Ecuații diferențiale: ce este o soluție (M2, științe ale naturii)

O probă radioactivă dintr-un laborator nu se împuținează după un orar fix: cu cât a rămas mai multă substanță, cu atât se dezintegrează mai repede. Fizica spune atât, și atât e de ajuns: viteza de scădere este proporțională cu cantitatea rămasă. Egalitatea care traduce propoziția aceasta nu leagă două numere, ci o funcție de derivata ei — și tocmai de aceea nu se rezolvă cu nimic din ce ai învățat până acum. Se numește ecuație diferențială, iar unitatea de față, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), începe cu întrebarea cea mai de jos: ce înseamnă, aici, „soluție"? La bacalaureatul M2 tema nu se dă în sesiunile 2027–2029, ci abia de la proba MAT_P2 din 2030.

Merită spus de la început, cinstit, cui i se adresează lecția. Ecuațiile diferențiale sunt o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025; ea ajunge efectiv la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte — programa de examen din 2014 nu o conține deloc. Dacă însă ești în prima promoție care învață după programa nouă, capitolul intră în proba MAT_P2 din 2030, la domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o ecuație diferențială și de ce necunoscuta ei este o funcție, nu un număr.
• Vei ști să citești ordinul unei ecuații și să spui, din el, câte constante are soluția generală.
• Vei ști să verifici dacă o funcție dată este soluție, derivând-o și înlocuind-o în ecuație.
• Vei ști să deosebești soluția generală de o soluție particulară și să treci de la una la cealaltă.
• Vei ști să folosești o condiție inițială — sau două, la ordinul al doilea — ca să alegi o singură funcție.
• Vei ști să respingi motivat o funcție care nu verifică ecuația, arătând unde se rupe egalitatea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație diferențială?

Până acum, într-o ecuație, necunoscuta era un număr: la $3x-12=0$ cauți numărul $x=4$. Într-o ecuație diferențială necunoscuta este o funcție, iar în ecuație apar, alături, funcția și derivatele ei.

Ecuație diferențială este o egalitate în care necunoscuta este o funcție $y$, definită pe un interval, și în care apar $y$ și cel puțin una dintre derivatele ei, eventual și variabila independentă. Ordinul ecuației este ordinul celei mai mari derivate care apare în ea.

Așa, $y^{\prime }=5y$ este de ordinul întâi, iar $y^{\prime \prime }+y=0$ este de ordinul al doilea. Prima cere o funcție a cărei derivată este de cinci ori ea însăși; a doua, o funcție a cărei derivată a doua este opusa ei. În ambele cazuri, a „rezolva" înseamnă a găsi toate funcțiile cu proprietatea cerută.

Notația $y$ nu e obligatorie. În modelele din științe, funcția necunoscută poartă litera mărimii pe care o descrie — $N$ pentru o cantitate de substanță, $T$ pentru o temperatură —, iar variabila este timpul $t$. Scrierea $N^{\prime }(t)$ înseamnă același lucru ca $y^{\prime }(x)$: derivata funcției necunoscute.

2. Cum verifici că o funcție este soluție?

Aici e miezul lecției, și e o tehnică de două gesturi: derivezi funcția propusă și înlocuiești în ecuație, apoi te uiți dacă cei doi membri coincid pentru orice valoare a variabilei.

Fie ecuația $y^{\prime }=5y$ și funcția propusă $y(x)=7e^{5x}$, definită pe $\mathbb{R}$. Derivăm cu regula lanțului, învățată la Derivarea funcțiilor compuse: $y^{\prime }(x)=7\cdot 5e^{5x}=35e^{5x}$. Calculăm separat membrul drept: $5y(x)=5\cdot 7e^{5x}=35e^{5x}$. Cei doi membri sunt egali pentru orice $x$ real, deci funcția este soluție.

Reține forma răspunsului, pentru că ea face jumătate din rezolvare: nu se scrie „da", ci se scriu cele două calcule, unul sub altul, și se încheie cu propoziția „cei doi membri coincid pe tot intervalul". Iar dacă nu coincid, se arată unde: e destul o singură valoare a variabilei pentru care egalitatea cade.

Soluție a unei ecuații diferențiale pe un interval $I$ este o funcție derivabilă pe $I$ — de două ori derivabilă, la ordinul al doilea — care, înlocuită în ecuație împreună cu derivatele ei, o transformă într-o egalitate adevărată în fiecare punct al lui $I$.

Cuvântul „interval" din definiție nu e decorativ. O funcție poate verifica ecuația pe o bucată a domeniului și nu pe alta, iar atunci soluția se declară împreună cu intervalul pe care trăiește, exact cum la primitive familia se scria pe un interval, nu pe o reuniune de intervale. De aceea, în enunțurile bine scrise, funcția vine cu domeniul ei: $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sau $y:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$.

Mai observă o asimetrie utilă la redactare. Ca să confirmi o soluție, ai nevoie de egalitate peste tot, deci de un calcul cu litere; ca să o respingi, îți ajunge o singură valoare a variabilei pentru care cei doi membri diferă. Verificarea e, prin urmare, scurtă când răspunsul e „nu" și ceva mai lungă când răspunsul e „da".

3. De ce are o ecuație diferențială o infinitate de soluții?

Cea mai simplă ecuație diferențială este cea în care derivata e dată direct: $y^{\prime }=22x+5$. A o rezolva înseamnă a căuta funcțiile a căror derivată este $22x+5$ — adică, exact, primitivele ei.

Știi deja că nu există una singură. Integrând, obținem $y(x)=11x^2+5x+c$, cu $c$ număr real. Fiecare valoare a lui $c$ dă altă funcție, iar toate au aceeași derivată; graficele lor sunt aceeași curbă, translatată pe verticală.

Așadar orice ecuație de acest fel are o familie infinită de soluții, iar familia e chiar mulțimea primitivelor. Legătura cu unitatea precedentă e directă: de la rată la cantitate rezolvai, fără să-i spui pe nume, exact o ecuație diferențială de acest tip.

4. Ce este soluția generală și ce este o soluție particulară?

Familia de mai sus are un nume. Soluția generală a unei ecuații diferențiale este mulțimea tuturor soluțiilor ei, scrisă printr-o formulă cu constante arbitrare; o soluție particulară este o funcție anume din această mulțime, obținută dând valori constantelor.

Pentru ecuația de mai sus, soluția generală este $y(x)=11x^2+5x+c$, iar $y(x)=11x^2+5x-3$ este o soluție particulară. Cum o alegem pe cea potrivită? Cu o informație în plus, luată dintr-un punct.

Dacă cerem, de pildă, ca soluția să treacă prin punctul de abscisă $2$ și ordonată $7$, punem condiția $y(2)=7$: $44+10+c=7$, de unde $c=-47$. Soluția particulară cerută este $y(x)=11x^2+5x-47$, și se verifică imediat, derivând.

5. Cum se rezolvă o ecuație de ordinul al doilea cu derivata dată?

Dacă ecuația dă direct derivata a doua, se integrează de două ori, iar la fiecare integrare apare o constantă.

Fie $y^{\prime \prime }=24x-10$. Prima integrare dă $y^{\prime }(x)=12x^2-10x+c_1$. A doua dă $y(x)=4x^3-5x^2+c_{1}x+c_2$, cu $c_1$ și $c_2$ numere reale. Soluția generală are, prin urmare, două constante — și regula e valabilă în general: o ecuație de ordinul $n$ are soluția generală cu $n$ constante.

Ca să alegi o singură funcție îți trebuie acum două condiții, nu una. Ele se dau, în mod obișnuit, în același punct: valoarea funcției și valoarea derivatei. Cu $y(0)=3$ și $y^{\prime }(0)=-2$ obținem, din a doua, $c_1=-2$, iar din prima, $c_2=3$. Soluția particulară este

$$y(x)=4x^3-5x^2-2x+3.$$

Proba: derivând o dată obținem $12x^2-10x-2$, iar încă o dată, $24x-10$ — exact membrul drept; iar $y(0)=3$ și $y^{\prime }(0)=-2$.

6. Ce este condiția inițială și cum se citește geometric?

Numele vine din fizică: la modelele în care variabila este timpul, informația suplimentară se dă la momentul de pornire, deci este starea „inițială". Noțiunea îți este cunoscută de la Primitiva care trece printr-un punct dat, iar aici se folosește la fel, fără nimic nou: o egalitate de forma $y(x_0)=y_0$, cu $x_0$ din intervalul de lucru.

Citirea geometrică merită reținută, pentru că explică de ce condiția ajunge. Soluțiile ecuațiilor de ordinul întâi din această unitate formează o familie de curbe care umplu o porțiune de plan fără să se taie între ele; a impune $y(x_0)=y_0$ înseamnă a alege dintre ele curba care trece prin punctul dat, iar prin fiecare punct trece una singură.

Tot de aici se vede și de ce, la ordinul al doilea, un punct nu mai ajunge: prin același punct trec atunci mai multe curbe-soluție, deosebite între ele prin panta cu care îl străbat. A doua condiție, $y^{\prime }(x_0)$, alege chiar panta — motiv pentru care, în modelele din fizică, prima condiție e poziția inițială, iar a doua, viteza inițială.

În problemele aplicate, condiția nu vine niciodată din matematică, ci din laborator: masa cântărită înainte de a porni cronometrul, temperatura citită în clipa scoaterii probei din cuptor, presiunea la nivelul mării. Ecuația descrie legea, iar condiția inițială descrie experimentul; același model, pornit din două stări diferite, dă două funcții diferite.

7. Ce se cere la profilul științe ale naturii și ce nu

Programa nouă nu cere toată teoria ecuațiilor diferențiale, ci două tipuri, precis delimitate: ecuațiile cu variabile separabile și ecuațiile de grad cel mult doi, cu coeficienți constanți. Restul — sisteme, ecuații de ordin mai mare, metode numerice — nu intră.

Drumul unității este, prin urmare, scurt și limpede. Lecția de față lămurește ce este o soluție și cum se verifică. Metoda propriu-zisă de rezolvare, în trei pași, vine la Ecuații cu variabile separabile, unde se rezolvă și ecuația dezintegrării din deschiderea lecției. Ecuația de ordinul întâi în care derivata depinde liniar de funcție și ecuația omogenă de ordinul al doilea, cu ecuația ei caracteristică, sunt ultimele două lecții ale unității.

Merită spus și ce rămâne în afara programei, ca să știi unde se oprește materia: nu se cer sisteme de ecuații diferențiale, nici ecuații de ordin mai mare decât doi, nici metodele numerice prin care astfel de ecuații se rezolvă aproximativ pe calculator. Toate acestea există, sunt folosite zilnic în meteorologie, în farmacologie și în modelarea epidemiilor, dar ele încep dincolo de liceu.

Un lucru e însă valabil peste tot, de la prima lecție până la ultima: verificarea prin derivare și substituție nu se pierde niciodată. Oricât de complicată ar fi metoda prin care ai găsit o soluție, proba ei rămâne cea din secțiunea a doua a acestei lecții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea unei soluții

Arată că funcția $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $y(x)=3e^{-4x}$, este soluție a ecuației $y^{\prime }+4y=0$.

Rezolvare. Derivăm: $y^{\prime }(x)=3\cdot (-4)e^{-4x}=-12e^{-4x}$. Înlocuim în membrul stâng al ecuației: $y^{\prime }(x)+4y(x)=-12e^{-4x}+12e^{-4x}=0$. Egalitatea este adevărată pentru orice $x$ real, deci funcția este soluție. Observă că ecuația se poate scrie și $y^{\prime }=-4y$; forma nu schimbă nimic.

Exemplul 2 — Care dintre funcții este soluție?

Stabilește care dintre funcțiile $f(x)=6e^{2x}$, $g(x)=2e^{6x}$ și $h(x)=x^2+2$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=2y$.

Rezolvare. Pentru $f$: $f^{\prime }(x)=12e^{2x}$, iar $2f(x)=12e^{2x}$ — egale, deci $f$ este soluție. Pentru $g$: $g^{\prime }(x)=12e^{6x}$, iar $2g(x)=4e^{6x}$; în $x=0$ obținem $g^{\prime }(0)=6\cdot 2=12\ne 4=2g(0)$, deci $g$ nu este soluție. Pentru $h$: $h^{\prime }(x)=2x$, iar $2h(x)=2x^2+4$; în $x=0$ avem $h^{\prime }(0)=0$ și $2h(0)=4$, deci nici $h$ nu este soluție. Reține ce deosebește primele două: la exponent trebuie să stea coeficientul din ecuație, nu coeficientul din fața exponențialei.

Exemplul 3 — Determinarea unor parametri

Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $y(x)=ax+b$ este soluție a ecuației $y^{\prime }+y=2x+5$.

Rezolvare. Avem $y^{\prime }(x)=a$, deci membrul stâng devine $a+ax+b$. Cerem ca el să fie egal cu $2x+5$ pentru orice $x$ real, adică $ax+(a+b)=2x+5$. Două funcții de gradul întâi coincid peste tot exact când au aceiași coeficienți: $a=2$ și $a+b=5$, de unde $b=3$. Funcția căutată este $y(x)=2x+3$, iar proba e imediată: $2+2x+3=2x+5$.

Exemplul 4 — Soluția generală și cea particulară

Determină soluția generală a ecuației $y^{\prime }=15x^2+14x$, apoi soluția particulară pentru care $y(1)=10$.

Rezolvare. Ecuația cere primitivele membrului drept, deci soluția generală este $y(x)=5x^3+7x^2+c$, cu $c$ real. Din condiția $y(1)=10$ obținem $5+7+c=10$, adică $c=-2$, deci soluția particulară este $y(x)=5x^3+7x^2-2$. Verificare: derivata dă $15x^2+14x$, iar $y(1)=10$.

Exemplul 5 — Un model din științe

Masa de substanță activă dintr-o probă este $N(t)=150e^{-0,03t}$, în miligrame, cu $t$ în zile. Arată că $N$ verifică ecuația $N^{\prime }(t)=-0,03N(t)$ și condiția $N(0)=150$, apoi explică semnul.

Rezolvare. Derivăm: $N^{\prime }(t)=150\cdot (-0,03)e^{-0,03t}=-4,5e^{-0,03t}$. Membrul drept dă $-0,03N(t)=-0,03\cdot 150e^{-0,03t}=-4,5e^{-0,03t}$. Cele două coincid pentru orice $t\ge 0$, iar $N(0)=150$ miligrame. Semnul minus spune că masa scade; numărul $0,03$, măsurat în zile la puterea minus unu, arată cât de repede: cu cât e mai mare, cu atât dezintegrarea e mai rapidă. Modelul are sens pentru $t\ge 0$ și dă mereu valori pozitive, deci substanța nu dispare niciodată complet.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră ecuația diferențială $y^{\prime }+2y=0$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

a) Arată că, pentru orice număr real $c$, funcția $y(x)=c{e}^{-2x}$ este soluție.

b) Determină soluția care verifică $y(0)=7$.

c) Arată că soluția de la punctul b) nu se anulează în niciun punct.

Rezolvare. a) Derivăm: $y^{\prime }(x)=-2c{e}^{-2x}$, deci $y^{\prime }(x)+2y(x)=-2c{e}^{-2x}+2c{e}^{-2x}=0$, pentru orice $x$ real și orice $c$ real.

b) Din $y(0)=c\cdot 1=7$ rezultă $c=7$, deci $y(x)=7e^{-2x}$.

c) Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, deci $7e^{-2x}>0$ pentru orice $x$ real; prin urmare graficul nu atinge axa. Aceasta este, de altfel, proprietatea care face ca soluțiile familiei să nu se taie între ele.

Să exersăm

1. Verifică dacă funcția $y(x)=5e^{3x}$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=3y$.

2. Verifică dacă funcția $y(x)=x^2+4x$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=2x+4$.

3. Verifică dacă funcția $y(x)=9e^{-0,4x}$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=-0,4y$.

4. Precizează ordinul fiecărei ecuații: $y^{\prime }=x+1$; $y^{\prime \prime }+3y=0$; $y^{\prime }+y=x^2$; $y^{\prime \prime }=6$. Spune apoi care dintre ele se rezolvă cu ce ai învățat în această lecție.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția constantă $y(x)=0$, definită pe $\mathbb{R}$, este soluție a ecuației $y^{\prime }=5y$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină soluția ecuației $y^{\prime }=18x^2-4$ care verifică $y(1)=3$.

7. Stabilește care dintre funcțiile $y(x)=x^3$, $y(x)=6x^2$ și $y(x)=x^4$ este soluție a ecuației $y^{\prime \prime }=6x$.

8. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $y(x)=e^{ax}$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=-0,25y$.

9. Scrie soluția generală a ecuației $y^{\prime }=8x-3$ și precizează câte constante conține.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină soluția ecuației $y^{\prime \prime }=12x+2$ care verifică $y(0)=1$ și $y^{\prime }(0)=5$.

11. (Găsește greșeala.) La cerința „rezolvă ecuația $y^{\prime }=6x$", un elev răspunde „$y=3$". Ce a confundat și care este răspunsul corect?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă funcția $y$ este soluție a ecuației $y^{\prime }=2y$, atunci și funcția $-y$ este soluție a aceleiași ecuații.

13. (Problemă aplicată.) Presiunea atmosferică scade cu altitudinea după modelul $p(h)=1010e^{-0,00012h}$, unde $p$ este în hectopascali, iar $h$ în metri, pentru $h\in [0,9000]$. Arată că $p$ verifică ecuația $p^{\prime }(h)=-0,00012p(h)$ și condiția $p(0)=1010$, apoi spune ce mărime joacă aici rolul timpului.

14. Din familia $y(x)=c{e}^{-x}$, determină soluția pentru care $y(0)=2,5$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină soluția ecuației $y^{\prime }=0,6x^2+2x$ care verifică $y(0)=-1$.

16. Câte constante are soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul al doilea și de ce?

17. Verifică dacă funcția $y(x)=x^3-2x$ este soluție a ecuației $x{y}^{\prime }=3y+4x$, pentru $x>0$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $a$ pentru care funcția $y(x)=x^a$, definită pe $(0,+\infty )$, este soluție a ecuației $x{y}^{\prime }=5y$.

Răspunsuri și explicații

1. Da. Derivata dă $15e^{3x}$, iar triplul funcției, $3\cdot 5e^{3x}=15e^{3x}$; cele două coincid pe $\mathbb{R}$.

2. Da: derivata funcției $x^2+4x$ este chiar $2x+4$. Ecuația fiind de forma „derivata e dată", soluția generală ar fi $x^2+4x+c$, iar funcția din enunț este cea cu $c=0$.

3. Da. Derivata dă $9\cdot (-0,4)e^{-0,4x}=-3,6e^{-0,4x}$, iar membrul drept, $-0,4\cdot 9e^{-0,4x}=-3,6e^{-0,4x}$.

4. Ordinul întâi, ordinul al doilea, ordinul întâi, ordinul al doilea. Contează cea mai mare derivată care apare, nu puterea la care este ridicată funcția și nici gradul expresiei în care intră variabila. Ultima, $y^{\prime \prime }=6$, arată și că o ecuație poate fi de ordinul al doilea fără ca funcția însăși să apară în ea. Se rezolvă aici doar prima și ultima, în care derivata este dată direct și se ajunge la funcție integrând; celelalte două leagă funcția de derivata ei și cer metodele din lecțiile următoare ale unității.

5. Adevărat. Derivata funcției constante nule este zero, iar $5\cdot 0=0$; cei doi membri coincid. Că este singura soluție a acestei ecuații care ia valoarea zero se va vedea la lecția următoare, unde ecuația nu mai e doar verificată, ci rezolvată.

6. Soluția generală este $y(x)=6x^3-4x+c$; din $y(1)=3$ obținem $6-4+c=3$, deci $c=1$ și $y(x)=6x^3-4x+1$.

7. Doar $y(x)=x^3$: derivând de două ori obținem $6x$, adică exact membrul drept. Pentru $6x^2$ derivata a doua este $12$, iar în $x=0$ avem $12\ne 0$; pentru $x^4$ derivata a doua este $12x^2$, iar în $x=1$ obținem $12\ne 6$. Coeficientul $6$ din ecuație nu trebuie căutat în funcție, ci în derivata ei a doua.

8. Derivata dă $a{e}^{ax}$, iar membrul drept, $-0,25e^{ax}$. Egalitatea pe tot $\mathbb{R}$ cere $a=-0,25$.

9. $y(x)=4x^2-3x+c$, cu o singură constantă, fiindcă ecuația este de ordinul întâi.

10. Integrăm o dată: $y^{\prime }(x)=6x^2+2x+c_1$, iar $y^{\prime }(0)=5$ dă $c_1=5$. Integrăm din nou: $y(x)=2x^3+x^2+5x+c_2$, iar $y(0)=1$ dă $c_2=1$. Soluția este $y(x)=2x^3+x^2+5x+1$.

11. A confundat necunoscuta: la o ecuație diferențială răspunsul este o funcție, nu un număr. Elevul pare să fi „împărțit" în minte, ca la o ecuație obișnuită. Corect: $y(x)=3x^2+c$, cu $c$ real; dacă enunțul ar da și o condiție, constanta s-ar determina din ea.

12. Adevărat. Notăm $z=-y$. Atunci $z^{\prime }=-y^{\prime }$, iar din ecuație $y^{\prime }=2y$, deci $z^{\prime }=-2y=2(-y)=2z$: cei doi membri coincid pe tot intervalul, oricare ar fi $y$. Prin urmare familia soluțiilor cuprinde curbe de amândouă părțile axei $Ox$, nu numai pe cele de deasupra ei.

13. Derivata dă $p^{\prime }(h)=1010\cdot (-0,00012)e^{-0,00012h}=-0,1212e^{-0,00012h}$, iar membrul drept, $-0,00012\cdot 1010e^{-0,00012h}=-0,1212e^{-0,00012h}$; cele două coincid, iar $p(0)=1010$ hectopascali. Rolul variabilei independente îl joacă aici altitudinea, nu timpul: o ecuație diferențială nu descrie neapărat o evoluție în timp.

14. $y(0)=c$, deci $c=2,5$ și soluția este $y(x)=2,5e^{-x}$.

15. $y(x)=0,2x^3+x^2+c$; din $y(0)=-1$ rezultă $c=-1$, deci $y(x)=0,2x^3+x^2-1$.

16. Două, pentru că pentru a ajunge de la $y^{\prime \prime }$ la $y$ se integrează de două ori, iar fiecare integrare adaugă o constantă. De aceea, la ordinul al doilea, o singură condiție nu ajunge ca să fixeze soluția.

17. Da. Membrul stâng: $x\left(3x^2-2\right)=3x^3-2x$. Membrul drept: $3\left(x^3-2x\right)+4x=3x^3-6x+4x=3x^3-2x$. Cele două coincid pentru orice $x>0$.

18. Derivata dă $y^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$, deci membrul stâng este $x\cdot a{x}^{a-1}=a{x}^a$, iar membrul drept, $5x^a$. Egalitatea pe $(0,+\infty )$ cere $a=5$, deci $y(x)=x^5$. Proba: $x\cdot 5x^4=5x^5$. Observă că ecuația aceasta nu are soluții exponențiale, ci de tip putere — semn că forma soluției se citește din ecuație, nu se presupune.

De reținut

• Într-o ecuație diferențială necunoscuta este o funcție, iar în ecuație apar funcția și derivatele ei; ordinul este ordinul celei mai mari derivate care apare.
• O funcție este soluție pe un interval dacă, derivată și înlocuită, transformă ecuația într-o egalitate adevărată în fiecare punct al intervalului.
• Soluția generală este mulțimea tuturor soluțiilor, scrisă cu constante arbitrare; o soluție particulară se obține dând valori acelor constante.
• O ecuație de ordinul $n$ are soluția generală cu $n$ constante, deci cere $n$ condiții ca să fie fixată o singură funcție.
• Verificarea are întotdeauna aceiași doi pași — derivezi și înlocuiești —, oricât de complicată ar fi fost metoda prin care ai găsit soluția.

Greșeli frecvente

• Cauți un număr, nu o funcție. Răspunsul „$y=3$" la o ecuație diferențială arată că necunoscuta a fost citită greșit. Ultimul rând al rezolvării începe întotdeauna cu „$y(x)=$".
• Uiți constanta la soluția generală. Fără ea, răspunsul descrie o singură soluție dintr-o infinitate, iar la ordinul al doilea lipsesc chiar două.
• Pui coeficientul în fața exponențialei, nu la exponent. Pentru $y^{\prime }=2y$ soluția are forma $c{e}^{2x}$: numărul din ecuație ajunge la exponent, iar cel din fața exponențialei rămâne liber.
• Verifici într-un singur punct și conchizi că funcția e soluție. O egalitate adevărată într-un punct nu spune nimic; ea trebuie să fie adevărată pe tot intervalul. Un singur punct ajunge, în schimb, ca să respingi o funcție.
• Crezi că soluțiile se pot aduna oricând. La ecuațiile în care funcția apare la puterea întâi, suma a două soluții ale unei ecuații fără termen liber este soluție; la celelalte, nu. Regula se verifică, nu se presupune.

Aplică acasă

1. Trei funcții, o singură ecuație. Scrie ecuația $y^{\prime }=4y$ și încearcă pe rând funcțiile $e^{4x}$, $4e^x$ și $e^x+4$. Pentru fiecare, calculează derivata și de patru ori funcția, apoi spune care trece proba. Notează, într-o frază, ce loc trebuie să ocupe în formulă numărul $4$ din ecuație.

2. Familia de curbe, pe hârtie. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $y=x^2+c$ pentru $c\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Verifică desenând că toate au aceeași pantă pe verticala unui $x$ ales și că prin fiecare punct al foii trece exact una dintre ele. Ai desenat familia soluțiilor ecuației $y^{\prime }=2x$.

3. Vânătoare de rate în manuale. Caută în manualul de fizică sau de biologie o propoziție de forma „viteza de … este proporțională cu …". Scrie-o ca egalitate între o derivată și o expresie, spune ce ordin are ecuația obținută și ce mărime joacă rolul variabilei independente. Nu o rezolva: doar scrie-o corect.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul înțelege că necunoscuta este o funcție; dacă face corect proba unei soluții, cu ambele calcule scrise; și dacă deosebește soluția generală de cea particulară, folosind condiția din enunț ca să fixeze constanta.

Dificultatea reală nu e calculul, ci schimbarea de obiect. Patru ani la rând, „a rezolva o ecuație" a însemnat „a găsi un număr". Aici răspunsul e o funcție, iar familia de soluții e infinită chiar înainte de a greși ceva. Elevii care nu fac această trecere scriu rezolvări corecte pe bucăți și răspund, la final, cu valoarea unei constante.

A doua sursă de pierderi este verificarea făcută pe jumătate: se derivează funcția, dar nu se calculează separat membrul drept, iar comparația se face „din ochi". Merită cerut, de câteva ori, ca cele două calcule să fie scrise unul sub altul, cu concluzia în cuvinte.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce este necunoscuta aici?"; „Cum arăți că o funcție este soluție?"; „De ce apare o constantă și de unde o afli?"; „Câte condiții îți trebuie la ordinul al doilea?". Semne că a înțeles: începe proba derivând, fără să i se ceară, și respinge o funcție arătând un singur punct în care egalitatea cade.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Ecuații diferențiale: ecuații cu variabile separabile; ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține ecuațiile diferențiale — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație diferențială?

Este o egalitate în care necunoscuta este o funcție, iar în ecuație apar funcția și cel puțin una dintre derivatele ei. De pildă, $y^{\prime }=5y$ cere funcțiile a căror derivată este de cinci ori funcția însăși. Ordinul ecuației este ordinul celei mai mari derivate care apare în ea.

Cum verific dacă o funcție este soluție?

Derivezi funcția propusă, calculezi separat cei doi membri ai ecuației cu ea înlocuită și compari. Dacă egalitatea este adevărată în fiecare punct al intervalului, funcția este soluție; dacă nu, ajunge un singur punct în care cei doi membri diferă ca să o respingi motivat.

Care este diferența dintre soluția generală și o soluție particulară?

Soluția generală cuprinde toate soluțiile, scrise printr-o formulă cu constante arbitrare — una la ordinul întâi, două la ordinul al doilea. O soluție particulară este o funcție anume din familia aceasta, obținută dând constantelor valori determinate de condițiile din enunț.

De ce are o ecuație diferențială o infinitate de soluții?

Pentru că derivata nu păstrează informația despre „unde" se află funcția: două funcții care diferă printr-o constantă au aceeași derivată. Familia se strânge la o singură funcție abia când se adaugă o condiție, adică o valoare cunoscută a soluției într-un punct al intervalului.

Se studiază ecuațiile diferențiale și la mate-info (M1)?

Nu. Ecuațiile diferențiale sunt o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, capitolul de analiză al clasei a XII-a se oprește la primitive, integrala definită și aplicațiile ei, fără această unitate. Nu există, prin urmare, o lecție-pereche la M1 spre care să trimitem pentru comparație.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La sesiunile 2027, 2028 și 2029 nu apare deloc: programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale, așa că niciun subiect nu le poate cere. Tema intră în probă de la MAT_P2, din 2030, în domeniul „Analiză matematică". Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Ce condiții se dau la ecuațiile de ordinul al doilea?

Două, date în același punct: valoarea funcției și valoarea derivatei ei. Prima fixează constanta apărută la a doua integrare, a doua pe cea apărută la prima. Cu o singură condiție ar rămâne o familie infinită de soluții, nu una singură.

Trebuie să știu tabelul derivatelor ca să lucrez aici?

Da, și încă mai mult decât la capitolele anterioare: fiecare verificare începe cu o derivare, iar la funcțiile exponențiale intervine și regula lanțului. Îți sunt de ajuns tabelul derivatelor și regula de derivare a funcțiilor compuse, amândouă din clasa a XI-a.