Cum rezolv ecuația y'=y² cu y(0)=1?

Pentru y≠0 separi: dy/y²=dx, deci - 1/y=x+C. Din y(0)=1 rezultă C=-1, așa că y= 1/(1-x), pe intervalul (-∞,1). Verificare: y'= 1/((1-x)²)=y². Soluția crește nemărginit când x se apropie de 1.

Cât rămâne dintr-o substanță radioactivă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Variabile separabile

Masa scade după legea $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , soluția ecuației $N^{'} = - λ N$ . Echivalent, $N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ , unde $T$ este timpul de înjumătățire. Exemplu: iodul-131 are $T$ de aproximativ $8$ zile; dintr-o probă de $80$ mg rămân după $24$ de zile, adică trei înjumătățiri, $80 \to 40 \to 20 \to 10$ mg. Masa nu ajunge niciodată exact la zero, doar se apropie de ea.

Se numesc separabile ecuațiile care pot fi așezate sub forma $g (y) \cdot y^{'} = f (x)$ — necunoscuta și derivata ei de o parte, variabila independentă de cealaltă. Înainte de orice altceva se cercetează dacă despărțirea e cu putință: pentru unele, cum este $y^{'} = x + y$ , ea nu se poate face, iar metoda lor depășește programa profilului.

Rezolvarea are trei pași: despărțirea, integrarea celor doi membri, impunerea condiției. Pasul de mijloc nu mută simboluri dintr-o parte în alta: în stânga stă deja o derivată, recunoscută cu regula de derivare a funcțiilor compuse, citită invers. Constanta apare o singură dată, în rândul integrării, iar împărțirea prin $y$ cere o justificare scurtă, fiindcă o soluție nenulă nu se anulează în niciun punct.

Din metodă se desprinde tiparul care revine în modele: $y^{'} = k y$ are drept soluții funcțiile $y (x) = c e^{k x}$ , iar semnul lui $k$ arată dacă mărimea urcă ori coboară spre zero. Pe el se sprijină dezintegrarea, cu $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ și $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ , și răcirea, cu $T (t) = T_{m} + (T_{0} - T_{m}) e^{- k t}$ , unde corpul coboară spre valoarea mediului, oprindu-se deasupra ei.

Rezultatul nu este totdeauna o exponențială, iar intervalul pe care soluția are înțeles se scrie alături de ea. Conținutul este cerut abia de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

forma separabilă: $g (y) \cdot y^{'} = f (x)$ ; se integrează ambii membri
$y^{'} = k y$ are soluțiile $y = C e^{k x}$
dezintegrare: $N = N_{0} e^{- λ t}$ , cu $T = \frac{l n 2}{λ}$

Greșeala tipică

După integrarea celor doi membri se adaugă câte o constantă în fiecare; două constante arbitrare se unesc într-una singură, scrisă o dată, în membrul drept.

Exerciții din această mini-lecție

Soluția ecuației $y^{'} = - \frac{y}{5}$ care verifică $y (0) = 30$ este:
- a) $y (x) = 30 e^{- 5 x}$
- b) $y (x) = 30 e^{- x /5}$
- c) $y (x) = - \frac{1}{5} e^{30 x}$
- d) $y (x) = 30 e^{x /5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y (x) = 30 e^{- x /5}$

Ecuația este tiparul $y^{'} = k y$ cu $k = - \frac{1}{5}$ , deci soluțiile sunt $y (x) = c e^{- x /5}$ , iar din $y (0) = c = 30$ obținem $y (x) = 30 e^{- x /5}$ . Proba: $y^{'} (x) = - 6 e^{- x /5}$ , iar $- \frac{y ( x )}{5} = - 6 e^{- x /5}$ . Variantele a) și d) pun greșit numărul din ecuație la exponent, iar c) îl mută în fața exponențialei.
Masa unei probe verifică $N^{'} (t) = - λ N (t)$ , cu $λ > 0$ , iar timpul ei de înjumătățire este de $8$ ore. Atunci $λ$ este egal cu:
- a) $8 ln 2$
- b) $\frac{ln 8}{2}$
- c) $\frac{ln 2}{8}$
- d) $\frac{1}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{ln 2}{8}$

Din $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ și condiția $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ rezultă $e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2}$ , deci $λ t_{1/2} = ln 2$ și $λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}}$ . Cu $t_{1/2} = 8$ ore obținem $λ = \frac{ln 2}{8}$ , măsurat în ore la puterea minus unu. Timpul de înjumătățire nu depinde de cantitatea de la care pornești.
O piesă având temperatura de $70$ de grade Celsius se răcește într-o cameră ținută la $20$ de grade, cu $k = 0, 04$ minute la puterea minus unu. Temperatura ei la momentul $t$ este:
- a) $T (t) = 20 + 50 e^{- 0, 04 t}$
- b) $T (t) = 70 e^{- 0, 04 t}$
- c) $T (t) = 20 + 70 e^{- 0, 04 t}$
- d) $T (t) = 50 + 20 e^{- 0, 04 t}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $T (t) = 20 + 50 e^{- 0, 04 t}$

Formula legii răcirii este $T (t) = T_{m} + (T_{0} - T_{m}) e^{- k t}$ , cu $T_{m} = 20$ și $T_{0} = 70$ , deci $T (t) = 20 + 50 e^{- 0, 04 t}$ . Varianta c) dă $T (0) = 90$ . Variantele b) și d) dau într-adevăr $T (0) = 70$ , dar nu verifică ecuația: pentru b) derivata este $- 2, 8 e^{- 0, 04 t}$ , iar $- 0, 04 (T - 20) = - 2, 8 e^{- 0, 04 t} + 0, 8$ ; pentru d) derivata este $- 0, 8 e^{- 0, 04 t}$ , iar membrul drept dă $- 1, 2 - 0, 8 e^{- 0, 04 t}$ .

Întrebări conexe

Cum separ variabilele în ecuația $y^{'} = x y$ ?

Pentru $y \neq = 0$ împarți la $y$ : $\frac{y ^{'}}{y} = x$ . Membrul stâng este derivata lui $ln ∣ y ∣$ , deci $ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + c$ și $y = C e^{x^{2} /2}$ . Verificare: derivata este $C e^{x^{2} /2} \cdot x = x y$ . Soluția nulă, $y = 0$ , este cuprinsă și ea în formulă, pentru $C = 0$ .

Cum aflu constanta de răcire dintr-o măsurătoare?

Pentru un ceai la $80$ de grade într-o cameră la $20$ , legea este $T = 20 + 60 e^{- k t}$ . Dacă după $10$ minute ceaiul are $50$ de grade, $60 e^{- 10 k} = 30$ , deci $e^{- 10 k} = \frac{1}{2}$ și $k = \frac{l n 2}{10} \approx 0, 069$ pe minut.

Cum rezolv ecuația $y^{'} = y^{2}$ cu $y (0) = 1$ ?

Pentru $y \neq = 0$ separi: $\frac{d y}{y ^{2}} = d x$ , deci $- \frac{1}{y} = x + C$ . Din $y (0) = 1$ rezultă $C = - 1$ , așa că $y = \frac{1}{1 - x}$ , pe intervalul $(- \infty, 1)$ . Verificare: $y^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = y^{2}$ . Soluția crește nemărginit când $x$ se apropie de $1$ .

De ce se poate împărți prin $y$ la separarea variabilelor?

La ecuații ca $y^{'} = k y$ , soluțiile sunt $C e^{k x}$ : fie funcția nulă, fie funcții care nu se anulează nicăieri. Funcția nulă se verifică separat, iar pentru celelalte împărțirea la $y$ este permisă în fiecare punct.

Ce ecuație descrie o populație de bacterii care se dublează?

Tot $N^{'} = k N$ , cu $k > 0$ , deci $N (t) = N_{0} e^{k t}$ . Dacă $500$ de bacterii se dublează la fiecare $3$ ore, $N (t) = 500 \cdot 2^{t /3}$ , iar după $9$ ore sunt $500 \cdot 8 = 4000$ de bacterii.

Oamenii mai întreabă și: legea dezintegrării radioactive · cât rămâne după timpul de înjumătățire · formula dezintegrării N0 e la minus lambda t · dezintegrare radioactivă ecuație diferențială