De ce 2 la x plus 2 la minus x e cel puțin 2?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Substituția t = a la x

Cu $t = 2^{x}$ , care este pozitiv, suma devine $t + \frac{1}{t}$ , iar $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t} \geq 0$ . Egalitatea are loc doar pentru $t = 1$ , adică $x = 0$ . De aici, ecuația $2^{x} + 2^{- x} = m$ nu are soluții pentru $m < 2$ . Exemplu cu $m = \frac{5}{2}$ : $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ dă $t = 2$ sau $t = \frac{1}{2}$ , deci $x = 1$ sau $x = - 1$ , două soluții opuse.

Când într-o ecuație apar o putere și pătratul ei, ca $4^{x}$ și $2^{x}$ sau $2 5^{x}$ și $5^{x}$ , aducerea la aceeași bază nu mai ajunge. Se notează $t = a^{x}$ , iar ecuația devine una de gradul al doilea în $t$ . Noua necunoscută moștenește o condiție: $t$ ține locul unei puteri cu bază pozitivă, așa că ia numai valori mai mari decât zero.

După rezolvarea ecuației în $t$ , rădăcinile nule sau negative se resping, cu motivarea scrisă, iar pentru cele pozitive revii la $x$ prin ecuații elementare. Soluțiile în $x$ pot fi negative: condiția privește puterea, nu exponentul. Puterile cu exponenți compuși se transformă înainte de substituție: $a^{2 x + 1} = a t^{2}$ , $a^{x + k} = a^{k} t$ , $a^{- x} = \frac{1}{t}$ .

Suma $a^{x} + a^{- x}$ este cel puțin $2$ , pentru că $t + \frac{1}{t} \geq 2$ oricare ar fi $t > 0$ . Ecuația $a^{x} + a^{- x} = m$ nu are soluții pentru $m < 2$ , are soluția $x = 0$ pentru $m = 2$ și două soluții opuse pentru $m > 2$ .

Când apar două baze fără bază comună, dar cu același exponent, împarți la una dintre puteri, care nu e niciodată zero, și lucrezi cu raportul bazelor ridicat la $x$ . În științe, substituția rezolvă modele cu două procese exponențiale suprapuse, la care o putere este pătratul celeilalte.

De reținut

$t = a^{x}$ impune $t > 0$ ; rădăcinile nepozitive în $t$ se resping
$t + \frac{1}{t} \geq 2$ pentru $t > 0$ , cu egalitate doar la $t = 1$
$a^{x} + a^{- x} = m$ : fără soluții pentru $m < 2$ , $x = 0$ pentru $m = 2$ , două soluții opuse pentru $m > 2$

Greșeala tipică

Se resping soluțiile negative în $x$ , confundând condiția pe $t$ cu o condiție pe exponent; doar $t$ trebuie să fie pozitiv, iar $x$ poate fi orice număr real.

Exerciții din această mini-lecție

Cu notația $t = 3^{x}$ , termenul $9^{x + 1}$ se scrie:
- a) $9 t$
- b) $3 t^{2}$
- c) $9 t^{2}$
- d) $t^{2} + 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9 t^{2}$

$9^{x + 1} = 9 \cdot 9^{x} = 9 \cdot (3^{x})^{2} = 9 t^{2}$ .
Cu $t = 2^{x}$ , o ecuație are în $t$ rădăcinile $t_{1} = - 5$ și $t_{2} = \frac{1}{4}$ . Mulțimea soluțiilor ecuației în $x$ este:
- a) ${- 2}$
- b) ${2}$
- c) ${- 5; - 2}$
- d) $\emptyset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${- 2}$

Rădăcina $- 5$ se respinge, fiindcă $2^{x} > 0$ ; din $2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ rezultă $x = - 2$ .
Câte soluții reale are ecuația $7^{x} + 7^{- x} = 2$ ?
- a) niciuna
- b) una
- c) două
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) una

Cu $t = 7^{x} > 0$ , suma $t + \frac{1}{t}$ este cel puțin $2$ și are valoarea $2$ numai pentru $t = 1$ , adică pentru $x = 0$ .

Întrebări conexe

Cum aflu când masa unui amestec cu două componente volatile ajunge la o valoare dată?

Într-un model, masa este $m (t) = (\frac{1}{4})^{t} + (\frac{1}{2})^{t}$ grame, cu $t$ în ore. Pentru $m = \frac{3}{4}$ notezi $u = (\frac{1}{2})^{t} > 0$ și obții $u^{2} + u - \frac{3}{4} = 0$ , cu $u = \frac{1}{2}$ sau $u = - \frac{3}{2}$ . Rămâne $u = \frac{1}{2}$ , deci $t = 1$ oră.

De ce o soluție în $x$ poate fi negativă, deși $t = 2^{x}$ este pozitiv?

Condiția $t > 0$ privește puterea, nu exponentul. Ecuația $2 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ devine $2 t^{2} - 9 t + 4 = 0$ , cu $t = 4$ și $t = \frac{1}{2}$ . Ambele sunt pozitive și se păstrează: $2^{x} = 4$ dă $x = 2$ , iar $2^{x} = \frac{1}{2}$ dă $x = - 1$ .

Cum rezolv ecuația $3^{x} + 3^{1 - x} = 4$ ?

Scrii $3^{1 - x} = \frac{3}{3 ^{x}}$ și notezi $t = 3^{x} > 0$ : $t + \frac{3}{t} = 4$ , adică $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , cu $t = 1$ sau $t = 3$ . Revii la $x$ : $3^{x} = 1$ dă $x = 0$ , iar $3^{x} = 3$ dă $x = 1$ . Condiția $t > 0$ contează: o valoare negativă sau nulă a lui $t$ s-ar fi respins, pentru că $3^{x}$ este mereu pozitiv.

Are soluții ecuația $5^{x} + 5^{- x} = 1$ ?

Nu. Cu $t = 5^{x} > 0$ , membrul stâng este $t + \frac{1}{t}$ , care nu coboară niciodată sub $2$ . Nicio valoare a lui $x$ nu poate da suma $1$ , deci mulțimea soluțiilor este vidă. Observația scutește rezolvarea ecuației $t^{2} - t + 1 = 0$ , care oricum are discriminantul negativ.

Cum aflu suma soluțiilor unei ecuații prin substituție fără să le calculez?

La $4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 = 0$ , cu $t = 2^{x}$ , relațiile lui Viète dau $t_{1} t_{2} = 32$ , iar ambele rădăcine sunt pozitive. Cum $t_{1} t_{2} = 2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 2^{x_{1} + x_{2}}$ , rezultă $2^{x_{1} + x_{2}} = 32$ și $x_{1} + x_{2} = 5$ . Verificare: $t = 4$ și $t = 8$ dau $x = 2$ și $x = 3$ .

Oamenii mai întreabă și: a la x plus a la minus x mai mare sau egal cu 2 · suma 2 la x plus 2 la minus x · ecuația a la x plus a la minus x egal m · t plus 1 supra t cel puțin 2