Gradul patru ascunde un gradul doi: pe scurt

O ecuație bipătrată are forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$: necunoscuta apare doar prin puteri pare, fără $x^3$ și fără $x$. Substituția $x^2=y$ o transformă în $a{y}^2+by+c=0$, o ecuație obișnuită de gradul al doilea, care se rezolvă imediat. Capcana lecției este că rezolvarea nu se oprește la valorile $y_1,y_2$ — acelea sunt valorile lui $x^2$, nu ale lui $x$. Fiecare $y_k$ trebuie tradus înapoi, după semn: dacă $y_k>0$, obții $x=\pm \sqrt{y_k}$ (două rădăcini reale); dacă $y_k=0$, obții $x=0$ dublă; iar dacă $y_k<0$, obții $x=\pm i\sqrt{-y_k}$ — rădăcini pur imaginare, noutatea clasei a X-a față de gimnaziu.

Pentru că ecuația conține doar puteri pare, $f(-x)=f(x)$, deci rădăcinile sunt simetrice: dacă $x_0$ e rădăcină, și $-x_0$ este, iar suma tuturor rădăcinilor este mereu $0$ — o verificare rapidă la final. Descompunerea naturală este $a{x}^4+b{x}^2+c=a(x^2-y_1)(x^2-y_2)$: factorii cu $y_k>0$ se sparg mai departe în doi factori liniari, iar cei cu $y_k<0$ rămân ireductibili peste $\mathbb{R}$, dar se sparg peste $\mathbb{C}$. Dacă $y_1=y_2$ (discriminant nul în $y$), fiecare valoare a lui $x$ obținută este rădăcină dublă, iar numărul de rădăcini distincte scade la doi, deși gradul rămâne $4$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-29x^2+100=0$.

   • a) $\{5,-5,2,-2\}$
   • b) $\{25,-25,4,-4\}$
   • c) $\{5,-5,4,-4\}$
   • d) $\{10,-10,2,-2\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\{5,-5,2,-2\}$

   Cu $x^2=y$: $y^2-29y+100=0$, $\Delta =841-400=441$, deci $y=\frac{29\pm 21}{2}$: $y_1=25$, $y_2=4$. Din $x^2=25$: $x=\pm 5$; din $x^2=4$: $x=\pm 2$.

2. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-3x^2-10=0$.

   • a) $\{\sqrt{5},-\sqrt{5},\sqrt{2},-\sqrt{2}\}$
   • b) $\{\sqrt{5},-\sqrt{5},i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\}$
   • c) $\{5,-5,i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\}$
   • d) $\{i\sqrt{5},-i\sqrt{5},\sqrt{2},-\sqrt{2}\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\{\sqrt{5},-\sqrt{5},i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\}$

   Cu $x^2=y$: $y^2-3y-10=0$, $\Delta =9+40=49$, deci $y=\frac{3\pm 7}{2}$: $y_1=5$, $y_2=-2$. Din $x^2=5$: $x=\pm \sqrt{5}$ (reale); din $x^2=-2$: $x=\pm i\sqrt{2}$ (pur imaginare).

3. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+13x^2+36=0$.

   • a) $\{2,-2,3,-3\}$
   • b) $\{4i,-4i,9i,-9i\}$
   • c) $\{2i,-2i,3i,-3i\}$
   • d) $\{2i,-2i,-3,3\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\{2i,-2i,3i,-3i\}$

   Cu $x^2=y$: $y^2+13y+36=0$, $\Delta =169-144=25$, deci $y=\frac{-13\pm 5}{2}$: $y_1=-4$, $y_2=-9$, ambele negative. Din $x^2=-4$: $x=\pm 2i$; din $x^2=-9$: $x=\pm 3i$.