Soluția generală a ecuației $$y''-6y'+8y=0$$ este:

$$y(x)=\left(c_1+c_2x\right)e^{3x}$$

$$y(x)=e^{3x}\left(c_1\cos x+c_2\sin x\right)$$

Soluția generală a ecuației $$y''+10y'+34y=0$$ este:

$$y(x)=e^{-5x}\left(c_1\cos 3x+c_2\sin 3x\right)$$

$$y(x)=e^{5x}\left(c_1\cos 3x+c_2\sin 3x\right)$$

$$y(x)=e^{-3x}\left(c_1\cos 5x+c_2\sin 5x\right)$$

Cum se rezolvă ecuația oscilatorului armonic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuații de ordinul al doilea

Ecuația $x^{''} + ω^{2} x = 0$ are ecuația caracteristică $r^{2} + ω^{2} = 0$ , fără rădăcini reale, deci soluția generală este $x = c_{1} cos ω t + c_{2} sin ω t$ . Exemplu: un corp de $0, 5$ kg pe un resort cu $k = 50$ N/m are $ω = 100 = 10$ rad/s. Tras la $0, 03$ m și lăsat liber, $x (0) = 0, 03$ și $x^{'} (0) = 0$ dau $x = 0, 03 cos 10 t$ . Perioada este $\frac{2 π}{10} \approx 0, 63$ s.

Pentru $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ , cu coeficienți numerici, rezolvarea trece printr-o ecuație algebrică. Se încearcă $y = e^{r x}$ ; se derivează, se scoate exponențiala factor comun și rămâne $r^{2} + a r + b = 0$ , numită ecuație caracteristică, cu aceiași coeficienți și în aceeași ordine. Exponențiala nu se anulează nicăieri, deci condiția cade asupra parantezei.

Forma familiei o hotărăște discriminantul, iar hotărârea vine înaintea oricărui alt calcul. Pentru $Δ > 0$ , cu rădăcini distincte, se scriu două exponențiale. Pentru $Δ = 0$ rămâne o singură rădăcină, deci o singură exponențială: lipsa se acoperă înmulțind-o cu variabila, de unde $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{r x}$ . Pentru $Δ < 0$ rădăcini reale nu există, iar răspunsul oscilează: cu $α = - \frac{a}{2}$ și $β = \frac{- Δ}{2}$ se obține $y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$ .

Fiind două constante, se cer două condiții, amândouă în același punct — valoarea funcției, apoi valoarea derivatei —, iar din ele iese un sistem de gradul întâi.

Modelul care cere o asemenea ecuație este oscilatorul armonic, $x^{''} + ω^{2} x = 0$ , cu $ω = \frac{k}{m}$ , perioadă $T = \frac{2 π}{ω}$ și frecvență $f = \frac{1}{T}$ . Nici corpul atârnat, nici resortul nu se schimbă atunci când deplasarea de pornire este mai mare, așa că perioada rămâne aceeași. Conținutul este cerut abia de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

ecuația caracteristică: $r^{2} + a r + b = 0$
oscilator: $x^{''} + ω^{2} x = 0$ , cu $x = c_{1} cos ω t + c_{2} sin ω t$
perioada $T = \frac{2 π}{ω}$ , cu $ω = \frac{k}{m}$

Greșeala tipică

La $y^{''} + 9 y = 0$ se scrie $y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 3 x}$ , ca și cum ecuația caracteristică ar fi $r^{2} - 9 = 0$ ; aici $r^{2} + 9 = 0$ nu are rădăcini reale, iar soluția este $c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația caracteristică a ecuației diferențiale $y^{''} + 9 y^{'} - 2 y = 0$ este:
- a) $r^{2} - 9 r + 2 = 0$
- b) $r^{2} + 9 r - 2 = 0$
- c) $9 r^{2} + r - 2 = 0$
- d) $r^{2} + 9 r + 2 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $r^{2} + 9 r - 2 = 0$

Coeficienții ecuației caracteristice sunt, în aceeași ordine, coeficienții ecuației diferențiale: din $y^{''} + 9 y^{'} - 2 y = 0$ se obține $r^{2} + 9 r - 2 = 0$ . Varianta a) schimbă amândouă semnele, c) mută coeficientul lui $y^{'}$ la $r^{2}$ , iar d) schimbă semnul termenului liber. Verificarea cea mai sigură este înlocuirea unei rădăcini găsite în ecuația diferențială.
Soluția generală a ecuației $y^{''} - 6 y^{'} + 8 y = 0$ este:
- a) $y (x) = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{2 x}$
- b) $y (x) = c_{1} e^{- 4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$
- c) $y (x) = (c_{1} + c_{2} x) e^{3 x}$
- d) $y (x) = e^{3 x} (c_{1} cos x + c_{2} sin x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y (x) = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{2 x}$

Ecuația caracteristică este $r^{2} - 6 r + 8 = 0$ , cu $Δ = 36 - 32 = 4 > 0$ și rădăcinile $r_{1, 2} = \frac{6 \pm 2}{2}$ , adică $4$ și $2$ . Discriminantul fiind pozitiv, cu rădăcini distincte, soluția generală este $c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{2 x}$ . Varianta b) schimbă semnul rădăcinilor, iar c) și d) sunt formele celorlalte două cazuri, care nu se potrivesc aici.
Soluția generală a ecuației $y^{''} + 10 y^{'} + 34 y = 0$ este:
- a) $y (x) = e^{5 x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$
- b) $y (x) = e^{- 3 x} (c_{1} cos 5 x + c_{2} sin 5 x)$
- c) $y (x) = e^{- 5 x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$
- d) $y (x) = c_{1} e^{- 5 x} + c_{2} e^{3 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y (x) = e^{- 5 x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$

Ecuația caracteristică este $r^{2} + 10 r + 34 = 0$ , cu $Δ = 100 - 136 = - 36 < 0$ , deci suntem în cazul oscilant. Atunci $α = - \frac{10}{2} = - 5$ și $β = \frac{36}{2} = 3$ , iar soluția generală este $e^{- 5 x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$ . Varianta a) greșește semnul lui $α$ , b) schimbă între ele rolurile lui $α$ și $β$ , iar d) folosește forma cazului cu discriminant pozitiv, deși rădăcini reale nu există.

Întrebări conexe

Ce soluție are ecuația $y^{''} - y = 0$ ?

Ecuația caracteristică $r^{2} - 1 = 0$ are rădăcinile $1$ și $- 1$ , deci $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$ . Cu $y (0) = 2$ și $y^{'} (0) = 0$ se obține $c_{1} + c_{2} = 2$ și $c_{1} - c_{2} = 0$ , adică $y = e^{x} + e^{- x}$ . Funcția obținută are minimul $2$ în origine și crește de o parte și de alta.

Ce arată factorul $e^{α x}$ în soluția cu $Δ < 0$ ?

Dacă $α < 0$ , amplitudinea oscilațiilor scade în timp: mișcarea este amortizată. Pentru $y^{''} + 2 y^{'} + 10 y = 0$ , $Δ = 4 - 40 = - 36$ , $α = - 1$ și $β = 3$ , deci $y = e^{- x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$ , o oscilație care se stinge. La un resort real, frecarea cu aerul produce exact acest tip de amortizare.

Cum aflu constantele din $y (0)$ și $y^{'} (0)$ la $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ ?

Rădăcinile lui $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ sunt $1$ și $2$ , deci $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x}$ . Pentru $y (0) = 0$ și $y^{'} (0) = 1$ : $c_{1} + c_{2} = 0$ și $c_{1} + 2 c_{2} = 1$ , deci $c_{2} = 1$ , $c_{1} = - 1$ și $y = e^{2 x} - e^{x}$ . Proba: $y (0) = 1 - 1 = 0$ , iar $y^{'} (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$ dă $y^{'} (0) = 1$ .

Cum verific că $cos 3 x$ este soluție a ecuației $y^{''} + 9 y = 0$ ?

Derivezi de două ori: $y^{'} = - 3 sin 3 x$ și $y^{''} = - 9 cos 3 x$ . Înlocuind, $- 9 cos 3 x + 9 cos 3 x = 0$ pentru orice $x$ , deci funcția este soluție; este cea cu $c_{1} = 1$ și $c_{2} = 0$ . Tot așa se verifică și $sin 3 x$ , deci orice combinație $c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x$ este soluție.

Ce ecuație are soluțiile $c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 5 x}$ ?

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt $2$ și $- 5$ , deci ea este $(r - 2) (r + 5) = r^{2} + 3 r - 10 = 0$ . Ecuația diferențială corespunzătoare este $y^{''} + 3 y^{'} - 10 y = 0$ . Coeficienții se citesc și din relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este $- 3$ , iar produsul lor este $- 10$ .

Oamenii mai întreabă și: soluția oscilatorului armonic · ecuația x secund plus omega pătrat x egal zero · mișcarea resortului ca ecuație diferențială · oscilații armonice ecuație diferențială

Cum se rezolvă ecuația oscilatorului armonic?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce soluție are ecuația y′′−y=0?

Ce arată factorul eαx în soluția cu Δ<0?

Cum aflu constantele din y(0) și y′(0) la y′′−3y′+2y=0?

Cum verific că cos3x este soluție a ecuației y′′+9y=0?

Ce ecuație are soluțiile c1​e2x+c2​e−5x?

Continuă cu

Ce soluție are ecuația $y^{''} - y = 0$ ?

Ce arată factorul $e^{α x}$ în soluția cu $Δ < 0$ ?

Cum aflu constantele din $y (0)$ și $y^{'} (0)$ la $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ ?

Cum verific că $cos 3 x$ este soluție a ecuației $y^{''} + 9 y = 0$ ?

Ce ecuație are soluțiile $c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 5 x}$ ?