Discriminant negativ: ecuația de gradul al doilea în ℂ (M2, științe ale naturii)

Ai văzut în clasa a IX-a parabole care stau în întregime deasupra axei orizontale: nu o ating nicăieri, așa că funcția nu are zerouri reale, iar ecuația corespunzătoare „nu are soluții reale”. Programa de științe ale naturii (M2) recomandă ca numerele complexe să fie introduse chiar ca răspuns la această frază. În clasa a X-a vei rezolva aceste ecuații în mulțimea numerelor complexe și vei vedea că răspunsul era ascuns în desen: vârful parabolei îți spune partea reală a soluțiilor și, cu un pas în plus, și partea lor imaginară. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; în varianta-model pentru 2026, Subiectul I se deschide cu un calcul cu numere complexe, fără o ecuație de acest tip.

Parabolele care nu taie axa le-ai citit pe grafic în semnul funcției de gradul al doilea pe grafic la M2 și în intersecțiile parabolei cu axele la M2. Dacă ai parcurs suplimentul pentru bacalaureatul 2027–2029, cunoști deja deducerea formulei rădăcinilor, din lecția despre ecuația de gradul al doilea; dacă nu, lecția de față îți dă tot ce îți trebuie. Scrierea $z=a+bi$ și calculul cu $i^2=-1$ le iei din lecția despre nevoia de numere complexe și din înmulțirea numerelor complexe la M2.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi în $\mathbb{C}$ orice ecuație $a{z}^2+bz+c=0$ cu coeficienți reali și $\Delta <0$, cu formula scrisă prin $i\sqrt{-\Delta }$.
• Vei ști de ce cele două soluții sunt numere complexe conjugate și cum scrii a doua soluție fără niciun calcul.
• Vei ști să citești din vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ partea reală a soluțiilor și pătratul părții lor imaginare.
• Vei ști să verifici o soluție prin înlocuire sau prin suma și produsul soluțiilor și să alegi între formulă și forma canonică $(z-\alpha {)}^2=-{\beta }^2$.
• Vei ști ce sunt rădăcinile de ordinul 3 ale unității și cum le verifici proprietățile prin calcul.
• Vei ști să recunoști, într-o problemă din fizică, ce înseamnă faptul că ecuația are numai soluții nereale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se schimbă când trecem din ℝ în ℂ?

Rezolvarea în $\mathbb{C}$ este căutarea tuturor numerelor complexe care verifică o ecuație; pentru $a{z}^2+bz+c=0$, cu $a,b,c\in \mathbb{R}$ și $a\ne 0$, căutăm toate numerele $z$ care transformă membrul stâng în $0$. Coeficienții rămân numere reale, ca în clasa a IX-a; se lărgește doar mulțimea în care căutăm necunoscuta. De aceea scriem necunoscuta cu litera $z$, semn că ea poate fi un număr complex.

În ℝ, un discriminant negativ închidea discuția: pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci nu exista niciun număr real care să verifice ecuația. Pe grafic, asta însemna o parabolă care nu atinge axa. În ℂ, un pătrat poate fi negativ, cum ai văzut în lecția despre nevoia de numere complexe: ecuația $z^2=-p$, cu $p>0$ real, are soluțiile $\pm i\sqrt{p}$. Aceasta este singura unealtă nouă de care ai nevoie; restul lecției o combină cu ce știi despre ecuația de gradul al doilea.

Ce se întâmplă, în ℂ, cu ecuațiile care aveau deja soluții reale? Nimic nu se schimbă: dacă discriminantul este pozitiv sau zero, soluțiile găsite în clasa a IX-a rămân singurele, iar ele sunt numere complexe cu partea imaginară nulă. Lărgirea mulțimii nu adaugă soluții noi acolo unde ele existau, ci doar le dă un răspuns ecuațiilor care nu aveau niciunul. De aceea lecția se ocupă numai de cazul $\Delta <0$.

Reține convenția de scriere, pe care o folosim peste tot: radicalul se aplică numai numerelor nenegative, iar factorul $i$ stă în fața lui. Scriem $i\sqrt{7}$ sau $3i$, niciodată un radical cu minus sub el.

2. Cum ajungem la formulă când discriminantul e negativ?

Deducerea formulei prin completarea pătratului se face în lecția despre ecuația de gradul al doilea, din suplimentul de clasa a IX-a. De acolo luăm un singur rezultat, forma canonică a trinomului:

$$a{z}^2+bz+c=a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}.$$

O poți controla într-un rând, desfăcând pătratul: $a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2-4ac}{4a}=a{z}^2+bz+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}+c$, adică exact membrul stâng. Ecuația $a{z}^2+bz+c=0$ se scrie deci ${\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}$.

Pasul nou vine abia acum. Dacă $\Delta <0$, membrul drept este negativ, iar cu $w=z+\frac{b}{2a}$ ai de rezolvat $w^2=-p$, cu $p=\frac{-\Delta }{4a^2}>0$: exact forma din secțiunea 1. Soluțiile sunt $w=\pm \frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}i$, iar revenind la $z=w-\frac{b}{2a}$ obții formula din secțiunea următoare.

3. Formula rădăcinilor pentru Δ < 0

Pentru $a,b,c$ reale, $a\ne 0$ și $\Delta =b^2-4ac<0$, ecuația $a{z}^2+bz+c=0$ are în $\mathbb{C}$ exact două soluții:

$$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}.$$

Sub radical stă $-\Delta$, un număr pozitiv. Comparată cu formula pentru $\Delta >0$, singura schimbare este că radicalul din discriminant e înlocuit cu $i$ înmulțit cu radicalul din opusul lui.

Iată formula aplicată o dată, pe ecuația $z^2-16z+65=0$, la care revenim în secțiunea 7 pentru probe. Aici $\Delta =256-260=-4$, deci $-\Delta =4$ și $\sqrt{-\Delta }=2$. Atunci $z_{1,2}=\frac{16\pm 2i}{2}=8\pm i$. Cu un număr mare la $b$ și un discriminant mic, soluțiile au partea reală mare și partea imaginară mică; ține minte acest tablou, îl vei regăsi pe grafic în secțiunea 6.

Redactarea completă are patru rânduri: calculul lui $\Delta$ și semnul lui, valoarea lui $\sqrt{-\Delta }$, formula cu $i$, simplificarea fracției. La sfârșit scrii mulțimea soluțiilor, $S=\{\dots \}$, ca să fie limpede că ai terminat.

4. De ce ies mereu două soluții conjugate?

Uită-te la formulă ca la o sumă de două fracții: $z_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}i$. Prima fracție este un număr real, aceeași pentru ambele soluții. A doua este tot un număr real, nenul, înmulțit cu $i$ și luat o dată cu plus, o dată cu minus. Notând $\alpha =-\frac{b}{2a}$ și $\beta =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}$, soluțiile sunt $\alpha +\beta i$ și $\alpha -\beta i$.

Două numere care au aceeași parte reală și părți imaginare opuse sunt conjugate, după definiția din lecția despre conjugatul unui număr complex. Așadar, pentru o ecuație cu coeficienți reali și $\Delta <0$, soluțiile sunt întotdeauna o pereche de numere conjugate, iar fiecare dintre ele este nereal, pentru că $\beta \ne 0$.

Consecința practică: după ce ai calculat o soluție, a doua se scrie schimbând semnul părții imaginare. Invers, dacă știi că un număr nereal este soluție a unei ecuații de gradul al doilea cu coeficienți reali, știi automat și cealaltă soluție. La M2 lucrăm numai cu coeficienți reali, așa cum cere programa, deci regula aceasta nu are excepții în lecțiile noastre.

Compară cu celelalte două cazuri. Pentru $\Delta >0$, cele două soluții sunt reale și diferite, așezate simetric față de abscisa vârfului; pentru $\Delta =0$, ele se contopesc în vârf. Pentru $\Delta <0$ simetria rămâne, dar se mută: soluțiile nu mai stau pe axa reală, ci deasupra și dedesubtul ei, la aceeași distanță $\beta$.

5. Ce sunt rădăcinile de ordinul 3 ale unității?

Ecuația $z^3=1$ are soluția reală $z=1$. Are și altele? Formula $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, din formulele de calcul prescurtat de ordinul 3 la M2, dă $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$. Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci $z=1$ sau $z^2+z+1=0$. A doua ecuație are coeficienți reali și $\Delta =1-4=-3<0$, așa că, după formula din secțiunea 3, soluțiile ei sunt $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Notăm $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$; cealaltă soluție este conjugata ei, $\bar{\epsilon }$, ca în secțiunea 4. Numerele $1$, $\epsilon$ și $\bar{\epsilon }$ sunt rădăcinile de ordinul 3 ale unității.

Proprietățile lor se verifică prin calcul. Ridicând la pătrat, ${\epsilon }^2=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{4}{i}^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, adică ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$. Cum $\epsilon$ verifică ecuația, $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$. Produsul soluțiilor este $\frac{c}{a}=1$, deci $\epsilon \bar{\epsilon }=1$ și ${\epsilon }^3=\epsilon \cdot {\epsilon }^2=\epsilon \bar{\epsilon }=1$. Puterile lui $\epsilon$ se repetă, prin urmare, din trei în trei, așa cum puterile lui $i$ se repetau din patru în patru.

Programa nouă de științe ale naturii cere studiul acestor proprietăți ca activitate la clasa a X-a; programa de examen din 2014 nu le numește, iar forma trigonometrică, în care ele se scriu altfel, nu intră la acest profil. De aceea exercițiul despre $\epsilon$ poartă marcajul MAT_P2 2030.

6. Ce spune vârful parabolei despre soluții?

Legăm acum formula de desenul din clasa a IX-a. Pentru funcția $f(x)=a{x}^2+bx+c$, vârful parabolei are abscisa $-\frac{b}{2a}$, adică exact $\alpha$, partea reală a soluțiilor complexe. Ordonata vârfului se obține înlocuind: $f(\alpha )=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{-\Delta }{4a}$, calcul pe care suplimentul de clasa a IX-a îl face în detaliu. Cum ${\beta }^2=\frac{-\Delta }{4a^2}$, rezultă că ordonata vârfului este $a{\beta }^2$.

Pentru $a=1$ relația devine foarte simplă: vârful este punctul $V(\alpha ;{\beta }^2)$. Înălțimea vârfului deasupra axei este pătratul părții imaginare a soluțiilor. O parabolă care plutește sus deasupra axei are soluții cu parte imaginară mare; una care aproape atinge axa are soluții aproape reale.

În figura A, parabola $y=x^2-8x+32$ are vârful în $V(4;16)$. Fără niciun calcul de discriminant, citim $\alpha =4$ și ${\beta }^2=16$, deci $\beta =4$, iar soluțiile ecuației $z^2-8z+32=0$ sunt $4\pm 4i$. Formula confirmă: $\Delta =64-128=-64$, $\sqrt{-\Delta }=8$, iar $\frac{8\pm 8i}{2}=4\pm 4i$.

Figura B arată cele două soluții în planul complex, cu axa reală orizontală și axa imaginară verticală, ca în lecția despre planul complex. Punctele sunt simetrice față de axa reală, cum cer două numere conjugate, iar segmentul care le unește taie axa reală exact în dreptul abscisei vârfului.

7. Ce două probe confirmă soluțiile complexe?

Prima probă este înlocuirea în ecuație. Pentru soluția $8+i$ din secțiunea 3: $(8+i{)}^2=64+16i+i^2=63+16i$, apoi $63+16i-16(8+i)+65=63+16i-128-16i+65=0$. Separă în scris partea reală, $63-128+65=0$, de partea imaginară, $16-16=0$. Un număr complex este zero exact când ambele părți sunt zero, după egalitatea a două numere complexe.

A doua probă folosește relațiile lui Viète, valabile și aici: suma soluțiilor este $-\frac{b}{a}$, iar produsul este $\frac{c}{a}$. Pentru două numere conjugate, suma este $2\alpha$ și produsul este ${\alpha }^2+{\beta }^2$, adică pătratul modulului, din lecția despre modul. Pentru $8\pm i$: suma $16$ și produsul $64+1=65$ se potrivesc cu ecuația. Proba durează câteva secunde și prinde aproape orice greșeală de semn.

8. Când e mai rapidă forma canonică?

Uneori ecuația se lasă scrisă direct ca „pătrat plus număr pozitiv”. Pentru $z^2+14z+74=0$, observi că $z^2+14z$ este începutul lui $(z+7{)}^2$, căruia îi lipsește $49$. Ecuația devine $(z+7{)}^2+25=0$, adică $(z+7{)}^2=-25$, de unde $z+7=\pm 5i$ și $z=-7\pm 5i$.

Metoda funcționează comod când $a=1$ și $b$ este par, iar numărul rămas după completare este un pătrat perfect. Cu $b$ impar sau cu $a\ne 1$ apar fracții, iar formula devine mai sigură. Cele două drumuri dau mereu același rezultat, pentru că formula este chiar completarea pătratului făcută o dată pentru totdeauna, cu litere în locul numerelor.

Un semn bun că forma canonică e potrivită, pentru $a=1$: termenul liber este mai mare decât pătratul jumătății lui $b$. Diferența dintre ele este exact ${\beta }^2$, pătratul părții imaginare a soluțiilor, deci o poți calcula în minte înainte de a scrie ceva pe foaie. Dacă diferența iese un pătrat perfect, soluțiile vor avea partea imaginară întreagă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația fără termen de gradul întâi

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $25z^2+9=0$.

Rezolvare. Nu avem nevoie de formulă: izolăm pătratul, $z^2=-\frac{9}{25}$. Cu regula din secțiunea 1 și $p=\frac{9}{25}$, soluțiile sunt $z=\pm i\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5}i$.

Verificare: $25{\left(\frac{3}{5}i\right)}^2+9=25\cdot \frac{9}{25}\cdot (-1)+9=0$. Formula ar fi dat același rezultat: $\Delta =0-900=-900$, $\sqrt{-\Delta }=30$ și $\frac{\pm 30i}{50}=\pm \frac{3}{5}i$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{\frac{3}{5}i,-\frac{3}{5}i\right\}$. Soluțiile sunt imaginare pure, pentru că $b=0$ face partea reală nulă.

Exemplul 2 — Coeficient dominant diferit de 1, verificat prin Viète

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $9z^2-6z+5=0$.

Rezolvare. Discriminantul este $\Delta =36-180=-144$, negativ, deci $-\Delta =144$ și $\sqrt{-\Delta }=12$. Formula dă $z_{1,2}=\frac{6\pm 12i}{18}$. Simplificăm prin $6$: $z_{1,2}=\frac{1}{3}\pm \frac{2}{3}i$.

Probă prin sumă și produs: $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}i=\frac{2}{3}$, iar $-\frac{b}{a}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$; produsul este $\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, egal cu $\frac{c}{a}=\frac{5}{9}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{\frac{1}{3}\pm \frac{2}{3}i\right\}$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $z^2+22z+125=0$ și scrie: „$\Delta =484-500=-16$, $\sqrt{-\Delta }=4$, deci $z_{1,2}=\frac{-22\pm 4}{2}$, adică $-9$ și $-13$.” Unde a greșit?

Rezolvare. Discriminantul și radicalul sunt corecte. Greșeala e la pasul următor: în formulă, după $\pm$ stă $i\sqrt{-\Delta }$, nu $\sqrt{-\Delta }$. Elevul a pierdut factorul $i$ și a obținut două numere reale, deși un discriminant negativ anunța soluții nereale. Corect: $z_{1,2}=\frac{-22\pm 4i}{2}=-11\pm 2i$.

Proba prinde greșeala imediat. Produsul numerelor elevului este $(-9)\cdot (-13)=117$, dar produsul soluțiilor trebuie să fie $\frac{c}{a}=125$. Înlocuirea arată același lucru: $(-9{)}^2+22\cdot (-9)+125=81-198+125=8\ne 0$, pe când $(-11+2i{)}^2+22(-11+2i)+125=(117-44i)+(-242+44i)+125=0$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-11\pm 2i\}$. Pe grafic, parabola $y=x^2+22x+125$ are vârful în $V(-11;4)$, deasupra axei orizontale, deci nu putea tăia axa în $-9$ și în $-13$.

Exemplul 4 — Citește graficul

Figura C arată parabola unei funcții de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+bx+c$: vârful este $V(1;7)$, iar parabola taie axa verticală în punctul $(0;10)$. Determinați $a$, $b$ și $c$, apoi rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $a{z}^2+bz+c=0$.

Rezolvare. O parabolă cu vârful $V(1;7)$ are forma $f(x)=a(x-1{)}^2+7$. Punctul $(0;10)$ dă $a+7=10$, deci $a=3$ și $f(x)=3x^2-6x+10$. Parabola nu taie axa orizontală, deci ecuația $3z^2-6z+10=0$ nu are soluții reale.

Citim soluțiile din vârf, cu relația din secțiunea 6: partea reală este abscisa vârfului, $\alpha =1$, iar ordonata vârfului este $a{\beta }^2$, adică $3{\beta }^2=7$, deci ${\beta }^2=\frac{7}{3}$ și $\beta =\frac{\sqrt{21}}{3}$. Soluțiile sunt $1\pm \frac{\sqrt{21}}{3}i$. Control cu formula: $\Delta =36-120=-84$, $\sqrt{-\Delta }=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$ și $z_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{21}i}{6}=1\pm \frac{\sqrt{21}}{3}i$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{1\pm \frac{\sqrt{21}}{3}i\right\}$. Desenul spunea de la început două lucruri: parabola nu atinge axa, deci soluțiile sunt nereale, iar vârful este la dreapta axei verticale, deci partea lor reală este pozitivă. Observă că ordonata vârfului singură nu ajunge: fără coeficientul $a$, citit din punctul $(0;10)$, ai fi obținut greșit ${\beta }^2=7$.

Exemplul 5 — Aceeași ecuație, două metode

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2-6z+45=0$, o dată cu formula și o dată prin forma canonică.

Rezolvare. Cu formula: $\Delta =36-180=-144$, $\sqrt{-\Delta }=12$, deci $z_{1,2}=\frac{6\pm 12i}{2}=3\pm 6i$.

Prin forma canonică: $z^2-6z$ este începutul lui $(z-3{)}^2$, căruia îi lipsește $9$, deci ecuația devine $(z-3{)}^2+36=0$, adică $(z-3{)}^2=-36$. De aici $z-3=\pm 6i$, iar $z=3\pm 6i$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{3\pm 6i\}$.

Ambele drumuri au trei rânduri. Forma canonică evită fracția și calculul lui $\Delta$, dar cere să vezi pătratul. Formula merge orbește pe orice ecuație. Programa de științe cere să poți compara metode pentru aceeași ecuație; aici câștigă forma canonică, pentru că $b$ e par și $a=1$. Dacă ecuația ar fi avut coeficientul dominant $3$ sau un $b$ impar, completarea pătratului ar fi adus fracții la fiecare pas, iar formula ar fi fost mai scurtă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+16x+89$. a) Arătați că ecuația $x^2+16x+89=0$ nu are soluții reale. b) Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $z^2+16z+89=0$. c) Arătați că ordonata vârfului parabolei este egală cu pătratul părții imaginare a soluțiilor.

Rezolvare. a) Discriminantul este $\Delta =256-356=-100<0$, deci ecuația nu are soluții reale.

b) $\sqrt{-\Delta }=10$, deci $z_{1,2}=\frac{-16\pm 10i}{2}=-8\pm 5i$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-8\pm 5i\}$.

c) Vârful are abscisa $-\frac{b}{2a}=-8$ și ordonata $f(-8)=64-128+89=25$. Partea imaginară a soluțiilor este $\pm 5$, iar $5^2=25$, deci cele două numere sunt egale, cum spune relația din secțiunea 6 pentru un coeficient dominant egal cu $1$. Ecuația a fost construită pentru exersare, la nivelul unei cerințe scurte, și nu e preluată dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

La fiecare ecuație scrie $\Delta$ și semnul lui, apoi $\sqrt{-\Delta }$, apoi formula cu $i$; simplifică întreaga fracție și încheie cu mulțimea soluțiilor. Verifică cel puțin o soluție prin înlocuire sau prin suma și produsul soluțiilor.

1. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuațiile: a) $z^2+144=0$; b) $4z^2+45=0$.

2. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2+10z+41=0$.

3. Află soluțiile complexe ale ecuației $z^2+2z+50=0$.

4. Determină, în mulțimea numerelor complexe, soluțiile ecuației $z^2+8z+52=0$.

5. Scrie mulțimea soluțiilor complexe pentru $4z^2+12z+25=0$.

6. Care sunt soluțiile ecuației $5z^2+4z+1=0$ în $\mathbb{C}$?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) O ecuație $z^2+bz+c=0$, cu $b$ și $c$ numere reale și $c<0$, are soluții nereale.

8. Arată prin înlocuire că $z=-2+7i$ verifică ecuația $z^2+4z+53=0$ și scrie cealaltă soluție fără calcule.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $(z-5{)}^2+36=0$, fără formula rădăcinilor.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Fie $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. a) Calculați $\epsilon +\bar{\epsilon }$ și $\epsilon -\bar{\epsilon }$. b) Arătați că $(\epsilon -\bar{\epsilon }{)}^2=-3$.

11. Parabola $y=x^2+px+q$, cu $p$ și $q$ reali, are vârful $V(-3;49)$. Scrie soluțiile complexe ale ecuației $x^2+px+q=0$ fără să calculezi discriminantul, apoi află $p$ și $q$.

12. Construiește o ecuație $z^2+bz+c=0$, cu $b$ și $c$ reale, pentru care $-1+8i$ este soluție.

13. (Problemă aplicată.) Două condensatoare legate în paralel au capacitatea echivalentă $C_1+C_2=10$ µF. Legate în serie, capacitatea lor echivalentă ar fi $\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$. Un elev afirmă că, legate în serie, ele dau $3$ µF. Formează ecuația de gradul al doilea ale cărei soluții sunt $C_1$ și $C_2$, rezolv-o în $\mathbb{C}$ și spune ce concluzie tragi despre afirmația elevului.

14. Pentru ce valori reale ale lui $m$ ecuația $z^2-24z+m=0$ are soluții nereale? Rezolv-o pentru $m=153$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați soluțiile complexe ale ecuației $2z^2-2z+13=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $z_1$ și $z_2$ soluțiile ecuației $z^2+24z+148=0$. Determinați-le și arătați că $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=296$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Aflați numărul real pozitiv $a$ astfel încât $z=2+ai$ să verifice ecuația $z^2-4z+12=0$.

18. (Provocare.) Soluțiile nereale ale unei ecuații $z^2+bz+c=0$, cu $b$ și $c$ reale, au partea reală $-5$ și modulul $13$. Determină $b$, $c$ și soluțiile.

Răspunsuri și explicații

1. a) $z^2=-144$, deci $z=\pm i\sqrt{144}=\pm 12i$ și $S=\{12i,-12i\}$. b) $z^2=-\frac{45}{4}$, deci $z=\pm i\frac{\sqrt{45}}{2}=\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}i$, pentru că $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; $S=\left\{\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}i\right\}$.

2. $\Delta =100-164=-64$, $\sqrt{-\Delta }=8$, deci $z_{1,2}=\frac{-10\pm 8i}{2}=-5\pm 4i$. Probă: suma $-10$ și produsul $25+16=41$. $S=\{-5\pm 4i\}$.

3. $\Delta =4-200=-196$, $\sqrt{-\Delta }=14$, deci $z_{1,2}=\frac{-2\pm 14i}{2}=-1\pm 7i$. $S=\{-1\pm 7i\}$.

4. $\Delta =64-208=-144$, $\sqrt{-\Delta }=12$, deci $z_{1,2}=\frac{-8\pm 12i}{2}=-4\pm 6i$. Probă prin înlocuire: $(-4+6i{)}^2+8(-4+6i)+52=(-20-48i)+(-32+48i)+52=0$. $S=\{-4\pm 6i\}$.

5. $\Delta =144-400=-256$, $\sqrt{-\Delta }=16$, deci $z_{1,2}=\frac{-12\pm 16i}{8}=-\frac{3}{2}\pm 2i$. $S=\left\{-\frac{3}{2}\pm 2i\right\}$.

6. $\Delta =16-20=-4$, $\sqrt{-\Delta }=2$, deci $z_{1,2}=\frac{-4\pm 2i}{10}=-\frac{2}{5}\pm \frac{1}{5}i$. Probă: produsul $\frac{4}{25}+\frac{1}{25}=\frac{1}{5}=\frac{c}{a}$. $S=\left\{-\frac{2}{5}\pm \frac{1}{5}i\right\}$.

7. Fals. Discriminantul este $\Delta =b^2-4c$. Pentru $c<0$, termenul $-4c$ este pozitiv, iar $b^2\ge 0$, deci $\Delta >0$ oricare ar fi $b$: ecuația are două soluții reale distincte. De exemplu, pentru $b=0$ soluțiile sunt $\pm \sqrt{-c}$, două numere reale opuse. Pentru soluții nereale este nevoie ca $c$ să fie mai mare decât $\frac{b^2}{4}$, deci pozitiv.

8. $(-2+7i{)}^2=4-28i+49i^2=-45-28i$, iar $-45-28i+4(-2+7i)+53=-45-28i-8+28i+53=0$: partea reală $-45-8+53=0$ și partea imaginară $-28+28=0$. Coeficienții fiind reali, cealaltă soluție este conjugata, $-2-7i$. $S=\{-2\pm 7i\}$.

9. $(z-5{)}^2=-36$, deci $z-5=\pm 6i$ și $z=5\pm 6i$. $S=\{5\pm 6i\}$.

10. a) Conjugata este $\bar{\epsilon }=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, deci $\epsilon +\bar{\epsilon }=-1$, iar $\epsilon -\bar{\epsilon }=\sqrt{3}i$. b) $(\epsilon -\bar{\epsilon }{)}^2={\left(\sqrt{3}i\right)}^2=3i^2=-3$. Suma $-1$ este chiar $-\frac{b}{a}$ pentru ecuația $z^2+z+1=0$, ale cărei soluții sunt $\epsilon$ și $\bar{\epsilon }$.

11. Cu $a=1$, vârful $V(\alpha ;{\beta }^2)$ dă $\alpha =-3$ și ${\beta }^2=49$, deci $\beta =7$ și soluțiile sunt $-3\pm 7i$. Atunci $p=-(z_1+z_2)=6$ și $q=z_1{z}_2=9+49=58$, deci ecuația este $x^2+6x+58=0$, cu $S=\{-3\pm 7i\}$.

12. Cealaltă soluție este conjugata, $-1-8i$. Suma este $(-1+8i)+(-1-8i)=-2$, iar produsul $(-1+8i)(-1-8i)=1+64=65$. Ecuația este $z^2+2z+65=0$.

13. Din $C_1+C_2=10$ și $\frac{C_1{C}_2}{10}=3$ rezultă $C_1{C}_2=30$, deci $C_1$ și $C_2$ sunt soluțiile ecuației $C^2-10C+30=0$. Aici $\Delta =100-120=-20$, deci $C_{1,2}=\frac{10\pm 2i\sqrt{5}}{2}=5\pm i\sqrt{5}$. Soluțiile sunt nereale, deci nu există două condensatoare cu aceste valori: afirmația elevului este falsă. Pentru ca soluțiile să fie reale trebuie ca $100-4C_1{C}_2\ge 0$, adică $C_1{C}_2\le 25$, iar capacitatea în serie este cel mult $\frac{25}{10}=2,5$ µF.

14. $\Delta =576-4m<0$ exact pentru $m>144$. Pentru $m=153$, ecuația $z^2-24z+153=0$ are $\Delta =576-612=-36$, deci $z_{1,2}=\frac{24\pm 6i}{2}=12\pm 3i$ și $S=\{12\pm 3i\}$.

15. $\Delta =4-104=-100$, $\sqrt{-\Delta }=10$, deci $z_{1,2}=\frac{2\pm 10i}{4}=\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}i$. $S=\left\{\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}i\right\}$.

16. $\Delta =576-592=-16$, $\sqrt{-\Delta }=4$, deci $z_{1,2}=\frac{-24\pm 4i}{2}=-12\pm 2i$ și $S=\{-12\pm 2i\}$. Fiecare soluție are $|z{|}^2=144+4=148$, deci $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=148+148=296$. Se putea și fără soluții: $|z_1{|}^2=z_1\overline{z_1}=z_1{z}_2=148$, iar la fel pentru $z_2$.

17. $(2+ai{)}^2-4(2+ai)+12=4+4ai-a^2-8-4ai+12=8-a^2$. Numărul este zero când $a^2=8$, iar cu $a>0$ obținem $a=2\sqrt{2}$. Soluțiile ecuației sunt $S=\{2\pm 2i\sqrt{2}\}$.

18. Partea reală $\alpha =-5$ și modulul $13$ dau ${\beta }^2=169-25=144$, deci $\beta =12$ și soluțiile sunt $-5\pm 12i$. Atunci $b=-(z_1+z_2)=10$ și $c=z_1{z}_2=25+144=169$, iar ecuația este $z^2+10z+169=0$. $S=\{-5\pm 12i\}$.

De reținut

• Pentru $a,b,c$ reale și $\Delta <0$, ecuația $a{z}^2+bz+c=0$ are în $\mathbb{C}$ soluțiile $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$, cu $-\Delta >0$ sub radical.
• Soluțiile sunt conjugate, $\alpha \pm \beta i$, cu $\alpha =-\frac{b}{2a}$; a doua se scrie din prima schimbând semnul părții imaginare. Așa sunt și $\epsilon$ și $\bar{\epsilon }$, soluțiile ecuației $z^2+z+1=0$, cu ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$ și ${\epsilon }^3=1$.
• Vârful parabolei $y=a{x}^2+bx+c$ este $V(\alpha ;a{\beta }^2)$; pentru $a=1$, ordonata vârfului este chiar ${\beta }^2$.
• Proba rapidă: suma soluțiilor $2\alpha =-\frac{b}{a}$, produsul ${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{c}{a}$; proba sigură: înlocuirea, cu partea reală și partea imaginară separate.
• Când $a=1$ și $b$ e par, forma canonică $(z-\alpha {)}^2=-{\beta }^2$ dă soluțiile fără formulă.

Greșeli frecvente

• La numitor pui $a$ în loc de $2a$. Formula are la numitor dublul coeficientului dominant. Cu $a$ în loc de $2a$, ambele părți ale soluțiilor ies de două ori mai mari, iar proba sumei arată imediat diferența: suma numerelor greșite este $-\frac{2b}{a}$, nu $-\frac{b}{a}$.
• Rolurile din vârf inversate. Vârful $V(\alpha ;a{\beta }^2)$ dă partea reală din abscisă și partea imaginară din ordonată. Dacă iei abscisa drept parte imaginară, obții numere care nu verifică ecuația; proba sumei, $2\alpha =-\frac{b}{a}$, arată greșeala înainte de orice înlocuire.
• Verificarea făcută doar pe partea reală. După înlocuire, rezultatul are o parte reală și una imaginară; ecuația e verificată numai dacă ambele sunt zero. O parte reală nulă cu parte imaginară nenulă înseamnă că soluția e greșită.
• Opusul luat drept conjugat. După ce ai găsit $\alpha +\beta i$, a doua soluție este $\alpha -\beta i$, nu $-\alpha -\beta i$: se schimbă doar semnul părții imaginare. Opusul ar avea suma zero cu prima soluție, ceea ce se întâmplă numai când $b=0$.
• Vârful citit fără coeficientul dominant. Ordonata vârfului este $a{\beta }^2$, nu ${\beta }^2$; la o parabolă cu $a\ne 1$ trebuie mai întâi aflat $a$, dintr-un alt punct al graficului.

Aplică acasă

1. Harta discriminantului. Pe o foaie cu pătrățele, desenează un tabel cu $b$ de la $-6$ la $6$ pe orizontală și $c$ de la $0$ la $10$ pe verticală, pentru ecuațiile $z^2+bz+c=0$. Colorează căsuțele în care discriminantul este negativ. Descrie forma regiunii colorate și verifică faptul că ea este formată din punctele aflate deasupra curbei $c=\frac{b^2}{4}$.
2. Cronometrul metodelor. Alege din manual șase ecuații cu $\Delta <0$ și coeficientul dominant $1$. Rezolvă-le o dată cu formula și o dată prin forma canonică, cronometrând fiecare variantă. Notează la ce ecuații a câștigat fiecare metodă și formulează, în două propoziții, regula ta de alegere.
3. Foaia de calcul care rezolvă. Într-o foaie de calcul, pune $a$, $b$ și $c$ în trei celule și scrie formulele pentru $\Delta$, pentru partea reală $-\frac{b}{2a}$ și pentru partea imaginară $\frac{\sqrt{-\Delta }}{2|a|}$, afișată doar când $\Delta <0$. Testează foaia pe exercițiile 2–6 și compară cu răspunsurile din lecție.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde recomandării din programa de științe ale naturii de a introduce numerele complexe ca răspuns la o problemă care nu se poate rezolva în ℝ: ecuația de gradul al doilea al cărei discriminant este negativ. Pentru elevii noii programe, formula rădăcinilor apare în traseul de bază abia în clasa a X-a, în acest capitol; la clasa a IX-a ei au citit zerourile pe grafic, iar deducerea formulei a stat în suplimentul pentru bacalaureatul 2027–2029. De aceea lecția pornește de la forma canonică din suplimentul de clasa a IX-a, o controlează într-un rând și scrie formula în întregime; completarea pătratului rămâne demonstrată acolo.

Ce verifică lecția: calculul corect al lui $\Delta$ și al lui $\sqrt{-\Delta }$, factorul $i$ păstrat în formulă, conjugarea soluțiilor, proba prin înlocuire cu separarea părților și proba prin sumă și produs. Elementul propriu profilului este legătura cu graficul: vârful $V(\alpha ;a{\beta }^2)$ permite citirea soluțiilor complexe dintr-un desen, iar exemplul cu cele două metode răspunde competenței care cere comparații de metode pentru aceeași ecuație. Întrebări bune de control: „Ce spune despre soluții un vârf aflat foarte aproape de axă?”; „Cum afli a doua soluție dacă o cunoști pe prima?”; „De ce suma a două soluții conjugate este reală?”.

O sugestie de lucru la clasă: proiectați câteva parabole fără ecuație, fiecare cu vârful și încă un punct marcate, și cereți elevilor să scrie soluțiile complexe ale ecuației corespunzătoare doar din desen. Discuția despre parabolele cu coeficientul dominant diferit de $1$ scoate la iveală cea mai frecventă capcană: ordonata vârfului citită direct ca ${\beta }^2$.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește „rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali”, iar competența X.CS.3.4 cere rezolvarea acestor ecuații atunci când discriminantul lor este negativ. Ecuațiile cu coeficienți complecși nu intră la acest profil. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde la clasa a X-a „rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali”; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” din exercițiile 15–17. Rădăcinile de ordinul 3 ale unității sunt o activitate a programei noi (competența X.CS.5.4), pe care programa din 2014 nu o numește; de aceea exercițiul 10 poartă marcajul „MAT_P2 2030”. În varianta-model pentru 2026, Subiectul I are un calcul cu numere complexe, nu o ecuație de gradul al doilea în ℂ. Exercițiile cu acest marcaj au fost create pentru lecția de față.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuația cu Δ < 0 rezolvată în ℂ, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuațiile bipătrate la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 despre numere complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1?

Varianta M1 demonstrează conjugarea soluțiilor prin proprietățile conjugatului, descompune trinoame în factori și pregătește ecuațiile cu coeficienți complecși. Varianta M2 rămâne la coeficienți reali, cum cere programa de științe, pornește de la forma canonică din clasa a IX-a și adaugă legătura cu graficul: soluțiile complexe se citesc din vârful parabolei, iar două metode de rezolvare se compară pe aceeași ecuație.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea ecuația cu discriminant negativ?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali. În varianta-model pentru 2026, numerele complexe apar la Subiectul I, cerința 1, printr-un calcul cu două numere date, nu printr-o ecuație. Pentru MAT_P2 din 2030, tema intră în domeniul „Algebră”.

Pot afla soluțiile complexe direct din graficul funcției?

Da, dacă știi vârful și coeficientul lui $x^2$. Abscisa vârfului este partea reală a soluțiilor, iar ordonata vârfului împărțită la coeficientul lui $x^2$ este pătratul părții imaginare. Pentru $y=x^2-8x+32$, vârful $V(4;16)$ dă direct soluțiile $4\pm 4i$. Fără coeficientul dominant, citirea poate da un rezultat greșit.

Ce legătură au rădăcinile de ordinul 3 ale unității cu această lecție?

Ecuația $z^3=1$ se descompune în $(z-1)(z^2+z+1)=0$, iar factorul de gradul al doilea are discriminantul $-3$. Soluțiile lui, $\epsilon$ și $\bar{\epsilon }$, se află deci exact cu formula din lecție și sunt conjugate. Proprietățile ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$ și $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ se verifică prin calcul, fără forma trigonometrică. Programa nouă le cere ca activitate la clasa a X-a.

Rezolvăm la științe ale naturii și ecuații cu coeficienți complecși?

Nu. Programa de științe ale naturii cere rezolvarea în ℂ numai pentru ecuațiile de gradul al doilea cu coeficienți reali, iar pentru ele soluțiile nereale vin mereu în perechi conjugate. Ecuațiile în care un coeficient este nereal, cu soluții care nu mai sunt conjugate, sunt studiate doar la matematică-informatică.

Cum aleg între formula rădăcinilor și forma canonică?

Forma canonică este mai rapidă când coeficientul lui $z^2$ este $1$, iar coeficientul lui $z$ este par: completezi pătratul în minte și obții direct $(z-\alpha {)}^2=-{\beta }^2$. Când apar coeficienți impari sau un coeficient dominant diferit de $1$, completarea aduce fracții la fiecare pas, iar formula cu $i\sqrt{-\Delta }$ devine mai sigură. Ambele metode dau aceleași soluții.