Ecuații exponențiale prin substituție: pe scurt

Ecuațiile de forma $\alpha a^{2x}+\beta a^x+\gamma =0$ nu se pot aduce la aceeași bază — dar sunt, de fapt, ecuații de gradul al doilea deghizate. Cu notația $t=a^x$, cum $a^{2x}={\left(a^x\right)}^2=t^2$, ecuația devine $\alpha t^2+\beta t+\gamma =0$.

Substituția vine cu o condiție obligatorie: $t>0$, pentru că funcția exponențială e strict pozitivă. Rădăcinile în $t$ care nu respectă asta se resping explicit, motivat, nu doar se ignoră. Exponenții compuși se descompun înainte de substituție: $a^{x+k}=a^k\cdot t$, $a^{2x+1}=a\cdot t^2$, $a^{k-x}=\frac{a^k}{t}$.

Ecuațiile omogene (de tipul $\alpha \cdot 4^x+\beta \cdot 6^x+\gamma \cdot 9^x=0$) se rezolvă împărțind la una dintre puterile extreme — operație permisă, pentru că orice putere exponențială este strict pozitivă și nu se poate anula.

Când bazele au produsul $1$ (baze conjugate, ca $2\pm \sqrt{3}$), a doua putere este inversa primei, iar ecuația ia forma $t+\frac{1}{t}=m$. La final, revii la variabila inițială rezolvând ecuațiile elementare $a^x=t_i$ pentru fiecare rădăcină validă. Greșeli frecvente: uitarea condiției $t>0$, confuzia $a^{2x}$ cu $2a^x$ și oprirea calculului la valoarea lui $t$, uitând că necunoscuta reală este $x$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru o ecuație de forma $\alpha a^{2x}+\beta a^x+\gamma =0$, notația potrivită este:

   • a) $t=a^x$
   • b) $t=2x$
   • c) $t=x^2$
   • d) $t=a^{2x}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $t=a^x$

   Cu $t=a^x$, rezultă $a^{2x}=t^2$, iar ecuația devine un trinom de gradul al doilea în $t$.

2. Condiția obligatorie la substituția $t=a^x$ este:

   • a) $t\in \mathbb{N}$
   • b) $t>0$
   • c) $t<0$
   • d) $t=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $t>0$

   Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, deci $t=a^x$ trebuie să fie strict pozitiv.

3. Ecuațiile omogene de tipul $\alpha \cdot 4^x+\beta \cdot 6^x+\gamma \cdot 9^x=0$ se rezolvă prin:

   • a) nu se pot rezolva algebric
   • b) logaritmare directă
   • c) împărțire la una dintre puterile extreme (de exemplu $9^x$)
   • d) aducere la aceeași bază
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) împărțire la una dintre puterile extreme (de exemplu $9^x$)

   Împărțind la $9^x>0$ (operație permisă, pentru că $9^x$ nu se anulează niciodată), ecuația devine un trinom în $t=(2/3{)}^x$.