Ecuații logaritmice: pe scurt

La orice ecuație logaritmică se aplică rețeta în patru pași: (1) condițiile de existență (CE) — argument $>0$, iar dacă baza conține necunoscuta, și bază $>0$, bază $\ne 1$; (2) rezolvarea; (3) confruntarea soluțiilor cu CE, cu respingeri explicite; (4) verificarea în ecuația inițială. Calculul corect nu garantează un răspuns corect: restrângerea logaritmilor (${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$) lărgește domeniul și poate fabrica soluții străine.

Tipurile de bază: ${\log }_{a}f(x)=b⟺f(x)=a^b$ (trecere la forma exponențială); ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)⟺f(x)=g(x)$, prin injectivitate, cu condiția $f(x)>0$; ecuațiile polinomiale în ${\log }_{a}x$ se rezolvă prin substituția $t={\log }_{a}x$, caz în care soluțiile străine sunt imposibile, pentru că revenirea $x=a^t$ dă automat $x>0$.

Atenție: nu orice a doua rădăcină se respinge automat — uneori ambele rădăcini ale ecuației algebrice rezultate respectă CE și rămân valide. Decizia se ia comparând efectiv cu condițiile scrise la început, nu ghicind după semnul rădăcinii.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați ecuația ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x+3)=4$, ținând cont de condițiile de existență.

   • a) $S=\{5\}$
   • b) $S=\{-5,5\}$
   • c) $S=\{-5\}$
   • d) $S=\{4\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $S=\{5\}$

   CE: $x>3$. Restrângem: ${\log }_2((x-3)(x+3))=4\Rightarrow x^2-9=16\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5$. Cum $-5$ nu verifică $x>3$, se respinge. Rămâne $S=\{5\}$; verificare: ${\log }_{2}2+{\log }_{2}8=1+3=4$ ✓.

2. Care este condiția de existență a ecuației $\lg (x+2)-\lg (x-1)=\lg 5$?

   • a) $x>-2$
   • b) $x>1$
   • c) $x\ne 1$
   • d) $x\in (-2,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x>1$

   Trebuie simultan $x+2>0$ (adică $x>-2$) și $x-1>0$ (adică $x>1$). Intersecția celor două este $x>1$ — condiția mai restrictivă «câștigă».

3. Rezolvați ecuația ${\log }_{x}25=2$ ($x>0$, $x\ne 1$).

   • a) $x=-5$
   • b) $x=\pm 5$
   • c) $x=5$
   • d) $x=5$ sau $x=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x=5$

   Forma exponențială: $x^2=25$, deci $x=5$ sau $x=-5$. Baza unei puteri logaritmice trebuie să fie strict pozitivă, deci $x=-5$ se respinge. Rămâne $x=5$; verificare: $5^2=25$ ✓.