În mulțimea numerelor complexe, ecuația $$x^2=-15$$ are soluțiile:

nu are soluții în $$\mathbb{C}$$

Mulțimea soluțiilor în $$\mathbb{C}$$ a ecuației $$x^4-15x^2-54=0$$ este:

$$\{\pm3\sqrt2,\ \pm i\sqrt3\}$$

Ce soluții are ecuația x⁴+13x²+36=0?

Cu t=x²: t²+13t+36=0, cu t=-4 și t=-9. Ambele valori sunt negative, deci toate soluțiile sunt pur imaginare: x=± 2i și x=± 3i. Ecuația nu are nicio soluție reală, ceea ce se vede și din faptul că membrul stâng este cel puțin 36.

Care e produsul soluțiilor reale ale ecuației x⁴-10x²+9=0?

Cu t=x²: t²-10t+9=0, cu t=1 și t=9. Soluțiile reale sunt ± 1 și ± 3, iar produsul lor este 1·(-1)· 3·(-3)=9. Din relațiile lui Viète pentru t, produsul t₁t₂=9 dă direct același rezultat, pentru că ambele valori ale lui t sunt pozitive și toate cele patru soluții sunt reale.

Ce soluții complexe are o ecuație bipătrată?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Bipătrate: notezi t = x² și nu respingi nimic

Cu $t = x^{2}$ ecuația devine una de gradul al doilea în $t$ , iar în $C$ toate valorile lui $t$ se păstrează, și cele negative. Fiecare $t > 0$ dă două soluții reale opuse, $\pm t$ , iar fiecare $t < 0$ dă două soluții pur imaginare, $\pm i - t$ . Exemplu: $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ devine $t^{2} + 5 t - 36 = 0$ , cu $t = 4$ și $t = - 9$ . Soluțiile sunt $\pm 2$ și $\pm 3 i$ , deci patru în total.

O ecuație bipătrată are forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , cu coeficienți reali: necunoscuta apare doar la puterile a patra și a doua. Notând $t = x^{2}$ , ea devine trinomul $a t^{2} + b t + c = 0$ , cu aceiași coeficienți, pe care îl rezolvi cu formula sau prin descompunere. Rezolvarea nu se oprește la valorile lui $t$ : ele sunt valorile lui $x^{2}$ , iar fiecare dintre ele dă două valori ale lui $x$ .

Întoarcerea depinde de semn. O valoare pozitivă dă două soluții reale opuse, $\pm t$ ; o valoare negativă dă două soluții pur imaginare, $\pm i - t$ ; valoarea zero dă soluția $x = 0$ , dublă. Spre deosebire de notația $t = a^{x}$ de la ecuațiile exponențiale, unde valorile negative se respingeau, la rezolvarea în $C$ toate valorile lui $t$ se păstrează.

Numărul soluțiilor reale se poate afla înainte de calcul, din produsul $\frac{c}{a}$ și suma $- \frac{b}{a}$ ale valorilor lui $t$ . Un produs negativ înseamnă exact două soluții reale. Un produs pozitiv cu suma pozitivă înseamnă patru, iar cu suma negativă niciuna, dacă discriminantul în $t$ nu e negativ. În planul complex soluțiile stau pe axa reală și pe axa imaginară, simetric față de origine, ceea ce oferă o probă rapidă a calculului.

De reținut

$t = x^{2}$ transformă $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ în $a t^{2} + b t + c = 0$
$t > 0$ dă $\pm t$ , iar $t < 0$ dă $\pm i - t$
în $C$ se păstrează și valorile negative ale lui $t$

Greșeala tipică

Se respinge valoarea negativă a lui $t$ ca la ecuațiile exponențiale și se pierd două soluții; în $C$ , $t = - 9$ dă $x = \pm 3 i$ .

Exerciții din această mini-lecție

În mulțimea numerelor complexe, ecuația $x^{2} = - 15$ are soluțiile:
- a) $\pm i 15$
- b) $\pm 15$
- c) $\pm 15 i$
- d) nu are soluții în $C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\pm i 15$

Pătratul lui $i 15$ este $i^{2} \cdot 15 = - 15$ , deci $x = \pm i 15$ . O valoare negativă a lui $x^{2}$ dă două soluții pur imaginare.
Mulțimea soluțiilor în $C$ a ecuației $x^{4} - 15 x^{2} - 54 = 0$ este:
- a) ${\pm 18, \pm 3}$
- b) ${\pm 32, \pm 3}$
- c) ${\pm 32, \pm i 3}$
- d) ${\pm 32}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${\pm 32, \pm i 3}$

$t^{2} - 15 t - 54 = 0$ dă $t = 18$ și $t = - 3$ . Din $x^{2} = 18$ rezultă $x = \pm 32$ , iar din $x^{2} = - 3$ rezultă $x = \pm i 3$ ; valoarea negativă nu se respinge.
Pentru o ecuație bipătrată, notația $t = x^{2}$ dă valorile $t_{1} = 4$ și $t_{2} = - 25$ . Mulțimea soluțiilor ecuației în $C$ este:
- a) ${\pm 4, \pm 25 i}$
- b) ${\pm 2, \pm 5 i}$
- c) ${\pm 2, \pm 5}$
- d) ${\pm 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${\pm 2, \pm 5 i}$

Din $x^{2} = 4$ rezultă $x = \pm 2$ , iar din $x^{2} = - 25$ rezultă $x = \pm 5 i$ . Valoarea negativă a lui $t$ nu se respinge: dă două soluții pur imaginare.

Întrebări conexe

Unde stau în planul complex soluțiile unei ecuații bipătrate?

Soluțiile vin în perechi opuse, deci sunt simetrice față de origine. Cele reale stau pe axa reală, cele pur imaginare pe axa imaginară. Pentru $\pm 2$ și $\pm 3 i$ , imaginile sunt $(2, 0)$ , $(- 2, 0)$ , $(0, 3)$ și $(0, - 3)$ , vârfurile unui romb cu centrul în origine.

Cum recunosc o ecuație care devine bipătrată după desfacerea parantezelor?

După înmulțire trebuie să rămână doar puterile $4$ , $2$ și termenul liber. De exemplu, $(x^{2} - 2) (x^{2} + 3) = 6$ devine $x^{4} + x^{2} - 6 = 6$ , adică $x^{4} + x^{2} - 12 = 0$ . Cu $t = x^{2}$ : $t = 3$ sau $t = - 4$ , deci $x = \pm 3$ sau $x = \pm 2 i$ .

Ce soluții are ecuația $x^{4} + 13 x^{2} + 36 = 0$ ?

Cu $t = x^{2}$ : $t^{2} + 13 t + 36 = 0$ , cu $t = - 4$ și $t = - 9$ . Ambele valori sunt negative, deci toate soluțiile sunt pur imaginare: $x = \pm 2 i$ și $x = \pm 3 i$ . Ecuația nu are nicio soluție reală, ceea ce se vede și din faptul că membrul stâng este cel puțin $36$ .

Unde se oprește o particulă cu energia $- 3$ în potențialul $x^{4} - 4 x^{2}$ ?

Particula se oprește unde energia potențială egalează energia totală: $x^{4} - 4 x^{2} = - 3$ . Cu $t = x^{2}$ obții $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , cu $t = 1$ și $t = 3$ . Punctele de oprire sunt $x = \pm 1$ și $x = \pm 3$ , câte două în fiecare dintre cele două gropi ale potențialului.

Care e produsul soluțiilor reale ale ecuației $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ ?

Cu $t = x^{2}$ : $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , cu $t = 1$ și $t = 9$ . Soluțiile reale sunt $\pm 1$ și $\pm 3$ , iar produsul lor este $1 \cdot (- 1) \cdot 3 \cdot (- 3) = 9$ . Din relațiile lui Viète pentru $t$ , produsul $t_{1} t_{2} = 9$ dă direct același rezultat, pentru că ambele valori ale lui $t$ sunt pozitive și toate cele patru soluții sunt reale.

Oamenii mai întreabă și: soluțiile complexe ale ecuației bipătrate · ecuație bipătrată rezolvată în C · t egal x la pătrat valoare negativă · soluții pur imaginare la ecuația bipătrată