Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La laboratorul de chimie, acidul acetic și alcoolul etilic formează acetat de etil și apă, dar reacția nu merge până la capăt: se oprește într-un echilibru. Câți moli de ester obții din cantitățile puse în balon afli dintr-o ecuație în care necunoscuta apare la pătrat, iar un grafic desenat de mână îți dă cel mult o estimare. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta arată de unde vine formula care rezolvă exact orice ecuație de gradul al doilea, ce spune discriminantul și cum se scrie trinomul ca produs. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde formula rădăcinilor apare la conținuturile clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține ecuația $f (x) = 0$ și vârful parabolei tratate analitic încă din clasa a IX-a.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: rezolvarea analitică a ecuației de gradul al doilea e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28); programa nouă o cuprinde abia în clasa a X-a, la numerele complexe. În traseul de bază ai citit rădăcinile pe grafic, în intersecțiile parabolei cu axele la M2, iar acolo s-a spus că metoda generală se studiază separat: ea este subiectul de aici. Vârful parabolei l-ai întâlnit în monotonia și valoarea extremă a funcției de gradul doi la M2, cu abscisa $- \frac{b}{2 a}$ ; acum vei vedea din ce calcul vine și cât este ordonata lui.

Ce vei învăța

Vei transforma trinomul $a x^{2} + b x + c$ în forma canonică prin completarea pătratului, pas cu pas.
Vei deduce din forma canonică formula rădăcinilor $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Vei decide, numai din semnul lui $Δ$ , câte soluții reale are ecuația și cum arată parabola față de axa $O x$ .
Vei scrie coordonatele vârfului ca $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ și vei descompune trinomul în factori.
Vei alege cea mai scurtă metodă pentru fiecare ecuație și vei lucra corect cu coeficienți zecimali din măsurători.
Vei rezolva o condiție cu parametru scrisă prin discriminant.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi analitic o ecuație de gradul al doilea?

O ecuație de gradul al doilea este o ecuație de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , în care $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale date, $a \neq = 0$ , iar $x$ este necunoscuta reală. A o rezolva analitic înseamnă a afla exact, prin calcul, toate numerele reale care o verifică, sau a arăta că nu există niciunul.

Pe grafic, soluțiile sunt abscisele punctelor în care parabola întâlnește axa $O x$ . Citirea pe grafic e rapidă și arată imediat câte puncte comune există, dar are o limită: o rădăcină ca $1, 76$ sau ca $- 2 + 11$ nu cade pe o gradație, iar o parabolă care trece foarte aproape de axă poate părea că o atinge. Calculul decide ce desenul doar sugerează.

Condiția $a \neq = 0$ nu e un detaliu. Dacă $a = 0$ , ecuația devine $b x + c = 0$ , de gradul I, pe care ai rezolvat-o în funcția de gradul I: ecuații și inecuații. Tot ce urmează folosește împărțirea la $a$ , deci cere $a \neq = 0$ .

2. Cum scot un pătrat din trinom?

Ideea este să scrii trinomul ca un pătrat perfect plus o constantă. Pornești de la $a x^{2} + b x + c$ și dai factor comun pe $a$ din primii doi termeni:

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c .$

În paranteză, $x^{2} + \frac{b}{a} x$ este începutul pătratului $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}$ . Îi lipsește ultimul termen, pe care îl aduni și îl scazi în paranteză, ca să nu schimbi valoarea. După ce scoți termenul scăzut din paranteză și aduci la același numitor, obții

$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} .$

Aceasta este forma canonică a trinomului, scrisă cu literele coeficienților. Numărul $b^{2} - 4 a c$ apare singur, fără să-l fi căutat, și primește un nume: discriminantul, notat $Δ$ . Cu el, forma canonică devine $a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ .

Calculul are un sens geometric simplu. Forma canonică arată trinomul ca pe o parabolă de bază, $y = a x^{2}$ , mutată orizontal cu $- \frac{b}{2 a}$ și vertical cu $- \frac{Δ}{4 a}$ . Tot ce se întâmplă cu ecuația se poate citi, de aici înainte, din aceste două deplasări.

În traseul de bază ai folosit forma $a (x - h)^{2} + k$ ca pe o scriere dată, din care citeai vârful. Aici ai obținut-o dintr-un calcul care merge pentru orice coeficienți, deci poți pune orice trinom în această formă fără să-l ghicești.

3. De unde vine formula rădăcinilor?

Ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ se scrie acum $a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a}$ . Împărțind la $a$ , care nu e zero:

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} .$

În stânga e un pătrat, iar în dreapta un număr al cărui numitor, $4 a^{2}$ , e strict pozitiv. Dacă $Δ \geq 0$ , numerele al căror pătrat este $\frac{Δ}{4 a ^{2}}$ sunt $\frac{Δ}{2 a}$ și $- \frac{Δ}{2 a}$ . Semnul lui $a$ nu contează aici: cele două numere sunt unul opusul celuilalt, iar semnul $\pm$ le ia pe amândouă, oricare ar fi semnul lui $a$ . Rezultă

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{Δ}{2 a}, adic \overset{a}{˘} x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} .$

Formula nu trebuie crezută pe cuvânt: ea e pasul final al unui calcul pe care îl poți reface oricând. Iar calculul îți arată și ce se întâmplă când $Δ$ e negativ, caz pe care formula singură nu-l spune.

Merită observat și ce nu a fost nevoie să știi. Nu ai presupus că rădăcinile sunt numere întregi, nici că trinomul se descompune frumos, nici că $a$ e pozitiv. Calculul a folosit doar operații permise cu egalități: factor comun, adunarea aceluiași număr în ambii membri, împărțirea la un număr nenul. De aceea formula se aplică la fel unei ecuații cu coeficienți mari, unei ecuații cu coeficienți fracționari sau uneia care vine dintr-un model de laborator. Singurul lucru de verificat înainte este condiția $a \neq = 0$ .

4. Ce spune semnul discriminantului?

Din egalitatea $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ citești trei cazuri. Dacă $Δ > 0$ , membrul drept e pozitiv și ecuația are două soluții reale distincte. Dacă $Δ = 0$ , pătratul trebuie să fie zero, deci există o singură soluție, $x = - \frac{b}{2 a}$ , numită rădăcină dublă. Dacă $Δ < 0$ , un pătrat ar trebui să fie egal cu un număr negativ, ceea ce e imposibil: ecuația nu are soluții reale.

Aceleași trei cazuri le-ai văzut pe grafic. Forma canonică arată că vârful parabolei este punctul

$V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}) .$

Pentru $a > 0$ , ramurile urcă din vârf. Dacă $Δ > 0$ , ordonata vârfului este negativă, vârful stă sub axă, iar parabola taie axa în două puncte. Dacă $Δ = 0$ , vârful e chiar pe axă. Dacă $Δ < 0$ , vârful e deasupra axei și toată parabola rămâne deasupra, cum ai văzut în semnul funcției de gradul doi pe grafic la M2. Pentru $a < 0$ semnele ordonatei se inversează, iar concluziile despre numărul de puncte rămân aceleași: ramurile coboară din vârf, deci dacă $Δ > 0$ vârful e deasupra axei și parabola o taie de două ori, iar dacă $Δ < 0$ toată parabola stă sub axă. Pe scurt, semnul lui $Δ$ spune câte puncte comune are parabola cu axa, iar semnul lui $a$ spune de ce parte a axei e vârful în fiecare caz.

Mai e o informație, care leagă formula de simetria parabolei: cele două rădăcini sunt $- \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2 a}$ și $- \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2 a}$ , deci stau la aceeași distanță de abscisa vârfului, una de o parte, cealaltă de cealaltă parte a axei de simetrie.

Vârful parabolei are coordonatele (−b/2a, −Δ/4a); când Δ > 0, rădăcinile stau la distanța √Δ/2a de o parte și de alta a axei de simetrie.

5. Cum scriu trinomul ca produs?

Dacă ecuația are rădăcinile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ (egale, dacă $Δ = 0$ ), trinomul se descompune:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

Egalitatea se verifică pornind tot din forma canonică: diferența de pătrate $(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ se desface într-un produs a doi factori, care sunt exact $x - x_{1}$ și $x - x_{2}$ . Factorul $a$ din față nu dispare; el se poate distribui într-una dintre paranteze ca să obții coeficienți întregi. Pentru $2 x^{2} - 21 x + 10$ , discriminantul este $441 - 80 = 361 = 1 9^{2}$ , rădăcinile sunt $10$ și $\frac{1}{2}$ , iar trinomul este $2 (x - 10) (x - \frac{1}{2}) = (x - 10) (2 x - 1)$ .

Descompunerea e și cel mai bun control al rădăcinilor: înmulțești parantezele și trebuie să regăsești trinomul inițial, coeficient cu coeficient. Dacă un coeficient nu se potrivește, una dintre rădăcini e greșită.

Dacă $Δ < 0$ , nicio descompunere în doi factori de gradul I cu coeficienți reali nu există, fiindcă un asemenea produs s-ar anula într-un punct real, iar trinomul nu se anulează nicăieri. Forma de produs e utilă ori de câte ori vrei semnul trinomului sau vrei să simplifici o fracție.

6. Când nu am nevoie de formulă?

Formula merge întotdeauna, dar nu e mereu drumul cel mai scurt. Trei situații se recunosc din prima privire. Dacă lipsește termenul liber, ai un factor comun $x$ și citești imediat o rădăcină egală cu zero. Dacă lipsește termenul în $x$ , ecuația are forma $a x^{2} = - c$ , iar rădăcinile sunt numerele al căror pătrat e $- \frac{c}{a}$ , dacă acesta e pozitiv. Dacă trinomul e deja un pătrat perfect sau are rădăcini evidente, verifici direct.

Înainte de orice calcul merită să te uiți și la un eventual factor comun al coeficienților. Dacă toți trei se împart la același număr, împarți întâi ecuația la el: soluțiile rămân aceleași, iar discriminantul se calculează cu numere mai mici. O ecuație cu coeficienții $6$ , $- 18$ și $12$ devine, după împărțirea la $6$ , una cu coeficienții $1$ , $- 3$ și $2$ , mult mai ușor de rezolvat.

În rest, alegerea e între formulă și completarea pătratului. Completarea e comodă când $a = 1$ și $b$ e par, fiindcă jumătatea lui $b$ e un număr întreg. Formula e mai sigură când coeficienții sunt mari sau fracționari. În ambele cazuri, verificarea finală e aceeași: înlocuiești fiecare rădăcină în ecuația inițială și trebuie să obții zero.

7. Ce fac cu coeficienți zecimali dintr-o măsurătoare?

Într-un model din laborator coeficienții vin din măsurători și au adesea zecimale, de exemplu $1, 2 x^{2} - 0, 7 x - 0, 1 = 0$ . Înainte de formulă înmulțești toată ecuația cu o putere a lui $10$ care face coeficienții întregi, aici cu $10$ , ca să ajungi la $12 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ . Înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă soluțiile, iar calculul discriminantului devine mult mai sigur.

Unitățile de măsură se păstrează până la capăt. Dacă necunoscuta este o cantitate de substanță în moli, rădăcinile sunt tot în moli, iar dacă este un timp în secunde, rădăcinile sunt în secunde. Înmulțirea ecuației cu o putere a lui $10$ schimbă coeficienții, dar nu schimbă unitatea necunoscutei, fiindcă rădăcinile rămân aceleași.

Două reguli de redactare contează în științe. Prima: rotunjești abia la final, pe valoarea rădăcinii, nu pe discriminant sau pe radical, altfel eroarea se multiplică. A doua: după calcul, compari fiecare rădăcină cu intervalul în care modelul are sens. O cantitate de substanță nu poate fi negativă și nici mai mare decât cantitatea de la care a pornit reacția; o durată nu poate fi negativă. O rădăcină corectă matematic poate fi respinsă de model, iar respingerea se scrie, cu motivul ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Completarea pătratului pe o ecuație cu rădăcini iraționale

Rezolvați ecuația $x^{2} + 4 x - 7 = 0$ prin completarea pătratului.

Rezolvare. Muți termenul liber în dreapta: $x^{2} + 4 x = 7$ . Jumătatea coeficientului lui $x$ este $2$ , iar pătratul ei $4$ ; îl aduni în ambii membri:

$x^{2} + 4 x + 4 = 11, adic \overset{a}{˘} (x + 2)^{2} = 11.$

Numerele al căror pătrat este $11$ sunt $11$ și $- 11$ , deci $x + 2 = \pm 11$ și soluțiile sunt $x_{1} = - 2 + 11$ și $x_{2} = - 2 - 11$ . Control cu formula: $Δ = 16 + 28 = 44$ , iar $\frac{- 4 \pm 44}{2} = \frac{- 4 \pm 2 11}{2} = - 2 \pm 11$ .

Exemplul 2 — Formula aplicată când coeficientul dominant e negativ

Rezolvați în $R$ ecuația $- 6 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ .

Rezolvare. Coeficienții sunt $a = - 6$ , $b = 7$ , $c = 3$ . Discriminantul este $Δ = 49 - 4 \cdot (- 6) \cdot 3 = 49 + 72 = 121 = 1 1^{2}$ . Formula dă

$x_{1} = \frac{- 7 + 11}{- 12} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{- 7 - 11}{- 12} = \frac{3}{2} .$

Numitorul $2 a = - 12$ e negativ, iar semnele se lucrează cu grijă. Control pentru $x_{2}$ : $- 6 \cdot \frac{9}{4} + 7 \cdot \frac{3}{2} + 3 = - \frac{27}{2} + \frac{21}{2} + 3 = 0$ . Același rezultat îl obții dacă înmulțești întâi ecuația cu $- 1$ și lucrezi cu $6 x^{2} - 7 x - 3 = 0$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala: semnul lui $- b$

Un elev rezolvă $10 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ și scrie: „ $Δ = 9 + 160 = 169$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 13}{20}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- \frac{4}{5}$ ”. Găsiți greșeala și corectați.

Rezolvare. Discriminantul e corect: $Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 4) = 9 + 160 = 169$ . Greșeala este la $- b$ : coeficientul lui $x$ este $b = - 3$ , deci $- b = 3$ , nu $- 3$ . Corect:

$x_{1} = \frac{3 + 13}{20} = \frac{4}{5}, x_{2} = \frac{3 - 13}{20} = - \frac{1}{2} .$

Rezultatul elevului are rădăcinile cu semnele schimbate: el a rezolvat, fără să vrea, ecuația cu $+ 3 x$ în locul lui $- 3 x$ . Controlul prin înlocuire prinde greșeala imediat: înlocuind numărul $\frac{1}{2}$ în ecuația dată, obții $10 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 4 = - 3 \neq = 0$ .

Exemplul 4 — Câte soluții, fără să rezolvi

Stabiliți, fără a calcula soluțiile, câte soluții reale are fiecare ecuație și cum se așază parabola corespunzătoare față de axa $O x$ : a) $49 x^{2} + 28 x + 4 = 0$ ; b) $7 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ; c) $4 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

Rezolvare. a) $Δ = 2 8^{2} - 4 \cdot 49 \cdot 4 = 784 - 784 = 0$ : o singură soluție, rădăcina dublă $x = - \frac{28}{98} = - \frac{2}{7}$ . Parabola atinge axa în vârf. b) $Δ = 25 - 28 = - 3 < 0$ : nicio soluție reală. Cum $a = 7 > 0$ , parabola stă toată deasupra axei. c) $Δ = 9 + 32 = 41 > 0$ : două soluții reale distincte, $\frac{3 \pm 41}{8}$ , iraționale. Parabola taie axa în două puncte, iar vârful stă sub ea.

Exemplul 5 — Echilibrul unei esterificări

Într-un balon se pun $2$ moli de acid acetic și $5$ moli de alcool etilic. La echilibru s-au format $x$ moli de acetat de etil și $x$ moli de apă, iar constanta de echilibru este $K = 4$ , adică $\frac{x \cdot x}{( 2 - x ) ( 5 - x )} = 4$ . Aflați $x$ .

Rezolvare. Înmulțind cu numitorul, $x^{2} = 4 (x^{2} - 7 x + 10)$ , adică $3 x^{2} - 28 x + 40 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 784 - 480 = 304 = 16 \cdot 19$ , deci

$x_{1, 2} = \frac{28 \pm 4 19}{6} = \frac{14 \pm 2 19}{3} .$

Modelul cere $0 < x < 2$ , fiindcă nu se poate consuma mai mult acid decât s-a pus. Rădăcina $\frac{14 + 2 19}{3} \approx 7, 57$ se respinge. Rămâne $x = \frac{14 - 2 19}{3} \approx 1, 76$ moli de ester, adică un randament de aproximativ $88%$ față de acid. Rotunjirea s-a făcut doar la final.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 17 x + 14$ . a) Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $O x$ . b) Determinați coordonatele vârfului parabolei. c) Scrieți $f (x)$ ca produs de doi factori de gradul I cu coeficienți întregi.

Rezolvare. a) Rezolvi $f (x) = 0$ : $Δ = 289 - 168 = 121$ , deci $x_{1, 2} = \frac{17 \pm 11}{6}$ , adică $x_{1} = \frac{14}{3}$ și $x_{2} = 1$ . Punctele sunt $(1, 0)$ și $(\frac{14}{3}, 0)$ .

b) Abscisa vârfului este $- \frac{b}{2 a} = \frac{17}{6}$ , iar ordonata $- \frac{Δ}{4 a} = - \frac{121}{12}$ . Control prin înlocuire: $f (\frac{17}{6}) = 3 \cdot \frac{289}{36} - 17 \cdot \frac{17}{6} + 14 = \frac{289}{12} - \frac{578}{12} + \frac{168}{12} = - \frac{121}{12}$ .

c) $f (x) = 3 (x - 1) (x - \frac{14}{3}) = (x - 1) (3 x - 14)$ .

Ex. 6: parabola lui f(x) = 3x² − 17x + 14 taie axa Ox în 1 și 14/3; vârful (17/6, −121/12) e la mijlocul rădăcinilor. Scara verticală e de patru ori mai mică decât cea orizontală.

Să exersăm

1. Rezolvă prin completarea pătratului ecuația $x^{2} + 10 x + 2 = 0$ .

2. Scrie forma canonică a trinomului $5 x^{2} - 30 x + 38$ și precizează vârful parabolei.

3. Rezolvă în $R$ ecuația $2 x^{2} - 17 x + 8 = 0$ .

4. Rezolvă în $R$ ecuația $- 9 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ .

5. Rezolvă în $R$ ecuația $3 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ și simplifică rădăcinile.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $5 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ are două soluții reale distincte.”

7. Scrie câte o ecuație de gradul al doilea, cu coeficienți întregi, care are: a) rădăcina dublă $- \frac{1}{6}$ ; b) discriminantul negativ și coeficientul dominant pozitiv; c) două soluții reale distincte, iraționale. Verifică fiecare ecuație cu discriminantul.

8. Descompune în factori de gradul I, cu coeficienți întregi, trinomul $6 x^{2} - 7 x - 20$ .

9. Află numerele reale $b$ și $c$ pentru care parabola funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} + b x + c$ , are vârful $V (2, - 3)$ .

10. Află toate numerele reale $m$ cu proprietatea că ecuația $x^{2} - 2 m x + 5 m - 6 = 0$ are o rădăcină dublă și calculează rădăcina în fiecare caz.

11. (Problemă aplicată.) Un termometru electronic măsoară temperatura prin rezistența unui fir metalic. Rezistența, în ohmi, depinde de temperatura $T$ , în grade Celsius, după modelul $R (T) = 100 + 0, 4 T + 0, 002 T^{2}$ , valabil pentru $0 \leq T \leq 200$ . a) Ce temperatură indică termometrul când rezistența este de $120$ ohmi? Dă rezultatul exact și rotunjit la zecimi. b) Ce faci cu cealaltă rădăcină a ecuației?

12. Rezolvă în $R$ ecuația $(3 x - 1) (x + 2) = 2 x + 3$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real $m$ pentru care $x = 2$ este soluție a ecuației $5 x^{2} - 11 x + m = 0$ și aflați cealaltă soluție a ecuației.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ecuația $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} + 3 = 0$ nu are soluții reale pentru niciun număr real $m > - 1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele reale $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 25 x^{2} + m x + 36$ , se află pe axa $O x$ .

16. Rezolvă ecuația $0, 6 x^{2} - 0, 5 x - 0, 6 = 0$ , după ce aduci coeficienții la numere întregi.

17. Fără să rezolvi ecuația, explică de ce $- 4 x^{2} + 9 x + 13 = 0$ are două soluții reale distincte, apoi formulează regula pentru orice ecuație în care coeficientul dominant și termenul liber au semne opuse.

18. Arată că ecuația $x^{2} - (m + 2) x + m - 1 = 0$ are două soluții reale distincte pentru orice număr real $m$ .

Răspunsuri și explicații

1. $x^{2} + 10 x = - 2$ ; aduni $25$ în ambii membri: $(x + 5)^{2} = 23$ . Soluțiile sunt $x_{1} = - 5 + 23$ și $x_{2} = - 5 - 23$ .

2. Dai factor comun $5$ : $5 (x^{2} - 6 x) + 38 = 5 [(x - 3)^{2} - 9] + 38 = 5 (x - 3)^{2} - 7$ . Vârful este $V (3, - 7)$ . Control: $- \frac{Δ}{4 a} = - \frac{900 - 760}{20} = - 7$ .

3. $Δ = 289 - 64 = 225$ , deci $x_{1, 2} = \frac{17 \pm 15}{4}$ : $x_{1} = 8$ și $x_{2} = \frac{1}{2}$ .

4. $Δ = 25 + 144 = 169$ . Cu $2 a = - 18$ : $x_{1} = \frac{5 + 13}{- 18} = - 1$ și $x_{2} = \frac{5 - 13}{- 18} = \frac{4}{9}$ .

5. $Δ = 64 - 24 = 40 = 4 \cdot 10$ , deci $x_{1, 2} = \frac{8 \pm 2 10}{6} = \frac{4 \pm 10}{3}$ . Simplificarea cu $2$ se face pe tot numărătorul.

6. Fals. $Δ = 36 - 40 = - 4 < 0$ , deci ecuația nu are nicio soluție reală. Parabola funcției $5 x^{2} - 6 x + 2$ stă toată deasupra axei $O x$ .

7. Răspunsurile nu sunt unice; iată câte un exemplu. a) Rădăcina dublă $- \frac{1}{6}$ vine din pătratul $(6 x + 1)^{2}$ , deci $36 x^{2} + 12 x + 1 = 0$ , cu $Δ = 144 - 144 = 0$ . b) $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , cu $a = 5 > 0$ și $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ . c) $3 x^{2} - x - 1 = 0$ , cu $Δ = 1 + 12 = 13 > 0$ ; cum $13$ nu este pătrat perfect, rădăcinile $\frac{1 \pm 13}{6}$ sunt iraționale.

8. $Δ = 49 + 480 = 529 = 2 3^{2}$ , rădăcinile sunt $\frac{7 \pm 23}{12}$ , adică $\frac{5}{2}$ și $- \frac{4}{3}$ . Atunci $6 x^{2} - 7 x - 20 = 6 (x - \frac{5}{2}) (x + \frac{4}{3}) = (2 x - 5) (3 x + 4)$ .

9. Abscisa vârfului dă $- \frac{b}{10} = 2$ , deci $b = - 20$ . Ordonata dă $f (2) = 20 - 40 + c = - 3$ , deci $c = 17$ . Funcția este $f (x) = 5 x^{2} - 20 x + 17$ ; control cu formula: $Δ = 400 - 340 = 60$ , iar $- \frac{Δ}{4 a} = - \frac{60}{20} = - 3$ .

10. $Δ = 4 m^{2} - 4 (5 m - 6) = 4 (m^{2} - 5 m + 6)$ . Rădăcina e dublă când $Δ = 0$ , adică $m^{2} - 5 m + 6 = 0$ , cu soluțiile $m = 2$ și $m = 3$ . Rădăcina dublă este $- \frac{b}{2 a} = m$ : pentru $m = 2$ ecuația e $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , cu $x = 2$ ; pentru $m = 3$ e $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , cu $x = 3$ .

11. a) $100 + 0, 4 T + 0, 002 T^{2} = 120$ înseamnă $0, 002 T^{2} + 0, 4 T - 20 = 0$ ; înmulțind cu $500$ , obții $T^{2} + 200 T - 10000 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 40000 + 40000 = 80000$ , iar $80000 = 2002$ , deci $T_{1, 2} = \frac{- 200 \pm 200 2}{2} = - 100 \pm 1002$ . Termometrul indică $T = 100 (2 - 1) \approx 41, 4$ °C. b) Cealaltă rădăcină, $- 100 - 1002 \approx - 241, 4$ , iese din intervalul $[0, 200]$ pe care e valabil modelul, deci se respinge: este o soluție a ecuației, nu o temperatură indicată de acest termometru.

12. Dezvolți: $3 x^{2} + 5 x - 2 = 2 x + 3$ , adică $3 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ . $Δ = 9 + 60 = 69$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 69}{6}$ .

13. Înlocuind $x = 2$ : $20 - 22 + m = 0$ , deci $m = 2$ . Ecuația $5 x^{2} - 11 x + 2 = 0$ are $Δ = 121 - 40 = 81$ , deci $x_{1, 2} = \frac{11 \pm 9}{10}$ , adică $2$ și $\frac{1}{5}$ . Cealaltă soluție este $\frac{1}{5}$ .

14. $Δ = 4 (m - 1)^{2} - 4 (m^{2} + 3) = 4 (m^{2} - 2 m + 1 - m^{2} - 3) = - 8 (m + 1)$ . Pentru $m > - 1$ avem $m + 1 > 0$ , deci $Δ < 0$ și ecuația nu are soluții reale.

15. Ordonata vârfului este $- \frac{Δ}{4 a}$ , deci vârful e pe axa $O x$ exact când $Δ = m^{2} - 3600 = 0$ , adică $m = 60$ sau $m = - 60$ . Control: $25 x^{2} + 60 x + 36 = (5 x + 6)^{2}$ și $25 x^{2} - 60 x + 36 = (5 x - 6)^{2}$ .

16. Înmulțești cu $10$ : $6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ . $Δ = 25 + 144 = 169$ , deci $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 13}{12}$ , adică $x_{1} = \frac{3}{2}$ și $x_{2} = - \frac{2}{3}$ .

17. Aici $a = - 4$ și $c = 13$ , deci $a c = - 52 < 0$ și $- 4 a c = 208 > 0$ ; discriminantul $Δ = 81 + 208 = 289$ e pozitiv. În general, dacă $a$ și $c$ au semne opuse, produsul $a c$ e negativ, deci $- 4 a c$ e pozitiv, iar $Δ = b^{2} - 4 a c$ este suma dintre un număr nenegativ și unul strict pozitiv: $Δ > 0$ , oricare ar fi $b$ .

18. $Δ = (m + 2)^{2} - 4 (m - 1) = m^{2} + 4 m + 4 - 4 m + 4 = m^{2} + 8$ . Cum $m^{2} \geq 0$ , avem $Δ \geq 8 > 0$ pentru orice $m$ real, deci ecuația are mereu două soluții reale distincte.

De reținut

Forma canonică se obține prin completarea pătratului: $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ și $a \neq = 0$ .
Formula rădăcinilor, $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , este pasul final al completării pătratului și se aplică numai când $Δ \geq 0$ .
Semnul lui $Δ$ decide: două soluții reale distincte ( $Δ > 0$ ), o rădăcină dublă $- \frac{b}{2 a}$ ( $Δ = 0$ ), nicio soluție reală ( $Δ < 0$ ).
Vârful parabolei este $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , iar rădăcinile, când există, stau simetric față de abscisa lui.
Descompunerea $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ există numai pentru $Δ \geq 0$ ; într-un model, fiecare rădăcină se compară cu intervalul în care modelul are sens.

Greșeli frecvente

Pătratul lui $b$ scris cu minus. Pentru $b = - 7$ se scrie „ $b^{2} = - 49$ ”. Pătratul unui număr nenul e întotdeauna pozitiv: $(- 7)^{2} = 49$ . Paranteza în jurul lui $b$ negativ, scrisă explicit, previne greșeala.
Simplificare făcută doar pe un termen. Din $\frac{- 6 \pm 20}{2}$ se scrie „ $- 3 \pm 20$ ”, împărțind la $2$ doar primul termen. Corect: $20 = 25$ , apoi împarți tot numărătorul, și obții $- 3 \pm 5$ .
Coeficienții citiți înainte de a aduce ecuația la forma $= 0$ . Din $2 x^{2} = 3 x + 5$ se ia „ $c = 5$ ”. Întâi treci totul într-un membru, $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ , și abia apoi citești $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = - 5$ .
Înmulțirea cu $10$ făcută doar pe o parte din coeficienți. Din $0, 3 x^{2} - 1, 4 x - 5 = 0$ se scrie „ $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ ”, fiindcă termenul liber era deja întreg. Înmulțirea se aplică fiecărui termen: $3 x^{2} - 14 x - 50 = 0$ ; altfel ecuația nouă are alte rădăcini decât cea din enunț.
Factorul $a$ uitat la descompunere. Se scrie „ $2 x^{2} - 21 x + 10 = (x - 10) (x - \frac{1}{2})$ ”. Produsul din dreapta are coeficientul dominant $1$ , nu $2$ ; lipsește factorul $a = 2$ în față.

Aplică acasă

Rama fotografiei. Măsoară o fotografie dreptunghiulară și imaginează-ți o ramă de lățime constantă $x$ , care dublează aria totală. Scrie ecuația de gradul al doilea în $x$ , rezolv-o cu formula și respinge, în scris, rădăcina care nu are sens. Taie apoi rama din carton și verifică prin măsurare că aria s-a dublat.
Echilibrul din culegerea de chimie. Caută în culegerea de chimie o problemă de echilibru cu constanta $K$ dată, asemănătoare cu Exemplul 5. Scrie ecuația de gradul al doilea, rezolv-o cu formula și decide, din cantitățile inițiale, care rădăcină are sens. Compară rezultatul tău cu răspunsul culegerii și notează la ce zecimală ai rotunjit.
Discriminantul din desen. Desenează pe hârtie milimetrică trei parabole oarecare, fiecare trecând prin trei puncte alese de tine. Pentru fiecare, prezice semnul discriminantului numai din poziția vârfului față de axa $O x$ și din sensul ramurilor. Apoi află ecuația parabolei cu un program de grafice și verifică predicția prin calcul.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la lectura grafică a zerourilor, din unitatea funcțiilor, la calculul lor exact. Formula rădăcinilor nu e prezentată ca regulă de memorat, ci ca pas final al completării pătratului, iar completarea e aceeași operație care dă forma canonică și vârful. Un elev care stăpânește completarea pătratului poate reface formula oricând. De urmărit în caiet: ecuația adusă la forma $= 0$ înaintea citirii coeficienților, parantezele în jurul coeficienților negativi, simplificarea făcută pe tot numărătorul, verificarea prin înlocuire, iar în probleme cu context, intervalul de valabilitate al modelului scris explicit. Întrebări de control: „De ce apare $4 a^{2}$ la numitor și de ce e pozitiv?”; „Ce înseamnă pe grafic $Δ < 0$ ?”; „Când preferi completarea pătratului formulei?”. Semn că elevul a înțeles: prezice numărul soluțiilor din semnul lui $Δ$ înainte de a le calcula.

Relațiile dintre rădăcini și coeficienți fac obiectul lecției următoare, relațiile lui Viète la M2, care folosește formulele de aici.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a IX-a, pentru funcția de gradul al doilea, „intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația $f (x) = 0$ ”, vârful parabolei și poziția ei față de axa $O x$ , iar programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, cere la aceeași clasă doar observarea proprietăților prin lectură grafică; rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali apare în programa nouă abia la clasa a X-a, la numerele complexe. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința a treia de la Subiectul I, o ecuație logaritmică, se reduce la o ecuație de gradul al doilea. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, la conținuturile clasei a X-a. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: deducerea formulelor ecuației de gradul al doilea are alt parcurs și alte exerciții. Exercițiile de sinteză ale suplimentului sunt în testul M2 de gradul I, gradul al II-lea și șiruri.

Întrebări frecvente

Ce diferă la ecuația de gradul al doilea între M1 și M2? Formula și discriminantul sunt aceleași. La științe ale naturii (M2) lecția e un supliment pentru examen, fiindcă programa nouă a clasei a IX-a cere doar lectura grafică, și pune accent pe legătura cu graficul și pe modele din științe. La matematică-informatică (M1) aceeași temă face parte din materia obișnuită a clasei, cu mai multe variante de calcul.

La ce subiect apare ecuația de gradul al doilea la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 o cuprinde la funcția de gradul al doilea, materie a clasei a IX-a, fără să spună la ce subiect. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința a treia de la Subiectul I, o ecuație logaritmică, se reduce după aplicarea proprietăților logaritmilor la o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvi cu formula din această lecție.

De ce lecția de bază despre intersecții nu a folosit formula? Pentru că programa nouă a clasei a IX-a cere, la funcția de gradul al doilea, observarea proprietăților pe grafic. Acolo zerourile se citesc sau se confirmă prin scrieri ușor de rezolvat, ca forma produs. Formula generală e cerută de programa de examen 2027–2029, de aceea stă în supliment, după lecțiile grafice pe care le folosește.

Ce fac dacă discriminantul nu este pătrat perfect? Păstrezi radicalul și îl simplifici, scoțând de sub el pătratele perfecte: $40 = 210$ . Apoi simplifici fracția pe tot numărătorul. Forma exactă este rezultatul propriu-zis, cu radicalul simplificat până la capăt; o valoare aproximativă o adaugi doar când problema are context și unități de măsură, de exemplu o durată în secunde.

Cum aleg între completarea pătratului și formula rădăcinilor? Completarea pătratului e comodă când coeficientul lui $x^{2}$ este $1$ și coeficientul lui $x$ e par, fiindcă jumătatea lui e un număr întreg. Formula e mai sigură la coeficienți mari, negativi sau fracționari. Ambele dau același rezultat, iar verificarea prin înlocuire e aceeași.

De ce rotunjesc abia la final, pe rădăcină? Pentru că fiecare rotunjire intermediară aduce o mică eroare, iar calculele următoare o pot mări. Dacă rotunjești discriminantul sau radicalul înainte de împărțirea la $2 a$ , eroarea trece în rădăcină și devine vizibilă mai ales când scazi două numere apropiate. Păstrezi forma exactă până la capăt, apoi rotunjești o singură dată, la precizia cerută de problemă.