Cum rezolv ecuația log₃² x-log₃ x²-3=0?

Pentru x>0, log₃ x²=2log₃ x. Cu t=log₃ x obții t²-2t-3=0, cu t=3 sau t=-1. Revii: x=27 sau x= 1/3, ambele pozitive. Valoarea negativă a lui t nu se respinge. Proba pentru x= 1/3: (-1)²-2·(-1)-3=0.

Cum tratez un logaritm cu bază subunitară, ca log_ 1/2x, într-o ecuație?

Folosești log_ 1/2x=-log₂ x, fiindcă 1/2=2⁻¹. Ecuația log₂ x-log_ 1/2x=6 devine 2log₂ x=6, deci log₂ x=3 și x=8. Verificare: 3-(-3)=6. Semnul minus din relație vine din exponentul negativ al bazei și nu trebuie pierdut.

Cum rezolv o ecuație cu logaritmi în alte baze?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații logaritmice: domeniu și soluții

Aduci toți logaritmii la aceeași bază, de obicei cea mai mică, folosind $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ , apoi notezi $t = lo g_{a} x$ . Exemplu: $lo g_{2} x + lo g_{8} x = 4$ , pentru $x > 0$ . Cum $8 = 2^{3}$ , $lo g_{8} x = \frac{t}{3}$ , iar ecuația devine $t + \frac{t}{3} = 4$ , deci $t = 3$ și $x = 2^{3} = 8$ . Verificare: $lo g_{2} 8 + lo g_{8} 8 = 3 + 1 = 4$ . Condiția $x > 0$ se scrie de la început, iar soluția găsită o respectă. Fără unificarea bazelor, proprietățile produsului și câtului nu se pot aplica.

O ecuație logaritmică are necunoscuta în argumentul unor logaritmi cu baze fixate. Rezolvarea începe cu domeniul: mulțimea numerelor pentru care toți logaritmii din ecuația inițială există. Orice valoare găsită în afara lui se respinge, cu motivul scris.

Tipul $lo g_{a} f (x) = b$ se rezolvă prin definiție, $f (x) = a^{b}$ , iar argumentul iese automat pozitiv. Tipul $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ se reduce la $f (x) = g (x)$ , cu pozitivitatea impusă cel puțin unui argument. Sumele și diferențele de logaritmi cu aceeași bază se restrâng cu proprietățile produsului și câtului; restrângerea lărgește domeniul și poate aduce valori care verifică forma nouă, dar nu ecuația de la care ai pornit.

Bazele diferite se aduc la una singură, iar când necunoscuta apare doar prin $lo g_{a} x$ , ridicat la putere, notația $t = lo g_{a} x$ dă o ecuație algebrică. Ecuațiile în care argumentul conține o putere a bazei se transformă în ecuații exponențiale. La final, fiecare soluție se verifică în ecuația inițială, iar pe graficele celor doi membri numărul punctelor comune confirmă numărul soluțiilor.

De reținut

domeniul se scrie din ecuația inițială, înaintea transformărilor
$lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ aduce bazele la una singură
la $t = lo g_{a} x$ valorile negative ale lui $t$ sunt permise

Greșeala tipică

Se adună logaritmii cu baze diferite ca și cum ar avea aceeași bază, scriind $lo g_{2} x + lo g_{8} x = lo g_{16} x^{2}$ ; bazele se unifică întâi, abia apoi se aplică proprietățile.

Exerciții din această mini-lecție

Soluția ecuației $lo g_{5} (2 x + 3) = 2$ este:
- a) $x = 11$
- b) $x = \frac{7}{2}$
- c) $x = \frac{23}{2}$
- d) $x = - \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 11$

Din definiție, $2 x + 3 = 5^{2} = 25$ , deci $x = 11$ .
Domeniul ecuației $lo g_{2} (x - 3) + lo g_{2} (10 - x) = 3$ este:
- a) $(3; + \infty)$
- b) $(- \infty; 10)$
- c) $(3; 10)$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(3; 10)$

Trebuie simultan $x - 3 > 0$ și $10 - x > 0$ , adică $3 < x < 10$ .
Mulțimea soluțiilor ecuației $l g x + l g (x - 15) = 2$ este:
- a) ${- 5; 20}$
- b) ${20}$
- c) ${- 5}$
- d) $\emptyset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${20}$

Domeniul este $x > 15$ . Restrângând, $x (x - 15) = 100$ , cu rădăcinile $20$ și $- 5$ ; se respinge $- 5$ .

Întrebări conexe

Cum scriu domeniul unei ecuații cu doi logaritmi?

Ceri simultan ca toate argumentele să fie pozitive. La $l g (x - 2) + l g (8 - x) = l g 9$ condițiile $x > 2$ și $x < 8$ dau domeniul $(2, 8)$ . Restrângerea duce la $(x - 2) (8 - x) = 9$ , adică $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ , cu $x = 5$ , care este în domeniu și deci soluție.

De ce se respinge $x = - 1$ la ecuația $lo g_{5} (x^{2} - 11) = lo g_{5} (5 x - 5)$ ?

Din egalitatea logaritmilor rezultă $x^{2} - 11 = 5 x - 5$ , adică $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ , cu $x = 6$ sau $x = - 1$ . Pentru $x = - 1$ , argumentul $5 x - 5$ este $- 10$ , iar logaritmul nu există. Pentru $x = 6$ ambele argumente sunt $25$ , deci singura soluție este $6$ .

Cum aflu concentrația de dioxid de carbon dintr-o valoare a forțării radiative?

Un model folosit în climatologie este $Δ F = 5, 35 ln \frac{C}{C _{0}}$ , în W/m². Pentru $Δ F \approx 3, 71$ obții $ln \frac{C}{C _{0}} \approx 0, 693 = ln 2$ , deci $C = 2 C_{0}$ . Cu $C_{0} = 280$ ppm, concentrația este de aproximativ $560$ ppm, adică dublul valorii de referință.

Cum rezolv ecuația $lo g_{3}^{2} x - lo g_{3} x^{2} - 3 = 0$ ?

Pentru $x > 0$ , $lo g_{3} x^{2} = 2 lo g_{3} x$ . Cu $t = lo g_{3} x$ obții $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , cu $t = 3$ sau $t = - 1$ . Revii: $x = 27$ sau $x = \frac{1}{3}$ , ambele pozitive. Valoarea negativă a lui $t$ nu se respinge. Proba pentru $x = \frac{1}{3}$ : $(- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) - 3 = 0$ .

Cum tratez un logaritm cu bază subunitară, ca $lo g_{\frac{1}{2}} x$ , într-o ecuație?

Folosești $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ , fiindcă $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ . Ecuația $lo g_{2} x - lo g_{\frac{1}{2}} x = 6$ devine $2 lo g_{2} x = 6$ , deci $lo g_{2} x = 3$ și $x = 8$ . Verificare: $3 - (- 3) = 6$ . Semnul minus din relație vine din exponentul negativ al bazei și nu trebuie pierdut.

Oamenii mai întreabă și: ecuație cu logaritmi în baze diferite · ecuații cu logaritmi cu baza 2 și baza 8 · cum aduc logaritmii la aceeași bază într-o ecuație · rezolvarea ecuațiilor logaritmice cu baze diferite