8 + 6 i$ ✓). c) $z_{1} = \frac{( 1 + i ) + ( 1 + 3 i )}{2} = 1 + 2 i$ și $z_{2} = \frac{- 2 i}{2} = - i$ . Verificare pentru $z_{1}$ : $(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i$ și $(1 + i) (1 + 2 i) = - 1 + 3 i$ , deci $- 3 + 4 i + 1 - 3 i + 2 - i = 0$ ✓. Pentru $z_{2} = - i$ : $(- i)^{2} - (1 + i) (- i) + 2 - i = - 1 + i + i^{2} + 2 - i = 0$ ✓.

18. Notăm $A = \frac{- b + δ}{2 a}$ și $B = \frac{- b - δ}{2 a}$ . Înlocuind $δ$ cu $- δ$ , prima expresie devine $\frac{- b - δ}{2 a} = B$ , iar a doua devine $\frac{- b + δ}{2 a} = A$ . Cele două valori doar și-au schimbat locul, deci mulțimea ${A, B}$ este aceeași. Prin urmare, în formula rădăcinilor alegerea rădăcinii pătrate a lui $Δ$ este liberă: nu schimbă soluțiile, ci doar ordinea în care le scriem.

De reținut

În $C$ nu există ordine, deci nu se mai discută după semnul lui $Δ$ . Întrebarea corectă: există $δ$ cu $δ^{2} = Δ$ ? Răspunsul e mereu da.
Orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, opuse. Nu se notează cu , ci cu $δ$ , pentru că nu putem alege canonic una dintre ele.
Metoda algebrică: din $(u + v i)^{2} = x + y i$ obții $u^{2} - v^{2} = x$ și $2 uv = y$ ; adaugi $u^{2} + v^{2} = m$ și afli $u^{2} = \frac{m + x}{2}$ , $v^{2} = \frac{m - x}{2}$ . Semnele se aleg astfel încât $2 uv$ să aibă semnul lui $y$ .
Formula generală: $z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ , cu $δ^{2} = Δ = b^{2} - 4 a c$ . Dacă $Δ = 0$ , rădăcina este dublă.
Rădăcinile nu sunt conjugate dacă vreun coeficient este nereal. Relațiile lui Viète, în schimb, rămân valabile pentru orice coeficienți complecși.

Greșeli frecvente

Se scrie $Δ$ pentru $Δ$ complex. Simbolul radicalului nu se folosește pentru numere complexe nereale. Notează $δ$ și precizează că $δ^{2} = Δ$ .
Se discută după „semnul" unui număr complex. Enunțuri ca „ $Δ = - 2 i < 0$ " nu au sens: în $C$ nu există relație de ordine compatibilă cu operațiile.
Se aleg greșit semnele lui $u$ și $v$ . După ce afli $u^{2}$ și $v^{2}$ , semnele nu sunt libere: ecuația $2 uv = y$ le leagă. Dacă $y > 0$ coincid, dacă $y < 0$ sunt contrare.
Se aplică proprietatea rădăcinilor conjugate fără a verifica ipoteza. Ea cere ca toți coeficienții să fie reali. Cu un singur coeficient nereal, concluzia este falsă.
Se greșește împărțirea la $2 a$ când $a$ este nereal. La $a = i$ , împărțirea la $2 i$ cere amplificare (sau folosirea egalității $\frac{1}{i} = - i$ ).

Aplică acasă

Tabelul rădăcinilor pătrate. Alcătuiește un tabel cu numerele $3 + 4 i$ , $- 5 + 12 i$ , $8 - 6 i$ , $- 15 - 8 i$ , $7 - 24 i$ și, pentru fiecare, calculează modulul, apoi $u^{2}$ , $v^{2}$ și rădăcina $δ$ . Observă că toate au modulul întreg — de aceea rezultatele ies „frumoase".
Fabrica de ecuații cu rădăcini alese de tine. Ia $z_{1} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = 1 - i$ . Calculează $S = z_{1} + z_{2}$ și $P = z_{1} z_{2}$ , scrie ecuația $z^{2} - S z + P = 0$ și rezolv-o cu algoritmul din lecție. Trebuie să regăsești exact numerele de la care ai plecat.
Verificarea pe calculator. Într-un limbaj de programare cunoscut, scrie o funcție care primește $a$ , $b$ , $c$ și afișează $Δ$ . Testeaz-o pe exemplele din lecție. Atenție: virgula mobilă poate afișa $- 2 \cdot 1 0^{- 16}$ acolo unde răspunsul exact este $0$ — motiv în plus să verifici pe hârtie.

Pentru părinți și profesori

Lecția face saltul de la ecuațiile cu coeficienți reali la cazul general și este, tehnic, cea mai solicitantă din capitolul de numere complexe. Ea verifică trei deprinderi: identificarea corectă a părții reale și a celei imaginare într-un calcul lung, rezolvarea unui sistem simplu cu o observație inteligentă (egalarea modulelor) și disciplina verificării. Există și un punct conceptual fin: $C$ nu este ordonată, deci discuția „după semnul lui $Δ$ " nu se mai poate purta.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem scrie $- 2 i$ ?"; „De unde vine a treia ecuație, $u^{2} + v^{2} = ∣ Z ∣$ ?"; „Cum alegi semnele lui $u$ și $v$ ?"; „Sunt rădăcinile acestei ecuații conjugate? De ce?". Semne că elevul a înțeles: verifică prin ridicare la pătrat după fiecare extragere și prin relațiile lui Viète după fiecare ecuație.

La Bacalaureat M1 apar mai ales ecuațiile cu coeficienți reali; varianta cu coeficienți complecși intervine în concursuri și în problemele de polinoame. Deprinderea de a extrage rădăcina pătrată algebric rămâne însă utilă și la ecuațiile binome din acest capitol.

Întrebări frecvente

Cum se extrage rădăcina pătrată dintr-un număr complex? Se caută $u + v i$ cu $(u + v i)^{2} = x + y i$ , ceea ce dă sistemul $u^{2} - v^{2} = x$ și $2 uv = y$ . Se adaugă relația $u^{2} + v^{2} = m$ , obținută prin egalarea modulelor, de unde $u^{2} = \frac{m + x}{2}$ și $v^{2} = \frac{m - x}{2}$ . Semnele se aleg după semnul lui $y$ .

De ce nu se scrie $z$ pentru un număr complex? Pentru că un număr complex nenul are două rădăcini pătrate, opuse, iar în $C$ nu există noțiunea de „nenegativ" care să permită alegerea uneia dintre ele. De aceea notăm cu $δ$ o rădăcină pătrată aleasă și precizăm că $δ^{2} = Δ$ .

Câte rădăcini are o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți complecși? Exact două, numărate cu multiplicitate: distincte dacă $Δ \neq = 0$ , o rădăcină dublă dacă $Δ = 0$ . Aceasta e forma cea mai simplă a teoremei fundamentale a algebrei.

Rădăcinile unei ecuații cu coeficienți complecși sunt conjugate? În general nu. Proprietatea e valabilă doar când toți coeficienții sunt reali. De exemplu, $z^{2} - (3 + i) z + (2 + 2 i) = 0$ are rădăcinile $2$ și $1 + i$ , care nu sunt conjugate.

Ce înseamnă că discriminantul este negativ, dacă $Δ$ este complex? Nu înseamnă nimic — expresia nu are sens. În $C$ nu există relație de ordine compatibilă cu operațiile, deci numerele complexe nereale nu sunt nici pozitive, nici negative.

Contează care rădăcină pătrată a discriminantului o folosesc în formulă? Nu. Dacă înlocuiești $δ$ cu $- δ$ , cele două rădăcini își schimbă doar locul între ele, iar mulțimea soluțiilor rămâne aceeași.

Cum verific rapid că am extras corect rădăcina pătrată? Prin două teste: ridici $δ$ la pătrat și trebuie să obții exact $Δ$ ; și compari modulele, $∣ δ ∣^{2}$ trebuie să fie egal cu $∣Δ∣$ . Al doilea test prinde imediat greșelile de la $u^{2}$ și $v^{2}$ .