Ecuații exponențiale elementare (M2, științe ale naturii)

O soluție marcată cu fosfor-32, folosită în laboratorul de biologie moleculară, își înjumătățește activitatea cam la fiecare paisprezece zile. Tehnicianul vrea să știe după câte zile activitatea a scăzut la $\frac{\sqrt{2}}{4}$ din cea inițială, adică la aproximativ $35$ %. Întrebarea se scrie ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/14}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, iar necunoscuta, timpul, a ajuns sus, în exponent. Cum $\frac{\sqrt{2}}{4}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}$, exponentul trebuie să fie $\frac{3}{2}$, deci $t=21$ de zile. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), asemenea ecuații se rezolvă sistematic: aduci membrii la aceeași bază, egalezi exponenții și verifici rezultatul, inclusiv pe grafic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține ecuațiile exponențiale printre temele clasei a X-a; la Subiectul I al variantei-model pentru 2026, ecuația de rezolvat este una cu logaritmi, nu una cu exponențiale.

În clasa a IX-a ai citit pe grafic numărul soluțiilor ecuației $a^x=m$, în lecția M2 despre funcția exponențială, și ai scris logaritmul ca exponent, în lecția despre definiția logaritmului. Monotonia strictă, din care rezultă că puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali, este fixată în proprietățile funcției exponențiale la M2, iar aducerea la aceeași bază ai exersat-o la compararea puterilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești o ecuație exponențială de una cu necunoscuta în bază și să folosești echivalența dintre puteri egale și exponenți egali.
• Vei ști să hotărăști, după membrul drept, dacă ecuația $a^u=b$ are soluție și dacă o poți scrie exact.
• Vei ști să rescrii membrii cu baze ca $\frac{1}{8}$, $0,01$ sau $\sqrt[3]{25}$ ca puteri ale aceleiași baze.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile al căror exponent e de gradul al doilea și pe cele în care dai factor comun o putere.
• Vei ști să confirmi soluția pe graficele celor doi membri, cum cere programa, și să spui ce vezi când nu există soluție.
• Vei ști să scrii un model din biologie sau din fizică sub formă de ecuație și să interpretezi soluția cu unitatea ei.

Hai să descoperim împreună

1. Când putem egala doi exponenți?

Ecuația exponențială este egalitatea în care necunoscuta a urcat în exponentul unei puteri, cu baza pozitivă și diferită de $1$. Cea mai simplă formă a ei este $a^u=a^v$, unde $u$ și $v$ sunt expresii în necunoscută. Pentru $a>0$, $a\ne 1$, avem $a^u=a^v$ exact atunci când $u=v$: funcția exponențială este strict monotonă, deci nu ia aceeași valoare în două puncte diferite.

Pe grafic, lucrul era vizibil în clasa a IX-a: o dreaptă orizontală taie graficul lui $a^x$ cel mult o dată. Acum îl folosim ca regulă de calcul. Pe un obiect care nu mai apare în lecție, $13^{3x+2}=13^{x-4}$, bazele sunt deja egale, deci exponenții trebuie să fie egali: $3x+2=x-4$, adică $x=-3$. Ecuația cu necunoscuta în exponent a devenit o ecuație de gradul întâi.

Regula are o condiție pe care nu o sări: baza trebuie să fie diferită de $1$. Pentru baza $1$ orice exponent dă aceeași putere, iar egalitatea puterilor nu mai spune nimic despre exponenți.

2. Semnul și forma membrului drept

Multe ecuații au forma $a^u=b$, cu $b$ un număr. Înainte de orice calcul, privești semnul lui $b$. Dacă $b\le 0$, ecuația nu are soluții, pentru că orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă; de exemplu, $6^x=-6$ are mulțimea soluțiilor vidă.

Dacă $b>0$ și $b$ se scrie ca putere a bazei, ecuația se rezolvă imediat. Pentru $11^{x-1}=121$ scrii $121=11^2$, deci $x-1=2$ și $x=3$. Dacă $b>0$, dar nu este o putere simplă a bazei, soluția există și este unică, însă exponentul nu se poate scrie cu puteri; revenim la acest caz în secțiunea 7.

Un caz care păcălește des este $b=1$. Echivalența dintre $a^u=1$ și $u=0$ rezultă din injectivitatea funcției exponențiale, pentru că $1=a^0$; aici o folosești ca pe un membru drept scris cu exponentul zero. Tot așa, un membru drept egal cu baza însăși, de pildă $11$ în ecuația cu baza $11$, este puterea cu exponentul $1$. Scrie aceste două cazuri explicit, cu exponentul lor, înainte să egalezi.

3. Cum scriem un radical ca putere?

Membrul drept poate conține un radical: $\sqrt{5}=5^{1/2}$, $\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$, $\frac{1}{\sqrt{5}}=5^{-1/2}$. Regula de trecere, $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$, face parte din tema puterilor cu exponent rațional, prezentată în lecția de supliment despre puterile cu exponent rațional la M2. În ecuațiile de aici ai nevoie doar de radicali ai unor puteri ale bazei, unde trecerea se verifică direct.

Pe perechea $25^x=\frac{1}{\sqrt{5}}$: membrul stâng devine $5^{2x}$, iar cel drept $5^{-1/2}$. Egalând exponenții, $2x=-\frac{1}{2}$, deci $x=-\frac{1}{4}$. Verificarea: $25^{-1/4}$ este inversul rădăcinii de ordinul patru din $25$, adică inversul lui $\sqrt{5}$.

Când membrul drept combină un radical cu o putere, cum ar fi $\frac{\sqrt{3}}{27}$ sau $4\sqrt{2}$, rescrii separat fiecare factor și apoi aduni exponenții: $4\sqrt{2}=2^2\cdot 2^{1/2}=2^{5/2}$. Nu încerca să ghicești exponentul final dintr-o privire; scrie produsul de puteri și calculează suma exponenților ca pe o operație cu fracții.

4. Ce se schimbă când în exponent apare $x^2$?

Egalarea exponenților poate produce o ecuație de gradul al doilea. Pentru $2^{x^2}=8^{6-x}$ scrii $8=2^3$, deci membrul drept devine $2^{18-3x}$, și obții $x^2=18-3x$, adică $x^2+3x-18=0$. Descompunerea $(x+6)(x-3)=0$ dă două valori, $-6$ și $3$, iar ambele sunt soluții ale ecuației exponențiale, pentru că fiecare pas a fost o echivalență.

Numărul soluțiilor nu mai e fixat dinainte: ecuația de gradul al doilea obținută poate avea două rădăcini, una dublă sau niciuna. Ecuația exponențială are exact atâtea soluții câte rădăcini reale are ecuația din exponenți. Discriminantul ecuației de gradul al doilea, pe care îl folosești la clasa a X-a, îți spune dinainte câte soluții urmează să găsești: pozitiv înseamnă două, zero înseamnă una, negativ înseamnă niciuna. Când ecuația din exponenți se descompune ușor în factori, ca aici, descompunerea e drumul cel mai scurt.

5. Ce facem cu o sumă de puteri ale aceleiași baze?

Când membrul stâng adună sau scade puteri ale aceleiași baze, iar exponenții lor se deosebesc doar prin numere, scoți în fața parantezei puterea cea mai mică. Pentru $5^{x+1}+5^{x-2}=126$ cea mai mică este $5^{x-2}$, iar $5^{x+1}=5^{x-2}\cdot 5^3$. Ecuația devine $5^{x-2}(125+1)=126$, adică $5^{x-2}=1$, deci $x-2=0$ și $x=2$.

Alegerea puterii celei mai mici nu e obligatorie, dar e comodă: coeficienții din paranteză ies numere întregi. Dacă scoți factor comun $5^{x+1}$, apare fracția $\frac{1}{125}$, iar rezultatul final este același.

6. Cum verificăm soluția pe grafic?

Programa cere ca mulțimea soluțiilor unei ecuații $f(x)=g(x)$ să fie confirmată pe reprezentarea grafică: desenezi graficele celor doi membri și citești abscisele punctelor comune. Pentru $3^{x+2}=27^x$, algebra dă $x+2=3x$, deci $x=1$.

Figura A arată graficele lui $3^{x+2}$ și $27^x$ în aceeași fereastră. Ele se întâlnesc o singură dată, în punctul $(1;27)$, iar valoarea comună se confirmă prin calcul: $3^3=27$ și $27^1=27$. La stânga lui $1$ curba lui $3^{x+2}$ este deasupra, la dreapta este dedesubt, deci nu poate exista un al doilea punct comun în fereastră. Graficul nu înlocuiește calculul, dar îți arată imediat dacă ai pierdut sau ai adăugat o soluție.

Ce vezi pe grafic atunci când ecuația nu are soluții? Două curbe care nu se întâlnesc în nicio fereastră: de exemplu, graficul lui $2^x+1$ stă tot timpul cu o unitate deasupra graficului lui $2^x$. Iar o ecuație de forma $a^u=b$ cu $b\le 0$ înseamnă o curbă aflată deasupra axei $Ox$ și o orizontală aflată pe axă sau sub ea. În ambele situații desenul confirmă ce a spus algebra: mulțimea soluțiilor este vidă.

7. Ce facem când soluția nu este un număr „frumos”?

Pentru $2^x=11$ membrul drept nu este o putere întreagă a lui $2$. Ecuația are totuși o soluție și numai una, iar valoarea ei exactă se scrie ${\log }_{2}11$. Încadrarea între doi întregi și notația cu logaritm sunt cele din lecția M2 de clasa a IX-a despre logaritm, în secțiunea despre logaritmii care nu sunt întregi; aici le folosim fără să le refacem, iar calculele cu logaritmi urmează în lecția despre logaritmul unui număr la M2. Ce adaugă lecția de față este rescrierea de dinainte: când baza ecuației este o putere a altei baze, treci întâi la baza mai mică și abia apoi încadrezi exponentul nou, ca în exercițiul 10.

8. Cum transformăm o problemă din științe într-o ecuație?

O mărime care pornește de la valoarea $N_0$ și se înmulțește cu factorul $k$ la fiecare interval de lungime $T$ are, după timpul $t$, valoarea $N(t)=N_0\cdot k^{t/T}$: exponentul $\frac{t}{T}$ numără intervalele scurse, inclusiv fracțiunile de interval. Într-o reacție autocatalitică, concentrația produsului pornește de la $40$ µmol/L și, în faza de început, se dublează la fiecare $5$ minute. Întrebarea „când ajunge la $160\sqrt{2}\approx 226$ µmol/L?” devine $40\cdot 2^{t/5}=160\sqrt{2}$. Împarți întâi la valoarea inițială, $2^{t/5}=4\sqrt{2}=2^{\frac{5}{2}}$, apoi egalezi exponenții: $\frac{t}{5}=\frac{5}{2}$, deci $t=12,5$ minute.

Două verificări țin de științe, nu de algebră. Unitatea lui $t$ este cea a lui $T$, aici minutele. Iar soluția trebuie să cadă în intervalul pe care modelul a fost verificat; dacă ies ore întregi pentru o reacție care își consumă reactanții în câteva minute, răspunsul matematic e corect, dar modelul nu mai descrie realitatea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Baze compuse în ambii membri

Rezolvați ecuația ${\left(\frac{1}{8}\right)}^x=32^{x+2}$.

Rezolvare. Ambele baze sunt puteri ale lui $2$: $\frac{1}{8}=2^{-3}$ și $32=2^5$. Ecuația devine $2^{-3x}=2^{5x+10}$, iar exponenții trebuie să fie egali: $-3x=5x+10$, deci $-8x=10$ și $x=-\frac{5}{4}$.

Verificarea în ecuația inițială: membrul stâng este $2^{-3x}=2^{15/4}$, iar cel drept $32^{3/4}=2^{15/4}$. Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{-\frac{5}{4}\right\}$. Soluția negativă nu te surprinde: baza $\frac{1}{8}$ e subunitară și ridicată la un exponent negativ dă un număr mare. Ai fi putut alege și baza $\frac{1}{2}$; exponenții ar fi ieșit cu semnele schimbate, dar ecuația de gradul întâi ar fi dat aceeași valoare.

Exemplul 2 — Un radical în membrul drept

Rezolvați ecuația $9^{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rezolvare. Baza comună este $3$. Membrul stâng devine $3^{2x-2}$, iar cel drept $3^{1/2}\cdot 3^{-1}=3^{-1/2}$. Din $2x-2=-\frac{1}{2}$ rezultă $2x=\frac{3}{2}$, deci $x=\frac{3}{4}$ și $S=\left\{\frac{3}{4}\right\}$.

Verificare: $9^{-1/4}=3^{-1/2}$, adică $\frac{1}{\sqrt{3}}$, iar $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ după amplificare cu $\sqrt{3}$. Cele două scrieri ale membrului drept sunt deci aceeași valoare, ceea ce merită observat înainte de a egala exponenții. Dacă ai fi scris greșit „$\sqrt{3}=3^2$”, ai fi obținut un exponent pozitiv în dreapta și o soluție mai mare decât $1$; controlul de mărime prinde greșeala: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ este sub $1$, deci exponentul lui $3$ trebuie să fie negativ.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $8^{x-1}=2^{x+5}$ astfel: „$8^{x-1}=2^{3x-1}$, deci $3x-1=x+5$ și $x=3$.” Verificați rezultatul și găsiți greșeala.

Rezolvare. Înlocuim $x=3$ în ecuația inițială: membrul stâng este $8^2=64$, iar cel drept $2^8=256$. Egalitatea nu are loc, deci $3$ nu este soluție.

Greșeala este la rescrierea bazei: $8^{x-1}={\left(2^3\right)}^{x-1}=2^{3(x-1)}=2^{3x-3}$. Exponentul $3$ înmulțește tot binomul $x-1$, nu doar pe $x$. Corect: $3x-3=x+5$, deci $x=4$, iar verificarea dă $8^3=512$ și $2^9=512$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{4\}$. Morala: parantezele exponentului se păstrează până după înmulțire, iar verificarea prin înlocuire prinde imediat o asemenea greșeală.

Exemplul 4 — După câte zile ajunge cultura la pragul dorit?

O cultură de diatomee, alge unicelulare cu înveliș de siliciu, pornește de la $3$ mii de celule pe mililitru și se triplează la fiecare două zile, în condițiile de lumină și hrană ale laboratorului. Numărul de celule, socotit în mii pe mililitru, urmează legea $N(t)=3\cdot 3^{t/2}$, cu $t\in [0,10]$ zile. După câte zile ajunge cultura la $243$ de mii de celule pe mililitru?

Rezolvare. Condiția este $3\cdot 3^{t/2}=243$. Împărțim la $3$: $3^{t/2}=81=3^4$, deci $\frac{t}{2}=4$ și $t=8$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{8\}$, adică pragul se atinge după $8$ zile, moment care aparține intervalului de valabilitate.

Verificare: $N(8)=3\cdot 3^4=243$ de mii de celule pe mililitru. Pe figura C, orizontala de $243$ taie curba în dreptul zilei a opta. Observă că numărul de triplări este $\frac{t}{2}$, deci patru triplări au înmulțit populația cu $81$.

Întrebarea inversă, „câte celule sunt după cinci zile?”, cere doar un calcul: $N(5)=3\cdot 3^{2,5}\approx 46,8$ mii de celule pe mililitru. Diferența dintre cele două întrebări e diferența dintre a calcula o valoare a funcției și a rezolva o ecuație, iar în laborator a doua este cea care contează când planifici momentul recoltării.

Exemplul 5 — Factor comun cu trei termeni

Rezolvați ecuația $2^{x+2}+2^x+2^{x-1}=44$.

Rezolvare. Cea mai mică putere este $2^{x-1}$. Avem $2^{x+2}=2^{x-1}\cdot 2^3$ și $2^x=2^{x-1}\cdot 2$, deci ecuația devine $2^{x-1}(8+2+1)=44$, adică $11\cdot 2^{x-1}=44$. Rezultă $2^{x-1}=4=2^2$, deci $x-1=2$ și $x=3$.

Verificare: $2^5+2^3+2^2=32+8+4=44$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{3\}$. Cei trei termeni au dat în paranteză un singur număr, $11$, iar împărțirea la el a readus ecuația la forma $a^u=b$. Dacă suma din paranteză ar fi ieșit zero sau negativă, iar membrul drept pozitiv, ecuația n-ar fi avut soluții; merită să te uiți la semnul ei înainte să împarți.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=4^x$: a) arătați că $f\left(\frac{5}{2}\right)=32$; b) aflați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=8\cdot f(1-x)$.

Rezolvare. a) $f\left(\frac{5}{2}\right)=4^{\frac{5}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^5=2^5=32$.

b) Ecuația este $4^x=8\cdot 4^{1-x}$. În baza $2$: $2^{2x}=2^3\cdot 2^{2-2x}=2^{5-2x}$. Egalăm exponenții: $2x=5-2x$, deci $x=\frac{5}{4}$ și $S=\left\{\frac{5}{4}\right\}$. Verificare: $f\left(\frac{5}{4}\right)=2^{5/2}$, iar $8\cdot 4^{-1/4}=2^3\cdot 2^{-1/2}=2^{5/2}$. Exercițiul e creat pentru antrenament, pe tiparul cerințelor scurte din lucrarea de examen.

Să exersăm

Scrie baza comună, egalează exponenții numai când bazele sunt egale și verifică fiecare soluție în ecuația inițială. Scrie mulțimea soluțiilor.

1. Rezolvă ecuația $7^{x+2}=343$.

2. Rezolvă ecuația ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x+1}=625$.

3. Rezolvă ecuația $16^x=\frac{1}{64}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numerele $-\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{2}$ sunt singurele soluții ale ecuației $9^{x^2}=\sqrt{3}$.

5. Rezolvă ecuația $1000^x=0,01^{x+5}$.

6. Rezolvă ecuația $5^{x^2+x}={\left(\frac{1}{25}\right)}^{4x+7}$.

7. Rezolvă ecuația $3^{x+2}-4\cdot 3^x=405$.

8. Rezolvă ecuația $5^{x+1}=\sqrt[3]{25}$.

9. Stabilește care dintre ecuații nu au soluții reale și rezolvă-le pe celelalte: a) $9^x=-3$; b) $3^x+3^{x+3}=0$; c) $4^x=4^{x+1}$; d) $10^x=0,1$.

10. Fără calculator, arată că ecuația $4^x=10$ are o soluție unică și că ea este pozitivă. Scrie membrul stâng ca putere a lui $2$, încadrează soluția între două numere consecutive din jumătate în jumătate și scrie-o cu notația de logaritm.

11. Figura B arată, într-o fereastră, graficele funcțiilor $f(x)=3^x$ și $g(x)={\left(\frac{1}{9}\right)}^{x-3}$, una crescătoare, cealaltă descrescătoare. Rezolvă algebric ecuația $3^x={\left(\frac{1}{9}\right)}^{x-3}$, confirmă pe figură soluția și explică de ce nu poate exista o a doua.

12. (Problemă aplicată.) Într-un model simplificat, după atingerea valorii maxime, nivelul unui anumit tip de anticorpi produși după o vaccinare scade la jumătate aproximativ la fiecare $3$ luni: $N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/3}$, cu $t\ge 0$ în luni. După câte luni nivelul a scăzut la $\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$ din valoarea maximă, adică la aproximativ $31,5$ %?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{3-x}=\frac{1}{16}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\sqrt{5}\right)}^x=125$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x+1}=2^{x^2}$.

16. Determină abscisa $x$ a punctului $A\left(x;\frac{1}{32}\right)$ de pe graficul funcției $f(x)=8^x$.

17. Rezolvă ecuația $\frac{8^x}{2^{x+1}}=16$.

18. (Provocare.) Găsește toate numerele reale $x$ pentru care $2^{|x-1|}=8$. De ce apar mai multe soluții decât la ecuațiile cu exponent de gradul întâi?

Răspunsuri și explicații

1. Scriem $343=7^3$; egalând exponenții, $x+2=3$, adică $x=1$. Control: $7^3=343$. $S=\{1\}$.

2. ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x+1}=5^{-x-1}$ și $625=5^4$, deci $-x-1=4$ și $x=-5$. Verificare: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-4}=625$. $S=\{-5\}$.

3. $16^x=2^{4x}$ și $\frac{1}{64}=2^{-6}$, deci $4x=-6$ și $x=-\frac{3}{2}$. $S=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$.

4. Adevărat. În baza $3$: $9^{x^2}=3^{2x^2}$ și $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$, deci $2x^2=\frac{1}{2}$, adică $x^2=\frac{1}{4}$, cu soluțiile $-\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{2}$. Egalarea exponenților este o echivalență, deci alte soluții nu există: $S=\left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}$.

5. În baza $10$: $10^{3x}=10^{-2x-10}$, deci $3x=-2x-10$ și $x=-2$. Verificare: $1000^{-2}=10^{-6}$ și $0,01^3=10^{-6}$. $S=\{-2\}$.

6. $\frac{1}{25}=5^{-2}$, deci membrul drept este $5^{-2(4x+7)}=5^{-8x-14}$, cu paranteza păstrată. Egalăm exponenții: $x^2+x=-8x-14$, adică $x^2+9x+14=0$, cu rădăcinile $-7$ și $-2$. Verificare: pentru $x=-2$ ambii membri sunt $25$, iar pentru $x=-7$ ambii sunt $5^{42}$. $S=\{-7;-2\}$.

7. $3^{x+2}=9\cdot 3^x$, deci $3^x(9-4)=405$, adică $3^x=81$ și $x=4$. Verificare: $729-324=405$. $S=\{4\}$.

8. $\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$, deci $x+1=\frac{2}{3}$ și $x=-\frac{1}{3}$. $S=\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

9. Trei dintre ecuații nu au soluții, fiecare din alt motiv. a) Membrul drept este negativ, iar $9^x>0$: $S=\varnothing$. b) $3^x+3^{x+3}=3^x(1+27)=28\cdot 3^x$ este strict pozitiv, deci nu poate fi zero: $S=\varnothing$. c) Egalând exponenții ar trebui $x=x+1$, imposibil: $S=\varnothing$. d) $0,1=10^{-1}$, deci $x=-1$ și $S=\{-1\}$.

10. Membrul drept este pozitiv, deci orizontala $y=10$ taie o singură dată graficul crescător al lui $4^x$; cum $4^0=1<10$, soluția este pozitivă. În baza $2$, ecuația devine $2^{2x}=10$. Din $2^3=8<10<16=2^4$ rezultă $3<2x<4$, deci $\frac{3}{2}<x<2$. Se scrie $x={\log }_{4}10$, iar calculatorul dă $x\approx 1,661$. Rescrierea a dat o încadrare de două ori mai strânsă decât cea directă, între $4^1$ și $4^2$.

11. ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{x-3}=3^{-2x+6}$, deci $x=-2x+6$ și $x=2$. $S=\{2\}$. Pe figură, graficele se întâlnesc deasupra abscisei $2$, la înălțimea $9$: $3^2=9$ și ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1}=9$. O funcție crescătoare și una descrescătoare au cel mult un punct comun, deci soluția este unică.

12. Nivelul se raportează la valoarea maximă, deci $N_0$ se simplifică. Condiția este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/3}=\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$. În baza $2$: $2^{-t/3}=2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{-2}=2^{-\frac{5}{3}}$, deci $\frac{t}{3}=\frac{5}{3}$ și $t=5$ luni, iar $S=\{5\}$. Modelul descrie doar scăderea anticorpilor din sânge; protecția organismului depinde și de celulele de memorie, pe care această formulă nu le conține.

13. $\frac{1}{16}=2^{-4}$, deci $3-x=-4$ și $x=7$. Verificare: $2^{-4}=\frac{1}{16}$. $S=\{7\}$.

14. $\sqrt{5}=5^{1/2}$, deci ${\left(\sqrt{5}\right)}^x=5^{x/2}$, iar $125=5^3$. Egalând exponenții, $\frac{x}{2}=3$, deci $x=6$. Verificare: ${\left(\sqrt{5}\right)}^6=5^3=125$. $S=\{6\}$.

15. $4^{x+1}=2^{2x+2}$, deci $x^2=2x+2$, adică $x^2-2x-2=0$. Discriminantul este $12$, iar rădăcinile sunt $1-\sqrt{3}$ și $1+\sqrt{3}$. $S=\left\{1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}\right\}$. Soluțiile sunt iraționale, deci o citire pe grafic ar da doar aproximările $-0,73$ și $2,73$; verificarea exactă se face în ecuația din exponenți.

16. Condiția este $8^x=\frac{1}{32}$, adică $2^{3x}=2^{-5}$, deci $x=-\frac{5}{3}$. $S=\left\{-\frac{5}{3}\right\}$.

17. $8^x=2^{3x}$, iar împărțirea puterilor cu aceeași bază scade exponenții: $2^{3x-x-1}=2^{2x-1}$. Din $2^{2x-1}=2^4$ rezultă $2x-1=4$ și $x=\frac{5}{2}$. $S=\left\{\frac{5}{2}\right\}$.

18. $8=2^3$, deci $|x-1|=3$. Un modul egal cu $3$ înseamnă $x-1=3$ sau $x-1=-3$, adică $x=4$ sau $x=-2$. $S=\{-2;4\}$. Exponentul $|x-1|$ ia de două ori fiecare valoare pozitivă, de aceea apar două soluții.

De reținut

• Pentru $a>0$, $a\ne 1$: $a^u=a^v$ exact atunci când $u=v$. Egalezi exponenții numai după ce bazele sunt aceleași.
• Ecuația $a^u=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$; pentru $b>0$ are soluții, scrise exact cu puteri doar când $b$ e o putere a bazei.
• Radicalii puterilor bazei se scriu ca puteri cu exponent fracționar: $\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$.
• Mai multe puteri ale aceleiași baze se reduc la una prin factor comun, de preferat puterea cu exponentul cel mai mic.
• Soluțiile se verifică în ecuația inițială și, când ai graficele membrilor, se confirmă ca abscise ale punctelor comune.

Greșeli frecvente

• Scrii „$\sqrt[3]{25}=5^{3/2}$”. Ordinul radicalului ajunge la numitor, exponentul de sub radical la numărător: $\sqrt[3]{5^2}=5^{2/3}$. Verifică ridicând la cub: ${\left(5^{2/3}\right)}^3=25$.
• Pierzi soluția negativă a exponentului pătratic. Din $5^{x^2}=625$ rezultă $x^2=4$, deci $x=2$ sau $x=-2$. Ecuația $x^2=4$ are două rădăcini, iar ecuația exponențială le păstrează pe amândouă. Verifică-le pe rând: pătratul lui $-2$ este tot $4$, deci și puterea este tot $625$.
• Scrii $1$ ca putere cu exponentul $1$. În $7^{x-3}=1$, numărul $1$ este $7^0$, nu $7^1$, deci $x-3=0$ și $x=3$. Orice putere cu exponentul zero dă $1$.
• Înghiți coeficientul în bază. Din $5\cdot 3^x=45$ nu rezultă „$15^x=45$”: coeficientul nu intră sub exponent. Împarți întâi la $5$ și obții $3^x=9$, deci $x=2$.
• Crezi că un exponent de gradul al doilea dă mereu două soluții. Pentru $3^{x^2-2x}=\frac{1}{3}$ se ajunge la $x^2-2x+1=0$, cu rădăcina dublă $1$: ecuația are o singură soluție. Alteori ecuația din exponenți nu are nicio rădăcină reală.

Aplică acasă

1. Alcătuiește un „dicționar de puteri”: un tabel cu puterile lui $2$, $3$, $5$ și $10$ pentru exponenții de la $-3$ la $6$. Folosește-l ca să rescrii fără calculator membrii drepți ai exercițiilor 1, 2, 3, 5 și 13 și notează rândul din tabel pe care l-ai folosit. Adaugă apoi în tabel $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$ și $\sqrt{10}$, scrise ca puteri cu exponent fracționar.
2. Alege trei ecuații din exerciții și, înainte de a le rezolva, estimează semnul și mărimea soluției doar din bază și din membrul drept: de exemplu, o bază subunitară și un membru drept mare anunță o soluție negativă. Notează estimarea, rezolvă, apoi compară. După trei ecuații, scrie regula de estimare pe care ai folosit-o.
3. Cu un coleg: unul scrie o putere cu baza $2$, $4$, $8$ sau $\frac{1}{2}$ și un exponent care conține $x$, celălalt o putere cu altă bază din aceeași familie. Căutați împreună valoarea lui $x$ pentru care cele două puteri sunt egale și verificați-o prin înlocuire. După cinci runde, schimbați familia de baze: $3$, $9$, $27$, $\frac{1}{3}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește metoda de bază pentru ecuațiile exponențiale: aducerea membrilor la aceeași bază, egalarea exponenților și verificarea. Merită urmărite trei deprinderi. Prima este controlul membrului drept înaintea oricărui calcul. A doua este rescrierea corectă a bazelor, cu paranteze la exponenții compuși și cu radicali transformați doar când sunt puteri ale bazei. A treia este verificarea, prin înlocuire și pe graficul celor doi membri. Un elev care scrie mulțimea soluțiilor, nu doar valoarea găsită, și care spune de ce o ecuație nu are soluții, a înțeles metoda, nu doar a memorat pașii.

Întrebări bune de control: „De ce ecuația $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$?”; „Câte soluții poate avea o ecuație cu exponent de gradul al doilea?”; „Ce îți arată graficul când ecuația nu are soluție?”. Ecuațiile care cer o substituție, de tipul celor în care apar $a^{2x}$ și $a^x$, sunt lăsate lecției următoare.

Pentru ora de laborator de informatică sau pentru temă, o aplicație de grafice gratuită este suficientă: elevul scrie separat cei doi membri ca funcții și citește punctele comune. Merită discutat cu clasa ce nu arată un desen, de exemplu o a doua soluție aflată în afara ferestrei alese. Soluțiile iraționale, ca la exercițiul 15, arată bine de ce citirea pe grafic rămâne o confirmare, iar valoarea exactă vine din calcul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții numește ecuațiile exponențiale, iar competența X.CS.3.3 cere rezolvarea ecuațiilor de forma $f(x)=g(x)$ cu verificarea mulțimii soluțiilor pe reprezentarea grafică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, unde „Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice” apar la clasa a X-a, printre rezolvările de ecuații folosind proprietățile funcțiilor; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026, singura cerință de tipul „Rezolvați ecuația” de la Subiectul I folosește logaritmi, iar exponențiala e prezentă doar în problema de analiză de la Subiectul al III-lea; ecuațiile marcate aici sunt create pentru exercițiu.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile exponențiale elementare, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ecuațiile exponențiale elementare?

Varianta M2 preia echivalența dintre puteri egale și exponenți egali din proprietățile funcției exponențiale, fără să o redemonstreze, și nu folosește substituția, care are lecție proprie. În schimb, cere verificarea soluțiilor pe graficul celor doi membri, cum prevede programa de științe, și lucrează cu modele din biologie și din fizică.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile exponențiale?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține ecuațiile exponențiale la clasa a X-a, fără să precizeze subiectul la care se evaluează. În varianta-model pentru 2026, la Subiectul I se rezolvă o ecuație cu logaritmi, iar exponențiala e folosită abia în problema de analiză de la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Cum recunosc baza comună a celor doi membri?

Descompune fiecare număr în factori primi. Dacă apare un singur număr prim, el este baza comună: $0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}=5^{-2}$, iar $125=5^3$. Dacă apar numere prime diferite, ca în $12=2^2\cdot 3$, nu există o bază comună, iar ecuația cere altă metodă. Fracțiile zecimale se scriu întâi ca fracții ordinare, ca să nu pierzi semnul exponentului.

De ce pot scrie un radical ca putere a bazei?

Pentru că radicalul unei puteri a bazei este tot o putere a bazei, cu exponent fracționar: $\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$, fiindcă ridicând la cub obții $25$. Regula generală se studiază la puterile cu exponent rațional, în suplimentul pentru examen. În ecuațiile din lecție o folosești doar când rezultatul se verifică direct, prin ridicare la putere.

Ce fac dacă în ecuație apar în același timp bazele 2 și 3?

Atunci nu mai poți aduce totul la o singură bază, pentru că nicio putere întreagă a lui $2$ nu este o putere a lui $3$. Dacă ambele puteri au același exponent, împarți și obții o putere a raportului bazelor, cum vei vedea în lecția despre substituție. Altfel, soluția se scrie cu logaritmi, după lecțiile care urmează.

Ce unitate are soluția unei ecuații exponențiale dintr-o problemă de biologie?

Exponentul unei puteri este un număr fără unitate: el numără perioade, de exemplu triplări sau înjumătățiri. Necunoscuta din exponent, de obicei timpul, poartă însă unitatea perioadei cu care este împărțită. Dacă perioada e în zile, și soluția e în zile. Verifică apoi că momentul găsit se află în intervalul pe care modelul a fost măsurat.