Unde taie un plan axele de coordonate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuația planului și vectorul normal

Pe o axă, celelalte două coordonate sunt zero, deci le anulezi în ecuație și afli a treia. Exemplu: pentru $3 x - 4 y + 6 z - 24 = 0$ , cu $y = z = 0$ rezultă $x = 8$ , cu $x = z = 0$ rezultă $y = - 6$ , iar cu $x = y = 0$ rezultă $z = 4$ . Planul taie axele în $(8, 0, 0)$ , $(0, - 6, 0)$ și $(0, 0, 4)$ ; fiecare punct verifică ecuația, de pildă $3 \cdot 8 - 24 = 0$ . Dacă un coeficient lipsește, planul nu taie axa lui într-un singur punct.

În reperul $O x y z$ , orice plan are o ecuație de forma $a x + b y + cz + d = 0$ , în care necunoscutele apar doar la puterea întâi. Cerința ca $a$ , $b$ , $c$ să nu fie simultan zero nu e o formalitate: fără ea, egalitatea ar descrie ori mulțimea vidă, ori întreg spațiul.

Ca să afli dacă un punct stă pe suprafață, pui cele trei numere ale lui în locul literelor și compari cu zero. Dar și un rezultat nenul spune ceva: semnul lui arată în care dintre cele două semispații a nimerit punctul, iar două semne diferite înseamnă că suprafața le desparte.

Tripletul $(a, b, c)$ poartă numele de vector normal. El fixează înclinarea, pe când $d$ mută suprafața fără să-i schimbe direcția. De aici rețeta: pentru un plan paralel cu unul dat, copiezi cei trei coeficienți și recalculezi numărul liber din punctul impus.

Locul în care suprafața întâlnește o axă se obține făcând nule celelalte două necunoscute. Dacă un coeficient e zero, axa lui nu se mai taie într-un punct: ori rămâne alături de suprafață, ori e cuprinsă toată în ea, după cum numărul liber e nenul sau zero.

Ce încurcă cel mai des: aceeași suprafață admite o infinitate de ecuații, toate proporționale. Când rezolvarea de control arată altfel decât foaia ta, caută întâi factorul care le leagă.

De reținut

tăietura cu $O x$ : pui $y = z = 0$ și rezolvi; la fel pentru celelalte axe
semnul lui $a x + b y + cz + d$ arată de ce parte a planului e punctul
planul trece prin origine exact când $d = 0$

Greșeala tipică

Pentru tăietura cu axa $O y$ se pune doar $y = 0$ ; corect se anulează celelalte două coordonate, $x = 0$ și $z = 0$ , iar $y$ se află din ecuație.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre puncte aparține planului $π : 4 x + y - 5 z + 2 = 0$ ?
- a) $M (2, 3, 2)$
- b) $N (1, - 1, 1)$
- c) $P (0, 2, 1)$
- d) $Q (3, 1, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $N (1, - 1, 1)$

Înlocuiești pe rând și cauți zeroul. Pentru $N$ : $4 - 1 - 5 + 2 = 0$ , deci $N \in π$ . Celelalte dau $8 + 3 - 10 + 2 = 3$ pentru $M$ , $0 + 2 - 5 + 2 = - 1$ pentru $P$ și $12 + 1 - 10 + 2 = 5$ pentru $Q$ — niciunul nu e zero, deci niciunul nu e în plan.
Care dintre ecuații descrie același plan ca $4 x - 6 y + 10 z - 8 = 0$ ?
- a) $2 x - 3 y + 5 z - 8 = 0$
- b) $- 2 x + 3 y - 5 z - 4 = 0$
- c) $2 x - 3 y + 5 z - 4 = 0$
- d) $8 x - 12 y + 20 z - 8 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 x - 3 y + 5 z - 4 = 0$

Două ecuații descriu același plan exact când una este cealaltă înmulțită cu un număr nenul, cu tot cu termenul liber. Înmulțind $2 x - 3 y + 5 z - 4 = 0$ cu $2$ obții chiar $4 x - 6 y + 10 z - 8 = 0$ . Varianta a) ar da $4 x - 6 y + 10 z - 16 = 0$ , iar b), înmulțită cu $- 2$ , dă $4 x - 6 y + 10 z + 8 = 0$ . În d) au fost înmulțiți cu $2$ numai coeficienții necunoscutelor, iar termenul liber a rămas neschimbat, deci raportul se rupe: toate trei sunt plane paralele cu cel dat, nu el însuși.
Scrie ecuația planului care trece prin $P (1, 4, - 1)$ și este paralel cu $α : 5 x - 2 y + 7 z + 3 = 0$ .
- a) $5 x - 2 y + 7 z + 10 = 0$
- b) $5 x - 2 y + 7 z - 10 = 0$
- c) $5 x - 2 y + 7 z + 3 = 0$
- d) $x + 4 y - z + 10 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5 x - 2 y + 7 z + 10 = 0$

Paralelismul păstrează tripletul, deci planul căutat are forma $5 x - 2 y + 7 z + d = 0$ . Condiția $P \in π$ dă $5 - 8 - 7 + d = 0$ , adică $d = 10$ . Variantele b) și c) nu conțin punctul: $5 - 8 - 7 - 10 = - 20$ și $5 - 8 - 7 + 3 = - 7$ . Varianta d) folosește coordonatele punctului drept coeficienți, ceea ce schimbă direcția planului.

Întrebări conexe

Cum aflu de ce parte a unui plan se află un punct?

Înlocuiești coordonatele în membrul stâng și te uiți la semn. Pentru $x + y + z - 6 = 0$ , punctul $A (1, 1, 1)$ dă $- 3$ , iar $B (4, 2, 3)$ dă $3$ . Semnele diferă, deci $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a planului, iar segmentul $A B$ îl traversează.

Când trece un plan prin originea reperului?

Exact când termenul liber $d$ este zero, fiindcă originea dă în ecuație doar $d$ . Planul $2 x - y + 5 z = 0$ conține originea. La $3 x + y - z + m - 2 = 0$ , originea este în plan numai pentru $m = 2$ .

Ce volum închide un plan cu planele de coordonate?

Tăieturile cu axele și originea formează un tetraedru cu trei muchii perpendiculare. Pentru $3 x - 4 y + 6 z - 24 = 0$ , tăieturile sunt la $8$ , $- 6$ și $4$ , deci volumul este $\frac{∣ 8 \cdot ( - 6 ) \cdot 4 ∣}{6} = \frac{192}{6} = 32$ unități cubice.

Cum scriu ecuația planului printr-un punct, cu vectorul normal dat?

Folosești forma $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ . Pentru vectorul normal $(2, - 1, 3)$ și punctul $(1, 0, 4)$ se obține $2 (x - 1) - y + 3 (z - 4) = 0$ , adică $2 x - y + 3 z - 14 = 0$ . Verificare: $2 - 0 + 12 - 14 = 0$ . Coeficienții lui $x$ , $y$ , $z$ din ecuația obținută sunt chiar componentele vectorului normal, ceea ce oferă un control imediat.

De ce suprafețele echipotențiale ale unui câmp electric uniform sunt plane?

Într-un câmp uniform $E = (E_{1}, E_{2}, E_{3})$ potențialul este $V = V_{0} - E_{1} x - E_{2} y - E_{3} z$ . Condiția $V = constant$ devine $E_{1} x + E_{2} y + E_{3} z = constant$ , o ecuație de gradul întâi, deci un plan, cu vectorul normal pe direcția câmpului.

Oamenii mai întreabă și: intersecția planului cu axele · tăieturile planului cu axele de coordonate · unde intersectează planul axa Ox · punctele în care planul întâlnește axele