Ecuații exponențiale elementare: pe scurt

Ecuațiile în care necunoscuta stă la exponent se numesc exponențiale. Regula fundamentală pe care se sprijină rezolvarea lor vine din injectivitate: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$ și $a\ne 1$.

Ecuația elementară $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$ (exponențiala e strict pozitivă); pentru $b>0$ are exact o soluție, imediată dacă $b$ este o putere „frumoasă” a lui $a$. Metoda principală este aducerea la aceeași bază: rescrii toate puterile cu aceeași bază, egalezi exponenții, rezolvi ecuația rezultată și verifici în ecuația inițială.

La ecuații cu mai mulți termeni de aceeași bază (de exemplu $a^{x+1}+a^x=c$), se descompune exponentul compus, $a^{x+k}=a^x\cdot a^k$, și se dă factor comun. La ecuații de gradul al doilea în $a^x$, prima substituție este $t=a^x$, cu condiția obligatorie $t>0$ — rădăcinile negative sau nule ale ecuației în $t$ se resping explicit, pentru că nu provin de la niciun $x$ real.

Greșeli frecvente: egalarea exponenților fără bază comună, uitarea condiției $t>0$, declararea unei soluții acolo unde ecuația nu are niciuna (de exemplu $3^x=-9$ are $S=\varnothing$) și confuzia dintre $a^{x+k}$ (produs) și $a^x+a^k$ (sumă, greșit).

Exerciții din această mini-lecție

1. Ecuația $a^x=b$, cu $a>0,a\ne 1$, nu are soluții atunci când:

   • a) $b\le 0$
   • b) $b=a$
   • c) $b>0$
   • d) $b=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $b\le 0$

   Cum $a^x>0$ pentru orice $x$, ecuația nu poate avea soluții dacă membrul drept este zero sau negativ.

2. Rezolvați $2^x=32$.

   • a) $16$
   • b) $5$
   • c) $6$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   $32=2^5$, deci prin injectivitate $x=5$.

3. La substituția $t=a^x$ într-o ecuație exponențială, condiția obligatorie este:

   • a) $t\in \mathbb{Z}$
   • b) $t\ge 0$
   • c) $t>0$
   • d) $t\ne a$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $t>0$

   Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive, deci orice soluție $t\le 0$ a ecuației auxiliare trebuie respinsă.