Soluția generală a ecuației $$y'=20x^3-8x$$ este:

$$y(x)=5x^4-4x^2+c$$, cu $$c$$ număr real

Ce este ordinul unei ecuații diferențiale?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ce este o soluție

Ordinul este ordinul celei mai mari derivate a funcției necunoscute care apare în ecuație. Ecuația $y^{''} + 3 y^{'} = x$ are ordinul $2$ , iar $y^{'} = y^{2}$ are ordinul $1$ , chiar dacă $y$ e la pătrat. Și $(y^{'})^{3} = x$ rămâne de ordinul întâi: contează derivata, nu puterea la care e ridicată. Ordinul spune câte constante are soluția generală: una la ordinul $1$ , două la ordinul $2$ .

Necunoscuta unei ecuații diferențiale este o funcție, iar egalitatea o leagă de derivatele ei. Se numește ordin rangul celei mai înalte derivate prezente, iar familia tuturor soluțiilor unei ecuații de ordinul $n$ poartă $n$ constante nedeterminate.

Proba unei soluții cere două calcule scrise separat: derivata funcției propuse și membrul drept, evaluat cu ea. Concluzia se formulează în cuvinte, după compararea lor pe întregul interval. Redactarea este asimetrică, și merită folosită ca atare — confirmarea cere egalitate în fiecare punct, în vreme ce respingerea are nevoie doar de o valoare a variabilei unde egalitatea cade.

Familia scrisă cu constante nedeterminate se numește soluție generală; fixând constantele, se ajunge la o soluție particulară. Alegerea o face condiția inițială, iar la ordinul al doilea sunt necesare două, luate în același punct: cât valorează funcția, apoi cât valorează derivata ei acolo.

Când derivata este dată de-a dreptul, a rezolva înseamnă a căuta primitive, iar la ordinul al doilea se integrează de două ori. Greșeala de scriere care se repetă: la $y^{'} = k y$ numărul $k$ urcă la exponent și nu rămâne în fața exponențialei. Pentru sesiunile 2027–2029 conținutul lipsește din programa de examen; el este cerut abia de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

ordinul = ordinul celei mai mari derivate care apare
la ordinul $n$ , soluția generală conține $n$ constante arbitrare
verificarea unei soluții: derivezi și înlocuiești

Greșeala tipică

Se confundă ordinul cu puterea: $(y^{'})^{2} = x$ nu este de ordinul al doilea, ci de ordinul întâi, fiindcă apare doar derivata întâi.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile de mai jos este soluție a ecuației $y^{'} = - 7 y$ ?
- a) $y (x) = 5 e^{- 7 x}$
- b) $y (x) = - 7 e^{5 x}$
- c) $y (x) = 5 e^{7 x}$
- d) $y (x) = e^{x} - 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y (x) = 5 e^{- 7 x}$

Pentru a) avem $y^{'} (x) = - 35 e^{- 7 x}$ , iar membrul drept dă $- 7 \cdot 5 e^{- 7 x} = - 35 e^{- 7 x}$ : cei doi membri coincid pe tot $R$ . La b), în $x = 0$ , derivata dă $- 35$ , iar membrul drept $49$ . La c), în $x = 0$ , obținem $35$ , respectiv $- 35$ . La d), în $x = 0$ , avem $1$ , respectiv $- 7 \cdot (- 6) = 42$ . Numărul din ecuație merge la exponent, nu în fața exponențialei.
Soluția generală a ecuației $y^{'} = 20 x^{3} - 8 x$ este:
- a) $y (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2}$
- b) $y (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} + c$ , cu $c$ număr real
- c) $y (x) = 60 x^{2} - 8 + c$
- d) $y (x) = 5 x^{4} - 8 x + c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} + c$ , cu $c$ număr real

Ecuația dă derivata direct, deci soluțiile sunt primitivele membrului drept: $y (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} + c$ . Varianta a) este o singură soluție, nu familia întreagă — fără constantă, condiția inițială nu mai are ce fixa. Varianta c) derivează în loc să integreze, iar d) nu integrează al doilea termen: derivata ei este $20 x^{3} - 8$ .
Soluția ecuației $y^{''} = 6 x + 4$ care verifică $y (0) = 2$ și $y^{'} (0) = - 1$ este:
- a) $y (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$
- b) $y (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$
- c) $y (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 2$
- d) $y (x) = 3 x^{2} + 4 x - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 2$

Integrăm o dată: $y^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x + c_{1}$ , iar din $y^{'} (0) = c_{1} = - 1$ obținem $y^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - 1$ . Integrăm din nou: $y (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + c_{2}$ , iar din $y (0) = c_{2} = 2$ rezultă răspunsul. Variantele a) și b) dau $y (0) = - 1$ , iar d) este chiar $y^{'}$ , nu $y$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație diferențială de forma $y^{'} = f (x)$ ?

Soluțiile sunt exact primitivele lui $f$ , deci integrezi o dată. Pentru $y^{'} = 6 x^{2} - 1$ se obține $y = 2 x^{3} - x + c$ , cu $c$ real. Constanta rămâne în răspuns până când o condiție din enunț o fixează.

Cum arăt că o funcție nu este soluție a unei ecuații diferențiale?

E suficient un singur punct în care egalitatea nu are loc. Pentru $y = x^{2}$ și ecuația $y^{'} = y$ , în $x = 1$ membrul stâng dă $2$ , iar cel drept $1$ . Egalitatea cade, deci $x^{2}$ nu este soluție.

Cum rezolv $y^{''} = 6$ prin două integrări?

Prima integrare dă $y^{'} = 6 x + c_{1}$ , a doua $y = 3 x^{2} + c_{1} x + c_{2}$ . Au apărut două constante, câte una la fiecare integrare, iar ele se află din două condiții, de exemplu $y (0)$ și $y^{'} (0)$ .

Ce ecuație diferențială descrie căderea liberă?

Accelerația este constantă: $x^{''} (t) = g$ . Integrând de două ori, $x (t) = \frac{g t ^{2}}{2} + v_{0} t + x_{0}$ . Pentru un corp lăsat din repaus, cu $g = 9, 8$ m/s², distanța după $2$ s este $\frac{9 , 8 \cdot 4}{2} = 19, 6$ m.

Ce înseamnă o condiție inițială la o ecuație diferențială?

Este o informație de tipul $y (x_{0}) = y_{0}$ : se știe cât valorează funcția căutată într-un anumit punct, iar asta alege o singură funcție din familie. Pentru $y^{'} = 2 x$ , soluțiile sunt $x^{2} + c$ , iar condiția $y (0) = 5$ dă soluția $y = x^{2} + 5$ .

Poate o ecuație diferențială să aibă soluții constante?

Da. O funcție constantă are derivata $0$ , deci e soluție dacă anulează membrul drept. La $y^{'} = 3 y - 6$ , funcția $y = 2$ dă $0 = 3 \cdot 2 - 6$ , deci este o soluție constantă.

Oamenii mai întreabă și: ordinul unei ecuații diferențiale · cum aflu ordinul ecuației diferențiale · ecuație diferențială de ordinul 1 sau 2 · gradul și ordinul unei ecuații diferențiale