Cum rezolv ecuația 9^(x)= 1/27?

Ambele numere sunt puteri ale lui 3: 9^(x)=3^(2x) și 1/27=3⁻³. Egalezi exponenții: 2x=-3, deci x=- 3/2. Verificare: 9^(- 3/2)= 1/((√9)³)= 1/27. Exponentul negativ apare din fracția subunitară, iar semnul lui x nu trebuie să surprindă.

Cum aflu timpul dintr-o ecuație exponențială?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații exponențiale cu aceeași bază

Egalezi modelul cu valoarea cerută, izolezi puterea, scrii numărul obținut ca putere a bazei din model și compari exponenții. Exemplu: o cultură are $N (t) = 300 \cdot 2^{\frac{t}{20}}$ bacterii, cu $t$ în minute. Când ajunge la $4800$ ? Împarți: $2^{\frac{t}{20}} = 16 = 2^{4}$ , deci $\frac{t}{20} = 4$ și $t = 80$ de minute. Verificare: $300 \cdot 2^{4} = 4800$ . Soluția are unitatea variabilei $t$ din model.

O ecuație exponențială are necunoscuta în exponent. Metoda de bază este aducerea ambilor membri la aceeași bază: pentru o bază pozitivă diferită de $1$ , două puteri egale au exponenți egali, deci ecuația dintre puteri devine o ecuație între exponenți, de gradul întâi sau al doilea.

Înainte de calcul privești membrul drept. Dacă este zero sau negativ, ecuația nu are soluții, fiindcă orice putere cu bază pozitivă e strict pozitivă. Dacă este o putere a bazei, soluția se află imediat; dacă nu este, soluția există, dar se scrie cu logaritmi și o poți doar încadra între doi întregi.

Bazele compuse se rescriu: $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ , $0, 01 = 1 0^{- 2}$ , iar radicalii puterilor bazei devin puteri cu exponent fracționar, ca $325 = 5^{2/3}$ . Când apar mai multe puteri ale aceleiași baze, dai factor comun puterea cu exponentul cel mai mic și împarți la numărul din paranteză.

Fiecare soluție se verifică în ecuația inițială. Programa cere și confirmarea pe grafic: desenezi cei doi membri și citești abscisele punctelor comune. În științe, ecuațiile de acest fel răspund la întrebări de tipul „după cât timp?” pentru o populație care crește sau pentru o mărime care se înjumătățește.

De reținut

$a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$
$a^{x} = b$ nu are soluții dacă $b \leq 0$
în probleme de timp, soluția are unitatea variabilei din model

Greșeala tipică

Se egalează exponenții înainte de a izola puterea, ca și cum din $300 \cdot 2^{\frac{t}{20}} = 4800$ ar rezulta direct o relație între $\frac{t}{20}$ și $4800$ ; întâi împarți la coeficient, apoi aduci la aceeași bază.

Exerciții din această mini-lecție

Soluția ecuației $6^{x - 3} = 36$ este:
- a) $x = 5$
- b) $x = 2$
- c) $x = 3$
- d) $x = - 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 5$

$36 = 6^{2}$ , deci $x - 3 = 2$ și $x = 5$ .
Ce se poate spune despre ecuația $4^{x} = - 16$ ?
- a) are soluția $x = - 2$
- b) are soluția $x = 2$
- c) nu are soluții reale
- d) are două soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu are soluții reale

Orice putere a lui $4$ este strict pozitivă, deci nu poate fi egală cu un număr negativ.
Soluția ecuației $2 7^{x} = \frac{1}{9}$ este:
- a) $x = \frac{2}{3}$
- b) $x = - \frac{2}{3}$
- c) $x = - \frac{3}{2}$
- d) $x = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = - \frac{2}{3}$

În baza $3$ : $3^{3 x} = 3^{- 2}$ , deci $3 x = - 2$ și $x = - \frac{2}{3}$ .

Întrebări conexe

Cum confirm pe grafic soluția unei ecuații exponențiale?

Desenezi cei doi membri ca funcții și citești abscisa punctului comun. Pentru $3^{x - 1} = 9$ , graficul lui $y = 3^{x - 1}$ întâlnește dreapta orizontală $y = 9$ în punctul $(3, 9)$ , iar calculul dă tot $x - 1 = 2$ , adică $x = 3$ . Graficul arată și că nu există alt punct comun, deci nici altă soluție.

Ce fac când membrul drept nu este o putere a bazei, ca în $2^{x} = 10$ ?

Ecuația are soluție, pentru că $10 > 0$ , dar ea nu este un număr întreg. Din $2^{3} = 8 < 10 < 16 = 2^{4}$ și din creșterea funcției rezultă că soluția este între $3$ și $4$ . Valoarea exactă se scrie cu logaritm: $x = lo g_{2} 10 \approx 3, 32$ .

Cum rezolv ecuația $9^{x} = \frac{1}{27}$ ?

Ambele numere sunt puteri ale lui $3$ : $9^{x} = 3^{2 x}$ și $\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ . Egalezi exponenții: $2 x = - 3$ , deci $x = - \frac{3}{2}$ . Verificare: $9^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{( 9 ) ^{3}} = \frac{1}{27}$ . Exponentul negativ apare din fracția subunitară, iar semnul lui $x$ nu trebuie să surprindă.

După cât timp scade nivelul de anticorpi la un sfert, dacă se înjumătățește la $30$ de zile?

Modelul este $A (t) = A_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{30}}$ , cu $t$ în zile. Un sfert înseamnă $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{30}} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ , deci $\frac{t}{30} = 2$ și $t = 60$ de zile. Nivelul inițial $A_{0}$ se simplifică și nu influențează răspunsul.

Cum rezolv ecuația $2^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{4}$ ?

Scrii $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ și egalezi exponenții: $x^{2} - 3 x = - 2$ , adică $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Rădăcinile sunt $x = 1$ și $x = 2$ ; ambele verifică, fiindcă $1 - 3 = - 2$ și $4 - 6 = - 2$ . Egalarea exponenților e permisă fiindcă funcția $2^{x}$ este injectivă, deci nu se pierd și nu apar soluții.

Oamenii mai întreabă și: după cât timp ajunge o cultură la un număr dat · timpul din modelul exponențial · ecuație exponențială cu timp necunoscut · după câte minute se atinge o valoare exponențial

Cum aflu timpul dintr-o ecuație exponențială?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum confirm pe grafic soluția unei ecuații exponențiale?

Ce fac când membrul drept nu este o putere a bazei, ca în 2x=10?

Cum rezolv ecuația 9x=271​?

După cât timp scade nivelul de anticorpi la un sfert, dacă se înjumătățește la 30 de zile?

Cum rezolv ecuația 2x2−3x=41​?

Continuă cu

Ce fac când membrul drept nu este o putere a bazei, ca în $2^{x} = 10$ ?

Cum rezolv ecuația $9^{x} = \frac{1}{27}$ ?

După cât timp scade nivelul de anticorpi la un sfert, dacă se înjumătățește la $30$ de zile?

Cum rezolv ecuația $2^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{4}$ ?