Câte soluții reale are ecuația $$64x^2+48x+9=0$$?

o singură soluție, rădăcină dublă

Care sunt soluțiile ecuației $$8x^2-6x-9=0$$?

$$\dfrac{3}{2}$$ și $$-\dfrac{3}{4}$$

$$-\dfrac{3}{2}$$ și $$\dfrac{3}{4}$$

$$\dfrac{3}{4}$$ și $$-\dfrac{3}{8}$$

Ce formă canonică are x²+6x+5 și ce rădăcini dă?

Completezi pătratul: x²+6x+5=(x+3)²-4. Ecuația devine (x+3)²=4, deci x+3=±2, cu rădăcinile -1 și -5. Vârful parabolei este (-3,-4), iar rădăcinile sunt simetrice față de x=-3. Proba: 1-6+5=0 și 25-30+5=0.

Cum aflu vârful parabolei cu discriminantul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formula rădăcinilor

Din forma canonică $a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ se citește vârful $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ . Exemplu: pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$ , abscisa este $\frac{8}{4} = 2$ , iar $Δ = 64 - 24 = 40$ , deci ordonata este $- \frac{40}{8} = - 5$ . Verificare: $f (2) = 8 - 16 + 3 = - 5$ . Cum $a > 0$ și vârful e sub axa $O x$ , parabola taie axa în două puncte, iar $Δ > 0$ confirmă asta.

Orice trinom $a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$ se aduce, prin completarea pătratului, la forma $a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ , unde $Δ = b^{2} - 4 a c$ este discriminantul. Ecuația devine atunci un pătrat egal cu $\frac{Δ}{4 a ^{2}}$ , iar de aici iese formula $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , fără nicio presupunere despre semnul lui $a$ .

Semnul discriminantului spune totul despre numărul soluțiilor reale: două pentru $Δ > 0$ , una dublă pentru $Δ = 0$ , niciuna pentru $Δ < 0$ . Pe grafic, vârful $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ stă de o parte a axei $O x$ , pe ea sau de cealaltă parte, după caz, iar rădăcinile sunt simetrice față de abscisa lui. Când rădăcinile există, trinomul se scrie $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , cu factorul $a$ în față.

Practic, înainte de orice formulă aduci ecuația la forma cu zero în dreapta, citești coeficienții cu semnele lor, simplifici radicalul și fracția pe tot numărătorul. Coeficienții zecimali se transformă în întregi înainte de calcul, rotunjirea se face la final, iar într-un model din științe păstrezi doar rădăcinile care au sens pentru mărimea măsurată, de exemplu o durată sau o cantitate pozitivă.

De reținut

$Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
vârful: $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ când rădăcinile există

Greșeala tipică

Se scrie ordonata vârfului $\frac{Δ}{4 a}$ , fără minus; pentru $2 x^{2} - 8 x + 3$ ar rezulta $5$ în loc de $- 5$ , deși $f (2) = - 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este discriminantul ecuației $5 x^{2} - 9 x + 2 = 0$ ?
- a) $121$
- b) $41$
- c) $- 41$
- d) $71$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $41$

$Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 81 - 40 = 41$ .
Câte soluții reale are ecuația $64 x^{2} + 48 x + 9 = 0$ ?
- a) două soluții distincte
- b) nicio soluție
- c) o singură soluție, rădăcină dublă
- d) o infinitate de soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) o singură soluție, rădăcină dublă

$Δ = 4 8^{2} - 4 \cdot 64 \cdot 9 = 2304 - 2304 = 0$ , deci ecuația are rădăcina dublă $- \frac{48}{128} = - \frac{3}{8}$ .
Care sunt soluțiile ecuației $8 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ ?
- a) $- \frac{3}{2}$ și $\frac{3}{4}$
- b) $3$ și $- \frac{3}{2}$
- c) $\frac{3}{4}$ și $- \frac{3}{8}$
- d) $\frac{3}{2}$ și $- \frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{3}{2}$ și $- \frac{3}{4}$

$Δ = 36 + 288 = 324 = 1 8^{2}$ , deci $x_{1, 2} = \frac{6 \pm 18}{16}$ , adică $\frac{3}{2}$ și $- \frac{3}{4}$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți zecimali?

Înmulțești întâi cu o putere a lui $10$ ca să obții coeficienți întregi. Ecuația $0, 2 x^{2} - 0, 5 x - 0, 3 = 0$ devine $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ , cu $Δ = 25 + 24 = 49$ și rădăcinile $\frac{5 \pm 7}{4}$ , adică $3$ și $- \frac{1}{2}$ . Dacă $x$ este o durată, păstrezi doar $3$ .

Pentru ce $m$ are ecuația $x^{2} - 4 x + m = 0$ două rădăcini reale distincte?

Condiția este $Δ > 0$ : $16 - 4 m > 0$ , adică $m < 4$ . Pentru $m = 4$ rădăcina este dublă, $x = 2$ , iar pentru $m > 4$ nu există rădăcini reale. Pe grafic, parametrul ridică sau coboară parabola față de axa $O x$ .

Cum scriu trinomul $2 x^{2} - 5 x - 3$ ca produs de factori?

Rădăcinile sunt $3$ și $- \frac{1}{2}$ , deci $2 x^{2} - 5 x - 3 = 2 (x - 3) (x + \frac{1}{2}) = (x - 3) (2 x + 1)$ . Factorul $a = 2$ nu se pierde: fără el produsul ar avea coeficientul lui $x^{2}$ egal cu $1$ . Proba la $x = 0$ : $- 3$ în ambele forme.

Ce formă canonică are $x^{2} + 6 x + 5$ și ce rădăcini dă?

Completezi pătratul: $x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ . Ecuația devine $(x + 3)^{2} = 4$ , deci $x + 3 = \pm 2$ , cu rădăcinile $- 1$ și $- 5$ . Vârful parabolei este $(- 3, - 4)$ , iar rădăcinile sunt simetrice față de $x = - 3$ . Proba: $1 - 6 + 5 = 0$ și $25 - 30 + 5 = 0$ .

După cât timp ajunge la $20$ m o minge cu $h (t) = 25 t - 5 t^{2}$ ?

Rezolvi $25 t - 5 t^{2} = 20$ , adică $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ , cu $Δ = 9$ și rădăcinile $1$ și $4$ . Mingea trece prin $20$ m la urcare, după $1$ s, și la coborâre, după $4$ s. Ambele rădăcini au sens, fiindcă sunt în intervalul de zbor $[0, 5]$ .

Oamenii mai întreabă și: vârful parabolei cu minus delta supra 4a · ordonata vârfului din discriminant · coordonatele vârfului funcției de gradul doi · forma canonică și vârful

Cum aflu vârful parabolei cu discriminantul?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți zecimali?

Pentru ce m are ecuația x2−4x+m=0 două rădăcini reale distincte?

Cum scriu trinomul 2x2−5x−3 ca produs de factori?

Ce formă canonică are x2+6x+5 și ce rădăcini dă?

După cât timp ajunge la 20 m o minge cu h(t)=25t−5t2?

Continuă cu

Pentru ce $m$ are ecuația $x^{2} - 4 x + m = 0$ două rădăcini reale distincte?

Cum scriu trinomul $2 x^{2} - 5 x - 3$ ca produs de factori?

Ce formă canonică are $x^{2} + 6 x + 5$ și ce rădăcini dă?

După cât timp ajunge la $20$ m o minge cu $h (t) = 25 t - 5 t^{2}$ ?