Ecuații exponențiale rezolvate prin substituție (M2, științe ale naturii)

O bandă de gel de agar, lungă de $8$ cm, primește colorant prin ambele capete. Colorantul pătrunde în gel și se degradează pe drum, așa că, după ce se stabilizează, concentrația relativă la distanța $x$ de capătul stâng este aproximativ $c(x)=2^{-x}+2^{x-8}$. Unde are concentrația valoarea $\frac{17}{64}$? Ecuația $2^{-x}+2^{x-8}=\frac{17}{64}$ nu se lasă rescrisă ca egalitate între două puteri ale lui $2$, pentru că membrul stâng este o sumă. Dacă notezi însă $t=2^x$, ea devine o ecuație de gradul al doilea în $t$. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), această notație, numită substituție, completează metoda aducerii la aceeași bază. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține ecuațiile exponențiale la clasa a X-a; varianta-model pentru 2026 nu are o ecuație exponențială la Subiectul I, unde apare una cu logaritmi.

Metoda aducerii la aceeași bază este în lecția despre ecuațiile exponențiale elementare la M2, iar faptul că o putere cu bază pozitivă are numai valori strict pozitive l-ai citit pe grafic în lecția M2 de clasa a IX-a despre funcția exponențială și îl găsești, ca proprietate, în proprietățile funcției exponențiale la M2, de unde vine condiția pe care o vei scrie la fiecare substituție.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști ecuațiile în care apar o putere și pătratul ei și să alegi notația potrivită.
• Vei ști să scrii condiția $t>0$ și să respingi, cu motivare, rădăcinile nule sau negative ale ecuației în $t$.
• Vei ști să exprimi în funcție de $t$ puteri ca $a^{2x-1}$, $a^{x+2}$ sau $a^{-x}$ înainte de a rezolva.
• Vei ști de ce suma $a^x+a^{-x}$ nu coboară sub $2$ și ce înseamnă asta pentru numărul soluțiilor.
• Vei ști să reduci ecuațiile cu două baze diferite, de tipul $4^x$, $10^x$, $25^x$, la o putere a raportului lor.
• Vei ști să folosești substituția în modele din chimie și din fizică, cu verificarea intervalului de valabilitate.

Hai să descoperim împreună

1. O putere și pătratul ei în aceeași ecuație

Substituția exponențială este înlocuirea unei puteri $a^x$ cu o necunoscută nouă, $t=a^x$, cu condiția $t>0$, astfel încât ecuația dată să devină o ecuație algebrică în $t$. Semnalul este prezența, în aceeași ecuație, a unei puteri și a pătratului ei: $a^{2x}={\left(a^x\right)}^2$. Perechile care apar des sunt $4^x$ și $2^x$, $9^x$ și $3^x$, $25^x$ și $5^x$, $0,25^x$ și $0,5^x$.

Aducerea la aceeași bază nu ajunge aici: după rescriere, membrul stâng rămâne o sumă de puteri diferite, nu o singură putere. Substituția transformă suma într-un trinom, pe care îl rezolvi cu formula rădăcinilor sau prin descompunere. Abia la final revii la necunoscuta inițială, prin ecuații elementare de tipul $a^x=t_1$.

Pe cine notezi cu $t$? Puterea cu baza cea mai mică dintre cele care apar, adică aceea din care celelalte se obțin prin ridicare la pătrat. Dacă ecuația conține $16^x$ și $4^x$, notezi $t=4^x$; dacă ar conține $16^x$ și $2^x$, legătura ar fi o putere a patra, iar ecuația în $t$ ar ieși de gradul al patrulea. Și invers: dacă după aducerea la aceeași bază rămâne o singură putere, substituția nu mai e necesară, iar metoda din lecția precedentă este mai scurtă.

2. Câte rădăcini în t rămân după condiția t > 0?

Noua necunoscută nu poate lua orice valoare: fiind o putere cu bază pozitivă, $t$ este strict pozitiv. Pentru $49^x-6\cdot 7^x-7=0$ notăm $t=7^x$, cu $t>0$, și obținem $t^2-6t-7=0$, cu rădăcinile $t_1=7$ și $t_2=-1$. Rădăcina $-1$ se respinge, pentru că nicio putere a lui $7$ nu este negativă. Rămâne $7^x=7$, deci $x=1$.

Figura A arată, într-o fereastră, parabola $y=t^2-6t-7$: ea taie axa orizontală în $t=-1$ și în $t=7$, dar numai tăietura din dreapta verticalei $t=0$ provine de la o valoare a lui $x$. Dacă ambele tăieturi ar fi în stânga, ca pentru $49^x+15\cdot 7^x+54=0$, unde rădăcinile sunt $-6$ și $-9$, ecuația exponențială nu ar avea nicio soluție. Același lucru se vede direct: suma a trei termeni pozitivi nu poate fi zero. Și rădăcina $t=0$ se respinge, fiindcă nicio putere nu este zero.

Propoziția de respingere se scrie de fiecare dată, cu motivul ei: „se respinge, deoarece $7^x>0$ pentru orice $x$ real”. Ea nu e o formalitate de redactare: arată că ai cercetat semnul fiecărei rădăcini, nu doar că ai rezolvat trinomul. Când ambele rădăcini sunt pozitive, scrii la fel de explicit că amândouă se păstrează, ca în exemplele de mai jos.

3. Cum exprimăm în t puterile cu exponenți compuși?

Înainte de substituție, fiecare putere se scrie ca produs dintre o constantă și o putere a lui $t$, cu regulile $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ și $a^{mn}={\left(a^m\right)}^n$. Pentru baza $6$ și $t=6^x$: $6^{x+2}=36t$, $6^{2x-1}=\frac{t^2}{6}$, $6^{1-x}=\frac{6}{t}$, iar $6^{-2x}=\frac{1}{t^2}$.

Aplicăm pe $2^{2x-1}-9\cdot 2^x+16=0$. Cu $t=2^x>0$, primul termen este $\frac{t^2}{2}$, deci ecuația devine $\frac{t^2}{2}-9t+16=0$, adică $t^2-18t+32=0$ după înmulțirea cu $2$. Rădăcinile sunt $2$ și $16$, ambele pozitive, iar soluțiile sunt $x=1$ și $x=4$. Înmulțirea cu $2$ nu a schimbat nimic esențial; o faci doar ca să lucrezi cu coeficienți întregi.

4. Ce se întâmplă când apar a la x și a la minus x?

Pentru $5^x+5^{-x}=\frac{26}{5}$, cu $t=5^x$, termenul al doilea este $\frac{1}{t}$. Ecuația $t+\frac{1}{t}=\frac{26}{5}$ se înmulțește cu $5t$, operație permisă pentru că $t>0$, și devine $5t^2-26t+5=0$, cu rădăcinile $5$ și $\frac{1}{5}$. Revenind, $x=1$ și $x=-1$: soluțiile sunt opuse, pentru că $t$ și $\frac{1}{t}$ sunt puteri ale lui $5$ cu exponenți opuși.

Suma $t+\frac{1}{t}$ are o proprietate care decide totul: pentru orice $t>0$, ea este cel puțin $2$. Motivul este $(t-1{)}^2\ge 0$, adică $t^2+1\ge 2t$, iar împărțirea la $t>0$ păstrează inegalitatea. Egalitatea are loc numai pentru $t=1$. Prin urmare, o ecuație $a^x+a^{-x}=m$ nu are soluții pentru $m<2$, are soluția unică $x=0$ pentru $m=2$ și are două soluții opuse pentru $m>2$.

Pe grafic, funcția $a^x+a^{-x}$ arată ca un U simetric față de axa $Oy$, cu vârful în $(0;2)$: o orizontală aflată sub vârf nu o întâlnește, una care trece prin vârf o atinge o dată, una aflată deasupra o taie în două puncte simetrice. Aceeași formă de U o vei întâlni în Exemplul 5, unde vârful nu mai este pe axa $Oy$, ci la mijlocul benzii de gel.

5. Cum reducem două baze diferite la un raport?

Uneori apar baze care nu sunt puteri ale aceleiași baze, dar care au același exponent. În $25\cdot 4^x=4\cdot 10^x$, bazele $4$ și $10$ nu au o bază comună. Împarți însă ambii membri la $10^x$, care nu este niciodată zero, și la $25$: obții ${\left(\frac{4}{10}\right)}^x=\frac{4}{25}$, adică ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x={\left(\frac{2}{5}\right)}^2$. Acum baza este una singură, iar $x=2$.

Același gest funcționează când apar trei termeni, de exemplu cu $4^x$, $10^x$ și $25^x$. Cum $4^x={\left(2^x\right)}^2$, $25^x={\left(5^x\right)}^2$ și $10^x=2^x\cdot 5^x$, împărțirea la $25^x$ transformă ecuația într-una de gradul al doilea în raportul $u={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$, cu condiția $u>0$. Alegerea puterii la care împarți nu schimbă soluțiile, ci doar raportul cu care lucrezi. Dacă împarți la $4^x$ în loc de $25^x$, lucrezi cu ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x$, adică cu inversul lui $u$, iar rădăcinile în noua necunoscută sunt inversele celor de dinainte. Împărțirea este permisă tocmai pentru că o putere cu bază pozitivă nu se anulează niciodată; scrie această justificare de fiecare dată.

6. Poate ieși o soluție negativă în x, deși t este pozitiv?

Da, și e perfect normal. Condiția $t>0$ privește puterea, nu exponentul. Pentru $0,25^x-36\cdot 0,5^x+128=0$ notăm $t=0,5^x$ și obținem $t^2-36t+128=0$, cu rădăcinile $4$ și $32$. Baza $0,5$ fiind subunitară, $0,5^x=4$ dă $x=-2$, iar $0,5^x=32$ dă $x=-5$: ambele soluții sunt negative și ambele sunt corecte.

Regula de lucru: filtrezi după semn numai rădăcinile în $t$. Valorile lui $x$ obținute din rădăcinile acceptate sunt toate soluții, oricare le-ar fi semnul, iar verificarea în ecuația inițială o confirmă.

Legătura dintre $t$ și $x$ se citește din monotonie. Pentru o bază supraunitară, rădăcinile $t$ mai mari decât $1$ dau soluții pozitive, cele dintre $0$ și $1$ dau soluții negative, iar $t=1$ dă $x=0$. Pentru o bază subunitară, ca aici, lucrurile se inversează. Așa poți anticipa semnul soluțiilor înainte să revii la $x$ și poți prinde o eroare de calcul.

7. Cum folosim substituția într-un model din științe?

Într-un model, necunoscuta este de obicei timpul sau o distanță, cu un interval de valabilitate declarat. Când două procese exponențiale se suprapun, de exemplu două substanțe care se descompun, una cu timpul de înjumătățire dublu față de cealaltă, puterea corespunzătoare procesului mai rapid este pătratul celei a procesului mai lent. Alegi ca necunoscută nouă puterea procesului mai lent și obții din nou un trinom.

După rezolvare apar două filtre, nu unul. Primul este cel de semn, pentru necunoscuta nouă. Al doilea este intervalul modelului: o soluție care iese înainte de începutul experimentului sau după ce modelul încetează să mai fie valabil se respinge din context. Scrie ambele motive, separat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două rădăcini pozitive

Rezolvați ecuația $16^x-80\cdot 4^x+1024=0$.

Rezolvare. Observăm că $16^x={\left(4^x\right)}^2$ și notăm $t=4^x$, cu $t>0$. Ecuația devine $t^2-80t+1024=0$, cu discriminantul $6400-4096=2304=48^2$, deci $t_1=16$ și $t_2=64$. Ambele sunt pozitive, deci ambele se păstrează.

Revenim: $4^x=16$ dă $x=2$, iar $4^x=64$ dă $x=3$. Verificare: $256-1280+1024=0$ și $4096-5120+1024=0$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{2;3\}$. Produsul rădăcinilor în $t$ este $1024=4^5$, iar suma soluțiilor în $x$ este $5$: exponenții se adună când puterile se înmulțesc, deci poți folosi relațiile dintre rădăcini ca un control rapid.

Exemplul 2 — Coeficient în fața pătratului și o rădăcină respinsă

Rezolvați ecuația $5^{2x+1}+4\cdot 5^x-1=0$.

Rezolvare. Scriem $5^{2x+1}=5\cdot {\left(5^x\right)}^2$ și notăm $t=5^x$, cu $t>0$: $5t^2+4t-1=0$. Discriminantul este $16+20=36$, deci $t_1=\frac{1}{5}$ și $t_2=-1$. Respingem $t_2=-1$, pentru că $5^x>0$ pentru orice $x$ real.

Din $5^x=\frac{1}{5}$ rezultă $x=-1$. Verificare: $5^{-1}+4\cdot \frac{1}{5}-1=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}-1=0$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-1\}$. Soluția negativă provine dintr-o rădăcină pozitivă subunitară, deci nu există niciun conflict cu condiția $t>0$. Coeficientul $5$ din fața lui $t^2$ vine din exponentul $2x+1$: puterea $5^{2x}$ se scrie ca pătratul lui $t$, iar factorul $5^1$ rămâne ca număr. Dacă îl uiți, obții $t^2+4t-1=0$, cu rădăcini iraționale, iar verificarea nu mai iese.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă ecuația $9^x-3^{x+2}=0$ astfel: „Notez $t=3^x$ și obțin $t^2-9t=0$, adică $t(t-9)=0$. Din $t=0$ rezultă $3^x=0$, deci $x=0$; din $t=9$ rezultă $x=2$. Mulțimea soluțiilor este formată din $0$ și $2$.” Unde greșește?

Rezolvare. Descompunerea este corectă, dar rădăcina $t=0$ trebuia respinsă: condiția $t>0$ exclude și zero, pentru că nicio putere a lui $3$ nu este zero. Elevul a confundat „$3^x=0$” cu „$3^x=1$”; exponentul zero dă puterea $1$, nu $0$.

Verificarea în ecuația inițială arată greșeala: pentru $x=0$ membrul stâng este $1-9=-8$, nu zero. Rămâne numai $t=9$, deci $x=2$, iar $81-81=0$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{2\}$. Ecuația se putea rezolva și fără substituție, ca $3^{2x}=3^{x+2}$, de unde $2x=x+2$ și aceeași soluție. Faptul că două metode dau același rezultat este un control bun; programa cere tocmai să poți compara metode diferite pentru aceeași ecuație.

Exemplul 4 — Trei baze, un singur raport

Rezolvați ecuația $2\cdot 4^x-7\cdot 10^x+5\cdot 25^x=0$.

Rezolvare. Împărțim la $25^x>0$: $2\cdot {\left(\frac{4}{25}\right)}^x-7\cdot {\left(\frac{10}{25}\right)}^x+5=0$. Cu $u={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$, $u>0$, avem ${\left(\frac{4}{25}\right)}^x=u^2$, iar ecuația devine $2u^2-7u+5=0$, cu rădăcinile $u_1=1$ și $u_2=\frac{5}{2}$, ambele pozitive.

Din ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=1$ rezultă $x=0$, iar din ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=\frac{5}{2}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}$ rezultă $x=-1$. Verificare pentru $x=-1$: $2\cdot \frac{1}{4}-7\cdot \frac{1}{10}+5\cdot \frac{1}{25}=\frac{1}{2}-\frac{7}{10}+\frac{1}{5}=0$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{-1;0\}$. Dacă ai fi împărțit la $4^x$, necunoscuta ar fi fost ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x$, iar rădăcinile ei ar fi ieșit $1$ și $\frac{2}{5}$, cu aceleași soluții în $x$.

Exemplul 5 — Unde are gelul concentrația 17/64?

Revenim la banda de gel din deschidere: concentrația relativă este $c(x)=2^{-x}+2^{x-8}$, cu $x\in [0,8]$ distanța în centimetri de la capătul stâng. În ce puncte ale benzii concentrația este $\frac{17}{64}$? Care este concentrația cea mai mică?

Rezolvare. Cu $t=2^x$, $t>0$, avem $2^{-x}=\frac{1}{t}$ și $2^{x-8}=\frac{t}{256}$. Ecuația $2^{-x}+2^{x-8}=\frac{17}{64}$ devine $\frac{1}{t}+\frac{t}{256}=\frac{17}{64}$, iar după înmulțirea cu $256t$: $t^2-68t+256=0$. Rădăcinile sunt $t_1=4$ și $t_2=64$, deci $x=2$ și $x=6$, ambele în intervalul $[0,8]$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{2;6\}$.

Punctele sunt simetrice față de mijlocul benzii, cum cere așezarea simetrică a surselor. La mijloc, $c(4)=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}$, valoarea cea mai mică: termenii $2^{-x}$ și $2^{x-8}$ au produsul constant $\frac{1}{256}$, iar suma a două numere pozitive cu produs fix este minimă când ele sunt egale. Figura C arată curba în formă de U și orizontala $\frac{17}{64}$, tăiată în dreptul lui $2$ și $6$ cm. Modelul este unul didactic, cu constantele alese astfel încât calculele să iasă exacte; într-un gel real, lungimea pe care concentrația scade la jumătate depinde de coeficientul de difuzie și de viteza de degradare a colorantului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x-2\cdot 3^{x+1}=27$.

Rezolvare. Avem $9^x={\left(3^x\right)}^2$ și $2\cdot 3^{x+1}=6\cdot 3^x$. Notăm $t=3^x$, cu $t>0$: $t^2-6t-27=0$, cu rădăcinile $t_1=9$ și $t_2=-3$. Respingem $t_2=-3$, deoarece $3^x>0$. Din $3^x=9$ rezultă $x=2$.

Verificare: $81-2\cdot 27=27$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{2\}$. Pasul la care e ușor să greșești este transformarea lui $2\cdot 3^{x+1}$: factorul $3$ din $3^{x+1}$ se înmulțește cu coeficientul $2$, deci termenul devine $6t$. Ecuația e aleasă de noi pentru antrenament, cu dificultatea unei cerințe scurte de examen, și nu provine dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie notația cu condiția ei, rezolvă ecuația în noua necunoscută, respinge motivat rădăcinile care nu convin, revino la $x$ și verifică în ecuația inițială.

1. Rezolvă ecuația $36^x-7\cdot 6^x+6=0$.

2. Rezolvă ecuația $3\cdot 4^x-11\cdot 2^x-4=0$.

3. Rezolvă ecuația $4^x+10\cdot 2^x-56=0$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $3^x+3^{3-x}=28$ are soluțiile $0$ și $3$.

5. Rezolvă ecuația $2^{2x+5}-65\cdot 2^x+2=0$.

6. Rezolvă ecuația $\left(2^x-4\right)\left(2^x+10\right)=0$ și explică de ce nu ai nevoie de formula rădăcinilor.

7. Rezolvă ecuația $2^{2x+1}=2^x+28$.

8. Rezolvă ecuația $9^x-6\cdot 3^x+9=0$ și spune câte soluții are.

9. Rezolvă ecuația $3\cdot 2^x=2\cdot 3^x$, reducând-o la o putere a unui raport.

10. Rezolvă ecuația $5\cdot 9^x+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$.

11. Figura B arată graficul funcției $g(x)=9^x-30\cdot 3^x$ într-o fereastră; curba continuă dincolo de margini. Rezolvă algebric ecuația $g(x)=-81$ și confirmă soluțiile pe figură. Apoi arată că ecuația $g(x)=-300$ nu are soluții.

12. (Problemă aplicată.) Pe o fâșie de hârtie de testare se află două componente volatile ale unui parfum. Masa primei componente se înjumătățește aproximativ la fiecare $3$ ore, a celei de-a doua la fiecare $6$ ore, iar masa totală rămasă, în micrograme, este $m(t)=320\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/3}+80\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}$, cu $t\ge 0$ în ore. După câte ore masa totală a scăzut la $120$ µg? Folosește notația $s={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x-3^x=72$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x+2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x-80=0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x+2}+2^{4-x}=34$.

16. Într-o seră, două populații de insecte dăunătoare cresc după modelele $P(t)=64\cdot 3^t$ și $Q(t)=729\cdot 2^t$, cu $t$ în săptămâni. După câte săptămâni sunt populațiile egale și câte insecte are atunci fiecare?

17. Rezolvă ecuația $2^x-2^{3-x}=7$.

18. (Provocare.) Rezolvă ecuația $8^x-35\cdot 4^x+98\cdot 2^x-64=0$. Indicație: cu $t=2^x$ obții o ecuație de gradul al treilea care are rădăcina $t=1$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $t=6^x>0$: $t^2-7t+6=0$, cu rădăcinile $t_1=1$ și $t_2=6$. Revenim: $x=0$ și $x=1$. Verificare: $1-7+6=0$ și $36-42+6=0$. $S=\{0;1\}$.

2. Cu $t=2^x>0$: $3t^2-11t-4=0$, cu discriminantul $121+48=169$, deci $t_1=4$ și $t_2=-\frac{1}{3}$. Respingem $t_2=-\frac{1}{3}$, pentru că $2^x>0$. Din $2^x=4$ rezultă $x=2$. Verificare: $48-44-4=0$. $S=\{2\}$.

3. Cu $t=2^x>0$: $t^2+10t-56=0$, cu rădăcinile $t_1=4$ și $t_2=-14$. Respingem $t_2=-14$, pentru că $2^x>0$. Din $2^x=4$ rezultă $x=2$. Verificare: $16+40-56=0$. $S=\{2\}$.

4. Adevărat. Pentru $x=0$: $1+27=28$; pentru $x=3$: $27+1=28$. Cu $t=3^x>0$, avem $3^{3-x}=\frac{27}{t}$, iar ecuația devine $t^2-28t+27=0$, cu rădăcinile $1$ și $27$, deci exact $x=0$ și $x=3$: alte soluții nu există. $S=\{0;3\}$.

5. Cu $t=2^x>0$: $2^{2x+5}=32t^2$, deci $32t^2-65t+2=0$. Discriminantul este $4225-256=3969=63^2$, iar rădăcinile sunt $t_1=2$ și $t_2=\frac{1}{32}$. Revenim: $x=1$ și $x=-5$. Verificare pentru $x=-5$: $\frac{1}{32}-\frac{65}{32}+2=0$. $S=\{-5;1\}$.

6. Un produs este zero când unul dintre factori este zero. Din $2^x-4=0$ rezultă $2^x=4$ și $x=2$. Factorul $2^x+10$ este mai mare decât $10$ pentru orice $x$, deci nu se anulează: valoarea $2^x=-10$ se respinge. Ecuația era deja descompusă, așa că formula rădăcinilor nu mai era necesară. $S=\{2\}$.

7. Aducem totul în membrul stâng și notăm $t=2^x>0$: $2t^2-t-28=0$, cu $\Delta =1+224=225$ și rădăcinile $t_1=4$ și $t_2=-\frac{7}{2}$. Respingem $t_2=-\frac{7}{2}$. Din $2^x=4$ rezultă $x=2$. Verificare: $2^5=32$ și $4+28=32$. $S=\{2\}$.

8. Cu $t=3^x>0$: $t^2-6t+9=0$, adică $(t-3{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $t=3$. Din $3^x=3$ rezultă $x=1$: ecuația are o singură soluție, deși ecuația în $t$ are gradul al doilea. O rădăcină dublă în $t$ dă o singură valoare a lui $x$. $S=\{1\}$.

9. Împărțim la $3\cdot 3^x$, nenul: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}$, deci $x=1$. Verificare: $3\cdot 2=2\cdot 3$. $S=\{1\}$.

10. Împărțim la $25^x>0$ și notăm $u={\left(\frac{3}{5}\right)}^x$, cu $u>0$: $5u^2+7u-6=0$, cu rădăcinile $u_1=\frac{3}{5}$ și $u_2=-2$. Respingem $u_2=-2$. Din ${\left(\frac{3}{5}\right)}^x=\frac{3}{5}$ rezultă $x=1$. Verificare: $45+105-150=0$. $S=\{1\}$.

11. Cu $t=3^x>0$, $g(x)=t^2-30t$. Ecuația $t^2-30t=-81$ devine $t^2-30t+81=0$, cu rădăcinile $t_1=3$ și $t_2=27$, deci $x=1$ și $x=3$, iar $S=\{1;3\}$. Pe figură, graficul trece de două ori prin nivelul $-81$, aflat între gradațiile $-50$ și $-100$, în dreptul lui $1$ și al lui $3$. Pentru nivelul $-300$ obții $t^2-30t+300=0$, cu discriminantul $900-1200=-300<0$: nu există $t$ real. Expresia $t^2-30t$ are valoarea cea mai mică $-225$, în vârful parabolei, deci graficul lui $g$ nu coboară niciodată la $-300$.

12. Cu $s={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}$, $s>0$, avem ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/3}=s^2$, deci $320s^2+80s=120$, adică $8s^2+2s-3=0$. Rădăcinile sunt $s_1=\frac{1}{2}$ și $s_2=-\frac{3}{4}$; respingem $s_2$, fiind negativă. Din ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}=\frac{1}{2}$ rezultă $t=6$ ore, deci $S=\{6\}$. Verificare: $320\cdot \frac{1}{4}+80\cdot \frac{1}{2}=80+40=120$ µg. Componenta care se evaporă mai repede a scăzut de patru ori, cea mai lentă doar de două ori, iar suma lor dă masa cerută; de aceea mirosul unui parfum se schimbă în timp. Soluția $t=6$ ore este pozitivă, deci trece și filtrul intervalului $t\ge 0$.

13. Cu $t=3^x>0$: $t^2-t-72=0$, cu rădăcinile $t_1=9$ și $t_2=-8$. Respingem $t_2=-8$. Din $3^x=9$ rezultă $x=2$. Verificare: $81-9=72$. $S=\{2\}$.

14. Cu $t={\left(\frac{1}{2}\right)}^x>0$, avem ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=t^2$, deci $t^2+2t-80=0$, cu rădăcinile $t_1=8$ și $t_2=-10$. Respingem $t_2=-10$. Din ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=8$ rezultă $x=-3$. Verificare: $64+16-80=0$. $S=\{-3\}$.

15. Cu $t=2^x>0$: $4t+\frac{16}{t}=34$, adică $4t^2-34t+16=0$, sau $2t^2-17t+8=0$, cu rădăcinile $t_1=8$ și $t_2=\frac{1}{2}$. Revenim: $x=3$ și $x=-1$. Verificare: $32+2=34$ și $2+32=34$. $S=\{-1;3\}$.

16. Egalitatea $64\cdot 3^t=729\cdot 2^t$ se scrie ${\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{729}{64}={\left(\frac{3}{2}\right)}^6$, deci $t=6$ săptămâni și $S=\{6\}$. Atunci fiecare populație are $64\cdot 729=46656$ de insecte. Modelul are sens doar cât timp sera oferă hrană suficientă. Până în săptămâna a șasea conduce populația $Q$, care a pornit mai sus; după aceea conduce $P$, care crește mai repede.

17. Cu $t=2^x>0$: $t-\frac{8}{t}=7$, adică $t^2-7t-8=0$, cu rădăcinile $t_1=8$ și $t_2=-1$. Respingem $t_2=-1$. Din $2^x=8$ rezultă $x=3$. Verificare: $8-1=7$. $S=\{3\}$.

18. Cu $t=2^x>0$: $t^3-35t^2+98t-64=0$. Pentru $t=1$: $1-35+98-64=0$. Împărțind la $t-1$ obținem $t^2-34t+64$, cu rădăcinile $2$ și $32$, deci $(t-1)(t-2)(t-32)=0$. Toate cele trei rădăcini sunt pozitive, iar $x=0$, $x=1$, $x=5$. $S=\{0;1;5\}$.

De reținut

• Substituția $t=a^x$ vine mereu cu condiția $t>0$; rădăcinile nule sau negative ale ecuației în $t$ se resping, cu motivarea scrisă.
• Puterile cu exponenți compuși se transformă înainte: $a^{2x+1}=a{t}^2$, $a^{x+k}=a^{k}t$, $a^{-x}=\frac{1}{t}$.
• Pentru orice $t>0$, $t+\frac{1}{t}\ge 2$; ecuația $a^x+a^{-x}=m$ nu are soluții pentru $m<2$ și are soluții opuse pentru $m>2$.
• Două baze cu același exponent se reduc la puterea raportului lor, împărțind la o putere nenulă.
• Condiția $t>0$ privește puterea, nu exponentul: soluțiile în $x$ pot fi negative.

Greșeli frecvente

• Confunzi condiția $t>0$ cu $x>0$. Din $0,5^x=4$ rezultă $x=-2$, o soluție corectă. Filtrezi după semn doar rădăcinile în $t$; valorile lui $x$ care provin din rădăcini acceptate rămân toate. O soluție negativă în $x$ înseamnă doar că puterea corespunzătoare este subunitară, pentru o bază mai mare decât $1$.
• Înmulțești cu $t$ doar un termen. Din $t+\frac{1}{t}=m$ nu rezultă $t^2+1=m$, ci $t^2+1=mt$: fiecare termen al ecuației se înmulțește cu $t$, inclusiv membrul drept.
• Rotunjești $t$ înainte de a reveni la $x$. Dacă scrii $\frac{1}{3}\approx 0,33$ și apoi cauți $x$ din $3^x=0,33$, pierzi soluția exactă $-1$. Păstrezi fracțiile exacte până la final.
• Accepți un timp negativ într-un model. Într-o problemă cu $t\ge 0$, o soluție negativă a ecuației se respinge din context, chiar dacă algebra a produs-o corect.
• Inversezi raportul la împărțire. Împărțind $25\cdot 4^x=4\cdot 10^x$ la $10^x$ obții ${\left(\frac{4}{10}\right)}^x$, nu ${\left(\frac{10}{4}\right)}^x$. Cu raportul inversat, semnul soluției se schimbă: ai obține $x=-2$ în loc de $x=2$. Verificarea în ecuația inițială prinde imediat greșeala.

Aplică acasă

1. Într-o foaie de calcul, tabelează $t+\frac{1}{t}$ pentru $t$ de la $0,1$ la $10$ și găsește cea mai mică valoare din tabel. Tabelează apoi $2^x+2^{-x}$ pentru $x$ de la $-3$ la $3$, din jumătate în jumătate, și explică în două propoziții de ce minimul apare la $x=0$.
2. Pentru ecuația din Exemplul 1, desenează într-o aplicație de grafice parabola în variabila $t$ și, separat, membrul stâng ca funcție de $x$. Marchează pe prima porțiunea $t>0$ și numără de câte ori taie fiecare grafic axa orizontală. Explică de ce numerele coincid.
3. Umple două căni cu apă fierbinte și sprijină o riglă metalică lungă cu capetele în ele. După câteva minute, măsoară cu un termometru de bucătărie temperatura riglei la mijloc și la un sfert de lungime de fiecare capăt. Compară forma obținută cu U-ul din Exemplul 5 și spune ce s-ar schimba dacă apa dintr-o cană ar fi mai rece.

Pentru părinți și profesori

Lecția extinde metoda aducerii la aceeași bază cu o singură idee nouă: înlocuirea puterii $a^x$ cu o necunoscută pozitivă. Verificarea esențială este disciplina condiției $t>0$: elevul o scrie, respinge motivat rădăcinile nule sau negative și nu confundă semnul lui $t$ cu semnul lui $x$. Ecuațiile cu $a^x$ și $a^{-x}$ și cele cu două baze reduse la un raport arată că aceeași idee acoperă situații care par diferite.

Întrebări bune de control: „De ce se respinge și rădăcina $t=0$?”; „De ce ecuația $2^x+2^{-x}=1,9$ nu are soluții?”; „La ce putere împarți când apar $4^x$, $10^x$ și $25^x$?”. Contextele din lecție, gelul alimentat din două capete și parfumul cu două componente volatile, arată că sumele de exponențiale apar natural în științe și că substituția este unealta care le rezolvă exact.

O sugestie de lucru la clasă: elevii primesc trinomuri în $t$ cu rădăcini alese de profesor, unele pozitive, unele negative, una nulă, și construiesc din ele ecuații exponențiale înlocuind $t$ cu $3^x$ sau cu $0,5^x$. Apoi schimbă ecuațiile între ei și le rezolvă. Discuția despre câte soluții are fiecare ecuație, înainte de calcul, fixează rolul condiției $t>0$ mai bine decât orice regulă scrisă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții numește ecuațiile exponențiale, iar competența X.CS.3.3 cere metode diferite de rezolvare pentru aceeași ecuație și verificarea mulțimii soluțiilor. Substituția este una dintre aceste metode; bazele conjugate, parametrii și sistemele nu intră în lecție. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, în care capitolul clasei a X-a numește „Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice”; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Varianta-model pentru 2026 nu include o ecuație cu substituție exponențială: prima parte are o ecuație cu logaritmi, iar funcția exponențială apare numai în exercițiul de analiză din ultima parte. Exercițiile marcate sunt antrenamente construite pentru lecție.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile exponențiale prin substituție, mate-info (M1). Pentru ecuația de gradul al treilea din provocare, revezi rădăcinile reale ale ecuațiilor polinomiale la M2, iar pentru vârful parabolei din exercițiul 11, monotonia și valoarea extremă a funcției de gradul al doilea. Lecția următoare a traseului este logaritmul unui număr la M2, iar recapitularea se face cu testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre substituție?

Varianta M2 păstrează nucleul, adică notația $t=a^x$ cu condiția $t>0$, dar renunță la bazele conjugate și la ecuațiile cu parametru. În schimb, explică de ce $a^x+a^{-x}$ nu coboară sub $2$, reduce două baze la un raport și folosește substituția în modele din chimie și din fizică, cu intervalul de valabilitate verificat.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile cu substituție?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține ecuațiile exponențiale la clasa a X-a, fără să precizeze metoda cerută sau subiectul la care se evaluează. În varianta-model pentru 2026 nu apare nicio ecuație exponențială: la Subiectul I se rezolvă o ecuație cu logaritmi, iar funcția exponențială apare la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Cum îmi dau seama dinainte câte soluții poate avea ecuația în x?

Numeri rădăcinile strict pozitive ale ecuației în $t$: fiecare dă exact o soluție în $x$, pentru că funcția exponențială este injectivă. Dacă produsul rădăcinilor trinomului este negativ, ele au semne opuse și rămâne una; dacă produsul și suma sunt pozitive, rămân amândouă. O rădăcină dublă pozitivă dă o singură soluție, iar lipsa rădăcinilor pozitive înseamnă mulțimea vidă.

Pot nota t egal cu a la minus x în loc de a la x?

Da. Dacă ecuația conține $a^{-x}$ și $a^{-2x}$, notația $t=a^{-x}$, tot cu $t>0$, e chiar mai comodă. Soluțiile finale sunt aceleași; se schimbă doar ecuația intermediară. Alege notația care îți dă coeficienți simpli și scrie-o explicit, ca să nu revii greșit la $x$.

Ce fac dacă rădăcina pozitivă în t nu este o putere a bazei?

Soluția în $x$ există și este unică, dar se scrie cu logaritmi: din $2^x=5$ rezultă $x={\log }_{2}5$. O poți încadra între $2$ și $3$ fără calculator, pentru că $2^2<5<2^3$. Calculele cu logaritmi urmează imediat, în lecția despre logaritmul unui număr, unde vei putea scrie și aproxima o asemenea soluție.

Cum verific rapid că am făcut corect substituția?

Alege o valoare simplă, de exemplu $x=1$, și calculează membrul stâng de două ori: o dată în forma inițială, o dată în forma cu $t$, înlocuind $t$ cu $a^1$. Dacă rezultatele diferă, ai greșit transformarea unui termen, de obicei a unui exponent compus.