Ecuația generală a planului (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

O foaie subțire de cristal crescută pe un suport de laborator, suprafața liniștită a unui lichid dintr-un vas înclinat, masa de lucru pe care stă balanța — toate sunt, la scara la care le privim, suprafețe plane. Geometria analitică în spațiu, capitolul de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2), spune despre astfel de suprafețe un lucru surprinzător de simplu: fiecare dintre ele se descrie printr-o singură egalitate de gradul întâi între cele trei coordonate ale punctelor sale. Egalitatea aceasta se numește ecuația planului, iar tema se dă la Bacalaureatul M2 din 2030 (proba MAT_P2), în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Merită spus de la început, cinstit, cui i se adresează lecția. Geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025; ea ajunge efectiv la clasă în anul școlar 2029–2030, când programa nouă ajunge la clasa a XII-a. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte — pentru ei, capitolul de geometrie al examenului rămâne cel din plan. Dacă însă ești în prima promoție care învață după programa nouă, lecția de față este chiar începutul părții de geometrie a probei de matematică — proba pe care o dai dacă alegi matematica la examen.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști ecuația generală a unui plan, $a x + b y + cz + d = 0$ , și să explici de ce coeficienții $a$ , $b$ , $c$ nu pot fi toți nuli.
Vei ști să verifici dacă un punct aparține unui plan, înlocuind coordonatele lui în ecuație.
Vei ști să citești din ecuație tripletul $(a, b, c)$ — numit vectorul normal al planului — și să-l folosești pentru a compara direcțiile a două plane.
Vei ști să recunoști dintr-o privire planele așezate special față de repere: cele de coordonate, cele care trec prin origine și cele cărora le lipsește o variabilă.
Vei ști să afli punctele în care un plan taie axele și să folosești rezultatul într-un desen sau într-un calcul de volum.
Vei ști să scrii ecuația unui plan paralel cu un plan dat, care trece printr-un punct precizat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este ecuația generală a planului?

Începe de la ceva cunoscut. În planul cartezian, o dreaptă oblică se scrie $y = m x + n$ ; dacă muți totul în aceeași parte, obții $m x - y + n = 0$ . O dreaptă verticală se scrie $x = k$ , adică $x - k = 0$ . În ambele cazuri ai aceeași formă: o sumă în care $x$ și $y$ apar la puterea întâi, înmulțite cu niște numere, plus un termen liber, totul egal cu zero. Forma aceasta, $a x + b y + c = 0$ , cu $a$ și $b$ nu amândoi nuli, cuprinde toate dreptele din plan, fără excepție, și e motivul pentru care i se spune ecuația generală a dreptei.

Acum trecem în spațiu. Un punct din spațiu are trei coordonate — vezi Reperul cartezian Oxyz: coordonatele unui punct în spațiu —, deci e firesc ca într-o ecuație să apară trei litere, nu două. Rezultatul e exact analogul dreptei:

$a x + b y + cz + d = 0$

Ecuația generală a planului este egalitatea de forma $a x + b y + cz + d = 0$ , în care $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt numere reale, iar $a$ , $b$ , $c$ nu sunt toate nule; un punct $M (x, y, z)$ aparține planului exact atunci când coordonatele lui verifică această egalitate. Citește forma cu atenție: fiecare necunoscută apare o singură dată, la puterea întâi și înmulțită doar cu un număr — niciodată cu o altă necunoscută.

Condiția $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ nu e un moft. Dacă $a = b = c = 0$ , ecuația devine $d = 0$ : pentru $d \neq = 0$ nu o verifică niciun punct din spațiu, iar pentru $d = 0$ o verifică toate punctele. Nici mulțimea vidă, nici tot spațiul nu sunt plane, așa că situația trebuie exclusă din start.

Mai reține un lucru esențial: un plan nu are o singură ecuație. Dacă înmulțești toată egalitatea cu un număr $k \neq = 0$ , mulțimea soluțiilor rămâne neschimbată, fiindcă $E = 0$ și $k E = 0$ sunt condiții echivalente pentru orice expresie $E$ . Astfel, $2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ și $4 x + 6 y + 12 z - 24 = 0$ descriu același plan, deși coeficienții diferă. De obicei alegem varianta cu coeficienți întregi cât mai mici, cu primul coeficient nenul pozitiv; când compari răspunsul tău cu cel din rezolvare și nu arată la fel, prima verificare pe care trebuie s-o faci este dacă nu cumva una dintre ecuații este un multiplu al celeilalte.

Observă și cât de economică e forma aceasta. Ca să descrii un plan — o mulțime infinită de puncte, care se întinde nemărginit în două direcții — îți ajung patru numere, iar dintre cele patru doar trei sunt independente: împărțind egalitatea la un coeficient nenul, unul dintre ele devine $1$ . Toată lecția de față se reduce, de fapt, la a citi și a scrie corect aceste patru numere.

2. De ce este mulțimea soluțiilor chiar un plan?

Întrebarea e legitimă: de unde știm că mulțimea punctelor care verifică $a x + b y + cz + d = 0$ e chiar un plan, și nu altceva? Răspunsul stă în condiția de coplanaritate a patru puncte, tratată pe larg la Condiția de coplanaritate a patru puncte: punctele $M$ , $A$ , $B$ , $C$ sunt coplanare exact atunci când determinantul de ordinul patru format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ este nul:

$det x x_{A} x_{B} x_{C} y y_{A} y_{B} y_{C} z z_{A} z_{B} z_{C} 1111 = 0$

Fixează trei puncte necoliniare $A$ , $B$ , $C$ și lasă $M (x, y, z)$ liber. Condiția de mai sus descrie atunci exact planul determinat de $A$ , $B$ , $C$ . Dezvoltă determinantul după prima linie: fiecare dintre $x$ , $y$ , $z$ se înmulțește cu un determinant de ordinul trei format din numere fixe, iar ultimul termen e tot un număr. Ce rămâne este o egalitate de gradul întâi în $x$ , $y$ , $z$ — adică exact forma $a x + b y + cz + d = 0$ .

Verifică pe un caz concret, cu $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 3)$ . Dezvoltarea dă $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ . Controlul e imediat: pentru $A$ avem $6 \cdot 1 - 6 = 0$ , pentru $B$ avem $3 \cdot 2 - 6 = 0$ , pentru $C$ avem $2 \cdot 3 - 6 = 0$ . Punctul $E (2, - 2, 0)$ verifică și el ecuația, $12 - 6 - 6 = 0$ , deci se află în același plan; punctul $D (1, 1, 1)$ dă $6 + 3 + 2 - 6 = 5 \neq = 0$ , deci nu.

Atenție la o condiție care pare un amănunt și nu este: punctele $A$ , $B$ , $C$ trebuie să fie necoliniare. Dacă sunt pe aceeași dreaptă, prin ele trec o infinitate de plane — gândește-te la o ușă care se rotește în jurul balamalelor — iar determinantul se anulează pentru orice punct $M$ , deci condiția nu mai selectează nimic. Este exact motivul pentru care enunțurile cer „trei puncte necoliniare", nu doar „trei puncte".

Reține concluzia, nu calculul: ecuația unui plan este întotdeauna de gradul întâi, iar reciproc, orice ecuație de gradul întâi în trei necunoscute descrie un plan. Tehnica propriu-zisă de a scrie ecuația când ți se dau trei puncte o vei găsi în lecția următoare, Planul determinat de trei puncte necoliniare; aici ne interesează doar forma rezultatului.

3. Ce spune tripletul $(a, b, c)$ al coeficienților?

Coeficienții $a$ , $b$ , $c$ nu sunt numere oarecare: ei hotărăsc cum stă planul, iar termenul liber $d$ hotărăște doar unde este așezat. Tripletul $(a, b, c)$ poartă numele de vectorul normal al planului, pentru că indică direcția perpendiculară pe plan.

O precizare de onestitate, importantă la profilul științe ale naturii: calculul vectorial — adunarea vectorilor, produsul scalar, produsul vectorial — nu face parte din programa nouă de la științe ale naturii. Dacă te pregătești pentru Bacalaureatul M2 din 2027–2029, îi întâlnești în suplimentul clasei a IX-a; aici, însă, nu avem nevoie de ei. De aceea folosim tripletul $(a, b, c)$ strict ca pe un indicator de direcție citit din ecuație, nu ca pe un obiect cu operații proprii. Numele „vector normal" îl vei întâlni în orice culegere și în orice discuție despre plane, așa că merită știut; tot ce facem cu el aici se reduce la comparat triplete.

Că tripletul chiar arată direcția perpendiculară se vede cel mai bine pe planele de coordonate. Planul $x O y$ are ecuația $z = 0$ , adică $0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + 0 = 0$ , deci tripletul $(0, 0, 1)$ — exact direcția axei $O z$ , care este perpendiculară pe $x O y$ . La fel, planul $x O z$ are ecuația $y = 0$ și tripletul $(0, 1, 0)$ , direcția lui $O y$ ; planul $y O z$ are ecuația $x = 0$ și tripletul $(1, 0, 0)$ , direcția lui $O x$ .

Cât despre termenul liber, rolul lui e de a translata planul. Dacă în $2 x + 3 y + 6 z + d = 0$ plimbi pe $d$ prin toate valorile reale, obții o familie întreagă de plane, toate paralele între ele, care umplu spațiul fără să se intersecteze vreodată: pentru $d = - 12$ planul trece prin $A (6, 0, 0)$ , iar pentru $d = 0$ trece prin origine. Direcția e dată de $(a, b, c)$ , poziția de $d$ — merită reținut ca o pereche.

De aici iese regula pe care o vei folosi cel mai des: două plane ale căror triplete sunt proporționale au aceeași direcție, deci sunt paralele sau coincid. Planele $2 x - y + z - 1 = 0$ și $4 x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ au tripletele $(2, - 1, 1)$ și $(4, - 2, 2)$ , al doilea fiind dublul primului: sunt paralele. Dacă și termenii liberi respectă aceeași proporție, ca la $2 x - y + z - 1 = 0$ și $4 x - 2 y + 2 z - 2 = 0$ , atunci nu sunt două plane, ci unul singur scris în două feluri. Studiul complet al pozițiilor relative îl vei face la Pozițiile relative a două plane.

4. Cum verifici dacă un punct aparține unui plan?

Aici procedeul e scurt și nu are variante: înlocuiești coordonatele punctului în ecuație și te uiți dacă obții zero. Dacă da, punctul e în plan; dacă nu, nu e.

Ia planul $π : 2 x - y + 3 z - 7 = 0$ și punctele $M (1, 1, 2)$ , $N (2, 0, 1)$ și $Q (1, 0, 1)$ . Pentru $M$ : $2 \cdot 1 - 1 + 3 \cdot 2 - 7 = 2 - 1 + 6 - 7 = 0$ , deci $M \in π$ . Pentru $N$ : $4 - 0 + 3 - 7 = 0$ , deci $N \in π$ . Pentru $Q$ : $2 - 0 + 3 - 7 = - 2 \neq = 0$ , deci $Q \in / π$ .

Numărul obținut la înlocuire nu e doar „zero sau nu". Semnul lui spune de care parte a planului se află punctul: două puncte dau valori de același semn dacă sunt de aceeași parte și de semne contrare dacă planul le desparte. Pentru planul $2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ , punctul $(1, 1, 1)$ dă $- 1$ , iar punctul $(2, 1, 1)$ dă $1$ : segmentul care le unește traversează planul. Motivul e simplu: mergând pe segmentul dintre cele două puncte, valoarea se schimbă fără salturi, așa că, pentru a trece de la minus la plus, trebuie să treacă prin zero — adică prin plan.

Același procedeu, citit invers, rezolvă cerințele cu parametru. Dacă ți se cere valoarea lui $m$ pentru care $M (m, 1, 2)$ aparține planului $π$ de mai sus, scrii condiția $2 m - 1 + 6 - 7 = 0$ , adică $2 m - 2 = 0$ , de unde $m = 1$ .

5. Cum recunoști planele particulare din ecuație?

Când unii coeficienți sunt nuli, planul stă într-o poziție specială față de repere, iar ecuația o trădează imediat. Iată citirile de reținut:

$z = 0$ este planul $x O y$ ; $y = 0$ este planul $x O z$ ; $x = 0$ este planul $y O z$ .
$z = h$ (cu $h \neq = 0$ ) este un plan paralel cu $x O y$ , situat la înălțimea $h$ ; analog $y = h$ față de $x O z$ și $x = h$ față de $y O z$ .
Când lipsește o singură variabilă, planul este paralel cu axa acelei variabile sau o conține: o conține exact când și termenul liber este nul. De pildă $3 x + 2 y - 6 = 0$ nu conține $z$ și are $d = - 6 \neq = 0$ — oricât ai urca sau coborî, condiția rămâne aceeași, deci planul este paralel cu axa $O z$ ; în schimb $3 x + 2 y = 0$ , care are $d = 0$ , trece prin axa $O z$ , fiindcă orice punct $(0, 0, t)$ îl verifică.
Când $d = 0$ , planul trece prin origine, fiindcă $O (0, 0, 0)$ verifică ecuația. Așa se explică de ce $x + y + z = 0$ trece prin origine, iar $x + y + z - 3 = 0$ nu.

Aceste citiri se rezolvă în două rânduri, fără calcul lung; le vei relua sistematic, cu toate cazurile, la Plane particulare: planele de coordonate și planele paralele cu axele.

6. Unde taie planul axele de coordonate?

Un punct de pe axa $O x$ are $y = 0$ și $z = 0$ . Deci, pentru a afla unde taie planul axa $O x$ , pui $y = 0$ și $z = 0$ în ecuație și rezolvi ecuația rămasă în $x$ ; analog pentru celelalte două axe. E același reflex pe care l-ai folosit în plan la intersecțiile unei drepte cu axele, doar că acum anulezi două coordonate, nu una.

Pentru planul $α : 2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ obții: pe $O x$ , $2 x - 12 = 0$ , deci $A (6, 0, 0)$ ; pe $O y$ , $3 y - 12 = 0$ , deci $B (0, 4, 0)$ ; pe $O z$ , $6 z - 12 = 0$ , deci $C (0, 0, 2)$ . Cele trei puncte dau imediat un desen corect al planului: triunghiul $A B C$ este „urma" lui pe colțul reperului.

Desenul se leagă direct de lecția anterioară. Tetraedrul $O A B C$ are vârfurile în origine și în cele trei tăieturi, iar volumul lui, calculat cu formula de la Volumul tetraedrului, este $8$ . Reține și cazul special: dacă un coeficient este nul, planul nu taie axa respectivă într-un singur punct — e paralel cu ea când $d \neq = 0$ și o conține în întregime când $d = 0$ . Astfel, $3 x + 2 y - 6 = 0$ taie doar $O x$ în $(2, 0, 0)$ și $O y$ în $(0, 3, 0)$ .

7. La ce folosește ecuația unui plan într-un model?

Prima situație e cea fizică. O placă plană dintr-un montaj de laborator se descrie prin ecuația ei; atunci întrebarea „senzorul atinge placa?" devine calculul unui număr, iar întrebarea „de care parte a plăcii e sursa?" devine citirea unui semn. Pentru placa $2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ , un senzor așezat în $(3, 2, 0)$ dă zero — e chiar pe placă; unul în $(3, 2, 1)$ dă $6$ , deci e de partea opusă originii, fiindcă originea dă $- 12$ .

A doua situație e cea chimică și e poate mai surprinzătoare. Prepari un amestec de $100$ de grame din trei componente, în cantitățile $x$ , $y$ , $z$ . Condiția de bilanț se scrie $x + y + z - 100 = 0$ — o ecuație de gradul întâi în trei necunoscute, adică ecuația unui plan. Toate rețetele posibile ale amestecului sunt puncte ale unui singur plan din spațiu, iar amestecul $(50, 30, 20)$ este pe el, în timp ce $(50, 30, 30)$ nu este, pentru că însumează $110$ grame. Un tabel de date cu trei mărimi legate liniar între ele „locuiește", geometric vorbind, într-un plan — de aceea ecuația planului apare în chimie, în biologie și în economie mult mai des decât te-ai aștepta.

Merită încercată și lectura inversă, pentru că de acolo vine adevărata putere a metodei. Dacă ai un tabel cu trei coloane de măsurători și constați că toate liniile lui verifică aceeași egalitate de forma $a x + b y + cz + d = 0$ , atunci ai descoperit o lege liniară care leagă cele trei mărimi, iar tripletul $(a, b, c)$ îți spune în ce raport intră ele în acea lege. Dacă, dimpotrivă, o linie nu verifică egalitatea, fie măsurătoarea are o eroare, fie legea nu e completă. Geometria devine astfel un instrument de control al datelor, nu doar un capitol de desen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Apartenența unui punct la un plan

Se dă planul $σ : x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ . Stabilește care dintre punctele $M (3, 0, 0)$ , $N (- 1, 2, 2)$ , $P (5, - 1, - 1)$ și $Q (2, 1, 2)$ aparțin lui $σ$ .

Rezolvare. Înlocuim pe rând. Pentru $M$ : $3 + 0 - 0 - 3 = 0$ , deci $M \in σ$ . Pentru $N$ : $- 1 + 8 - 4 - 3 = 0$ , deci $N \in σ$ . Pentru $P$ : $5 - 4 + 2 - 3 = 0$ , deci $P \in σ$ . Pentru $Q$ : $2 + 4 - 4 - 3 = - 1 \neq = 0$ , deci $Q \in / σ$ . Trei dintre cele patru puncte sunt în plan, al patrulea nu; observă că lui $M$ îi ajunge prima coordonată, fiindcă celelalte două sunt nule.

Exemplul 2 — Determinarea unui parametru

Determină numărul real $m$ pentru care punctul $M (2, m, 1)$ aparține planului $x + 3 y - z - 7 = 0$ .

Rezolvare. Punem condiția de apartenență: $2 + 3 m - 1 - 7 = 0$ , adică $3 m - 6 = 0$ , de unde $m = 2$ . Verificare: pentru $m = 2$ , punctul este $M (2, 2, 1)$ și într-adevăr $2 + 6 - 1 - 7 = 0$ .

Exemplul 3 — Citirea planelor particulare

Descrie poziția față de repere a planelor $y + 11 = 0$ , $5 x - 2 z + 10 = 0$ și $2 x - 3 y + z = 0$ .

Rezolvare. Primul are tripletul $(0, 1, 0)$ și lipsesc $x$ și $z$ : e paralel cu planul $x O z$ și taie axa $O y$ în $(0, - 11, 0)$ . Al doilea nu conține $y$ și are $d = 10 \neq = 0$ : e paralel cu axa $O y$ ; taie $O x$ în $(- 2, 0, 0)$ și $O z$ în $(0, 0, 5)$ . Al treilea are $d = 0$ , deci trece prin origine, iar tripletul $(2, - 3, 1)$ , cu toate componentele nenule, arată că nu este paralel cu nicio axă.

Exemplul 4 — Tăieturile cu axele

Află punctele în care planul $2 x + y + 4 z - 8 = 0$ taie axele de coordonate.

Rezolvare. Pe $O x$ punem $y = z = 0$ : $2 x - 8 = 0$ , deci $(4, 0, 0)$ . Pe $O y$ punem $x = z = 0$ : $y - 8 = 0$ , deci $(0, 8, 0)$ . Pe $O z$ punem $x = y = 0$ : $4 z - 8 = 0$ , deci $(0, 0, 2)$ . Toate trei se verifică imediat prin înlocuire în ecuația inițială.

Exemplul 5 — Un plan paralel cu un plan dat

Scrie ecuația planului care trece prin $P (2, 1, - 1)$ și este paralel cu $α : 2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ .

Rezolvare. Paralelismul înseamnă același triplet de coeficienți, deci planul căutat are ecuația $2 x + 3 y + 6 z + d = 0$ , cu $d$ necunoscut. Punem condiția ca $P$ să îi aparțină: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot (- 1) + d = 0$ , adică $4 + 3 - 6 + d = 0$ , de unde $d = - 1$ . Planul este $2 x + 3 y + 6 z - 1 = 0$ . Cum $d$ diferă de cel al lui $α$ , cele două plane sunt într-adevăr distincte, deci paralele, nu suprapuse. Restul situațiilor în care se pot afla două plane — secante, cu dreaptă comună — se tratează la Pozițiile relative a două plane.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră planul $γ : 5 x + 2 y + 4 z - 20 = 0$ și punctele $M (2, 5, 0)$ , $N (0, 2, 4)$ , $Q (1, 2, 3)$ .

a) Arată că $M$ și $N$ aparțin planului $γ$ , iar $Q$ nu îi aparține.

b) Determină punctele în care planul $γ$ taie axele $O x$ și $O y$ .

c) Scrie ecuația planului $δ$ care trece prin $R (1, 0, 2)$ și este paralel cu $γ$ .

Rezolvare. a) Pentru $M$ : $5 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 0 - 20 = 10 + 10 - 20 = 0$ , deci $M \in γ$ . Pentru $N$ : $0 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 20 = 4 + 16 - 20 = 0$ , deci $N \in γ$ . Pentru $Q$ : $5 + 4 + 12 - 20 = 1 \neq = 0$ , deci $Q \in / γ$ .

b) Pe $O x$ punem $y = z = 0$ și obținem $5 x - 20 = 0$ , deci $(4, 0, 0)$ . Pe $O y$ punem $x = z = 0$ și obținem $2 y - 20 = 0$ , deci $(0, 10, 0)$ .

c) Planul $δ$ are aceleași $a$ , $b$ , $c$ , deci $δ : 5 x + 2 y + 4 z + d = 0$ . Din condiția $R \in δ$ : $5 + 0 + 8 + d = 0$ , deci $d = - 13$ și $δ : 5 x + 2 y + 4 z - 13 = 0$ .

Să exersăm

1. Verifică dacă punctul $A (1, 2, 1)$ aparține planului $x + 2 y - 3 z - 2 = 0$ .

2. Verifică dacă punctul $B (2, - 1, 3)$ aparține planului $3 x + y - z - 2 = 0$ .

3. Care dintre egalitățile următoare este ecuația unui plan: $7 x - y + 2 z - 1 = 0$ , $x z + y - 4 = 0$ , $x + y = z^{2}$ ? Motivează.

4. Scrie tripletul $(a, b, c)$ pentru planele $4 x - y + 2 z - 3 = 0$ , $z - 5 = 0$ și $5 x - 3 z = 0$ .

5. Află punctele în care planul $4 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$ taie axele de coordonate.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Planul $7 x - 2 y + z = 0$ trece prin originea reperului și conține punctul $N (1, 3, - 1)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctul $M (2, - 1, 4)$ verifică atât ecuația $5 x + 3 y - 2 z + 1 = 0$ , cât și ecuația $x - 4 y + 3 z - 18 = 0$ ; prin urmare, cele două ecuații descriu același plan.

8. Determină $m$ real astfel încât punctul $M (1, m, - 2)$ să aparțină planului $2 x - y + z + 3 = 0$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie ecuația planului care trece prin $P (1, 2, 3)$ și este paralel cu planul $2 x - y + z - 5 = 0$ .

10. Ce reprezintă, față de repere, planele $z - 9 = 0$ și $5 x - 8 y - 40 = 0$ ?

11. Determină $d$ real astfel încât planul $3 x - 2 y + z + d = 0$ să conțină punctul $A (1, 1, 1)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $x + 2 y + 2 z - 6 = 0$ . a) Arată că $A (2, 2, 0)$ îi aparține. b) Află tăieturile lui cu axele. c) Scrie ecuația planului paralel cu el care trece prin $B (1, 1, 1)$ .

13. Află tăieturile cu axele ale planului $3 x - 2 y + z - 6 = 0$ și spune care dintre ele are coordonată negativă.

14. (Problemă aplicată.) Trei rezistoare dintr-un circuit disipă puterile $x$ , $y$ și $z$ , în wați, iar puterea totală măsurată este de $60$ de wați. Scrie ecuația planului care descrie toate repartițiile posibile, verifică dacă repartițiile $(25, 20, 15)$ și $(25, 20, 10)$ îl respectă și spune ce condiție cerută de fizică nu se citește din ecuație.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Egalitățile $3 x - y + 2 z - 4 = 0$ și $- 9 x + 3 y - 6 z + 12 = 0$ descriu același plan.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0$ . a) Află punctele $A$ , $B$ , $C$ în care taie axele $O x$ , $O y$ , $O z$ . b) Calculează volumul tetraedrului $O A B C$ .

17. Determină $a$ real astfel încât punctul $M (1, - 1, 2)$ să aparțină planului $a x + 2 y - z + 4 = 0$ și precizează apoi cu ce axă este paralel planul obținut.

18. (Provocare.) Determină $m$ real pentru care planele $m x - 3 y + z + 1 = 0$ și $8 x + 6 y - 2 z + 5 = 0$ sunt paralele și distincte.

Răspunsuri și explicații

1. Da: $1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 - 2 = 1 + 4 - 3 - 2 = 0$ .

2. Da: $3 \cdot 2 + (- 1) - 3 - 2 = 6 - 1 - 3 - 2 = 0$ .

3. Doar $7 x - y + 2 z - 1 = 0$ . A doua nu e de gradul întâi: $x z$ este un produs de două necunoscute. A treia se scrie $x + y - z^{2} = 0$ și are pe $z$ la pătrat. Regula de control: în ecuația unui plan fiecare necunoscută apare o singură dată, la puterea întâi și înmulțită doar cu un număr.

4. Respectiv $(4, - 1, 2)$ , $(0, 0, 1)$ și $(5, 0, - 3)$ . Observă al treilea plan: îi lipsește $y$ și are $d = 0$ , deci nu e paralel cu axa $O y$ , ci o conține — orice punct $(0, t, 0)$ îl verifică.

5. $(3, 0, 0)$ pe $O x$ , $(0, 4, 0)$ pe $O y$ , $(0, 0, 6)$ pe $O z$ ; fiecare se obține anulând celelalte două coordonate.

6. Adevărat: termenul liber este $d = 0$ , deci $O (0, 0, 0)$ verifică ecuația, iar pentru $N$ obținem $7 - 6 - 1 = 0$ .

7. Fals: două ecuații descriu același plan doar dacă toate patru numerele $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ale uneia sunt proporționale cu ale celeilalte, iar aici nici măcar tripletele nu sunt: din $(5, 3, - 2)$ spre $(1, - 4, 3)$ , prima coordonată ar cere raportul $\frac{1}{5}$ , însă $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \neq = - 4$ . Punctul chiar aparține amândurora — $10 - 3 - 8 + 1 = 0$ și $2 + 4 + 12 - 18 = 0$ —, dar un punct comun arată doar că cele două plane se taie.

8. $2 - m - 2 + 3 = 0$ , adică $3 - m = 0$ , deci $m = 3$ .

9. Planul are forma $2 x - y + z + d = 0$ ; din $2 - 2 + 3 + d = 0$ rezultă $d = - 3$ , deci $2 x - y + z - 3 = 0$ .

10. $z - 9 = 0$ este planul paralel cu $x O y$ care taie axa $O z$ în $(0, 0, 9)$ . La $5 x - 8 y - 40 = 0$ lipsește $z$ , iar $d = - 40 \neq = 0$ : e paralel cu axa $O z$ și taie $O x$ în $(8, 0, 0)$ , $O y$ în $(0, - 5, 0)$ .

11. $3 - 2 + 1 + d = 0$ , deci $d = - 2$ .

12. a) $2 + 4 + 0 - 6 = 0$ , deci $A$ aparține planului. b) $(6, 0, 0)$ , $(0, 3, 0)$ , $(0, 0, 3)$ . c) Forma este $x + 2 y + 2 z + d = 0$ ; din $1 + 2 + 2 + d = 0$ rezultă $d = - 5$ , deci $x + 2 y + 2 z - 5 = 0$ .

13. $(2, 0, 0)$ , $(0, - 3, 0)$ și $(0, 0, 6)$ ; tăietura cu $O y$ are coordonata negativă, deci planul taie semiaxa negativă a lui $O y$ .

14. Ecuația este $x + y + z - 60 = 0$ . Prima repartiție o verifică: $25 + 20 + 15 - 60 = 0$ . A doua nu: $25 + 20 + 10 - 60 = - 5 \neq = 0$ , puterile însumează doar $55$ de wați. Condiția nescrisă în ecuație este $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $z \geq 0$ : fizic au sens doar punctele planului cu toate coordonatele nenegative, adică o porțiune triunghiulară din el, nu planul întreg.

15. Adevărat: a doua egalitate este prima înmulțită cu $- 3$ , iar înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă mulțimea soluțiilor. Tripletele $(3, - 1, 2)$ și $(- 9, 3, - 6)$ sunt proporționale, cu același raport ca termenii liberi, $- 4$ și $12$ .

16. a) Anulând pe rând câte două coordonate obținem $3 x - 12 = 0$ , deci $A (4, 0, 0)$ ; $2 y - 12 = 0$ , deci $B (0, 6, 0)$ ; $4 z - 12 = 0$ , deci $C (0, 0, 3)$ . b) Tetraedrul $O A B C$ are volumul $12$ , calculat cu formula de la lecția despre volumul tetraedrului; muchiile lui pornite din origine măsoară $4$ , $6$ și $3$ .

17. Condiția dă $a - 2 - 2 + 4 = 0$ , deci $a = 0$ . Planul devine $2 y - z + 4 = 0$ , în care lipsește $x$ ; cum termenul liber este $4 \neq = 0$ , planul este paralel cu axa $O x$ , fără să o conțină.

18. Tripletele trebuie să fie proporționale: din $- 3 = k \cdot 6$ obținem $k = - \frac{1}{2}$ , iar $1 = k \cdot (- 2)$ se verifică. Atunci $m = k \cdot 8 = - 4$ . Termenii liberi nu respectă raportul, fiindcă $k \cdot 5 = - 2, 5 \neq = 1$ , deci planele sunt paralele și distincte. Răspuns: $m = - 4$ .

De reținut

Ecuația generală a planului este $a x + b y + cz + d = 0$ , cu $a$ , $b$ , $c$ nu toate nule; orice ecuație de gradul întâi în trei necunoscute descrie un plan.
Un punct aparține unui plan exact atunci când coordonatele lui, înlocuite în ecuație, dau zero.
Tripletul $(a, b, c)$ , numit vectorul normal al planului, arată direcția perpendiculară pe plan și hotărăște cum stă planul; termenul liber $d$ hotărăște doar unde este așezat.
Două plane cu triplete proporționale sunt paralele sau coincid; coincid exact când și termenii liberi respectă aceeași proporție.
Tăieturile cu axele se află anulând celelalte două coordonate, iar un coeficient nul înseamnă că planul este paralel cu axa variabilei lipsă — sau o conține, când și $d = 0$ .

Greșeli frecvente

Confuzia dintre plan și dreaptă. $a x + b y + c = 0$ este o dreaptă în planul cartezian, dar în spațiu aceeași scriere, $a x + b y + d = 0$ (cu $a$ , $b$ nu amândoi nuli), este un plan paralel cu axa $O z$ — sau care o conține, dacă $d = 0$ . Contează întotdeauna în ce reper lucrezi.
Uitarea condiției $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ . Fără ea, „ecuația" $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 5 = 0$ ar trece drept plan, deși nu o verifică niciun punct din spațiu.
Credința că un plan are o singură ecuație. Înmulțirea cu orice număr nenul dă aceeași mulțime de puncte; două ecuații care arată diferit pot descrie același plan, așa că, înainte de a-ți declara răspunsul greșit, verifică dacă nu cumva este un multiplu al celui din rezolvare.
Confundarea paralelismului cu identitatea. Triplete proporționale nu înseamnă automat plane distincte: trebuie verificat și termenul liber, altfel „cele două plane paralele" sunt de fapt unul singur.
Folosirea a trei puncte coliniare. Dacă $A$ , $B$ , $C$ sunt pe aceeași dreaptă, determinantul se anulează pentru orice punct $M$ — obții $0 = 0$ , o identitate, nu o ecuație. Semnul că ai greșit e tocmai acesta: toți coeficienții ies nuli. Verifică necoliniaritatea înainte, nu după.

Aplică acasă

Ia o cutie de carton și așaz-o într-un colț de cameră, sprijinită pe podea și pe doi pereți. Alege colțul camerei ca origine și muchiile ca axe, măsoară în centimetri și scrie ecuațiile celor trei plane pe care le atinge cutia, precum și ale celor trei fețe opuse lor; observă că fiecare dintre cele șase ecuații are doi coeficienți nuli și că doar trei dintre ele au termenul liber zero.
Alege planul $2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0$ și găsește cinci puncte cu coordonate întregi care îi aparțin, apoi două care nu îi aparțin. Notează, pentru fiecare punct din afară, semnul valorii obținute la înlocuire și grupează punctele pe cele două părți ale planului. Încearcă apoi să găsești un punct cu toate coordonatele pozitive care să dea o valoare negativă.
Caută în manualul de chimie sau de biologie o relație liniară între trei mărimi — un bilanț de masă, o sumă de concentrații, o repartiție procentuală. Scrie-o sub forma $a x + b y + cz + d = 0$ , citește-i tripletul de coeficienți, verifică dacă planul obținut trece prin origine și spune dacă este paralel cu vreuna dintre axe.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște forma $a x + b y + cz + d = 0$ și condiția asupra coeficienților, dacă decide corect apartenența unui punct printr-o simplă înlocuire și dacă citește din ecuație poziția planului față de axe. Sunt deprinderi scurte, dar care revin în problemele de geometrie analitică în spațiu, inclusiv în cele care par să ceară altceva.

Dificultatea reală a capitolului nu este calculul, care se reduce la înmulțiri și adunări, ci trecerea de la două dimensiuni la trei: elevul a lucrat patru ani cu perechi de coordonate și trebuie acum să accepte că o ecuație cu trei necunoscute nu mai descrie o dreaptă, ci o suprafață. Un desen făcut cu mâna, chiar stângaci, ajută mai mult decât zece exerciții în plus.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce înseamnă că un punct aparține unui plan?", „De ce $a$ , $b$ , $c$ nu pot fi toți nuli?", „Cum arată ecuația unui plan care trece prin origine?", „Ce se schimbă în ecuație dacă planul e paralel cu axa $O y$ ?". Semnele că a înțeles: nu mai desenează ca să decidă apartenența, ci calculează; observă singur că două ecuații proporționale dau același plan; și, pus în fața unui plan cu un coeficient nul, spune imediat cu ce axă este paralel — sau, când și termenul liber e nul, pe care axă o conține.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „Planul în reperul cartezian tridimensional Oxyz: ecuația generală a planului". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care este ecuația generală a planului?

Ecuația generală a planului în reperul cartezian $O x y z$ este $a x + b y + cz + d = 0$ , unde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt numere reale, iar $a$ , $b$ , $c$ nu sunt toate nule. Un punct aparține planului exact atunci când coordonatele lui verifică egalitatea. Orice ecuație de gradul întâi în trei necunoscute descrie un plan și, reciproc, orice plan are o astfel de ecuație.

Cum verifici dacă un punct aparține unui plan?

Înlocuiești coordonatele punctului în ecuația planului și calculezi. Dacă rezultatul este zero, punctul aparține planului; dacă nu, nu aparține. De exemplu, pentru planul $3 x + y - 2 z - 5 = 0$ și punctul $P (2, 1, 1)$ obții $6 + 1 - 2 - 5 = 0$ , deci $P$ este în plan, în timp ce $Q (1, 1, 1)$ dă $- 3$ și nu este. Semnul rezultatului, când nu e zero, arată de care parte a planului se află punctul.

Ce este vectorul normal al unui plan și cum îl citești din ecuație?

Vectorul normal al planului $a x + b y + cz + d = 0$ este tripletul coeficienților $(a, b, c)$ și indică direcția perpendiculară pe plan. Îl citești direct din ecuație, fără niciun calcul. Programa nouă de la științe ale naturii nu conține calcul vectorial, așa că tripletul se folosește doar pentru a compara direcțiile a două plane: triplete proporționale înseamnă plane paralele sau suprapuse.

De ce nu are un plan o singură ecuație?

Pentru că înmulțirea întregii egalități cu un număr nenul nu schimbă mulțimea soluțiilor: $E = 0$ și $k E = 0$ sunt condiții echivalente. Astfel, o ecuație și oricare dintre multiplii ei nenuli descriu același plan. De obicei alegem forma cu coeficienți întregi cât mai mici și cu primul coeficient nenul pozitiv, iar când răspunsul tău nu seamănă cu cel din rezolvare, prima verificare este dacă unul nu e multiplul celuilalt.

Se dă ecuația planului și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, capitolul de geometrie al clasei a XII-a este dedicat conicelor din plan — cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă — și nu conține nici reperul $O x y z$ , nici ecuația planului. Pentru comparație, ecuația dreptei în plan la mate-info (M1): Ecuația generală a dreptei.

La ce subiect apare ecuația planului la examen?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2; structura ei nu e încă publicată — exemplul 6 e construit. În modelul oficial al probei actuale de la științe ale naturii, geometria analitică din plan e o cerință scurtă, de cinci puncte, la Subiectul I; prima problemă a Subiectului al II-lea e cu matrice, a doua despre un polinom, fără sisteme sau structuri algebrice, deși programa de examen din 2014 le cere.

Cum scrii ecuația unui plan paralel cu un plan dat?

Păstrezi coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ai planului dat, pentru că paralelismul înseamnă aceeași direcție, și schimbi doar termenul liber. Scrii $a x + b y + cz + d = 0$ cu $d$ necunoscut, apoi pui condiția ca punctul prin care trebuie să treacă planul să verifice ecuația și afli $d$ . Dacă noul $d$ coincide cu cel inițial, planele sunt de fapt identice.