Ecuații bipătrate (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O ecuație de gradul al patrulea pare, la prima vedere, mult mai grea decât una de gradul al doilea. Dacă însă necunoscuta apare numai la puterile a patra și a doua, ecuația ascunde un trinom: notezi $t = x^{2}$ și rămâi cu o ecuație pe care o știi rezolva. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), ecuațiile bipătrate încheie capitolul de numere complexe, pentru că abia acum fiecare valoare a lui $t$ , pozitivă sau negativă, îți dă soluții. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă numește explicit ecuațiile bipătrate, lângă ecuația de gradul al doilea rezolvată în $C$ ; în varianta-model pentru 2026 lipsește o ecuație bipătrată, iar Subiectul I începe acolo cu un calcul cu numere complexe.

Ideea notației nu e nouă: ai folosit-o în ecuațiile exponențiale prin substituție la M2, unde ai notat $t = a^{x}$ și ai respins valorile negative. Aici vei face exact opusul, iar motivul este mulțimea în care lucrezi. Pentru soluțiile nereale ale ecuației în $t$ ai nevoie de ce ai învățat în ecuația cu Δ < 0 rezolvată în ℂ la M2, iar pentru semnele valorilor lui $t$ , de relațiile lui Viète la M2.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici forma bipătrată a unei ecuații și să o rescrii ca trinom în necunoscuta $t = x^{2}$ .
Vei ști de ce, în $C$ , nicio valoare a lui $t$ nu se respinge, spre deosebire de substituția $t = a^{x}$ .
Vei ști să treci de la fiecare valoare a lui $t$ la două valori ale lui $x$ : reale, pur imaginare sau zero.
Vei ști să afli câte soluții reale are o ecuație bipătrată doar din suma și produsul valorilor lui $t$ , fără să o rezolvi.
Vei ști să desenezi cele patru soluții în planul complex și să folosești simetria lor ca probă.
Vei ști să aduci la forma bipătrată o ecuație dată cu paranteze, inclusiv într-un model din fizică.

Hai să descoperim împreună

1. După ce recunoști forma bipătrată?

Ecuația bipătrată este o ecuație de forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , cu $a, b, c$ numere reale și $a \neq = 0$ , în care necunoscuta apare numai la puterea a patra, la puterea a doua și eventual în termenul liber. Programa de științe ale naturii ne cere să o rezolvăm în $C$ ; coeficienții rămân reali, ca în lecția precedentă.

Condiția care contează este absența puterilor impare. Ecuația $3 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$ este bipătrată: are termen în $x^{4}$ , termen în $x^{2}$ și termen liber. Ecuația $x^{4} - x^{3} + 2 = 0$ nu este, pentru că termenul $x^{3}$ nu se poate scrie cu ajutorul lui $x^{2}$ . Uneori forma bipătrată apare abia după ce desfaci parantezele sau muți termenii într-un singur membru; o ecuație trebuie adusă la forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ înainte de a decide dacă e bipătrată.

Denumirea spune povestea: „bi-pătrată” înseamnă „de două ori pătrată”. Necunoscuta e ridicată la pătrat, iar rezultatul e ridicat din nou la pătrat, pentru că $x^{4} = (x^{2})^{2}$ .

2. Cum coboară notația gradul de la patru la doi?

Notăm $t = x^{2}$ . Atunci $x^{4} = t^{2}$ , iar $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ se transformă în $a t^{2} + b t + c = 0$ : un trinom egalat cu zero, cu exact aceiași coeficienți. O rezolvi cum știi, cu formula sau prin descompunere, și obții două valori, $t_{1}$ și $t_{2}$ .

Pe ecuația $x^{4} + x^{2} - 30 = 0$ : notația dă $t^{2} + t - 30 = 0$ , cu $Δ = 1 + 120 = 121$ , deci $t_{1} = \frac{- 1 + 11}{2} = 5$ și $t_{2} = \frac{- 1 - 11}{2} = - 6$ . Aici trebuie să te oprești din reflex. Valorile $5$ și $- 6$ nu sunt soluțiile ecuației date: sunt valorile lui $x^{2}$ . Ultimul pas, întoarcerea la $x$ , rezolvă două ecuații mici: $x^{2} = 5$ dă $x = \pm 5$ , iar $x^{2} = - 6$ dă $x = \pm i 6$ . Ecuația dată, de gradul patru, are în $C$ patru soluții.

Metoda notației, cu cei trei pași ai ei (notez, rezolv în noua necunoscută, mă întorc), este aceeași ca la ecuațiile exponențiale. Diferă doar ce se întâmplă cu valorile lui $t$ la întoarcere.

3. De ce nu mai respingem valorile negative ale lui t?

La ecuațiile exponențiale, $t = a^{x}$ era o putere cu bază pozitivă, deci un număr strict pozitiv pentru orice $x$ real; o valoare negativă a lui $t$ nu provenea din niciun $x$ și se respingea. La ecuațiile bipătrate rezolvate în $R$ se întâmpla ceva asemănător: $x^{2} \geq 0$ , deci o valoare negativă a lui $t$ nu dădea soluții reale.

În $C$ situația se schimbă. Pătratul unui număr complex poate fi negativ: $(i 5)^{2} = - 5$ . Așadar orice valoare reală a lui $t$ , pozitivă, negativă sau zero, provine din cel puțin un $x$ complex. Nu mai există condiție pe $t$ și nu mai există respingeri.

Figura A arată parabola $y = t^{2} + 5 t - 6$ , adică membrul stâng al ecuației în $t$ pentru $x^{4} + 5 x^{2} - 6 = 0$ , cu verticala $t = 0$ punctată. Parabola taie axa orizontală în $t = - 6$ și în $t = 1$ . În lecția despre substituția exponențială, tăietura din stânga verticalei ar fi fost respinsă; aici ambele puncte sunt pline. Valoarea $t = 1$ dă soluțiile reale $\pm 1$ , iar valoarea $t = - 6$ dă soluțiile pur imaginare $\pm i 6$ .

Rămâne o singură situație în care filtrezi ceva, dar filtrul nu privește valorile lui $t$ , ci soluțiile finale. Dacă enunțul cere explicit soluțiile reale, sau dacă necunoscuta este o mărime fizică, cum ar fi o lungime sau o pulsație, alegi din mulțimea soluțiilor în $C$ doar pe cele care au sens. Scrii întâi toate soluțiile, apoi spui, cu motivul lui, pe care le păstrezi.

4. Cum te întorci de la t la x?

Fiecare valoare $t_{k}$ produce ecuația $x^{2} = t_{k}$ , iar felul soluțiilor depinde numai de semnul lui $t_{k}$ :

Valoarea lui $t_{k}$	Ecuația $x^{2} = t_{k}$	Soluțiile în $x$
$t_{k} > 0$	$x^{2} = t_{k}$	$x = \pm t_{k}$ , două numere reale opuse
$t_{k} = 0$	$x^{2} = 0$	$x = 0$ , o singură valoare, care se numără de două ori
$t_{k} < 0$	$x^{2} = t_{k}$	$x = \pm i - t_{k}$ , două numere pur imaginare, conjugate

La ultimul rând sub radical stă opusul lui $t_{k}$ , un număr pozitiv, iar $i$ rămâne în fața radicalului, după convenția din lecția precedentă. Fiecare rând dă câte două soluții, deci din două valori ale lui $t$ ies patru soluții în $x$ , numărate cu repetițiile lor. Cazul în care ecuația în $t$ are discriminant negativ, deci valori nereale pentru $t$ , nu intră în lecția noastră: pentru el ar trebui extrase rădăcini pătrate din numere complexe nereale, ceea ce programa de științe nu cere.

5. Câte soluții reale are ecuația, înainte să o rezolvi?

Numărul soluțiilor reale depinde numai de semnele lui $t_{1}$ și $t_{2}$ . Semnele rădăcinilor unui trinom le afli fără să-l rezolvi, cu regula semnelor din lecția despre relațiile lui Viète la M2, aplicată trinomului $a t^{2} + b t + c$ . Pasul nou al lecției noastre este traducerea lor în soluții ale ecuației în $x$ : fiecare valoare pozitivă a lui $t$ dă două soluții reale, fiecare valoare negativă dă două soluții pur imaginare. Prin urmare, două valori de semne contrare înseamnă exact două soluții reale, două valori pozitive înseamnă patru, iar două valori negative, niciuna.

Pentru $2 x^{4} - 9 x^{2} + 7 = 0$ , ecuația în $t$ are $Δ = 81 - 56 = 25 > 0$ , produsul $\frac{7}{2} > 0$ și suma $\frac{9}{2} > 0$ . Fără alte calcule știi că ecuația are patru soluții reale, două câte două opuse.

Figura C arată graficul funcției $y = x^{4} + 4 x^{2} - 21$ . Aici produsul valorilor lui $t$ este $- 21 < 0$ , deci ecuația $x^{4} + 4 x^{2} - 21 = 0$ are exact două soluții reale. Graficul taie axa orizontală de două ori, în punctele $\pm 3$ , iar celelalte două soluții, $\pm i 7$ , nu se văd pe desen: graficul unei funcții reale arată doar soluțiile reale. Curba este simetrică față de axa verticală, pentru că înlocuirea lui $x$ cu $- x$ nu schimbă nici $x^{4}$ , nici $x^{2}$ .

6. Cum arată soluțiile în planul complex?

Soluțiile unei ecuații bipătrate au o simetrie dublă. Mai întâi, dacă $x_{0}$ este soluție, atunci și $- x_{0}$ este soluție, pentru că $(- x_{0})^{2} = x_{0}^{2}$ . Apoi, coeficienții fiind reali, soluțiile nereale vin în perechi conjugate. În planul complex, soluțiile reale stau pe axa reală, iar cele pur imaginare pe axa imaginară, simetric față de origine.

Pentru $x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$ , ecuația în $t$ are rădăcinile $16$ și $- 5$ . Rezultă soluțiile $\pm 4$ , reale, și $\pm i 5$ , pur imaginare. Figura B le arată ca vârfuri ale unui romb cu centrul în origine. Desenul e o probă bună: o soluție fără perechea ei simetrică înseamnă o greșeală de calcul. Forma lui spune și în ce caz ești: dacă ecuația are patru soluții reale, toate punctele stau pe axa reală; dacă nu are niciuna, toate stau pe axa imaginară; dacă are două de fiecare fel, punctele formează un romb, ca aici.

7. Ce se întâmplă când o valoare a lui t se repetă sau este zero?

Dacă ecuația în $t$ are discriminantul zero, cele două valori ale lui $t$ coincid, iar ecuația se scrie $a (x^{2} - p)^{2} = 0$ , cu $p = - \frac{b}{2 a}$ . Soluțiile distincte sunt atunci doar două, $\pm p$ pentru $p > 0$ sau $\pm i - p$ pentru $p < 0$ , dar fiecare apare de două ori, ca rădăcină dublă; numărate cu repetițiile, sunt tot patru.

Dacă termenul liber este zero, una dintre valorile lui $t$ este $0$ . Nu mai ai nevoie de formulă: scoți factor comun, $x^{2} (a x^{2} + b) = 0$ . Factorul $x^{2}$ dă soluția $x = 0$ , dublă, iar al doilea factor dă două soluții opuse, reale sau pur imaginare după semnul lui $- \frac{b}{a}$ . Mulțimea soluțiilor are atunci trei elemente, deși ecuația are gradul patru. Când scrii mulțimea soluțiilor, treci fiecare număr o singură dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracții printre valorile lui t

Rezolvați în $C$ ecuația $4 x^{4} + 11 x^{2} - 3 = 0$ .

Rezolvare. Cu $t = x^{2}$ ecuația devine $4 t^{2} + 11 t - 3 = 0$ , cu $Δ = 121 + 48 = 169$ . Rădăcinile sunt $t_{1} = \frac{- 11 + 13}{8} = \frac{1}{4}$ și $t_{2} = \frac{- 11 - 13}{8} = - 3$ . Produsul lor, $- \frac{3}{4}$ , este negativ, cum anunță semnul termenului liber.

Ne întoarcem la $x$ : din $x^{2} = \frac{1}{4}$ rezultă $x = \pm \frac{1}{2}$ , iar din $x^{2} = - 3$ rezultă $x = \pm i 3$ . Verificare pentru $x = i 3$ : $x^{2} = - 3$ și $x^{4} = 9$ , deci $4 \cdot 9 + 11 \cdot (- 3) - 3 = 36 - 33 - 3 = 0$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm \frac{1}{2}, \pm i 3}$ .

Exemplul 2 — Nicio soluție reală

Rezolvați în $C$ ecuația $x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$ și precizați, înainte de calcul, câte soluții reale are.

Rezolvare. Pentru ecuația în $t$ , $t^{2} + 11 t + 18 = 0$ , suma rădăcinilor este $- 11$ și produsul este $18$ . Produsul pozitiv arată semne egale, iar suma negativă arată că ambele sunt negative: ecuația nu are nicio soluție reală.

Calculul confirmă: $Δ = 121 - 72 = 49$ , deci $t_{1} = \frac{- 11 + 7}{2} = - 2$ și $t_{2} = \frac{- 11 - 7}{2} = - 9$ . Din $x^{2} = - 2$ rezultă $x = \pm i 2$ , iar din $x^{2} = - 9$ rezultă $x = \pm 3 i$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm i 2, \pm 3 i}$ : patru numere pur imaginare, așezate pe axa imaginară. Se vede și direct că nu există soluții reale: pentru $x$ real, membrul stâng este o sumă de termeni nenegativi plus $18$ , deci cel puțin $18$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Iată rezolvarea unui coleg pentru $16 x^{4} + 7 x^{2} - 9 = 0$ : „Cu $t = x^{2}$ obțin $16 t^{2} + 7 t - 9 = 0$ , cu $t_{1} = \frac{9}{16}$ și $t_{2} = - 1$ . Atunci $x = \pm \frac{3}{4}$ și $x = \pm 1$ .” Care pas e greșit?

Rezolvare. Rezolvarea în $t$ este corectă: $Δ = 49 + 576 = 625$ , iar $t_{1} = \frac{- 7 + 25}{32} = \frac{9}{16}$ și $t_{2} = \frac{- 7 - 25}{32} = - 1$ . Greșeala apare la întoarcere: din $x^{2} = - 1$ colegul a scris $x = \pm 1$ , uitând că pătratul lui $1$ este $1$ , nu $- 1$ . Corect: $x = \pm i$ .

Proba prin înlocuire o confirmă: cu $x = 1$ obții $16 + 7 - 9 = 14$ în loc de $0$ . Pentru $x = i$ , avem $x^{2} = - 1$ și $x^{4} = 1$ , deci $16 - 7 - 9 = 0$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm \frac{3}{4}, \pm i}$ . Semnalul care trebuia să-l oprească pe coleg: produsul valorilor lui $t$ era negativ, deci ecuația avea exact două soluții reale, nu patru.

Exemplul 4 — Citește graficul

Figura D arată graficul funcției $g (t) = t^{2} + pt + q$ , cu $p$ și $q$ reali: parabola taie axa orizontală în $t = - 5$ și în $t = 2$ , iar axa verticală în $(0; - 10)$ . Scrieți ecuația bipătrată $x^{4} + p x^{2} + q = 0$ și rezolvați-o în $C$ .

Rezolvare. Tăieturile cu axa orizontală sunt rădăcinile lui $g$ , deci $g (t) = (t + 5) (t - 2) = t^{2} + 3 t - 10$ ; punctul $(0; - 10)$ confirmă termenul liber. Ecuația cerută este $x^{4} + 3 x^{2} - 10 = 0$ , iar valorile lui $t$ le-am citit direct din desen: $t_{1} = 2$ și $t_{2} = - 5$ .

Întoarcerea: din $x^{2} = 2$ rezultă $x = \pm 2$ , iar din $x^{2} = - 5$ rezultă $x = \pm i 5$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm 2, \pm i 5}$ . Desenul spunea de la început structura răspunsului: o tăietură în dreapta verticalei $t = 0$ și una în stânga, deci două soluții reale și două pur imaginare.

Exemplul 5 — O ecuație care devine bipătrată

Rezolvați în $C$ ecuația $(x^{2} + 4) (x^{2} - 2) = 7$ .

Rezolvare. Un produs egal cu $7$ nu se desparte în factori egali cu $7$ : regula „un factor este zero” funcționează doar când produsul este zero. Desfacem parantezele: $x^{4} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 8 = 7$ , adică $x^{4} + 2 x^{2} - 15 = 0$ , o ecuație bipătrată.

Cu $t = x^{2}$ : $t^{2} + 2 t - 15 = 0$ , cu $Δ = 4 + 60 = 64$ , deci $t_{1} = \frac{- 2 + 8}{2} = 3$ și $t_{2} = \frac{- 2 - 8}{2} = - 5$ . Din $x^{2} = 3$ rezultă $x = \pm 3$ , iar din $x^{2} = - 5$ rezultă $x = \pm i 5$ . Verificare în forma inițială, pentru $x = 3$ : $(3 + 4) (3 - 2) = 7$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm 3, \pm i 5}$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră ecuația $x^{4} + 8 x^{2} - 105 = 0$ . a) Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor complexe. b) Arătați că suma pătratelor celor patru soluții este egală cu $- 16$ .

Rezolvare. a) Cu $t = x^{2}$ : $t^{2} + 8 t - 105 = 0$ , cu $Δ = 64 + 420 = 484$ , deci $t_{1} = \frac{- 8 + 22}{2} = 7$ și $t_{2} = \frac{- 8 - 22}{2} = - 15$ . Din $x^{2} = 7$ rezultă $x = \pm 7$ , iar din $x^{2} = - 15$ rezultă $x = \pm i 15$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {\pm 7, \pm i 15}$ .

b) Pătratele soluțiilor sunt chiar valorile lui $t$ , fiecare de două ori: $7$ , $7$ , $- 15$ , $- 15$ . Adunate, dau $7 + 7 - 15 - 15 = - 16$ . Se putea și fără soluții: numărul cerut este $2 (t_{1} + t_{2})$ , iar $t_{1} + t_{2} = - 8$ din relațiile lui Viète. Ecuația a fost construită pentru exersare, la nivelul unei cerințe scurte, și nu e preluată dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

Scrie notația $t = x^{2}$ , rezolvă ecuația în $t$ , întoarce-te la $x$ pentru fiecare valoare și încheie cu mulțimea soluțiilor. Verifică simetria: fiecare soluție trebuie să aibă și opusa ei în mulțime.

1. Scrie ecuația în $t = x^{2}$ și rezolv-o în $t$ : a) $5 x^{4} - 7 x^{2} + 2 = 0$ ; b) $x^{2} (x^{2} - 7) = 60$ .

2. Află cele patru soluții ale ecuației $x^{4} - 34 x^{2} + 225 = 0$ .

3. Determină soluțiile complexe ale ecuației $x^{4} + 6 x^{2} - 16 = 0$ .

4. Scrie mulțimea soluțiilor în $C$ pentru $x^{4} + 9 x^{2} + 20 = 0$ .

5. Găsește toate soluțiile, reale și nereale, ale ecuației $x^{4} - 23 x^{2} - 50 = 0$ .

6. Rezolvă ecuația $9 x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ în mulțimea numerelor complexe.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $3 i$ este soluție a unei ecuații bipătrate cu coeficienți reali, atunci $- 3 i$ , $3$ și $- 3$ sunt și ele soluții ale ecuației.

8. Câte soluții distincte are ecuația $x^{4} - 14 x^{2} + 49 = 0$ ? Scrie-le.

9. Află soluțiile ecuației $x^{4} + 7 x^{2} = 0$ , fără formula trinomului.

10. Determină soluțiile ecuației $2 x^{4} + 7 x^{2} + 3 = 0$ în $C$ .

11. Adu la forma bipătrată și rezolvă: $x^{4} + 90 = 19 x^{2}$ .

12. Scrie o ecuație bipătrată $x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , cu $b$ și $c$ întregi, care are exact două soluții reale și printre soluțiile căreia se află numărul $i 7$ . Verifică-ți alegerea rezolvând ecuația.

13. (Problemă aplicată.) Pentru o particulă care are două poziții de echilibru, cum este atomul de azot din molecula de amoniac, fizicienii folosesc un model de energie potențială de forma $U (x) = x^{4} - 18 x^{2}$ , în unități convenționale, unde $x$ este poziția particulei. Pentru o energie totală $E$ dată, particula se oprește și se întoarce exact în punctele reale în care $U (x) = E$ . a) Pentru $E = - 56$ , rezolvă ecuația în $C$ și spune în câte puncte se poate opri particula. b) Același lucru pentru $E = 40$ . Explică diferența dintre cele două situații.

14. Pentru ce valori reale ale lui $m$ ecuația $x^{4} - 4 x^{2} + m = 0$ are exact două soluții reale și două pur imaginare? Rezolv-o pentru $m = - 60$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $x^{4} - 2 x^{2} - 24 = 0$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că toate soluțiile ecuației $x^{4} - 19 x^{2} + 18 = 0$ sunt numere reale și determinați-le.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați mulțimea soluțiilor complexe ale ecuației $3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 = 0$ .

18. (Provocare.) Găsește în $C$ soluțiile ecuației $(x^{2} + 2)^{2} + 4 (x^{2} + 2) - 77 = 0$ , notând întâi $u = x^{2} + 2$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $5 t^{2} - 7 t + 2 = 0$ , cu $Δ = 49 - 40 = 9$ , deci $t_{1} = \frac{7 + 3}{10} = 1$ și $t_{2} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{2}{5}$ . b) Desfacem: $x^{4} - 7 x^{2} = 60$ , deci $t^{2} - 7 t - 60 = 0$ , cu $Δ = 49 + 240 = 289$ , $t_{1} = \frac{7 + 17}{2} = 12$ și $t_{2} = \frac{7 - 17}{2} = - 5$ .

2. $t^{2} - 34 t + 225 = 0$ , cu $Δ = 1156 - 900 = 256$ , deci $t_{1} = \frac{34 + 16}{2} = 25$ și $t_{2} = \frac{34 - 16}{2} = 9$ . Rezultă $x = \pm 5$ și $x = \pm 3$ . $S = {\pm 3, \pm 5}$ .

3. $t^{2} + 6 t - 16 = 0$ , cu $Δ = 36 + 64 = 100$ , deci $t_{1} = \frac{- 6 + 10}{2} = 2$ și $t_{2} = \frac{- 6 - 10}{2} = - 8$ . Rezultă $x = \pm 2$ și $x = \pm i 8 = \pm 2 i 2$ . $S = {\pm 2, \pm 2 i 2}$ .

4. $t^{2} + 9 t + 20 = 0$ , cu $Δ = 81 - 80 = 1$ , deci $t_{1} = - 4$ și $t_{2} = - 5$ , ambele negative. Rezultă $x = \pm 2 i$ și $x = \pm i 5$ . $S = {\pm 2 i, \pm i 5}$ .

5. $t^{2} - 23 t - 50 = 0$ , cu $Δ = 529 + 200 = 729$ , deci $t_{1} = \frac{23 + 27}{2} = 25$ și $t_{2} = \frac{23 - 27}{2} = - 2$ . Rezultă $x = \pm 5$ și $x = \pm i 2$ . $S = {\pm 5, \pm i 2}$ .

6. $9 t^{2} - 10 t + 1 = 0$ , cu $Δ = 100 - 36 = 64$ , deci $t_{1} = \frac{10 + 8}{18} = 1$ și $t_{2} = \frac{10 - 8}{18} = \frac{1}{9}$ . Rezultă $x = \pm 1$ și $x = \pm \frac{1}{3}$ . $S = {\pm 1, \pm \frac{1}{3}}$ .

7. Fals. Soluția $- 3 i$ apare sigur, pentru că $(- 3 i)^{2} = (3 i)^{2}$ . Numerele $3$ și $- 3$ nu apar neapărat: $3 i$ provine din valoarea $t = - 9$ , iar cealaltă valoare a lui $t$ este independentă de ea. Contraexemplu: $x^{4} + 8 x^{2} - 9 = 0$ are $t_{1} = 1$ și $t_{2} = - 9$ , deci $S = {\pm 1, \pm 3 i}$ , iar pentru $x = 3$ membrul stâng este $81 + 72 - 9 = 144$ .

8. $x^{4} - 14 x^{2} + 49 = (x^{2} - 7)^{2}$ , deci $t = 7$ de două ori și $x = \pm 7$ , fiecare rădăcină dublă. Ecuația are două soluții distincte. $S = {\pm 7}$ .

9. Factor comun: $x^{2} (x^{2} + 7) = 0$ . Din $x^{2} = 0$ rezultă $x = 0$ , dublă; din $x^{2} = - 7$ rezultă $x = \pm i 7$ . $S = {0, \pm i 7}$ .

10. $2 t^{2} + 7 t + 3 = 0$ , cu $Δ = 49 - 24 = 25$ , deci $t_{1} = \frac{- 7 + 5}{4} = - \frac{1}{2}$ și $t_{2} = \frac{- 7 - 5}{4} = - 3$ . Din $x^{2} = - \frac{1}{2}$ rezultă $x = \pm \frac{2}{2} i$ , pentru că $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ; din $x^{2} = - 3$ rezultă $x = \pm i 3$ . $S = {\pm \frac{2}{2} i, \pm i 3}$ .

11. Mutăm termenii: $x^{4} - 19 x^{2} + 90 = 0$ , deci $t^{2} - 19 t + 90 = 0$ , cu $Δ = 361 - 360 = 1$ , $t_{1} = 10$ și $t_{2} = 9$ . Rezultă $x = \pm 10$ și $x = \pm 3$ . $S = {\pm 3, \pm 10}$ .

12. Soluția $i 7$ provine din valoarea $t_{2} = - 7$ , pentru că $(i 7)^{2} = - 7$ . Ca să existe exact două soluții reale, cealaltă valoare trebuie să fie pozitivă, $t_{1} = p > 0$ . Ecuația în $t$ este $(t - p) (t + 7) = 0$ , deci $b = 7 - p$ și $c = - 7 p$ . De exemplu, pentru $p = 16$ : $x^{4} - 9 x^{2} - 112 = 0$ , cu $t^{2} - 9 t - 112 = 0$ , $Δ = 81 + 448 = 529$ , $t_{1} = \frac{9 + 23}{2} = 16$ și $t_{2} = \frac{9 - 23}{2} = - 7$ , deci $S = {\pm 4, \pm i 7}$ . Orice $p > 0$ dă un răspuns corect.

13. a) $x^{4} - 18 x^{2} = - 56$ se scrie $x^{4} - 18 x^{2} + 56 = 0$ ; cu $t = x^{2}$ : $t^{2} - 18 t + 56 = 0$ , cu $Δ = 324 - 224 = 100$ , deci $t_{1} = \frac{18 + 10}{2} = 14$ și $t_{2} = \frac{18 - 10}{2} = 4$ . Ambele valori sunt pozitive, deci $S = {\pm 2, \pm 14}$ : patru puncte de oprire, toate reale. Particula rămâne prinsă într-una dintre cele două gropi, între $2$ și $14$ sau între $- 14$ și $- 2$ . b) $x^{4} - 18 x^{2} - 40 = 0$ dă $t^{2} - 18 t - 40 = 0$ , cu $Δ = 324 + 160 = 484$ , deci $t_{1} = \frac{18 + 22}{2} = 20$ și $t_{2} = \frac{18 - 22}{2} = - 2$ . Rezultă $S = {\pm 25, \pm i 2}$ : numai două puncte reale de oprire, $\pm 25$ ; soluțiile $\pm i 2$ nu au sens fizic. Energia $40$ este mai mare decât bariera dintre gropi, $U (0) = 0$ , deci particula trece peste ea și se mișcă între $- 25$ și $25$ .

14. Ecuația în $t$ , $t^{2} - 4 t + m = 0$ , trebuie să aibă o rădăcină pozitivă și una negativă, adică produsul $m < 0$ ; atunci discriminantul $16 - 4 m$ este automat pozitiv. Pentru $m = - 60$ , ecuația $x^{4} - 4 x^{2} - 60 = 0$ devine $t^{2} - 4 t - 60 = 0$ , cu $t_{1} = 10$ și $t_{2} = - 6$ , deci $x = \pm 10$ și $x = \pm i 6$ . $S = {\pm 10, \pm i 6}$ .

15. $t^{2} - 2 t - 24 = 0$ , cu $Δ = 4 + 96 = 100$ , deci $t_{1} = \frac{2 + 10}{2} = 6$ și $t_{2} = \frac{2 - 10}{2} = - 4$ . Rezultă $x = \pm 6$ și $x = \pm 2 i$ . $S = {\pm 6, \pm 2 i}$ .

16. $t^{2} - 19 t + 18 = 0$ , cu $Δ = 361 - 72 = 289$ , deci $t_{1} = \frac{19 + 17}{2} = 18$ și $t_{2} = \frac{19 - 17}{2} = 1$ . Ambele valori sunt pozitive, deci toate soluțiile sunt reale: $x = \pm 32$ și $x = \pm 1$ . $S = {\pm 1, \pm 32}$ .

17. $3 t^{2} - 2 t - 1 = 0$ , cu $Δ = 4 + 12 = 16$ , deci $t_{1} = \frac{2 + 4}{6} = 1$ și $t_{2} = \frac{2 - 4}{6} = - \frac{1}{3}$ . Rezultă $x = \pm 1$ și, din $x^{2} = - \frac{1}{3}$ , $x = \pm i \frac{1}{3} = \pm \frac{3}{3} i$ . $S = {\pm 1, \pm \frac{3}{3} i}$ .

18. Cu $u = x^{2} + 2$ : $u^{2} + 4 u - 77 = 0$ , cu $Δ = 16 + 308 = 324$ , deci $u_{1} = \frac{- 4 + 18}{2} = 7$ și $u_{2} = \frac{- 4 - 18}{2} = - 11$ . Atunci $x^{2} = u - 2$ ia valorile $5$ și $- 13$ , deci $x = \pm 5$ și $x = \pm i 13$ . $S = {\pm 5, \pm i 13}$ . Verificare pentru $x = i 13$ : $(- 13 + 2)^{2} + 4 (- 13 + 2) - 77 = 121 - 44 - 77 = 0$ .

De reținut

O ecuație bipătrată are forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ; notația $t = x^{2}$ o transformă în $a t^{2} + b t + c = 0$ , cu aceiași coeficienți.
Rezolvarea nu se termină la $t$ : fiecare valoare $t_{k}$ dă ecuația $x^{2} = t_{k}$ , cu două soluții, $\pm t_{k}$ dacă $t_{k} > 0$ și $\pm i - t_{k}$ dacă $t_{k} < 0$ .
În $C$ nicio valoare a lui $t$ nu se respinge, spre deosebire de notația $t = a^{x}$ , unde $t > 0$ .
Fiecare valoare pozitivă a lui $t$ dă două soluții reale, fiecare valoare negativă două pur imaginare; semnele valorilor lui $t$ , aflate cu relațiile lui Viète, spun deci câte soluții reale are ecuația.
Soluțiile vin în perechi opuse, iar în planul complex stau pe cele două axe, simetric față de origine.

Greșeli frecvente

Aplici notația la o ecuație nepregătită. În $(x^{2} + 4) (x^{2} - 2) = 7$ nu poți egala fiecare factor cu $7$ . Desfaci parantezele și muți totul într-un membru, abia apoi notezi $t = x^{2}$ .
Împarți ecuația la $x^{2}$ . Când termenul liber lipsește, din $x^{4} = 11 x^{2}$ scrii „ $x^{2} = 11$ ” și rămâi doar cu $\pm 11$ . Împărțirea la $x^{2}$ e permisă numai pentru $x \neq = 0$ , iar tocmai $x = 0$ este soluție. Scoate factor comun, ca în secțiunea 7: $x^{2} (x^{2} - 11) = 0$ .
Crezi că graficul arată toate soluțiile. Graficul funcției $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ taie axa orizontală doar în soluțiile reale. Dacă vezi două tăieturi, ecuația are încă două soluții, pur imaginare, pe care desenul nu le poate arăta; rezolvarea în $C$ le cere pe toate patru.
Calculezi greșit $x^{4}$ la verificare. Pentru $x = 2 i$ ai $x^{2} = - 4$ , dar $x^{4} = (x^{2})^{2} = 16$ , nu $- 16$ : puterea a patra a unui număr pur imaginar este pozitivă. Cu semnul greșit, o soluție corectă pare greșită și riști s-o arunci.
Uiți valoarea de sub radical la $t$ fracționar. Din $x^{2} = - \frac{1}{5}$ rezultă $x = \pm i \frac{1}{5} = \pm \frac{5}{5} i$ ; scrierea $\pm \frac{1}{5} i$ pierde radicalul. Raționalizează numitorul abia după ce ai scris corect radicalul.

Aplică acasă

Oglinda simetriei. Desenează în caiet un plan complex și marchează soluțiile de la exercițiile 3, 5 și 15, fiecare set cu altă culoare. Unește punctele fiecărui set într-un patrulater și explică de ce el este un romb cu diagonalele pe axe. Explică de ce niciun set nu poate avea un singur punct pe axa reală.
Predicții în trei minute. Alege din manual cinci ecuații bipătrate. Pentru fiecare, în cel mult trei minute în total, scrie doar din coeficienți câte soluții reale va avea. Rezolvă apoi ecuațiile complet și notează câte predicții au fost corecte și ce te-a păcălit la cele greșite.
Bila pe șina cu două adâncituri. Îndoaie o bandă lungă de carton în forma literei W și fixeaz-o pe o carte, ca pe o șină. Lasă o bilă să pornească de la înălțimi diferite de pe o margine și notează dacă rămâne într-o singură adâncitură sau trece peste cocoașa din mijloc. Leagă observația de numărul de soluții reale ale unei ecuații bipătrate, ca în exercițiul 13.

Pentru părinți și profesori

Ecuațiile bipătrate închid capitolul de numere complexe al programei de științe ale naturii. Dificultatea lor nu stă în calcul, care se oprește la un trinom, ci în disciplina întoarcerii de la $t$ la $x$ și în schimbarea de reflex față de substituția din lecția despre ecuațiile exponențiale: acolo valorile negative ale noii necunoscute se respingeau, aici fiecare valoare produce soluții. Merită discutat explicit de ce, pentru că elevii care au lucrat bine la exponențiale sunt tocmai cei care resping prea repede.

Ce verifică lecția: recunoașterea formei (inclusiv după desfacerea parantezelor), notația, rezolvarea în $t$ , întoarcerea după semnul fiecărei valori și scrierea mulțimii soluțiilor. Elementul propriu profilului este numărarea soluțiilor reale din suma și produsul valorilor lui $t$ , legată de graficul funcției și de desenul din planul complex, plus un model din fizică în care numai o parte dintre soluții au sens. Întrebări bune de control: „Ce îți spune un termen liber negativ despre soluțiile reale?”; „De ce soluțiile vin în perechi opuse?”; „Când are mulțimea soluțiilor mai puțin de patru elemente?”.

O sugestie de lucru la clasă: proiectați una lângă alta figura A din această lecție și figura cu parabola în $t$ din lecția despre substituția exponențială. Elevii explică, fiecare în câte o propoziție, de ce aceeași tăietură la stânga verticalei $t = 0$ se respinge acolo și se păstrează aici. Discuția fixează diferența dintre o putere cu bază pozitivă și pătratul unui număr complex.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește „ecuații bipătrate”, iar competența X.CS.3.4 cere rezolvarea lor în diverse contexte matematice. Lecția nu tratează ecuațiile reciproce și nici pe cele binome. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește la clasa a X-a „ecuații bipătrate”, imediat după rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” din exercițiile 15–17. Varianta-model pentru 2026 nu conține o ecuație bipătrată; la Subiectul I are un calcul cu numere complexe. Exercițiile cu acest marcaj au fost create pentru lecția de față.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile bipătrate, mate-info (M1). Recapitularea unității se face cu testul M2 despre numere complexe, iar lecția precedentă a traseului este ecuația cu Δ < 0 rezolvată în ℂ la M2.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ecuațiile bipătrate?

Varianta M1 face parte din capitolul de polinoame: descompune polinomul în factori ireductibili, discută ordinul de multiplicitate și folosește relațiile lui Viète pentru gradul patru. Varianta M2 stă în capitolul de numere complexe, cum cere programa de științe, și pune accentul pe întoarcerea de la $t$ la $x$ , pe numărarea soluțiilor reale din semnele lui $t$ și pe un model din fizică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile bipătrate?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 numește ecuațiile bipătrate la clasa a X-a, în același capitol cu numerele complexe. Varianta-model pentru 2026 nu conține o ecuație bipătrată; numerele complexe apar acolo la Subiectul I, cerința 1, printr-un calcul cu două numere date. Pentru MAT_P2 din 2030, tema intră în domeniul „Algebră”.

De ce la ecuațiile exponențiale respingeam valorile negative ale lui t, iar aici nu?

Pentru că noua necunoscută are altă natură. O putere cu bază pozitivă, $a^{x}$ , este strict pozitivă pentru orice $x$ real, deci o valoare negativă a lui $t$ nu vine din niciun $x$ . Pătratul unui număr complex poate fi însă negativ, de exemplu $(2 i)^{2} = - 4$ , deci orice valoare reală nenulă a lui $t$ vine din două valori ale lui $x$ .

Cum îmi dau seama repede câte soluții reale are ecuația?

Lucrezi pe ecuația în $t$ . Semnele valorilor lui $t$ le afli cu regula semnelor din lecția despre relațiile lui Viète, fără să rezolvi trinomul. Apoi faci pasul nou: fiecare valoare pozitivă a lui $t$ îți dă două soluții reale, fiecare valoare negativă două soluții pur imaginare, iar valoarea zero îți dă soluția $x = 0$ .

Ce fac dacă ecuația în t are discriminantul negativ?

Atunci valorile lui $t$ sunt numere complexe nereale, iar pentru a ajunge la $x$ ar trebui să extragi rădăcina pătrată dintr-un număr complex nereal. Programa de științe ale naturii nu cere acest pas, așa că exercițiile lecției au mereu discriminantul pozitiv sau zero în $t$ . Tema e tratată la matematică-informatică, în capitolul de polinoame.

Ce fac dacă problema cere doar soluțiile reale?

Rezolvi întâi ecuația complet, în $C$ , și abia la final alegi soluțiile reale, adică pe cele care provin din valori pozitive sau nule ale lui $t$ . Nu tai valorile negative ale lui $t$ pe parcurs fără să spui de ce: scrie explicit că ele dau soluții pur imaginare, care nu sunt cerute. La fel procedezi când necunoscuta este o mărime fizică.