Vânătoarea rădăcinilor raționale: pe scurt

De la gradul al cincilea încolo nu există formulă generală prin radicali (Abel, 1824), așa că ecuațiile algebrice de grad mare se rezolvă altfel: prin restrângerea listei de candidați. Dacă ecuația $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ are coeficienți întregi, orice rădăcină întreagă divide termenul liber $a_0$ — se arată dând factor comun $x_0$ în egalitatea $f(x_0)=0$. Generalizarea, teorema rădăcinilor raționale, spune că orice rădăcină rațională $\frac{p}{q}$, scrisă ireductibil, verifică $p\mid a_0$ și $q\mid a_n$; demonstrația înlocuiește $x=\frac{p}{q}$, înmulțește cu $q^n$ și dă factor comun pe rând $p$, respectiv $q$. La ecuațiile monice ($a_n=1$) rezultă $q=\pm 1$, deci orice rădăcină rațională e de fapt întreagă.

Rețeta practică: scrii lista completă de candidați $\frac{p}{q}$ cu ambele semne, îi testezi cu schema lui Horner — care spune deodată dacă $c$ e rădăcină și dă direct câtul —, cobori gradul cu fiecare rădăcină găsită și repeți căutarea. Ajuns la gradul $2$, termini cu formula discriminantului, inclusiv rădăcini complexe dacă $\Delta <0$. Teorema spune doar unde pot fi rădăcinile raționale, nu că există: dacă niciun candidat nu verifică, ecuația nu are rădăcini raționale, dar poate avea rădăcini iraționale sau complexe — exact raționamentul care demonstrează, de exemplu, iraționalitatea lui $\sqrt{2}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care sunt soluțiile ecuației $x^3+4x^2-x-4=0$?

   • a) $\{-4,-1,1\}$
   • b) $\{-4,-1,-1\}$
   • c) $\{4,-1,1\}$
   • d) $\{-4,1,4\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\{-4,-1,1\}$

   Prin grupare: $x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)(x^2-1)=(x+4)(x-1)(x+1)$. Soluțiile sunt $-4,-1,1$.

2. Rezolvați ecuația $2x^3+5x^2-x-6=0$.

   • a) $\left\{1,2,\frac{3}{2}\right\}$
   • b) $\left\{1,-2,-\frac{3}{2}\right\}$
   • c) $\left\{1,-2,\frac{3}{2}\right\}$
   • d) $\left\{-1,2,\frac{3}{2}\right\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left\{1,-2,-\frac{3}{2}\right\}$

   Candidați: $p\mid 6$, $q\mid 2$. $f(1)=2+5-1-6=0$ ✓. Horner cu $c=1$ dă câtul $2x^2+7x+6$, cu $\Delta =49-48=1$, deci $x=-2$ sau $x=-\frac{3}{2}$. Soluții: $\left\{1,-2,-\frac{3}{2}\right\}$.

3. Ecuația $x^3+x^2-1=0$ are coeficienți întregi. Ce se poate spune despre rădăcinile ei raționale?

   • a) are rădăcina rațională $x=-1$
   • b) are rădăcina rațională $x=1$
   • c) nu are nicio rădăcină rațională, pentru că niciunul dintre candidații $\pm 1$ nu verifică ecuația
   • d) are exact trei rădăcini raționale
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu are nicio rădăcină rațională, pentru că niciunul dintre candidații $\pm 1$ nu verifică ecuația

   Ecuația e monică, deci candidații sunt divizorii lui $1$: $\pm 1$. $f(1)=1\ne 0$ și $f(-1)=-1\ne 0$. Niciun candidat nu verifică, deci nu există rădăcini raționale.