Ecuații cu variabile separabile (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

În lecția precedentă, Ecuații diferențiale: ce este o soluție, ai învățat să recunoști o soluție, dar nu și să o găsești: ecuația dezintegrării a rămas scrisă pe tablă, cu observația că funcția din enunț o verifică. Acum facem drumul invers, cel adevărat — pornim de la ecuație și ajungem la funcție. Metoda care rezolvă amândouă modelele-cheie ale capitolului, dezintegrarea radioactivă și răcirea unui corp, se numește separarea variabilelor și are exact trei pași. Este, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), singura tehnică de rezolvare pe care programa o cere ca atare; la bacalaureatul M2 ea intră în probă abia din 2030, odată cu MAT_P2.

Ca și restul unității, tema privește o singură generație. Ecuațiile diferențiale sunt aduse de programa aprobată prin OMEC 6930/2025 și ajung la clasă în anul școlar 2029–2030; elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Pentru promoția care va da proba MAT_P2 din 2030, capitolul stă în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o ecuație cu variabile separabile și să o deosebești de una care nu este.
Vei ști să aplici metoda în trei pași: separi, integrezi amândoi membrii, impui condiția.
Vei ști de ce ecuația $y^{'} = k y$ are soluțiile $c e^{k x}$ și ce spune semnul lui $k$ despre fenomen.
Vei ști să rezolvi ecuația dezintegrării radioactive și să deduci din ea timpul de înjumătățire.
Vei ști să rezolvi ecuația legii răcirii și să citești temperatura mediului din forma soluției.
Vei ști să declari intervalul pe care soluția găsită are sens și să faci proba în trei verificări.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „variabile separabile"?

Ecuație cu variabile separabile este o ecuație diferențială de ordinul întâi care poate fi adusă la forma

$g (y) \cdot y^{'} = f (x),$

adică una în care tot ce conține funcția necunoscută stă într-un membru, lângă $y^{'}$ , iar tot ce conține variabila independentă stă în celălalt.

Multe ecuații arată așa de la început sau după un pas simplu. În $y^{'} = 5 x y$ împărțim prin $y$ și obținem $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = 5 x$ : la stânga numai $y$ , la dreapta numai $x$ . La fel, $y^{'} = \frac{x}{y}$ devine $y \cdot y^{'} = x$ .

Nu orice ecuație se lasă însă despărțită. În $y^{'} = x + y$ cei doi termeni nu se pot separa: orice ai muta, într-unul dintre membri rămân și $x$ , și $y$ . Ecuația aceasta are soluții, dar metoda ei nu intră în programa profilului.

Reține deci primul gest al oricărei rezolvări: te uiți dacă ecuația se separă, înainte de a scrie orice altceva.

2. Care sunt cei trei pași?

Îi arătăm pe o ecuație de probă, aleasă tocmai ca să nu semene cu niciun model din lecție: $y^{'} = \frac{4 x}{y}$ , cu condiția $y (0) = 5$ , căutată acolo unde $y > 0$ .

Pasul 1 — separi. Înmulțim cu $y$ și obținem $y \cdot y^{'} = 4 x$ .

Pasul 2 — integrezi amândoi membrii. Aici se ascunde toată ideea. Membrul stâng este o derivată: după regula lanțului de la Derivarea funcțiilor compuse, $(\frac{y ^{2}}{2})^{'} = y \cdot y^{'}$ . Cum două funcții cu aceeași derivată pe un interval diferă printr-o constantă, obținem

$\frac{y ^{2}}{2} = 2 x^{2} + c .$

Pasul 3 — impui condiția. Din $y (0) = 5$ rezultă $\frac{25}{2} = c$ , deci $y^{2} = 4 x^{2} + 25$ . Cum am căutat $y > 0$ , scoatem $y (x) = 4 x^{2} + 25$ .

Proba se face ca în lecția precedentă: $y^{'} (x) = \frac{4 x}{4 x ^{2} + 25}$ , iar $\frac{4 x}{y ( x )}$ dă același lucru; în plus, $y (0) = 5$ .

Reține că pasul al doilea nu e „o mutare de simboluri", ci o aplicare a regulii lanțului, citită de la dreapta la stânga. Cine ține minte asta nu se rătăcește niciodată în calcul.

3. De ce apare exponențiala la $y^{'} = k y$ ?

Ecuația $y^{'} = k y$ , cu $k$ număr real nenul, este tiparul care revine în toate modelele capitolului. O rezolvăm o dată, cu litere, și apoi o folosim ca formulă.

Căutăm soluțiile cu $y > 0$ . Separăm: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = k$ . Membrul stâng este derivata lui $ln y$ , tot după regula lanțului, deci $ln y = k x + c_{0}$ . Scoatem $y$ trecând la exponențială: $y = e^{k x + c_{0}} = e^{c_{0}} \cdot e^{k x}$ , iar $e^{c_{0}}$ este un număr strict pozitiv, pe care îl notăm $c$ .

Soluțiile ecuației $y^{'} = k y$ sunt funcțiile $y (x) = c e^{k x}$ , cu $c$ număr real; pentru $c = 0$ se obține funcția nulă, care verifică și ea ecuația.

Semnul lui $k$ hotărăște comportarea, iar asta se citește direct din model: pentru $k > 0$ mărimea crește tot mai repede, pentru $k < 0$ ea scade apropiindu-se de zero fără să-l atingă. În fenomenele în care o mărime se împuținează singură, $k$ este negativ — exact situația din care a pornit lecția.

Observă și de ce modelul acesta e atât de răspândit în științe: el traduce propoziția „viteza de variație este proporțională cu cantitatea prezentă". Deosebirea față de situațiile din De la rată la cantitate este tocmai aceasta — acolo rata se citea la aparat, ca funcție de timp, aici ea depinde de mărimea necunoscută. Ai întâlnit-o deja la Derivarea funcțiilor compuse, unde ai verificat-o pe o masă radioactivă dată; acum ea nu mai e o observație, ci o ecuație pe care o rezolvi.

4. Ce facem cu semnul și cu împărțirea prin $y$ ?

Pasul 1 a cerut o împărțire prin $y$ , iar împărțirea cere $y \neq = 0$ . Merită lămurit ce se pierde și ce nu.

Dacă $y$ se anulează într-un punct, atunci, din forma soluției generale, $c = 0$ , deci funcția este nulă peste tot. Prin urmare o soluție care nu e identic nulă nu se anulează niciodată; ea păstrează același semn pe tot intervalul, iar împărțirea de la pasul 1 este legitimă — control pe care îl faci la final, pe soluția găsită, fiindcă argumentul se sprijină chiar pe forma ei. În modelele din științe mărimea este o masă, o concentrație sau o diferență de temperatură, deci pozitivă, și lucrăm de la început cu $y > 0$ .

Al doilea amănunt este constanta. Ea se adaugă o singură dată, după ce ai integrat amândoi membrii: dacă ai scrie câte o constantă în fiecare membru, ele s-ar aduna oricum într-una singură. În schimb, a nu o scrie deloc este greșeala care strică tot: fără constantă, condiția inițială nu mai are ce fixa.

5. Cum se rezolvă legea răcirii?

Un corp mai cald decât mediul se răcește cu atât mai repede cu cât diferența de temperatură e mai mare. Notăm cu $T (t)$ temperatura corpului la momentul $t$ , cu $T_{m}$ temperatura mediului, presupusă constantă, și cu $k > 0$ o constantă care depinde de corp și de mediu. Legea răcirii se scrie

$T^{'} (t) = - k (T (t) - T_{m}) .$

O rezolvăm cu literele fizice, pentru corpul mai cald decât mediul, deci cu $T - T_{m} > 0$ . Separăm: $\frac{1}{T - T _{m}} \cdot T^{'} = - k$ . Membrul stâng este derivata lui $ln (T - T_{m})$ , fiindcă $T_{m}$ este constantă, deci $ln (T - T_{m}) = - k t + c_{0}$ , de unde $T - T_{m} = c e^{- k t}$ . Dacă la momentul $0$ corpul avea temperatura $T_{0}$ , atunci $c = T_{0} - T_{m}$ și

$T (t) = T_{m} + (T_{0} - T_{m}) e^{- k t} .$

Formula se citește pe bucăți, și merită citită așa. Termenul $T_{m}$ este temperatura spre care se îndreaptă corpul; diferența $T_{0} - T_{m}$ este cât de departe a pornit; factorul $e^{- k t}$ spune cât a mai rămas din acea diferență. Pentru $t$ tot mai mare, factorul se apropie de zero, deci temperatura se apropie de $T_{m}$ fără să coboare sub ea — chiar asimptota orizontală pe care ai citit-o la Asimptote.

Forma algebrică generală a acestui tip de ecuație, în care derivata depinde liniar de funcție, și discuția ei completă — inclusiv cazul în care mărimea crește spre o valoare-prag — sunt la lecția următoare din unitate. Aici am rezolvat, prin separare, chiar modelul fizic.

6. Proba: trei verificări, nu una

Orice soluție găsită prin separare se verifică în trei pași, iar într-o rezolvare completă fiecare dintre ei se scrie.

Întâi derivezi funcția găsită. Apoi înlocuiești în ecuație, calculând separat cei doi membri, și arăți că sunt egali pe tot intervalul. În sfârșit, verifici condiția, punând în funcție valoarea din enunț.

Ordinea lor nu e întâmplătoare. Dacă prima verificare cade, greșeala este în integrare; dacă abia a treia cade, greșeala este în constantă. Proba spune, așadar, nu doar că ai greșit, ci și unde anume — un câștig de timp care contează la o lucrare cronometrată, unde rezolvarea nu se reface de la capăt.

Există și o a patra verificare, pe care niciun calcul nu o face în locul tău: rezultatul trebuie să fie posibil fizic. O masă rămâne pozitivă; o temperatură nu coboară sub cea a mediului; o concentrație nu crește la infinit. Când formula spune altceva, semnul unei constante a fost, cel mai adesea, citit invers.

7. Ce intră aici și ce rămâne pentru lecțiile următoare

Metoda separării rezolvă ecuațiile aduse la forma $g (y) \cdot y^{'} = f (x)$ — printre ele, toate ecuațiile de tip $y^{'} = k y$ și legea răcirii, cu care se închide partea de modele a unității.

Nu intră aici ecuațiile care nu se separă — cum e $y^{'} = x + y$ —, fiindcă metoda lor iese din programa profilului. Nu intră nici ecuațiile de ordinul al doilea, care au metoda lor, bazată pe o ecuație algebrică atașată, și sunt tratate în ultima lecție a unității. Nu intră nici integralele care cer alte tehnici decât cele din tabelul primitivelor — la profilul științe ale naturii, expresiile de integrat după separare rămân din familia celor pe care le recunoști deja din Primitive cu exponențială și logaritm.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tiparul $y^{'} = k y$ , cu condiție

Rezolvă ecuația $y^{'} = - \frac{y}{3}$ , cu condiția $y (0) = 15$ .

Rezolvare. Ecuația este de tipul $y^{'} = k y$ , cu $k = - \frac{1}{3}$ , deci soluțiile sunt $y (x) = c e^{- x /3}$ . Din $y (0) = c = 15$ obținem $y (x) = 15 e^{- x /3}$ . Proba: $y^{'} (x) = - 5 e^{- x /3}$ , iar $- \frac{y ( x )}{3} = - 5 e^{- x /3}$ ; în plus $y (0) = 15$ . Cum $k < 0$ , funcția scade și se apropie de zero.

Exemplul 2 — Dezintegrarea radioactivă și timpul de înjumătățire

Un preparat radioactiv folosit într-un laborator de medicină nucleară conține la început $N_{0} = 240$ de miligrame de substanță activă. Masa rămasă verifică ecuația $N^{'} (t) = - λ N (t)$ , cu $λ > 0$ constanta de dezintegrare, măsurată în ore la puterea minus unu, iar timpul de înjumătățire al preparatului este de $6$ ore. Determină $N (t)$ și masa rămasă după $18$ ore.

Rezolvare. Ecuația este tiparul din secțiunea a treia, cu $k = - λ$ , deci $N (t) = c e^{- λ t}$ , iar din $N (0) = 240$ obținem $c = 240$ .

Timpul de înjumătățire, notat $t_{1/2}$ , este momentul în care a rămas jumătate: $240 e^{- λ t} = 120$ , adică $e^{- λ t} = \frac{1}{2}$ , de unde $λ t = ln 2$ . Prin urmare, în general,

$t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} .$

Cu $t_{1/2} = 6$ ore obținem $λ = \frac{ln 2}{6} \approx 0, 1155$ ore la puterea minus unu, iar masa rămasă este $N (t) = 240 \cdot 2^{- t /6}$ miligrame, scriere echivalentă cu $240 e^{- λ t}$ . După $18$ ore au trecut trei perioade, deci $N (18) = 30$ de miligrame. Modelul e corect fizic: masa scade, rămâne pozitivă și se apropie de zero fără să-l atingă.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Pentru ecuația $y^{'} = 5 y$ cu condiția $y (0) = 4$ , un elev scrie: „împart prin $y$ , obțin $ln y = 5 x$ , deci soluția este $u (x) = e^{5 x}$ ". Unde greșește?

Rezolvare. A uitat constanta la pasul al doilea. Fără ea, familia se reduce la o singură funcție, iar condiția din enunț nu mai are ce fixa — și într-adevăr funcția lui dă $u (0) = e^{0} = 1 \neq = 4$ . Corect: $ln y = 5 x + c_{0}$ , deci $y (x) = c e^{5 x}$ , iar din $y (0) = 4$ rezultă $y (x) = 4 e^{5 x}$ . Proba: $y^{'} (x) = 20 e^{5 x} = 5 y (x)$ .

Exemplul 4 — O soluție care nu este exponențială

Rezolvă ecuația $y^{'} = y^{2}$ cu condiția $y (0) = \frac{1}{3}$ și precizează intervalul pe care soluția are sens.

Rezolvare. Separăm: $\frac{1}{y ^{2}} \cdot y^{'} = 1$ . Membrul stâng este derivata lui $- \frac{1}{y}$ , deci $- \frac{1}{y} = x + c$ . Din $y (0) = \frac{1}{3}$ obținem $- 3 = c$ , așadar $- \frac{1}{y} = x - 3$ și

$y (x) = \frac{1}{3 - x} .$

Numitorul se anulează la $x = 3$ , deci soluția care pornește din punctul dat trăiește pe intervalul $(- \infty, 3)$ , unde valorile ei rămân pozitive. Proba: $y^{'} (x) = \frac{1}{( 3 - x ) ^{2}}$ , adică exact pătratul funcției. Reține concluzia: separarea nu duce întotdeauna la exponențiale, iar intervalul soluției nu e neapărat tot domeniul pe care ecuația are sens.

Exemplul 5 — Legea răcirii, cu date de laborator

O probă scoasă din etuvă are temperatura de $84$ de grade Celsius și este lăsată să se răcească într-o încăpere ținută la $24$ de grade. După $12$ minute, termometrul arată $54$ de grade. Determină $T (t)$ și temperatura după $36$ de minute.

Rezolvare. Folosim formula dedusă mai sus, cu $T_{m} = 24$ și $T_{0} = 84$ : $T (t) = 24 + 60 e^{- k t}$ . Constanta $k$ se află din măsurătoare: $24 + 60 e^{- 12 k} = 54$ , deci $60 e^{- 12 k} = 30$ , adică $e^{- 12 k} = \frac{1}{2}$ și $12 k = ln 2$ . Așadar $k = \frac{ln 2}{12} \approx 0, 0578$ minute la puterea minus unu, iar

$T (t) = 24 + 60 \cdot 2^{- t /12} .$

După $36$ de minute au trecut trei intervale de câte $12$ minute, deci diferența s-a înjumătățit de trei ori: $T (36) = 24 + 7, 5 = 31, 5$ grade Celsius. Modelul e valabil cât timp încăperea își păstrează temperatura, iar proba arată că $T$ scade mereu și rămâne peste $24$ de grade.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră ecuația diferențială $y^{'} = \frac{2 y}{x}$ , cu necunoscuta $y : (0, + \infty) \to R$ , $y > 0$ .

a) Arată că funcția $u (x) = 3 x^{2}$ este soluție.

b) Determină soluția generală a ecuației.

c) Determină soluția pentru care $y (1) = 5$ .

Rezolvare. a) Avem $u^{'} (x) = 6 x$ , iar $\frac{2 u ( x )}{x} = \frac{6 x ^{2}}{x} = 6 x$ ; cei doi membri coincid pe $(0, + \infty)$ .

b) Separăm: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{2}{x}$ . Membrul stâng este derivata lui $ln y$ , iar membrul drept are primitiva $2 ln x$ pe $(0, + \infty)$ , deci $ln y = 2 ln x + c_{0}$ . Trecem la exponențială: $y = e^{c_{0}} x^{2}$ , adică $y (x) = c x^{2}$ , cu $c > 0$ .

c) Din $y (1) = c = 5$ obținem $y (x) = 5 x^{2}$ . Proba: $y^{'} (x) = 10 x$ , iar $\frac{2 \cdot 5 x ^{2}}{x} = 10 x$ .

Să exersăm

1. Rezolvă ecuația $y^{'} = 4 y$ cu condiția $y (0) = 2$ .

2. Rezolvă ecuația $y^{'} = - 0, 5 y$ cu condiția $y (0) = 8$ .

3. Rezolvă ecuația $y^{'} = \frac{6}{y}$ cu condiția $y (0) = 2$ , căutând soluția cu $y > 0$ .

4. Rezolvă ecuația $y^{'} = 6 x y$ cu condiția $y (0) = 1$ , pentru $y > 0$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă funcția $y$ este soluție a ecuației $y^{'} = 5 y$ , atunci funcția $z = y^{2}$ este soluție a ecuației $z^{'} = 10 z$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă ecuația $y^{'} = - 3 y$ cu condiția $y (0) = 7$ .

7. Rezolvă ecuația $y^{'} = \frac{y}{x}$ pe $(0, + \infty)$ , cu $y (1) = 4$ și $y > 0$ .

8. Arată că funcția $y (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ verifică ecuația $y^{'} = 2 x y^{2}$ și precizează cel mai mare interval care conține $0$ pe care funcția este definită.

9. (Găsește greșeala.) Pentru o masă care se dezintegrează, un elev scrie ecuația $m^{'} (t) = 0, 2 m (t)$ și obține $m (t) = m_{0} e^{0, 2 t}$ . Ce nu se potrivește cu fenomenul?

10. (Problemă aplicată.) Carbonul-14 dintr-un organism mort se dezintegrează după ecuația $N^{'} (t) = - λ N (t)$ , iar timpul lui de înjumătățire este de $5730$ de ani. O piesă de lemn dintr-un sit arheologic mai conține un sfert din carbonul-14 inițial. Determină $λ$ în funcție de $ln 2$ și vârsta piesei.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă ecuația $y^{'} = \frac{y}{4}$ cu condiția $y (0) = 12$ și calculează $y (8)$ , cu două zecimale.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă o funcție $y$ verifică ecuația $y^{'} = k y$ , cu $k \neq = 0$ , și $y (0) = y (1)$ , atunci $y$ este funcția nulă.

13. O mărime verifică $y^{'} = - 0, 2 y$ și $y (0) = 50$ . Determină după cât timp ea scade la jumătate, exprimând răspunsul cu ajutorul lui $ln 2$ și apoi cu două zecimale.

14. Rezolvă ecuația $y^{'} = \frac{2 y}{3}$ cu condiția $y (3) = 6$ , pentru $y > 0$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) O piesă metalică încălzită la $86$ de grade Celsius este introdusă într-o baie de apă ținută la $22$ de grade. Temperatura ei verifică $T^{'} (t) = - k (T (t) - 22)$ , cu $k = 0, 05$ minute la puterea minus unu. a) Determină $T (t)$ . b) Calculează $T (20)$ , cu două zecimale. c) După cât timp diferența dintre piesă și baie scade sub un grad?

16. Care dintre ecuațiile $y^{'} = x + y$ , $y^{'} = x y$ , $y^{'} = \frac{y}{x}$ și $y^{'} = x^{2} + y^{2}$ au variabilele separabile? Motivează.

17. Rezolvă ecuația $y^{'} = \frac{y}{x + 1}$ pe $(- 1, + \infty)$ , cu $y (0) = 3$ și $y > 0$ .

18. (Provocare.) O probă verifică $y^{'} = - λ y$ , cu $λ > 0$ , iar măsurătorile dau $y (0) = 80$ și $y (4) = 20$ , în miligrame, cu $t$ în zile. Determină $λ$ , timpul de înjumătățire și masa rămasă după $10$ zile.

Răspunsuri și explicații

1. $y (x) = 2 e^{4 x}$ , din $y (0) = c = 2$ . Proba: derivata dă $8 e^{4 x}$ , iar de patru ori funcția, tot $8 e^{4 x}$ .

2. $y (x) = 8 e^{- 0, 5 x}$ . Cum exponentul are coeficient negativ, funcția scade spre zero.

3. Separăm: $y \cdot y^{'} = 6$ , deci $\frac{y ^{2}}{2} = 6 x + c$ . Din $y (0) = 2$ rezultă $c = 2$ , așadar $y^{2} = 12 x + 4$ și $y (x) = 12 x + 4$ , definită pentru $12 x + 4 > 0$ .

4. Separăm: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = 6 x$ , deci $ln y = 3 x^{2} + c_{0}$ și $y (x) = c e^{3 x^{2}}$ . Din $y (0) = 1$ obținem $y (x) = e^{3 x^{2}}$ .

5. Adevărat. Derivăm produsul: $z^{'} = (y^{2})^{'} = 2 y \cdot y^{'}$ , iar din ecuație $y^{'} = 5 y$ , deci $z^{'} = 2 y \cdot 5 y = 10 y^{2} = 10 z$ . Verificarea se face fără să rezolvi vreuna dintre cele două ecuații — semn că proba prin derivare și substituție merge și pe funcții scrise cu litere.

6. Ecuația este tiparul $y^{'} = k y$ cu $k = - 3$ , deci soluțiile sunt $y (x) = c e^{- 3 x}$ , iar din $y (0) = 7$ rezultă $y (x) = 7 e^{- 3 x}$ . Coeficientul negativ de la exponent arată o mărime care scade rapid spre zero.

7. Separăm: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{1}{x}$ , deci $ln y = ln x + c_{0}$ și $y (x) = c x$ . Din $y (1) = 4$ obținem $y (x) = 4 x$ .

8. Derivata funcției $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ este $\frac{2 x}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}}$ , adică $2 x$ înmulțit cu pătratul funcției; egalitatea se verifică peste tot unde funcția e definită. Numitorul se anulează la $- 1$ și la $1$ , deci intervalul cerut este $(- 1, 1)$ .

9. Semnul. Ecuația scrisă de el are coeficient pozitiv, deci descrie o masă care crește exponențial, ceea ce nu se potrivește cu dezintegrarea. Corect este $m^{'} (t) = - 0, 2 m (t)$ , cu soluția $m (t) = m_{0} e^{- 0, 2 t}$ , care scade.

10. Din $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ obținem $λ = \frac{ln 2}{5 730}$ ani la puterea minus unu. Un sfert înseamnă două înjumătățiri succesive, deci vârsta este $2 \cdot 5730 = 11460$ de ani.

11. $y (x) = 12 e^{x /4}$ , iar $y (8) = 12 e^{2} \approx 88, 67$ .

12. Adevărat. Soluțiile au forma $y (x) = c e^{k x}$ , deci condiția se scrie $c = c e^{k}$ , adică $c (1 - e^{k}) = 0$ . Cum $k \neq = 0$ , avem $e^{k} \neq = 1$ , deci paranteza nu se anulează și rămâne $c = 0$ . O mărime care ascultă de acest model și revine la o valoare deja atinsă este, prin urmare, constant nulă — motiv pentru care nicio dezintegrare și nicio răcire nu „se întoarce" la o valoare de mai devreme.

13. Soluția este $y (t) = 50 e^{- 0, 2 t}$ , iar jumătatea se atinge când $e^{- 0, 2 t} = \frac{1}{2}$ , adică $0, 2 t = ln 2$ . Rezultă $t = 5 ln 2 \approx 3, 47$ unități de timp.

14. Soluțiile sunt $y (x) = c e^{2 x /3}$ . Din $y (3) = c e^{2} = 6$ obținem $c = 6 e^{- 2}$ , deci $y (x) = 6 e^{(2 x - 6) /3}$ . Verificare rapidă: pentru $x = 3$ exponentul este zero, iar funcția dă $6$ .

15. a) Formula legii răcirii, cu $T_{m} = 22$ și $T_{0} = 86$ , dă $T (t) = 22 + 64 e^{- 0, 05 t}$ . b) La $t = 20$ exponentul este $- 1$ , deci $T (20) = 22 + 64 e^{- 1} \approx 22 + 23, 54 = 45, 54$ grade Celsius. c) Diferența față de baie este $64 e^{- 0, 05 t}$ , iar condiția $64 e^{- 0, 05 t} < 1$ se scrie $e^{- 0, 05 t} < \frac{1}{64}$ . Cum $64 = 2^{6}$ , rezultă $0, 05 t > 6 ln 2$ , adică $t > 120 ln 2 \approx 83, 18$ minute. Diferența se micșorează oricât de mult, dar nu ajunge niciodată la zero — de aceea întrebarea are răspuns numai cu un prag dat.

16. A doua și a treia. La $y^{'} = x y$ împărțim prin $y$ și rămâne $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = x$ ; la $y^{'} = \frac{y}{x}$ , la fel, cu membrul drept $\frac{1}{x}$ . Celelalte două au sume în care $x$ și $y$ nu se pot despărți: orice mutare lasă ambele litere în același membru.

17. Separăm: $\frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{1}{x + 1}$ . Membrul drept are primitiva $ln (x + 1)$ pe $(- 1, + \infty)$ , deci $ln y = ln (x + 1) + c_{0}$ și $y (x) = c (x + 1)$ . Din $y (0) = 3$ obținem $c = 3$ , deci $y (x) = 3 x + 3$ .

18. Soluțiile sunt $y (t) = c e^{- λ t}$ , iar $y (0) = 80$ dă $c = 80$ . Din $y (4) = 20$ obținem $e^{- 4 λ} = \frac{1}{4}$ , deci $4 λ = 2 ln 2$ și $λ = \frac{ln 2}{2} \approx 0, 3466$ zile la puterea minus unu. Timpul de înjumătățire este $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} = 2$ zile — se vedea și direct, fiindcă în patru zile masa a scăzut de patru ori, adică s-a înjumătățit de două ori. Prin urmare $y (t) = 80 \cdot 2^{- t /2}$ și $y (10) = 2, 5$ miligrame.

De reținut

O ecuație are variabilele separabile dacă poate fi adusă la forma $g (y) \cdot y^{'} = f (x)$ ; primul gest al rezolvării este să verifici dacă se separă.
Metoda are trei pași: separi, integrezi amândoi membrii — folosind faptul că membrul stâng este o derivată, după regula lanțului — și impui condiția din enunț.
Ecuația $y^{'} = k y$ are soluțiile $y (x) = c e^{k x}$ ; semnul lui $k$ arată dacă mărimea crește sau scade, iar $c$ se află din condiția inițială.
La dezintegrare, $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ și $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ ; la răcire, $T (t) = T_{m} + (T_{0} - T_{m}) e^{- k t}$ , iar temperatura se apropie de $T_{m}$ fără să coboare sub ea.
Constanta se adaugă o singură dată, după integrarea ambilor membri, iar soluția găsită se declară împreună cu intervalul pe care are sens.

Greșeli frecvente

Uiți constanta la integrare. Fără ea rămâne o singură funcție, iar condiția din enunț nu mai are ce fixa. Constanta se scrie în rândul în care ai integrat, nu se adaugă la sfârșit.
Pui coeficientul din ecuație în fața exponențialei. Pentru $y^{'} = k y$ numărul $k$ merge la exponent; în față stă constanta care vine din condiția inițială, nu cea din ecuație.
Citești invers semnul într-un model. O mărime care se împuținează are coeficient negativ. Dacă exponentul iese pozitiv la o dezintegrare, greșeala e în traducerea enunțului, nu în calcul.
Împarți prin $y$ fără să te întrebi dacă se poate. Împărțirea cere $y \neq = 0$ ; se spune într-un rând că soluția nenulă nu se anulează, apoi se continuă. Rândul acesta nu se sare.
Uiți intervalul soluției. O soluție de forma $\frac{1}{3 - x}$ nu e definită peste tot; răspunsul complet spune pe ce interval, cel care conține punctul din condiție, are sens funcția găsită.

Aplică acasă

Ceaiul și termometrul. Toarnă o ceașcă de apă fierbinte și măsoară temperatura din cinci în cinci minute, notând și temperatura camerei. Calculează, pentru fiecare interval, diferența dintre apă și cameră și împarte fiecare diferență la cea dinaintea ei. Dacă rapoartele ies aproape egale, ai verificat experimental forma exponențială a legii răcirii; estimează apoi după câte minute se înjumătățește diferența.
Timpul de înjumătățire dintr-un prospect. Caută pe prospectul unui medicament timpul de înjumătățire plasmatică și calculează din el constanta $λ$ . Scrie funcția care dă cantitatea rămasă dintr-o doză de $500$ de miligrame și calculează cât mai rămâne după opt și după douăzeci și patru de ore. Compară rezultatul cu intervalul dintre doze recomandat în prospect.
Trei ecuații, o singură întrebare. Scrie ecuațiile $y^{'} = 2 y$ , $y^{'} = \frac{2}{y}$ și $y^{'} = 2 x y$ și rezolvă-le pe toate trei cu aceeași condiție, $y (0) = 1$ . Notează ce formă are soluția în fiecare caz — exponențială, radical, exponențială cu pătrat la exponent — și formulează într-o frază de ce metoda e aceeași, deși răspunsurile nu seamănă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște că ecuația se separă; dacă scrie constanta în rândul în care integrează; dacă folosește condiția din enunț ca să determine constanta; și dacă face proba în trei verificări, încheind cu o propoziție despre plauzibilitatea fizică a rezultatului.

Dificultatea nu stă în calcul, care se reduce la două primitive cunoscute, ci în pasul al doilea al metodei. Elevii îl învață adesea ca pe o mutare mecanică de simboluri și se rătăcesc la prima ecuație care nu arată ca cele exersate. Antidotul este să vadă, o dată, de ce membrul stâng chiar este o derivată: regula lanțului, citită de la dreapta la stânga. Cinci minute petrecute acolo economisesc o oră mai târziu.

A doua sursă de pierderi sunt semnele din modele. „Se dezintegrează", „se răcește", „se elimină" cer un coeficient negativ, iar un exponent pozitiv la o mărime care scade trebuie să declanșeze alarma. Merită cerut, la fiecare problemă aplicată, un comentariu de o frază: crește sau scade, spre ce valoare se îndreaptă și pe ce interval are sens modelul.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Se separă ecuația? Arată cum."; „Unde ai scris constanta?"; „De unde știi semnul exponentului?"; „Pe ce interval e valabilă soluția?". Semne că a înțeles: verifică soluția fără să i se ceară și spune, la modelele fizice, spre ce valoare tinde mărimea.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Ecuații diferențiale: ecuații cu variabile separabile". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține ecuațiile diferențiale — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o ecuație are variabilele separabile?

Înseamnă că ea poate fi adusă la forma $g (y) \cdot y^{'} = f (x)$ : tot ce conține funcția necunoscută într-un membru, lângă derivată, iar tot ce conține variabila independentă în celălalt membru. Ecuațiile $y^{'} = 5 x y$ și $y^{'} = \frac{x}{y}$ se separă, printr-o împărțire sau printr-o înmulțire; $y^{'} = x + y$ nu se separă, fiindcă suma celor două litere nu se poate despărți prin niciun astfel de gest.

Care sunt cei trei pași ai metodei?

Separi variabilele; integrezi amândoi membrii, folosind faptul că membrul stâng este derivata unei funcții compuse, și adaugi o singură constantă; impui condiția din enunț și afli constanta. La final scoți, dacă se poate, funcția necunoscută și precizezi intervalul pe care soluția are sens.

De ce soluția lui $y^{'} = k y$ este $c e^{k x}$ ?

Pentru că, după separare, membrul stâng devine derivata lui $ln y$ , iar membrul drept are primitiva $k x$ . Din $ln y = k x + c_{0}$ se trece la exponențială și se obține $y = e^{c_{0}} e^{k x}$ , unde $e^{c_{0}}$ este constanta pozitivă notată $c$ . Funcția nulă este și ea soluție, pentru $c = 0$ .

Cum se află timpul de înjumătățire?

Se pune condiția ca din cantitatea inițială să mai rămână jumătate, adică $N_{0} e^{- λ t} = \frac{N _{0}}{2}$ . Simplificând cu $N_{0}$ și logaritmând egalitatea rămasă, rezultă $λ t = ln 2$ , deci $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ . Observă că timpul de înjumătățire nu depinde de cantitatea de la care pornești, ci numai de constanta de dezintegrare a substanței.

De ce temperatura nu coboară sub cea a mediului?

Pentru că soluția are forma $T_{m} + (T_{0} - T_{m}) e^{- k t}$ , iar exponențiala ia numai valori strict pozitive. Dacă a pornit mai cald decât mediul, al doilea termen rămâne pozitiv oricât ar trece timpul; el se micșorează spre zero, deci temperatura se apropie de cea a mediului fără să o atingă.

Se studiază ecuațiile cu variabile separabile și la mate-info (M1)?

Nu. Ecuațiile diferențiale lipsesc cu totul din programa de matematică-informatică a clasei a XII-a, al cărei capitol de analiză se oprește la primitive, integrala definită și aplicațiile ei. Nu există, prin urmare, o lecție-pereche la M1 spre care să trimitem pentru comparație; tema este specifică profilului științe ale naturii.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La sesiunile 2027, 2028 și 2029 nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale. Tema intră în probă de la MAT_P2, din 2030, în domeniul „Analiză matematică". Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Ce fac dacă ecuația nu se separă?

Întâi te uiți încă o dată: ecuațiile în care derivata depinde liniar de funcție se separă și ele, iar forma lor generală vine la lecția următoare; cele de ordinul al doilea cu coeficienți constanți au metoda lor, cu o ecuație algebrică atașată. Dacă ecuația nu se separă în niciun fel — cum e $y^{'} = x + y$ —, metoda ei nu intră în programa profilului: important e să recunoști din prima că metoda de aici nu se aplică.