De ce rădăcinile complexe sunt conjugate?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Δ negativ: două soluții conjugate

Când o ecuație $a{z}^2+bz+c=0$ are coeficienții reali și discriminantul negativ, în $\mathbb{R}$ nu are soluții, dar în $\mathbb{C}$ are exact două. Le afli cu aceeași formulă ca înainte, în care radicalul din $\Delta$ este înlocuit cu $i\sqrt{-\Delta }$: $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$. Sub radical stă opusul discriminantului, adică un număr pozitiv, iar factorul $i$ rămâne în fața radicalului.

Soluțiile ies mereu sub forma $\alpha \pm \beta i$, cu $\alpha =-\frac{b}{2a}$: diferă doar prin semnul din fața lui $\beta i$, deci sunt numere conjugate, iar după ce ai scris una o obții pe cealaltă schimbând semnul părții imaginare. Pe grafic, $\alpha$ este abscisa vârfului parabolei, iar ordonata vârfului este $a{\beta }^2$, deci pentru un coeficient dominant egal cu $1$ înălțimea vârfului deasupra axei este chiar ${\beta }^2$.

Verifici rezultatul în două feluri. Prin înlocuire în ecuație, scriind separat partea reală și partea imaginară, care trebuie să fie amândouă zero. Sau prin suma și produsul soluțiilor: suma $2\alpha$ trebuie să fie $-\frac{b}{a}$, iar produsul ${\alpha }^2+{\beta }^2$ trebuie să fie $\frac{c}{a}$. Când coeficientul dominant este $1$ și coeficientul lui $z$ este par, forma canonică $(z-\alpha {)}^2=-{\beta }^2$ dă soluțiile mai repede decât formula. Tot cu formula afli rădăcinile de ordinul 3 ale unității: din $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$ rezultă $1$, $\epsilon$ și $\bar{\epsilon }$, cu ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$.

De reținut

• $\Delta <0$: $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$
• cu coeficienți reali, soluțiile nereale sunt conjugate, $\alpha \pm \beta i$
• suma $2\alpha =-\frac{b}{a}$, produsul ${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{c}{a}$

Greșeala tipică

Se scrie $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-16}=-4$ și se obțin soluții reale greșite; radicalul unui număr negativ este $i\sqrt{-\Delta }=4i$, nu un număr negativ.

Exerciții din această mini-lecție

1. Soluțiile în $\mathbb{C}$ ale ecuației $9z^2+100=0$ sunt:

   • a) $\pm \frac{10}{3}$
   • b) $\pm \frac{100}{9}i$
   • c) $\pm \frac{10}{3}i$
   • d) ecuația nu are soluții în $\mathbb{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\pm \frac{10}{3}i$

   Din $z^2=-\frac{100}{9}$ rezultă $z=\pm i\sqrt{\frac{100}{9}}=\pm \frac{10}{3}i$. Verificare: $9\cdot {\left(\frac{10}{3}i\right)}^2+100=-100+100=0$.

2. Fie $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, una dintre soluțiile ecuației $z^2+z+1=0$. Numărul ${\epsilon }^2+{\bar{\epsilon }}^2$ este egal cu:

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $2$
   • d) $-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-1$

   Ridicarea la pătrat dă ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$, iar prin conjugare ${\bar{\epsilon }}^2=\epsilon$. Suma cerută este deci $\epsilon +\bar{\epsilon }=-1$, suma soluțiilor ecuației $z^2+z+1=0$.

3. Ecuația $z^2+bz+c=0$, cu $b$ și $c$ numere reale, are soluția $3-7i$. Cealaltă soluție este:

   • a) $-3+7i$
   • b) $3+7i$
   • c) $-3-7i$
   • d) $7-3i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3+7i$

   Coeficienții fiind reali, soluțiile nereale sunt conjugate: se schimbă doar semnul părții imaginare, deci cealaltă soluție este $3+7i$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: rădăcini complexe conjugate · de ce soluțiile ecuației de gradul doi sunt conjugate · ecuația de gradul doi cu delta negativ · soluții alfa plus minus beta i