Ecuații diferențiale de ordinul al doilea (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Un corp prins de un resort și tras puțin într-o parte nu se întoarce liniștit la locul lui: trece de el, ajunge tot atât de departe în cealaltă parte și o ia de la capăt. Legea care produce mișcarea aceasta este, în fizică, de o simplitate izbitoare — forța elastică este proporțională cu deplasarea și îndreptată invers —, dar, scrisă matematic, ea leagă poziția corpului nu de derivata întâi, ci de derivata a doua. Ultima lecție a unității, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), arată cum se rezolvă astfel de ecuații, cu o metodă neașteptat de scurtă: o ecuație de gradul al doilea, obișnuită, rezolvată cu discriminantul. La bacalaureatul M2 tema nu se dă în sesiunile 2027–2029, ci abia de la proba MAT_P2 din 2030.

Ca și celelalte lecții ale unității, tema privește o singură generație. Ecuațiile diferențiale sunt aduse de programa aprobată prin OMEC 6930/2025 și ajung efectiv la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Pentru promoția care va da proba MAT_P2 din 2030, capitolul stă în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști ecuația omogenă de ordinul al doilea cu coeficienți constanți și să-i scrii ecuația caracteristică.
Vei ști de ce încercarea $y = e^{r x}$ duce la o ecuație de gradul al doilea în $r$ .
Vei ști să dai soluția generală în fiecare dintre cele trei cazuri de discriminant.
Vei ști de ce la rădăcină dublă apare factorul $x$ și de ce la discriminant negativ apar sinusul și cosinusul.
Vei ști să determini cele două constante din condițiile inițiale, rezolvând un sistem de gradul întâi.
Vei ști să scrii ecuația oscilatorului armonic și să-i afli perioada și frecvența.

Hai să descoperim împreună

1. Ce ecuație rezolvăm aici?

Ecuație diferențială omogenă de ordinul al doilea, cu coeficienți constanți se numește o ecuație de forma

$y^{''} + a y^{'} + b y = 0,$

în care $a$ și $b$ sunt numere reale fixate. Cuvântul omogenă se referă la membrul drept: el este nul. Necunoscuta este, ca peste tot în unitate, o funcție, iar în ecuație apar funcția, derivata ei și derivata a doua, noțiune de la Derivata a doua.

Nu este prima ecuație de ordinul al doilea pe care o întâlnești. În Ecuații diferențiale: ce este o soluție ai rezolvat ecuații de tipul $y^{''} = f (x)$ , integrând de două ori. Acolo derivata a doua era dată direct; aici ea este legată de funcția însăși, iar integrarea succesivă nu mai are de unde porni. Trebuie altceva.

Programa profilului cere „ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți" — adică, în limbajul lecției, de ordin cel mult doi. Cazul în care membrul drept nu este nul are metode proprii, pe care programa științelor ale naturii nu le cere, așa că lecția se ocupă numai de ecuația omogenă — și o spune de la început, ca să știi unde se oprește materia.

O lămurire de notație, ca să nu se încurce literele. În lecția aceasta $Δ$ este discriminantul ecuației de gradul al doilea atașate, nu determinantul unui sistem, cum era în primele lecții ale clasei; în unitatea de față nu apare niciun determinant.

2. De ce încercăm $y = e^{r x}$ ?

Ecuația cere o funcție care, derivată o dată și de două ori, să se combine cu ea însăși până la zero. Ca să se poată aduna termeni de trei feluri și să iasă zero, cele trei funcții — $y$ , $y^{'}$ și $y^{''}$ — trebuie să semene între ele. O singură familie de funcții are proprietatea că derivata seamănă cu funcția: exponențialele.

Încercăm deci $y (x) = e^{r x}$ , cu $r$ număr real de aflat. Atunci $y^{'} (x) = r e^{r x}$ și $y^{''} (x) = r^{2} e^{r x}$ , iar ecuația devine $r^{2} e^{r x} + a r e^{r x} + b e^{r x} = 0$ , adică, dând factor comun,

$e^{r x} (r^{2} + a r + b) = 0.$

Cum exponențiala nu se anulează niciodată, rămâne condiția $r^{2} + a r + b = 0$ .

Ecuația caracteristică a ecuației $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ este ecuația de gradul al doilea $r^{2} + a r + b = 0$ ; coeficienții ei sunt, în aceeași ordine, coeficienții ecuației diferențiale. Fiecare rădăcină reală $r$ a ei dă soluția $y = e^{r x}$ . Numele a fost anunțat la finalul lecției Ecuații diferențiale: ce este o soluție, unde se spunea doar că ultima lecție a unității se sprijină pe el; aici îl definim și îl folosim.

Mai avem nevoie de o observație, care face din câteva soluții o familie întreagă: dacă $y_{1}$ și $y_{2}$ sunt soluții, atunci și $c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ este soluție, oricare ar fi numerele $c_{1}$ și $c_{2}$ . Se verifică într-un rând, derivând: membrul stâng calculat pentru $c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ dă $c_{1} (y_{1}^{''} + a y_{1}^{'} + b y_{1}) + c_{2} (y_{2}^{''} + a y_{2}^{'} + b y_{2})$ , adică $c_{1} \cdot 0 + c_{2} \cdot 0 = 0$ .

3. Primul caz: discriminant pozitiv

Fie ecuația $y^{''} - y^{'} - 6 y = 0$ . Ecuația caracteristică este $r^{2} - r - 6 = 0$ , cu $Δ = 1 + 24 = 25$ , deci rădăcinile $r_{1} = 3$ și $r_{2} = - 2$ . Cele două soluții sunt $e^{3 x}$ și $e^{- 2 x}$ , iar din observația de mai sus obținem familia

$y (x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 2 x} .$

Proba, pe care merită s-o vezi făcută o dată: $y^{'} (x) = 3 c_{1} e^{3 x} - 2 c_{2} e^{- 2 x}$ și $y^{''} (x) = 9 c_{1} e^{3 x} + 4 c_{2} e^{- 2 x}$ , iar $y^{''} - y^{'} - 6 y = c_{1} e^{3 x} (9 - 3 - 6) + c_{2} e^{- 2 x} (4 + 2 - 6) = 0$ , pentru orice $x$ real și orice constante.

Reține forma generală a cazului: dacă $Δ > 0$ și rădăcinile sunt $r_{1} \neq = r_{2}$ , soluția generală este $y = c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x}$ .

4. Al doilea caz: discriminant nul

Când $Δ = 0$ , ecuația caracteristică are o singură rădăcină, $r = - \frac{a}{2}$ , deci metoda de mai sus dă o singură exponențială. Cum soluția generală a unei ecuații de ordinul al doilea are două constante, ceva lipsește.

Lipsa se acoperă cu o a doua soluție, obținută înmulțind exponențiala cu variabila: $y (x) = x e^{r x}$ . Verificăm, cu regula de derivare a produsului: $y^{'} (x) = (1 + r x) e^{r x}$ și $y^{''} (x) = (2 r + r^{2} x) e^{r x}$ . Înlocuind în ecuație și dând factor comun $e^{r x}$ , rămâne $2 r + r^{2} x + a (1 + r x) + b x$ , adică $(2 r + a) + x (r^{2} + a r + b)$ . Paranteza a doua este nulă, fiindcă $r$ este rădăcină; prima este nulă, fiindcă $r = - \frac{a}{2}$ . Deci $x e^{r x}$ este soluție.

Dacă $Δ = 0$ , cu rădăcina dublă $r$ , soluția generală este $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{r x}$ .

Observă că factorul $x$ apare exact acolo unde rădăcina e dublă — nu e un truc de memorat pe de rost, ci consecința faptului că, la rădăcină dublă, $2 r + a = 0$ .

5. Al treilea caz: discriminant negativ

Dacă $Δ < 0$ , ecuația caracteristică nu are rădăcini reale, deci nicio exponențială nu este soluție. Ecuația diferențială are totuși soluții, și ele nu mai sunt monotone, ci oscilante. Forma lor se ia ca rezultat, fără demonstrație — la profilul științe ale naturii se lucrează numai cu numere reale —, dar se verifică, exact ca orice altă soluție, prin derivare și substituție.

Dacă $Δ < 0$ , notăm $α = - \frac{a}{2}$ și $β = \frac{- Δ}{2}$ ; soluția generală este $y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$ .

Să vedem cum se aplică pe ecuația $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ . Ecuația caracteristică este $r^{2} + 2 r + 5 = 0$ , cu $Δ = 4 - 20 = - 16$ , deci $α = - 1$ și $β = \frac{4}{2} = 2$ . Soluția generală este $y (x) = e^{- x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sin 2 x)$ .

Proba, pentru $c_{1} = 1$ și $c_{2} = 0$ : pentru $y (x) = e^{- x} cos 2 x$ avem $y^{'} (x) = e^{- x} (- cos 2 x - 2 sin 2 x)$ și, derivând din nou, $y^{''} (x) = e^{- x} (- 3 cos 2 x + 4 sin 2 x)$ . Adunând, $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = e^{- x} (- 3 cos 2 x + 4 sin 2 x - 2 cos 2 x - 4 sin 2 x + 5 cos 2 x) = 0$ .

Cealaltă jumătate a formulei se probează la fel, și merită făcută, fiindcă altfel sinusul ar rămâne o afirmație: pentru $y (x) = e^{- x} sin 2 x$ avem $y^{'} (x) = e^{- x} (- sin 2 x + 2 cos 2 x)$ și $y^{''} (x) = e^{- x} (- 3 sin 2 x - 4 cos 2 x)$ , iar $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = e^{- x} (- 3 sin 2 x - 4 cos 2 x - 2 sin 2 x + 4 cos 2 x + 5 sin 2 x) = 0$ . Cum o combinație de soluții este tot soluție, întreaga familie scrisă mai sus este verificată.

Reține și cum se citesc cele două numere: $α$ spune dacă amplitudinea crește sau scade, iar $β$ spune cât de repede oscilează. Pentru $α < 0$ oscilația se stinge treptat, ca la un corp care se mișcă într-un mediu vâscos; pentru $α = 0$ ea se repetă la nesfârșit, cu aceeași amplitudine; pentru $α > 0$ ea crește, ceea ce, într-un model fizic, înseamnă că sistemul primește energie din afară. Cele două constante $c_{1}$ și $c_{2}$ nu schimbă nimic din acest tablou: ele hotărăsc doar de unde pornește mișcarea și cu ce viteză.

6. Oscilatorul armonic

Aici intră fizica. Un corp de masă $m$ prins de un resort cu constanta elastică $k$ — litera $k$ notează aici constanta resortului, măsurată în newtoni pe metru, nu constanta de răcire din lecția despre variabile separabile — este supus forței $- k x$ , unde $x$ este deplasarea față de poziția de repaus. Din legea a doua a mecanicii, $m x^{''} = - k x$ , adică

$x^{''} + ω^{2} x = 0, ω = \frac{k}{m} .$

Ecuația caracteristică este $r^{2} + ω^{2} = 0$ , cu $Δ = - 4 ω^{2} < 0$ , deci suntem în cazul al treilea, cu $α = 0$ și $β = ω$ . Prin urmare

$x (t) = c_{1} cos ω t + c_{2} sin ω t .$

Mișcarea este periodică, noțiune de la Funcții periodice: cosinusul și sinusul se repetă când argumentul crește cu $2 π$ , deci $x$ se repetă când timpul crește cu $\frac{2 π}{ω}$ . Numărul acesta se numește perioadă și se notează $T$ — litera $T$ înseamnă aici perioada oscilației, nu o temperatură. Numărul de oscilații complete într-o secundă este frecvența, $f = \frac{1}{T}$ , măsurată în hertzi.

Numărul $ω$ se numește pulsație și se măsoară în radiani pe secundă. Reține ce nu depinde de nimic altceva: perioada unui oscilator armonic este hotărâtă numai de masă și de resort, nu de cât de mult l-ai tras la început.

7. Cum alegi cazul și ce nu intră

Drumul e întotdeauna același, în trei pași: scrii ecuația caracteristică, îi calculezi discriminantul și alegi formula după semnul lui. Abia apoi intervin condițiile inițiale.

Ele sunt acum două, fiindcă soluția generală are două constante — regula de la lecția a doua a unității.

Merită spus și de ce ordinea pașilor nu se poate schimba. Discriminantul hotărăște ce formă are familia de soluții, iar condițiile inițiale aleg din familia respectivă o singură funcție; cine impune condițiile înainte de a ști forma nu are în ce să le impună. Tot de aici se vede și de ce „valoarea de echilibru" de la lecția precedentă nu se mai pune, la ordinul al doilea, în același fel: o funcție constantă $y = k$ verifică ecuația numai dacă $bk = 0$ , așa că, atunci când $b \neq = 0$ , singura soluție constantă este cea nulă, iar când $b = 0$ — ca la exercițiul 7 — orice funcție constantă este soluție.

Rămân în afara lecției și a programei profilului: ecuațiile cu membrul drept nenul, ecuațiile de ordin mai mare decât doi și ecuațiile cu coeficienți care depind de variabilă. Iar despre examen, cinstit: la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale; ea intră în probă de la MAT_P2, din 2030. Cerințele marcate mai jos sunt construite de noi, în formatul probei, nu preluate dintr-un model publicat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Discriminant pozitiv, cu condiții inițiale

Rezolvă ecuația $y^{''} - 5 y^{'} + 4 y = 0$ cu condițiile $y (0) = 5$ și $y^{'} (0) = 11$ .

Rezolvare. Ecuația caracteristică este $r^{2} - 5 r + 4 = 0$ , cu $Δ = 25 - 16 = 9$ , deci $r_{1} = 1$ și $r_{2} = 4$ . Soluția generală este $y (x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{4 x}$ , iar derivata ei, $y^{'} (x) = c_{1} e^{x} + 4 c_{2} e^{4 x}$ . Condițiile dau sistemul

${c_{1} + c_{2} = 5 c_{1} + 4 c_{2} = 11$

Scăzând prima egalitate din a doua obținem $3 c_{2} = 6$ , deci $c_{2} = 2$ și $c_{1} = 3$ . Soluția cerută este

$y (x) = 3 e^{x} + 2 e^{4 x} .$

Verificare: $y (0) = 3 + 2 = 5$ , iar $y^{'} (0) = 3 + 8 = 11$ .

Exemplul 2 — Discriminant nul

Rezolvă ecuația $y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0$ cu condițiile $y (0) = 2$ și $y^{'} (0) = 1$ .

Rezolvare. Ecuația caracteristică, $r^{2} + 4 r + 4 = 0$ , are $Δ = 16 - 16 = 0$ și rădăcina dublă $r = - 2$ . Soluția generală este $y (x) = (c_{1} + c_{2} x) e^{- 2 x}$ . Derivăm cu regula produsului: $y^{'} (x) = (c_{2} - 2 c_{1} - 2 c_{2} x) e^{- 2 x}$ . Din $y (0) = c_{1} = 2$ și $y^{'} (0) = c_{2} - 2 c_{1} = 1$ obținem $c_{2} = 5$ , deci

$y (x) = (2 + 5 x) e^{- 2 x} .$

Verificare: pentru $x = 0$ funcția dă $2$ , iar derivata, $5 - 4 = 1$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Pentru ecuația $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0$ , un elev scrie: „ecuația caracteristică are rădăcina $3$ , deci soluția generală este $y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{3 x}$ ". Ce nu merge și care este răspunsul corect?

Rezolvare. Suma din răspunsul lui se strânge într-un singur termen: $c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{3 x} = (c_{1} + c_{2}) e^{3 x}$ , adică o familie cu o singură constantă, nu cu două. Or, o ecuație de ordinul al doilea are soluția generală cu două constante, altfel nu se pot impune două condiții inițiale. Aici $Δ = 36 - 36 = 0$ , deci rădăcina $3$ este dublă, iar a doua soluție se obține înmulțind cu $x$ : corect este $y (x) = (c_{1} + c_{2} x) e^{3 x}$ . Reține deosebirea: două rădăcini egale nu înseamnă două soluții, ci una singură, care trebuie completată.

Exemplul 4 — Discriminant negativ

Rezolvă ecuația $y^{''} + 25 y = 0$ cu condițiile $y (0) = 3$ și $y^{'} (0) = 10$ .

Rezolvare. Ecuația caracteristică este $r^{2} + 25 = 0$ , cu $a = 0$ și $b = 25$ , deci $Δ = 0 - 100 = - 100$ . Fiind negativ, folosim a treia formulă: $α = 0$ și $β = \frac{10}{2} = 5$ , deci soluția generală este $y (x) = c_{1} cos 5 x + c_{2} sin 5 x$ . Derivata este $y^{'} (x) = - 5 c_{1} sin 5 x + 5 c_{2} cos 5 x$ . Din $y (0) = c_{1} = 3$ și $y^{'} (0) = 5 c_{2} = 10$ rezultă $c_{2} = 2$ , deci

$y (x) = 3 cos 5 x + 2 sin 5 x .$

Soluția nu crește și nu scade: oscilează între două valori fixe, ceea ce se potrivește cu $α = 0$ .

Exemplul 5 — Oscilatorul armonic, cu date de laborator

Un corp de $0, 2$ kilograme este prins de un resort cu constanta elastică de $20$ de newtoni pe metru, tras cu $5$ centimetri din poziția de repaus și lăsat liber, fără viteză inițială. Determină legea de mișcare, perioada și frecvența.

Rezolvare. Din $m x^{''} = - k x$ obținem $0, 2 x^{''} = - 20 x$ , adică $x^{''} + 100 x = 0$ , deci $ω^{2} = 100$ și $ω = 10$ radiani pe secundă. Soluția generală este $x (t) = c_{1} cos 10 t + c_{2} sin 10 t$ , iar derivata, $x^{'} (t) = - 10 c_{1} sin 10 t + 10 c_{2} cos 10 t$ . Condițiile sunt $x (0) = 0, 05$ metri și $x^{'} (0) = 0$ , de unde $c_{1} = 0, 05$ și $c_{2} = 0$ . Prin urmare

$x (t) = 0, 05 cos 10 t .$

Perioada este $T = \frac{2 π}{10} = \frac{π}{5} \approx 0, 63$ secunde, iar frecvența, $f = \frac{1}{T} = \frac{5}{π} \approx 1, 59$ hertzi. Corpul se depărtează cel mult $5$ centimetri de poziția de repaus, în ambele sensuri, iar amplitudinea nu se schimbă în timp: modelul nu ține seama de frecare, deci este valabil pe intervale scurte.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră ecuația diferențială $y^{''} + 2 y^{'} - 8 y = 0$ , cu necunoscuta $y : R \to R$ .

a) Scrie ecuația caracteristică și determină rădăcinile ei.

b) Determină soluția generală a ecuației.

c) Determină soluția pentru care $y (0) = 1$ și $y^{'} (0) = 8$ .

Rezolvare. a) Ecuația caracteristică este $r^{2} + 2 r - 8 = 0$ , cu $Δ = 4 + 32 = 36$ , deci rădăcinile sunt $2$ și $- 4$ .

b) Discriminantul fiind pozitiv, soluția generală este $y (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 4 x}$ .

c) Derivata este $y^{'} (x) = 2 c_{1} e^{2 x} - 4 c_{2} e^{- 4 x}$ , iar condițiile dau $c_{1} + c_{2} = 1$ și $2 c_{1} - 4 c_{2} = 8$ . Din prima, $c_{1} = 1 - c_{2}$ ; înlocuind în a doua, $2 - 6 c_{2} = 8$ , deci $c_{2} = - 1$ și $c_{1} = 2$ . Soluția este $y (x) = 2 e^{2 x} - e^{- 4 x}$ , iar proba se face imediat: $y (0) = 2 - 1 = 1$ și $y^{'} (0) = 4 + 4 = 8$ .

Să exersăm

1. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} - 7 y^{'} + 10 y = 0$ .

2. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} - 9 y = 0$ .

3. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} - 10 y^{'} + 25 y = 0$ .

4. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} - 2 y^{'} + 10 y = 0$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă ambele rădăcini ale ecuației caracteristice sunt strict negative, atunci orice soluție a ecuației diferențiale tinde la zero când $x$ tinde la $+ \infty$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină soluția ecuației $y^{''} - 2 y^{'} - 3 y = 0$ care verifică $y (0) = 4$ și $y^{'} (0) = 0$ .

7. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} + 5 y^{'} = 0$ și explică forma răspunsului.

8. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} + 6 y^{'} + 13 y = 0$ .

9. (Găsește greșeala.) Pentru ecuația $y^{''} + 49 y = 0$ un elev scrie soluția generală $y = c_{1} e^{7 x} + c_{2} e^{- 7 x}$ . Arată că răspunsul este greșit și scrie-l pe cel corect.

10. (Problemă aplicată.) Un alt corp, de $0, 25$ kilograme, prins de un resort mai slab, cu constanta elastică de $10$ newtoni pe metru, se mișcă de data aceasta într-un vas cu ulei, care îl frânează cu o forță proporțională cu viteza, constanta de frânare fiind $1$ newton-secundă pe metru. Deplasarea verifică $0, 25 x^{''} = - 10 x - x^{'}$ , cu $x$ în metri și $t$ în secunde. Determină $x (t)$ dacă la momentul $0$ corpul este tras cu $3$ centimetri din poziția de repaus și lăsat liber, fără viteză inițială, și spune ce se întâmplă cu amplitudinea.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină soluția ecuației $y^{''} + y^{'} - 6 y = 0$ care verifică $y (0) = 3$ și $y^{'} (0) = 1$ .

12. Determină soluția ecuației $y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$ care verifică $y (0) = 1$ și $y^{'} (0) = 4$ .

13. Fără să le rezolvi, precizează în care dintre cele trei cazuri se află ecuațiile $y^{''} - 8 y^{'} + 16 y = 0$ , $y^{''} + 3 y^{'} + 5 y = 0$ , $y^{''} - y^{'} - 12 y = 0$ și $y^{''} + 36 y = 0$ .

14. Determină soluția generală a ecuației $y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = 0$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră ecuația $y^{''} + 12 y^{'} + 52 y = 0$ . a) Scrie ecuația caracteristică. b) Determină soluția generală. c) Determină soluția pentru care $y (0) = 0$ și $y^{'} (0) = 8$ .

16. Arată prin calcul direct că funcția $y (x) = x e^{- 4 x}$ este soluție a ecuației $y^{''} + 8 y^{'} + 16 y = 0$ .

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcțiile $e^{5 x}$ și $e^{- x}$ sunt amândouă soluții ale ecuației $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ .

18. (Provocare.) Se știe că funcția $y (x) = e^{2 x} cos 3 x$ este soluție a unei ecuații de forma $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ . Determină numerele reale $a$ și $b$ .

Răspunsuri și explicații

1. Ecuația caracteristică $r^{2} - 7 r + 10 = 0$ are $Δ = 49 - 40 = 9$ , deci rădăcinile $2$ și $5$ , iar soluția generală este $y (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{5 x}$ .

2. Ecuația caracteristică este $r^{2} - 9 = 0$ , cu rădăcinile $3$ și $- 3$ , deci $y (x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 3 x}$ . Coeficientul lui $y^{'}$ fiind nul, suma rădăcinilor este zero, iar cele două exponențiale sunt una inversa celeilalte.

3. $r^{2} - 10 r + 25 = 0$ are $Δ = 100 - 100 = 0$ și rădăcina dublă $5$ , deci $y (x) = (c_{1} + c_{2} x) e^{5 x}$ .

4. $r^{2} - 2 r + 10 = 0$ are $Δ = 4 - 40 = - 36$ , deci $α = 1$ și $β = \frac{6}{2} = 3$ , iar $y (x) = e^{x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$ . Fiind $α > 0$ , amplitudinea crește.

5. Adevărat. La $Δ > 0$ soluția este $c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x}$ , iar ambii exponenți fiind negativi, amândouă exponențialele tind la zero; la $Δ = 0$ soluția este $(c_{1} + c_{2} x) e^{r x}$ cu $r < 0$ , iar exponențiala descrescătoare învinge creșterea de gradul întâi. Cazul $Δ < 0$ nu se pune, fiindcă acolo nu există rădăcini reale.

6. $r^{2} - 2 r - 3 = 0$ are $Δ = 4 + 12 = 16$ , deci rădăcinile $3$ și $- 1$ , iar soluția generală este $c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- x}$ , cu derivata $3 c_{1} e^{3 x} - c_{2} e^{- x}$ . Condițiile dau $c_{1} + c_{2} = 4$ și $3 c_{1} - c_{2} = 0$ ; adunându-le, $4 c_{1} = 4$ , deci $c_{1} = 1$ și $c_{2} = 3$ . Soluția este $y (x) = e^{3 x} + 3 e^{- x}$ .

7. $r^{2} + 5 r = 0$ are rădăcinile $0$ și $- 5$ , deci $y (x) = c_{1} + c_{2} e^{- 5 x}$ : prima exponențială, $e^{0 \cdot x}$ , este chiar funcția constantă $1$ . Se vede și direct din ecuație, care nu conține termenul în $y$ : orice funcție constantă o verifică.

8. $r^{2} + 6 r + 13 = 0$ are $Δ = 36 - 52 = - 16$ , deci $α = - 3$ și $β = 2$ , iar $y (x) = e^{- 3 x} (c_{1} cos 2 x + c_{2} sin 2 x)$ .

9. Ecuația dată fiind $y^{''} + 49 y = 0$ , ecuația ei caracteristică este $r^{2} + 49 = 0$ , iar numărul $7$ nu o verifică: $7^{2} + 49 = 98 \neq = 0$ . Elevul a rezolvat, de fapt, ecuația $y^{''} - 49 y = 0$ , care are ecuația caracteristică $r^{2} - 49 = 0$ . Aici $Δ = - 196 < 0$ , deci $α = 0$ și $β = \frac{14}{2} = 7$ , iar soluția generală corectă este $y (x) = c_{1} cos 7 x + c_{2} sin 7 x$ .

10. Împărțind la $0, 25$ obținem $x^{''} + 4 x^{'} + 40 x = 0$ , deci ecuația caracteristică este $r^{2} + 4 r + 40 = 0$ , cu $Δ = 16 - 160 = - 144$ , deci $α = - 2$ și $β = \frac{12}{2} = 6$ , iar $x (t) = e^{- 2 t} (c_{1} cos 6 t + c_{2} sin 6 t)$ . Derivata este $x^{'} (t) = e^{- 2 t} [(6 c_{2} - 2 c_{1}) cos 6 t - (6 c_{1} + 2 c_{2}) sin 6 t]$ . Din $x (0) = 0, 03$ rezultă $c_{1} = 0, 03$ , iar din $x^{'} (0) = 6 c_{2} - 2 c_{1} = 0$ rezultă $c_{2} = 0, 01$ , deci $x (t) = e^{- 2 t} (0, 03 cos 6 t + 0, 01 sin 6 t)$ metri. Observă că „fără viteză inițială" nu mai duce la $c_{2} = 0$ , ca la exemplul al cincilea: acolo $α$ era nul, aici derivata amestecă cei doi termeni. Factorul $e^{- 2 t}$ scade, deci corpul trece prin poziția de repaus la fiecare $\frac{π}{6} \approx 0, 52$ secunde (egalitatea $0, 03 cos 6 t + 0, 01 sin 6 t = 0$ revine la $tg 6 t = - 3$ ), dar cu depărtări tot mai mici: mișcarea se stinge și nu mai este periodică.

11. $r^{2} + r - 6 = 0$ are $Δ = 1 + 24 = 25$ , deci rădăcinile $2$ și $- 3$ , iar soluția generală este $c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 3 x}$ , cu derivata $2 c_{1} e^{2 x} - 3 c_{2} e^{- 3 x}$ . Din $c_{1} + c_{2} = 3$ și $2 c_{1} - 3 c_{2} = 1$ rezultă $6 - 5 c_{2} = 1$ , deci $c_{2} = 1$ și $c_{1} = 2$ . Soluția este $y (x) = 2 e^{2 x} + e^{- 3 x}$ .

12. $r^{2} - 2 r + 1 = 0$ are $Δ = 0$ și rădăcina dublă $1$ , deci $y (x) = (c_{1} + c_{2} x) e^{x}$ , cu derivata $(c_{1} + c_{2} + c_{2} x) e^{x}$ . Din $c_{1} = 1$ și $c_{1} + c_{2} = 4$ obținem $c_{2} = 3$ , deci $y (x) = (1 + 3 x) e^{x}$ .

13. Discriminanții sunt, în ordine, $64 - 64 = 0$ , $9 - 20 = - 11$ , $1 + 48 = 49$ și $0 - 144 = - 144$ . Prima este în cazul rădăcinii duble, a doua și a patra în cazul oscilant, a treia în cazul celor două exponențiale. Observă că nu e nevoie de nicio rezolvare ca să știi ce formă va avea răspunsul.

14. $r^{2} + 4 r + 5 = 0$ are $Δ = 16 - 20 = - 4$ , deci $α = - 2$ și $β = \frac{2}{2} = 1$ , iar $y (x) = e^{- 2 x} (c_{1} cos x + c_{2} sin x)$ .

15. a) $r^{2} + 12 r + 52 = 0$ . b) $Δ = 144 - 208 = - 64$ , deci $α = - 6$ , $β = 4$ și $y (x) = e^{- 6 x} (c_{1} cos 4 x + c_{2} sin 4 x)$ . c) Din $y (0) = c_{1} = 0$ rămâne $y = c_{2} e^{- 6 x} sin 4 x$ , cu derivata $c_{2} e^{- 6 x} (4 cos 4 x - 6 sin 4 x)$ ; din $y^{'} (0) = 4 c_{2} = 8$ obținem $c_{2} = 2$ , deci $y (x) = 2 e^{- 6 x} sin 4 x$ .

16. Derivăm cu regula produsului: $y^{'} (x) = (1 - 4 x) e^{- 4 x}$ și $y^{''} (x) = (16 x - 8) e^{- 4 x}$ . Atunci $y^{''} + 8 y^{'} + 16 y = e^{- 4 x} (16 x - 8 + 8 - 32 x + 16 x) = 0$ , pentru orice $x$ real. Rezultatul era de așteptat: $r^{2} + 8 r + 16 = 0$ are rădăcina dublă $- 4$ , iar $x e^{- 4 x}$ este chiar a doua soluție a cazului.

17. Dacă $e^{5 x}$ și $e^{- x}$ sunt soluții, atunci $5$ și $- 1$ sunt rădăcini ale ecuației caracteristice $r^{2} + a r + b = 0$ . Ecuația cu aceste rădăcini este $(r - 5) (r + 1) = 0$ , adică $r^{2} - 4 r - 5 = 0$ , deci $a = - 4$ și $b = - 5$ . Verificare: ecuația $y^{''} - 4 y^{'} - 5 y = 0$ are $Δ = 16 + 20 = 36$ și rădăcinile $5$ și $- 1$ .

18. Forma soluției spune că suntem în cazul $Δ < 0$ , cu $α = 2$ și $β = 3$ . Din $α = - \frac{a}{2} = 2$ rezultă $a = - 4$ . Din $β = \frac{- Δ}{2} = 3$ obținem $- Δ = 36$ , iar cum $Δ = a^{2} - 4 b = 16 - 4 b$ , egalitatea $16 - 4 b = - 36$ dă $b = 13$ . Ecuația căutată este $y^{''} - 4 y^{'} + 13 y = 0$ , iar cealaltă soluție a familiei este $e^{2 x} sin 3 x$ .

De reținut

Ecuația $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ se rezolvă prin ecuația caracteristică $r^{2} + a r + b = 0$ , obținută încercând $y = e^{r x}$ .
La $Δ > 0$ , cu rădăcinile $r_{1} \neq = r_{2}$ , soluția generală este $y = c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x}$ .
La $Δ = 0$ , cu rădăcina dublă $r$ , soluția generală este $y = (c_{1} + c_{2} x) e^{r x}$ : a doua soluție se obține înmulțind cu $x$ .
La $Δ < 0$ , cu $α = - \frac{a}{2}$ și $β = \frac{- Δ}{2}$ , soluția generală este $y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$ .
Soluția generală are două constante, deci cere două condiții inițiale; oscilatorul armonic are $ω = \frac{k}{m}$ și perioada $T = \frac{2 π}{ω}$ .

Greșeli frecvente

Scrii ecuația caracteristică cu coeficienți mutați. Ei se iau exact cum apar: la $y^{''} + 2 y^{'} - 8 y = 0$ ecuația este $r^{2} + 2 r - 8 = 0$ , nu $r^{2} - 2 r + 8 = 0$ . Cea mai sigură verificare este să înlocuiești la final rădăcina găsită.
La rădăcină dublă dai două exponențiale identice. Familia obținută are o singură constantă, deci nu poate satisface două condiții inițiale; a doua soluție se obține înmulțind cu $x$ .
Uiți să înmulțești cu $β$ când derivezi sinusul și cosinusul. Derivata lui $cos β x$ este $- β sin β x$ ; fără factorul acesta, a doua condiție inițială dă o constantă greșită.
Confunzi rădăcinile ecuației caracteristice cu $α$ și $β$ . Când $Δ < 0$ nu există rădăcini reale, deci nu ai ce scrie la exponent: $α$ și $β$ se calculează din $a$ și din $Δ$ , după formulele lor.
Impui o singură condiție și te oprești. La ordinul al doilea rămâne atunci o familie infinită de soluții; răspunsul este complet doar după ce sistemul în $c_{1}$ și $c_{2}$ a fost rezolvat.

Aplică acasă

Perioada nu ține minte cât ai tras. Leagă o piuliță de o ață de aproximativ $25$ de centimetri și pornește-o în oscilații mici. Cronometrează durata a zece oscilații complete și împarte la zece. Repetă experimentul pornind pendulul de la un unghi vizibil mai mare, dar tot mic, și compară cele două perioade. Explică într-o frază de ce rezultatele ies apropiate, folosind forma soluției.
Trei ecuații, trei forme. Scrie ecuațiile $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ , $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0$ și $y^{''} + 4 y = 0$ , calculează pentru fiecare discriminantul ecuației caracteristice și scrie soluția generală. Fără a face calcule în plus, spune care dintre cele trei familii conține funcții care oscilează și care conține funcții care cresc nemărginit.
Cristalul din ceas. Cuarțul dintr-un ceas obișnuit oscilează cu frecvența de $32768$ de hertzi, aleasă fiindcă este o putere a lui doi. Calculează perioada acestei oscilații, apoi pulsația $ω = 2 π f$ , și scrie ecuația de forma $x^{''} + ω^{2} x = 0$ pe care o verifică. Compară perioada obținută cu cea a pendulului din prima activitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul scrie corect ecuația caracteristică, cu coeficienții luați în ordine; dacă alege formula după semnul discriminantului, fără să o ghicească; dacă derivează corect soluția generală înainte de a impune a doua condiție; și dacă rezolvă până la capăt sistemul în cele două constante.

Dificultatea nu este calculul, ci faptul că răspunsul se alege dintr-un tablou cu trei intrări, iar alegerea se face înaintea oricărei alte socoteli. Elevii care sar peste discriminant scriu automat două exponențiale și se împotmolesc la primul caz cu rădăcină dublă sau fără rădăcini reale. Merită cerut, la fiecare exercițiu, ca discriminantul să fie scris explicit, chiar și când se vede din ochi.

A doua sursă de pierderi este derivarea soluției generale. La cazul cu rădăcină dublă intervine regula produsului, iar la cazul oscilant, factorul $β$ din derivata sinusului și a cosinusului; ambele se uită ușor, iar greșeala se vede abia în valoarea finală a constantei. Un antidot bun este proba: după ce a găsit soluția, elevul o înlocuiește în cele două condiții inițiale, ceea ce durează un minut.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Care e ecuația caracteristică și de ce?"; „Cât e discriminantul și ce formă impune?"; „De ce sunt două constante?"; „De ce apare $x$ la rădăcină dublă?". Semne că a înțeles: scrie discriminantul înainte de soluție și verifică singur condițiile la final.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Ecuații diferențiale: … ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține ecuațiile diferențiale — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este ecuația caracteristică?

Este ecuația de gradul al doilea $r^{2} + a r + b = 0$ , atașată ecuației diferențiale $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ ; coeficienții ei sunt, în aceeași ordine, coeficienții ecuației diferențiale. Ea apare încercând soluții de forma $e^{r x}$ : după derivare și dare de factor comun rămâne $e^{r x} (r^{2} + a r + b) = 0$ , iar exponențiala nefiind niciodată nulă, condiția cade asupra parantezei, care este chiar ecuația caracteristică.

De ce apare $x$ la rădăcină dublă?

Pentru că o rădăcină dublă dă o singură exponențială, iar soluția generală are nevoie de două constante. A doua soluție este $x e^{r x}$ , și se verifică prin substituție: după calcule rămâne $(2 r + a) + x (r^{2} + a r + b)$ , iar ambele paranteze sunt nule tocmai când rădăcina este dublă, adică $r = - \frac{a}{2}$ .

De unde vin sinusul și cosinusul când $Δ < 0$ ?

Din faptul că ecuația caracteristică nu are rădăcini reale, deci nicio exponențială nu o verifică. La profilul științe ale naturii forma soluției se ia ca rezultat, fără demonstrație: $y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)$ , cu $α = - \frac{a}{2}$ și $β = \frac{- Δ}{2}$ . Se verifică însă, ca orice soluție, prin derivare și substituție.

Câte condiții inițiale îmi trebuie?

Două, fiindcă soluția generală are două constante. Ele se dau în același punct — valoarea funcției și valoarea derivatei — și duc la un sistem de gradul întâi cu necunoscutele $c_{1}$ și $c_{2}$ , rezolvat prin reducere sau prin substituție. Cu o singură condiție ar rămâne o familie infinită de soluții, nu una singură.

Ce legătură are lecția cu ecuațiile de ordinul întâi?

Metoda e cu totul alta. La ecuațiile de ordinul I soluția se obținea prin separarea variabilelor și avea o singură constantă, iar comportarea se citea din semnul coeficientului. Aici se rezolvă o ecuație algebrică atașată, constantele sunt două, iar comportarea se citește din semnul discriminantului.

Se studiază ecuațiile de ordinul al doilea și la mate-info (M1)?

Nu. Ecuațiile diferențiale lipsesc cu totul din programa de matematică-informatică a clasei a XII-a, al cărei capitol de analiză se oprește la primitive, integrala definită și aplicațiile ei. Nu există, prin urmare, o lecție-pereche la M1 spre care să trimitem pentru comparație; tema este specifică profilului științe ale naturii.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La sesiunile 2027, 2028 și 2029 nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale. Tema intră în probă de la MAT_P2, din 2030, în domeniul „Analiză matematică". Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

De ce perioada unui resort nu depinde de cât l-am tras?

Pentru că deplasarea inițială intră numai în constantele $c_{1}$ și $c_{2}$ , nu în pulsația $ω = \frac{k}{m}$ , iar perioada se calculează exclusiv din $ω$ . Trăgând mai mult, obții o oscilație mai amplă, dar la fel de deasă. Legătura cu tabelul derivatelor e directă: factorul $ω$ apare la fiecare derivare.