Ecuația de gradul 2, Δ negativ: pe scurt

Pentru $a{z}^2+bz+c=0$ cu $a,b,c\in \mathbb{R}$ și $\Delta =b^2-4ac<0$, ecuația are în $\mathbb{C}$ exact două rădăcini nereale:

$$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}.$$

Sub radical stă $-\Delta$, care este pozitiv tocmai pentru că $\Delta$ e negativ; nu se scrie niciodată $\sqrt{\Delta }$ pentru $\Delta <0$.

Când coeficienții sunt reali, cele două rădăcini sunt conjugate: dacă $z_0$ e rădăcină, atunci și $\overline{z_0}$ e rădăcină — demonstrația conjugă ecuația și folosește $\bar{a}=a,\bar{b}=b,\bar{c}=c$. Relațiile lui Viète rămân neschimbate, $z_1+z_2=-b/a$ și $z_1{z}_2=c/a$; la coeficienți reali cu $\Delta <0$, produsul este chiar $|z_1{|}^2$.

Orice trinom se descompune peste $\mathbb{C}$: $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$, deci și trinoamele „ireductibile” peste $\mathbb{R}$ capătă factori — în particular ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)$, o sumă de pătrate care devine produs. La ecuațiile bipătrate, nicio valoare a notației $t=z^2$ nu se mai respinge: și valorile negative dau rădăcini (imaginare pure), deci o ecuație bipătrată are patru rădăcini în $\mathbb{C}$, spre deosebire de cel mult două câte se obțineau în $\mathbb{R}$. Nu în ultimul rând, evită capcana de a extinde regula $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ la numere negative — ea produce „demonstrații” false ca $-1=1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2-4z+13=0$.

   • a) $2\pm 3i$
   • b) $2\pm 6i$
   • c) $4\pm 3i$
   • d) $-2\pm 3i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2\pm 3i$

   $\Delta =16-52=-36$, deci $\sqrt{-\Delta }=6$ și $z_{1,2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$.

2. Care este produsul rădăcinilor ecuației $z^2+2z+10=0$?

   • a) $-2$
   • b) $10$
   • c) $2$
   • d) $-10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $10$

   Din Viète, $z_1{z}_2=c/a=10/1=10$, fără să fie nevoie de rezolvarea ecuației.

3. Descompuneți în factori de gradul întâi peste $\mathbb{C}$ trinomul $z^2+9$.

   • a) $(z-3)(z+3)$
   • b) $(z-9i)(z+9i)$
   • c) $(z-3i)(z+3i)$
   • d) nu se poate descompune
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(z-3i)(z+3i)$

   $z^2+9=z^2-(3i{)}^2=(z-3i)(z+3i)$, folosind $(3i{)}^2=-9$.